WWW.MASH.DOBROTA.BIZ
БЕСПЛАТНАЯ  ИНТЕРНЕТ  БИБЛИОТЕКА - онлайн публикации
 

Pages:   || 2 |

«УРАЛЬСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ СОВРЕМЕННЫЕ ПРОБЛЕМЫ МАТЕМАТИКИ Тезисы 42-й Всероссийской молодежной школы-конференции, 30 января — 6 февраля 2011 г. ...»

-- [ Страница 1 ] --

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК

УРАЛЬСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ

ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ

СОВРЕМЕННЫЕ ПРОБЛЕМЫ МАТЕМАТИКИ

Тезисы 42-й Всероссийской молодежной школы-конференции,

30 января — 6 февраля 2011 г .

ЕКАТЕРИНБУРГ

УДК 51

СОВРЕМЕННЫЕ ПРОБЛЕМЫ МАТЕМАТИКИ: тезисы 42-й Всероссийской молодежной школы-конференции. Екатеринбург: Институт математики и механики УрО РАН, 2011 .

Настоящее издание включает тезисы 42-й Всероссийской школыконференции молодых ученых, проходившей с 30 января по 6 февраля 2011 года в г. Екатеринбурге .

Представлены работы по следующим вопросам: алгебра и дискретная математика, геометрия и топология, приближение функций, дифференциальные и интегральные уравнения и их приложения, математическая теория оптимального управления и дифференциальные игры, распознавание образов и математическое программирование, информатика и вычислительная техника, компьютерные наук

и и безопасность, математическая биология. Сборник представляет интерес для специалистов по указанным областям науки .

Конференция проведена при финансовой поддержке РФФИ (проект 11-01-06801) и Президиума УрО РАН (грант поддержки молодежных научных школ и конференций) .

Ответственный редактор чл.-корр. РАН А.А. Махнев .

Рецензенты:



чл.-корр. РАН А.А. Махнев, д.ф.-м.н. А.Л. Агеев, д.ф.-м.н. А.Г. Бабенко, д.ф.-м.н. А.Р. Данилин, д.ф.-м.н. А.В. Ким, д.ф.-м.н .

А.С. Кондратьев, к.ф.-м.н. В.Б. Костоусов, д.ф.-м.н. Н.Ю. Лукоянов, к.ф.-м.н. А.В. Осипов, к.ф.-м.н. М.А. Патракеев, д.ф.-м.н .

В.В. Прохоров, к.ф.-м.н. М.Ф. Прохорова, д.ф.-м.н. М.Ю. Хачай, к.ф.-м.н. Д.В. Хлопин, д.ф.-м.н. В.Т. Шевалдин .

Ответственные за выпуск:

С.Ф. Правдин, Н.В. Маслова .

© Институт математики и механики УрО РАН, 2011 г .

Оптимальное управление и дифференциальные игры 3

ОБ ОДНОЙ ИГРОВОЙ ЗАДАЧЕ АСИМПТОТИЧЕСКИ

ИМПУЛЬСНОГО УПРАВЛЕНИЯ

Бакланов А.П.1 e-mail: artem.baklanov@gmail.com Рассматривается игровая постановка, где игроки имеют ограничения на выбор управлений, одно из которых — мгновенность импульса управления. Доказано, что используя достаточно «узкие»

импульсы, т.е. ослабив ограничение, мы можем сколь угодно точно аппроксимировать результат «идеально импульсной» игры. Для нахождения асимптотических результатов игры используются конструкции расширения в классе конечно-аддитивных (к.-а.) мер. Если S — множество, то через P(S) (через P (S)) обозначаем семейство всех (всех непустых) подмножеств множества S. Если X — множество, то [X] = {B P (P(X))|B1 B B2 B B3 B : B3 B1 B2 } и 0 [X] = {B P (P (X))|B1 B B2 B B3 B : B3 B1 B2 }. Семейства из 0 [X] есть базы фильтров X и только они. Если E — непустое множество, (X, ) — то

–  –  –

с управлениями u(t), v(t) соответственно первого и второго игрока .

Фазовое пространство первой системы (второй системы) полагаем k-мерным (l-мерным), промежуток управления совпадает с [0, 1], а начальные условия удовлетворяют x(0) = x0 Rk (y(0) = y0 Rl ) .

Полагаем, что при t [0, 1] A(t) — k k-матрица и B(t) — l lматрица, все компоненты которых — непрерывные функции на отрезке [0, 1]. Каждая компонента bi = bi (·) (cj = cj (·)) вектор



Работа выполнена при поддержке гранта Президента РФ для молодых ученых (проект МК-7320.2010.1), РФФИ (грант No.09-01-00436-а) и программы Президиума РАН «Математическая теория управления» .

4 Тезисы 42-й молодежной школы-конференции

–  –  –

Таким образом, наша асимптотическая задача (3) сводится к обобщенной, в которой каждый игрок выбирает управления-меры, а именно к.-а. в. меры, из множества G. Причем первый игрок пытается минимизировать 0 (µ (1), (1)), а второй – максимизировать .

Благодаря работе [1], мы знаем точное описание G. Более того, в этой работе доказана определенная нечувствительность G к форме управляющей функции .

Литература [1] Скворцова А.В., Ченцов А.Г. О построении асимптотического аналога пучка траекторий линейной системы с одноимпульсным управлением // Дифференциальные уравнения. 2004. Т. 40, № 12 .

C. 1645–1657 .

[2] Ченцов А.Г. О представлении максимина в игровой задаче с ограничениями асимптотического характера // Вестник Удмуртского Университета. 2010. Вып. 3. C. 104–119 .

6 Тезисы 42-й молодежной школы-конференции

–  –  –

В конечномерном евклидовом пространстве Rk, k 2, рассматривается дифференциальная игра (n + 1)-го лица: n преследователей Pi, i Nn = {1,..., n}, и убегающего E.

Законы движения каждого из преследователей Pi и убегающего E имеют вид:

–  –  –

с такими же терминальными множествами, как и в исходной системе .

Определение. Будем говорить, что в игре происходит поимка из заданной начальной позиции z 0 = z(t0 ), если существуют момент времени T0 = T (z 0 ), позиционные стратегии управления с поводырём Ui = (Ui, i, i ) преследователей Pi, i Nn, такие, что для любой измеримой функции v(·), v(t) Q, t [t0, T0 ], существуют момент времени [t0, T0 ] и номер s Nn такие, что имеет место включение zs ( ) Ms .

Здесь Ui — функция, которая будет формировать управление преследователя Pi в исходной системе (3)

–  –  –

Литература [1] Красовский Н.Н. Позиционные дифференциальные игры.

— М.:

Наука, 1974 .

[2] Чикрий А.А. Конфликтно управляемые процессы. — Киев: Наук .

думка, 1992 .

[3] Банников А.С. Об одной задаче простого преследования // Вестник удмуртского университета. Сер. Матем. Мех. Комп. науки .

2009. Вып. 3. C. 3–11 .

8 Тезисы 42-й молодежной школы-конференции

АЛГОРИТМ РАСЧЕТА СИСТЕМАТИЧЕСКИХ

ОШИБОК НЕСКОЛЬКИХ РЛС ПО АЗИМУТУ

НА ОСНОВЕ ФИЛЬТРАЦИИ КАЛМАНА

Бедин Д.А.1 e-mail: jango.urals@gmail.com Работа посвящена задаче идентификации систематических ошибок по азимуту радиолокационных станций (РЛС) по результатам наблюдения за полётом воздушного судна (ВС). Рассматривается случай совместного наблюдения ВС несколькими РЛС. Каждая РЛС измеряет дальность и азимут с некоторым тактом по времени. Измерения производятся с ошибками. В ошибке измерения азимута может присутствовать значительная систематическая составляющая .





Предполагается, что полёт близок к горизонтальному. Поэтому реальное движение ВС подменяется движением в двумерной плоскости .

Рассматривается алгоритм идентификации систематических ошибок РЛС на основе фильтрации Калмана [1]. В алгоритме используются результаты наблюдения за ВС на участке, где его движение незначительно отличается от прямолинейного равномерного .

Разработан вспомогательный алгоритм выделения таких прямолинейных участков на траектории .

Алгоритм идентификации систематических ошибок существенно отличается от описанного в [2] тем, что не требует для анализа дополнительной «эталонной» информации .

1. Считаем, что ВС осуществляет прямолинейное и равномерное движение. Начальный момент движения полагаем нулевым. Начальные условия по положению и скорости обозначим x0, v0 R2 .

Пусть в момент ti измерение производит РЛС с номером k = k(i), находящаяся в точке rk. В этот момент ВС занимает положение xi = x0 + v0 ti. Координаты замера zi имеют вид

–  –  –

Здесь ei, ei – взаимно ортогональные векторы единичной длины;

ei соответствует направлению на РЛС с номером k; ei описывает 1 Работа выполнена при поддержке УрО РАН, проект 09-С-1-1010, а также при поддержке гранта РФФИ № 10-01-96006 .

Оптимальное управление и дифференциальные игры 9 направление азимутального отклонения; r, – среднеквадратические отклонения для ошибок по дальности и азимуту; k – неизвестная систематическая ошибка по азимуту РЛС с номером k; wi, wi – независимые для разных i и между собой случайные величины с единичной дисперсией и нулевым математическим ожиданием .

Случайные величины полагаем нормально распределёнными .

Введём вектор-столбец состояния X, в который внесём все неизвестные величины: параметры прямолинейного движения x0, v0 и систематические ошибки k по азимуту различных РЛС. Считаем состояние X постоянной векторной случайной величиной. Перепишем соотношение (1) в виде

–  –  –

Начальные условия X0, P0 выбираются специально .

2. Алгоритм выделения участков прямолинейного равномерного движения основан на обработке замеров одной РЛС процедурой «скользящего окна». В окне производится вызов процедуры фильтрации, описанной в предыдущем пункте, но записанной только для одной из РЛС. При этом для неё систематическая ошибка по азимуту полагается равной нулю. Процедура восстанавливает параметры прямолинейного равномерного движения, наилучшим образом приближающего замеры в окне, после чего производится анализ «разброса» замеров относительно найденного прямолинейного движения .

Если эмпирическая дисперсия отклонения замеров по углу и по дальности не превосходит значений, характерных для выбранной РЛС, делается вывод о том, что в окне наблюдается участок прямолинейного движения. В этом случае производится увеличение окна с включением замеров от более поздних моментов времени. Увеличение производится до тех пор, пока «разброс» замеров подтверждает участок прямолиненйного движения. Последнее найденное таким образом окно записывается в предварительный ответ, после чего начало анализируемого окна сдвигается в сторону замеров с большим временем. В окончательный ответ из предварительного берутся только непересекающиеся участки наибольшей длины .

Таким образом, алгоритм обрабатывает перемещающимся окном все замеры и находит прямолинейные участки максимально возможной длины .

Литература [1] Синицын И.Н. Фильтры Калмана и Пугачёва. — М.: Университетская книга, Логос, 2006. 640 c .

[2] Бедин Д.А., Федотов А.А. Вычисление систематической ошибки радиолокатора по азимуту с использованием программы восстановления траектории самолёта / в сб. «Проблемы теоретической и прикладной математики», Труды 39-й Всероссийской молодёжной конференции. С. 319–324. — Екатеринбург: УрО РАН, 2010 .

Оптимальное управление и дифференциальные игры 11

–  –  –

Таким образом, найдены вероятности состояний СМО сигнатуры T (m1, m2,..., mk ) без решения соответствующей громоздкой системы Колмогорова с матрицами (2), (3), а также показано наличие стационарного состояния .

Литература [1] Котенко А.П., Букаренко М.Б. Аналитическое описание систем массового обслуживания с использованием колец вычетов в управлении организационно-экономическими системами / в сб .

«Управление организационно-экономическими системами: моделирование взаимодействий, принятие решений», выпуск 7. С. 31– 34. — Самара: Изд-во СГАУ, 2010 .

[2] Котенко А.П., Букаренко М.Б. Аналитическое описание систем массового обслуживания с использованием колец вычетов / в сб .

«Математическое моделирование и краевые задачи», Труды VII Всероссийской научной конференции с международным участием. С. 136–140. — Самара: Изд-во СамГТУ, 2010 .

14 Тезисы 42-й молодежной школы-конференции

ОБ ОДНОЙ ЗАДАЧЕ УПРАВЛЕНИЯ В МЕХАНИКЕ

ДЕФОРМИРОВАНИЯ ГРАДИЕНТНЫХ СИСТЕМ

Бурмашева Н.В., Стружанов В.В.1 e-mail: nat_burm@mail.ru, stru@ imach.uran.ru В данной работе рассматривается один класс градиентных дискретных механических систем, к которому относятся, например, стержневые системы. В таких системах положение элементов определяется конечным числом обобщенных координат (обобщенных перемещений). Часть этих координат могут быть заданными величинами и представлять собой параметры управления. Тогда остальные играют роль параметров состояния. Поведение градиентной механической системы характеризуется ее потенциальной функцией W (qi, Qj )(i = 1,..., N ; j = 1,..., M ), зависящей от параметров состояния qi системы и параметров управления Qj [1] .
Эта функция есть сумма потенциальных функций элементов системы. Если рассматривать разрушение как невозможность равновесия, то, по крайней мере, часть потенциальных функций элементов системы должна описывать как их устойчивые, так и неустойчивые состояния. Такое описание возможно только тогда, когда обозначенные потенциальные функции являются, вообще говоря, невыпуклыми. Механическая система (конструкция) должна работать при определенных проектом параметрах управления (нагрузках), причем конструкцию выводят на заданный режим эксплуатации, постепенно изменяя параметры управления. В евклидовом пространстве процесс нагружения изображается медленным движением точки по некоторой кривой, выходящей из начала координат. Таким образом, возникает следующая задача управления: изображающую процесс точку в пространстве M управления Ru нужно перевести из начала координат в заданную точку с координатами Qr так, чтобы механическая система на данj ном пути сохраняла устойчивость .

Положения равновесия системы определяют критические точки потенциальной функции W, которые являются решениями системы уравнений N W = 0. Здесь N — оператор Гамильтона в евклидоN вом пространстве состояний Re. В силу того, что некоторые потенциальные функции элементов системы являются невыпуклыми, данРабота поддержана грантом РФФИ № 10-08-00135 .

Оптимальное управление и дифференциальные игры 15 ные уравнения могут иметь одно или несколько решений или вообще не иметь решения. Особое значение имеют вырожденные критические точки, в которых матрица устойчивости H(W ) = N N W вырождена. Здесь H(W ) — матрица Гессе вторых производных функции W. Такие точки структурно неустойчивы [1]. Возмущение потенциальной функции W вызывает качественные изменения в поведении самой функции. Вырожденная критическая точка расщепляется на несколько изолированных (невырожденных) критических точек .

Механическая система при этом скачком переходит в новое состояние равновесия .

Вырожденные критические точки образуют в евклидовом проM странстве управлений Ru многообразия, являющиеся сепаратрисой функции W. Вне области, ограниченной сепаратрисой, механическая система имеют лишь одно положение равновесия или положений равновесия не существует. Внутри данной области имеется несколько положений равновесия [1]. Известно [1, 2], что при выходе пути нагружения из области, ограниченной сепаратрисой, положение равновесия механической системы становится неустойчивым и она скачком переходит в новое устойчивое положение равновесия. Следовательно, сформулированная задача управления будет решена, если путь нагружения обойдет область, ограниченную сепаратрисой .

В качестве примера была рассмотрена специальная стержневая система, осуществляющая трехосное растяжение элементарного куба из нелинейного материала, описываемого невыпуклым потенциалом, имеющим области выпуклости вниз, выпуклости вверх, седловые точки. Построена сепаратриса потенциальной функции данной системы. Получены ограничения, накладываемые на механические характеристики стержней, позволяющие решить сформулированную задачу управления .

Также был рассмотрен случай силового нагружения описанной выше механической системы. В этом случае параметрами управления будут жесткости стержней и задаваемые усилия. Потенциальная функция системы представляется в виде суммы потенциальной функции механической системы, в которой отсутствуют линейно упругие стержни и нагружение куба осуществляется силовым способом, и потенциальной энергии деформирования упругих стержней .

Причем проекции вырожденных точек потенциальной функции механической системы, в которой отсутствуют линейно упругие стержТезисы 42-й молодежной школы-конференции ни, и потенциальной функции рассматриваемой механической системы в пространство управлений совпадают и определяют одну и ту же сепаратрису. Показано, что жесткости стержней являются несущественными параметрами для анализа устойчивости процесса мягкого (силового) нагружения данной механической системы. Таким образом, если результирующая точка лежит внутри поверхности, ограниченной сепаратрисой, то она всегда достижима; если же вне — то ее нельзя достичь ни по какому пути без потери устойчивости .

Литература [1] Гилмор Р. Прикладная теория катастроф: в 2-х книгах. Кн. 1. — М.: Мир, 1984 .

[2] Стружанов В.В. Об устойчивости двухосного растяжения квадратной пластины в одной градиентной механической системе // Труды ИММ УрО РАН. 2010. Т. 16, № 5. C. 187–195 .

Оптимальное управление и дифференциальные игры 17

–  –  –

рия управления» (проект 09-П-1-1014), Урало-Сибирским интеграционным проектом 09-С-1-1010 и Программой поддержки ведущих научных школ (НШТезисы 42-й молодежной школы-конференции

–  –  –

Литература [1] Spidhar R., Hohn R., Long G. A General Formulation of the Milling Process Equation — Contribution to Machine Tool Chatter Research // Journal of Engineering for Industry. 1968. Vol. 90, № 2. Pp. 317– 324 .

[2] Долгий Ю.Ф. Устойчивость периодических диффференциальноразностных уравнений. Екатеринбург: УрГУ, 1996 .

[3] Gibson J.S. Linear-quadratic optimal control of hereditary dierential systems: innite dimensional Riccati equations and numerical approximations // SIAM J. Control and Optimization .

1983. Vol. 21, № 1. Pp. 95–139 .

[4] Красовский Н.Н. Об аппроксимации одной задачи аналитического конструирования регуляторов в системе с запаздыванием // Прикл. матем. и механ. 1964. Т. 28, № 4. С. 716–724 .

20 Тезисы 42-й молодежной школы-конференции

ИГРА ПРЕСЛЕДОВАНИЯ–УКЛОНЕНИЯ С ДВУМЯ

ДОГОНЯЮЩИМИ ОБЪЕКТАМИ

Ганебный С.А., Кумков С.С.1 e-mail: ganebny@imm.uran.ru, sskumk@gmail.com Исследуется задача о преследовании одного убегающего двумя догоняющими. Постановка задачи предложена в [1], где для некоторых случаев решение получено аналитическими методами. В данной работе представлено полное численное исследование задачи, основанное на построении максимальных стабильных мостов [2] .

1. Игра происходит на плоскости. Считаем, что в начальный момент, полагаемый нулевым, скорости преследователей P 1 и P 2 и убегающего E достаточно высоки и параллельны (рис. 1). Предполагаем, что управления преследователей и убегающего действуют только на боковые отклонения .

Рис. 1: начальное положение преследователей и убегающего

–  –  –

Президиума РАН «Математическая теория управления» при поддержке УрО РАН, проект 09-П-1-1013, а также при поддержке гранта РФФИ № 09-01-00436 .

Оптимальное управление и дифференциальные игры 21 игроков; u1, u2, v — управления; AP 1, AP 2, AE — максимальные величины ускорений; lP 1, lP 2, lE — постоянные времени, описывающие инерционность исполнительных механизмов; h() = e + 1 .

Управления игроков ограничены по модулю:

–  –  –

Первый игрок минимизирует значение платы, второй максимизирует .

В результате имеем стандартную линейную дифференциальную игру (1)–(3), особенностью которой является функция платы, вычисляемая, вообще говоря, не в один момент времени. Но даже если Tf 1 = Tf 2, функция платы имеет невыпуклые множества уровня .

2. Принципиальным с точки зрения структуры решения задачи является понятие «преимущества» каждого из преследователей над убегающим, описываемое параметрами µi = AP i /AE и i = lE /lP i, i = 1, 2 (см., например, [4]). В зависимости от соотношения этих параметров максимальные стабильные мосты в индивидуальных играх (P 1 против E и P 2 против E) могут иметь различную конфигурацию: расширяться или сжиматься в обратном времени i = Tf i t (рис. 2) .

Для решения задачи (1)–(3) авторами разработан алгоритм построения максимальных стабильных мостов (множеств уровня функции цены игры) с невыпуклыми временными сечениями. С его помощью были исследованы все варианты задачи .

Оптимальные управления игроков строятся по принципу обратной связи на основе линий переключения, зависящих от t и получаемых при обработке семейства множеств уровня функции цены, построенных для набора значений платы. Задача построения линий переключения осложнена, главным образом, невыпуклостью t-сечений множеств уровня функции цены. Кроме того, их границы имеют значительные прямолинейные участки, на которых выбрать точку 22 Тезисы 42-й молодежной школы-конференции Рис. 2: возможные конфигурации мостов в индивидуальных играх переключения можно произвольным образом. Предложена версия алгоритма для получения разумных конфигураций линий переключения .

Литература [1] Le Mnec S. Linear Dierential Game with Two Pursuers and One e Evader / Abstracts of 13th International Symposium on Dynamic Games and Applications. Wroclaw, Poland, 2008. Pp. 149–151 .

[2] Красовский Н.Н., Субботин А.И. Позиционные дифференциальные игры. — М.: Наука, 1974 .

[3] Ганебный С.А., Кумков С.С. Численное исследование дифференциальной игры с двумя догоняющими и одним убегающим / «Проблемы теоретической и прикладной математики», Тезисы 41-й Всероссийской молодёжной конференции. С. 332–338. — Екатеринбург: Институт математики и механики, 2010 .

[4] Shima T., Shinar J. Time varying linear pursuit-evasion game models with bounded controls // Journal of Guidance, Control and Dynamics. 2002. Vol. 25, № 3. Pp. 425–432 .

Оптимальное управление и дифференциальные игры 23

–  –  –

Здесь x(t) – состояние системы в текущий момент времени t, u(t) и v(t) – текущие воздействия управления и помехи. Начальный и терминальный моменты времени t0 и, моменты оценки качества движения ti [t0, ], ti+1 ti, i = 0,..., N 1, tN =, pi nматрицы Di и цели ci Rn заданы. Матрицы-функции A(t), B(t), B (t) и C(t) кусочно непрерывны, P и Q компактны .

Цель оптимизации – доставить показателю (4) как можно меньшее значение. Так как помехи непредсказуемы, то их действие может быть самым неблагоприятным .

Слагаемое B (t)u(t ) в правой части (1) описывает запаздывание по управлению. Как известно (см., например, [3]), эффект запаздывания в управляющих силах наделяет систему рядом существенных особенностей. Показатель качества (4) содержит промежуточные моменты времени оценки движения. Эффективные конструкции решения задач оптимизации с такими показателями в системах без запаздывания даны, например, в [2, 4]. В докладе, на примере задачи (1)–(4), обсуждается развитие этих конструкций для систем с запаздыванием по управлению .

24 Тезисы 42-й молодежной школы-конференции

–  –  –

Литература [1] Красовский Н.Н. Управление динамической системой. — М.: Наука, 1985 .

[2] Krasovskii A.N., Krasovskii N.N. Control under Lack of Information .

— Berlin etc.: Birkhuser, 1995 .

a [3] Осипов Ю.С., Пименов В.Г. К теории дифференциальных игр в системах с последействием // ПММ. 1978. Т. 42, Вып. 6. С .

963–977 .

[4] Красовский Н.Н., Лукоянов Н.Ю. Задача конфликтного управления с наследственной информацией // ПММ. 1996. Т. 60, Вып .

6. С. 885–900 .

26 Тезисы 42-й молодежной школы-конференции

–  –  –

где число работ a(i) на полном пути li равно r(li ) 1, i {1,.., M }, M – общее число полных путей проекта P, r {1,.., r(li )}, jr {1,.., K}, индекс jr обозначает принадлежность к матрице непосредственного предшествования работ [1] .

Возникающий в этом случае граф имеет переменную разметку (вес, пропускная способность) дуг, не позволяя эффективно провести оптимизацию известными методами перебора критических и подкритических путей различного ранга. Зависимость времени выполнения работ проекта (далее РП) от распределяемого ресурса (далее РР) часто является нелинейной и задается таблично. Если зависимость времени выполнения отдельных РП от РР является непрерывной и задается в явном виде, производится дискретизация РР. РП соответствуют функции освоения, разбиение ресурса производится с постоянным шагом дискретизации, каждой порции РР соответствуют эффекты от распределения – значения функций освоения .



Сократим списки предшествования ПР до списков непосредственного предшествования [1]. При построении графа проекта возникает потребность в добавлении фиктивных работ (далее ФР) [2] .

Оптимальное управление и дифференциальные игры 27 Разработан универсальный алгоритм добавления необходимого числа ФР ai P, i / K + 1 при построении графа сетевого проекта на основе списка технологического предшествования (последования) ПР. Алгоритм, в отличие от существующих [2] в настоящее время, рассчитан на случай нелинейной зависимости времени выполнения РП от вкладываемого в работы дополнительного ресурса .

В процессе оптимального РР в ряде случаев на некоторых итерациях возможны альтернативные решения. Вследствие этого на следующих шагах распределения возникает альтернативность критических и подкритических путей графа проекта, что ведет к увеличению количества операций .

Общее число M полных путей проекта P определяется произведением вариантов их прохождения через все блоки непрерывной цепочки {A[iv jv ]}r1, 1 v r, 1 iv, 1 jv блочной-цепочечной v=2 матрицы непосредственного предшествования ПР, полученной из начальной путем правильного упорядочивания и добавления ФР [1]:

r1 r M= iv = jv .

v=1 v=2 Эта величина может служить оценкой сложности проекта. До настоящего времени наиболее распространённым методом оценки являлось число РП, которое, очевидно, не учитывает сложность технологических взаимосвязей ПР. При этом число ФР, добавленных для построения графа проекта, в разных программных продуктах различно и поэтому не может служить допустимой поправкой к числу исходных (проектных) работ .

Литература [1] Докучаев А.В., Котенко А.П. Оптимизация привлечения дополнительных ресурсов в сетевом планировании // Вест. Сам. гос .

техн. ун-та. Сер. ф.-м. н. — 2010. № 1(20). C. 234–238 .

[2] Дыхнов А.Е., Постовалова И.П. Формирование сетевой модели с минимумом фиктивных операций / в сб. «Вычислительные технологии». http://www.ict.nsc.ru/ws/ct-2000. — ИВТ СО РАН: Новосибирск, 2000 .

28 Тезисы 42-й молодежной школы-конференции

ЧИСЛЕННЫЙ АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ИГРЫ

СБЛИЖЕНИЯ-УКЛОНЕНИЯ «К МОМЕНТУ»

Ермаков Н.В., Лобов С.А., Самойлов А.Л., Токманцев Т.Б .

e-mail: master146@rambler.ru, fascioroma@gmail.com, samojloval@k66.ru, tokmancev@mail.ru

–  –  –

где (x) — функция, удовлетворяющая локальному условию Липшица. Игрок, распоряжающийся управлением u, стремится минимизировать функционал, второй игрок, распоряжающийся управлением v, стремится его максимизировать. Будем считать дифференциальную игру (1)–(2) решенной, если построена ее функция цены V (t, x) : [0, T ] Rn R .

Для численного решения задачи воспользуемся аппроксимационной схемой, предложенной в работе [4]. Основной элемент аппроксимационной схемы — разностный оператор G(t,, )(x), действующий на шаге длины 0 разбиения отрезка времени игры. Пусть = {t0 = 0, t1,..., tN = T } — разбиение отрезка [0, T ], Q Rn — регулярная сетка в фазовом пространстве с шагом x. Для решения задачи (1)–(2) последовательно применяем разностный оператор G(t,, )(x) к узлам сетки Q. Обозначим символом V (ti, x) аппроксимацию функции цены на сетке Q, i = 0,..., N. В момент t = tN = T определим функцию V (T, x) = (x). Следуя в обратном Оптимальное управление и дифференциальные игры 29

–  –  –

Ключевой процедурой алгоритма является построение выпуклой оболочки сеточной функции. Эта процедура выполняется для окрестности каждой точки сетки в каждый момент разбиения. Поэтому к этой процедуре предъявляются высокие требования по скорости выполнения и устойчивости. Задача сводится к построению 30 Тезисы 42-й молодежной школы-конференции выпуклой оболочки множества точек в трехмерном пространстве .

Ранее в работе [5] был применен алгоритм «Заворачивания подарка»

[6], на практике показавший большую чувствительность к ошибкам вычислений. В данной работе выпуклая оболочка функции строится с использованием процедуры, представляющей модификацию алгоритма «быстрая оболочка» («QuickHull»). Модификация использует информацию о том, что проекции точек, для которых строится выпуклая оболочка, лежат на регулярной сетке. Для решения проблем, связанных с ошибками вычислений, применен механизм точных вычислений, когда действительные числа представляются в виде дробей. В дальнейшем планируется решение модельных примеров и сравнение с результатами, полученными другими методами .

Литература [1] Красовский Н.Н., Субботин А.И. Позиционные дифференциальные игры. — М.: Наука, 1974 .

[2] Субботин А.И. Минимаксные неравенства и уравнения Гамильтона-Якоби. — М.: Наука, 1991 .

[3] Ушаков В.Н. К теории минимаксных дифференциальных игр .

— Часть 1. Свердловск: 1980, 187 с. Деп. в ВИНИТИ 16.10.80 .

№ 4425-80 .

[4] Тарасьев А.М., Успенский А.А., Ушаков В.Н. Конечноразностный метод построения функции оптимального гарантированного результата. — Сборник трудов «Гагаринские научные чтения по космонавтике и авиации. 1991.», М.: Наука, 1992. С .

166–172 .

[5] Токманцев Т.Б., Успенский А.А. Сеточный алгоритм построения функции цены дифференциальной игры сближенияуклонения к моменту / в сб. «Проблемы теоретической и прикладной математики», Труды 36-й Региональной молодежной конференции. C. 289–292. — Екатеринбург: УрО РАН, 2005 .

[6] Препарата Ф., Шеймос М. Вычислительная геометрия: введение. М.: Мир, 1989 .

Оптимальное управление и дифференциальные игры 31

О РЕШЕНИИ ЗАДАЧ ОПТИМИЗАЦИИ,

ВОЗНИКАЮЩИХ В ТРАНСПОРТНОЙ ЛОГИСТИКЕ

Казаков А.Л., Лемперт А.А., Бухаров Д.С .

e-mail: kazakov@icc.ru, lempert@icc.ru, introbill@gmail.com

–  –  –

3. Пусть минимальное время достижения из любой точки M (x, y) точки Mk (xk, yk ) по маршруту k (M ) также находится из выражения (2) .

32 Тезисы 42-й молодежной школы-конференции

–  –  –

Метод решения Задачи решаются с помощью метода, основанного на аналогии между нахождением глобального экстремума интегрального функционала и распространением света в оптически неоднородной среде .

Согласно оптико-механической аналогии, впервые обнаруженной И. Бернулли [2], выражение (1) определяет время, за которое свет, выпущенный их точки A, достигает точки B, двигаясь в оптически неоднородной среде с местной скоростью света c(x, y) [3]. В соответствии с принципом Гюйгенса, любую точку области D, которой свет уже достиг, можно рассматривать в качестве самостоятельного источника света [3]. Таким образом, выпустив световую волну из точки A, можно построить траекторию ее движения и найти момент времени, когда световая волна достигнет точки B. Далее, двигаясь в обратном направлении по времени, можно восстановить траекторию движения, которая и будет искомой кривой. При этом нетрудно видеть, что, если задача разрешима, то хотя бы одно решение будет найдено. Ранее подобный подход («волновой» метод) применялся Вл .

Вит. Башуровым для решения задач безопасности [4] .

Для построения решения задачи (2)–(3) используется следующая модификация волнового метода: из всех точек M1,..., Mn в начальный момент времени выпускаются световые волны. При t 0 множество точек, которых уже достигла волна с номером k, обозначается Dk (t). С течением времени области Dk (t) увеличиваются, т.е .

Dk (t1 ) Dk (t2 ), если t2 t1 0. Если в некоторый момент t появится точка M, которая будет принадлежать всем Dk (t ) одновременно, то эта точка и будет являться решением задачи (3). В противном случае задача является неразрешимой (имеются точки Mi и Mj, путь между которыми отсутствует). Если M найдена, используя подход, предложенный в разделе 2, можно построить оптимальные маршруты доставки грузов из M в Mk, k = 1,..., n .

Оптимальное управление и дифференциальные игры 33 Для построения решения задачи (2)–(4) используется следующая модификация волнового метода: из всех точек M1,..., Mn, как и в предыдущем случае, в начальный момент времени выпускаются световые волны, и для всех точек M D фиксируется k (M ) – номер волны, пришедшей в точку M первой. Значение k (M ) и определяет зону, к которой относится точка A. Если k (A) определяется неоднозначно (т.е. две или более волны достигают этой точки одновременно), то точка A лежит на границе зон .

Вычислительный эксперимент На основе вышеизложенного метода и его модификаций разработаны численные алгоритмы, которые реализованы в виде программного комплекса. Проведены тестовые расчеты на серии модельных примеров с известными аналитическими решениями. В частности, решены задача о брахистохроне, задача о распространении волны в однородной среде, задача о переходе волны через границу двух сред .

Кроме того, исследовались задачи, где в некоторых местах области D присутствуют непроходимые барьеры .

Также предлагаемая методика применялась для решения ряда практических задач по определению координат логистического центра и сегментации логистических зон в Иркутской области .

Литература [1] Эльсгольц Л. Э. Вариационное исчисление.— М.: Издательство ЛКИ, 2008 .

[2] Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики: пер .

с англ.— М.: Мир, 1965 .

[3] Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Фейнмановские лекции по физике.— Т. 3: Излучение. Волны. Кванты. М.: Эдиториал УРСС, 2004 .

[4] Башуров В.В., Филимоненкова Т.И. Математические модели безопасности.— Новосибирск: Наука, 2009 .

34 Тезисы 42-й молодежной школы-конференции

–  –  –

При программной реализации этой процедуры возникают две взаимосвязанные проблемы. Первая обусловлена трудоемкостью пересчета (1) при переходе через оценочные точки ti. Вторая – известными сложностями построения вогнутых оболочек (2). В докладе обсуждаются эффективные способы решения первой из них. При этом рассматривается случай, когда v 0. Тогда функции j оказываются вогнутыми и второй проблемы не возникает .

В качестве языка программирования был выбран C++. Используются библиотеки Boost: ublas, unordered, shared_ptr, thread, mpi, serialization, iostreams и другие [3] .

Используется так называемый «пиксельный» метод, когда все множества хранятся как наборы векторов с координатами, округленными до узлов сетки заданной точности. Промежуток времени управления известен заранее, поэтому функции времени хранятся в виде массивов. Так как размеры множеств Gj априори не известны, а их оценки грубы, то функции векторов m хранятся в виде хешмассивов boost::unordered .

36 Тезисы 42-й молодежной школы-конференции Способ пересчета (1) подразумевает перебор всех возможных троек {m,, l}. Для ускорения данного перебора были применены различные программные и аппаратные оптимизации .

По умолчанию тип данных ublas::vector использует свободную память [4] для хранения значений координат векторов m, что приводит к дополнительным обращениям к операторам new и delete при создании новых векторов. Использование bounded_array в качестве хранилища массива координат позволяет избежать этих затрат .

Заметно ускорить программу позволила замена стандартной функции хеширования boost::functional::hash_value собственной реализацией .

Перебор (1) распараллеливается. Программная реализация поддерживает как многопоточную работу с разделяемой памятью, так и распараллеливание при помощи mpi. На вычислительном кластере ИММ УрО РАН было проверено, что при запуске программы на N вычислительных ядрах скорость работы в N раз больше, чем при запуске на одном ядре .

Направлениями дальнейшего развития являются оптимизации с использованием специальных аллокаторов памяти и целочисленной арифметики, добавление процедур овыпукления для решения задачи в общем случае, разработка визуализатора промежуточных этапов работы алгоритма и получаемых результатов .

Литература [1] Krasovskii A.N., Krasovskii N.N. Control under Lack of Information. – Berlin etc.: Birkhuser, 1995 .

a [2] Лукоянов Н.Ю. Одна дифференциальная игра с нетерминальной платой // Известия Академии наук. Теория и системы управления, 1997, № 1, с. 85–90 .

[3] Boost library documentation. http://www.boost.org/doc/libs/ .

[4] Бьерн Страуструп. Язык программирования C++. – М: Бином, 2005 .

Оптимальное управление и дифференциальные игры 37

–  –  –

где r 0, K 0, [a] — целая часть числа a. Уравнение (1) при u = 0 описывает популяционную модель Хатчинсона с кусочнопостоянными аргументами. Вопросы качественного поведения решений этого уравнения были изучены в работе [1]. В настоящей работе изучается задача стабилизации положения равновесия x = K с мультипликативным управлением u, регулирующим скорость роста популяции. Требуется найти оптимальное стабилизирующее управление u0 в классе импульсных управлений

–  –  –

Литература [1] Gopalsamy K. Stability and Oscillations in Delay Dierential Equations of Population Dynamics. Dortrecht: Kluwer Academic Publishers, 1992 .

[2] Афанасьев В.Н., Колмановский В.Б., Носов В.Р. Математическая теория конструирования систем управления. М.: Высшая школа, 1998 .

40 Тезисы 42-й молодежной школы-конференции

–  –  –

= (1, 2 ), — граница замкнутого множества M R2, Du(x) = ( ) u, u — градиент функции u = u(x) .

x y Минимаксное решение [1] задачи Дирихле (1), (2) совпадает с функцией оптимального результата соответствующей задачи динамического быстродействия с круговой индикатрисой скоростей. Исследуется достаточно общий случай краевого (целевого) множества M. Предполагается, что M является, вообще говоря, невыпуклым множеством с негладкой границей. Предлагается метод решения задачи, основанный на выделении биссектрисы краевого множества .

Биссектриса относится к множествам симметрии [2]. Топологические особенности множеств симметрии изучались в [3, 4]. С точки зрения теории дифференциальных игр [5, 6] множества симметрии относятся в плоском случае к рассеивающим кривым .

Численно-аналитические подходы к конструированию множеств симметрии при изучении особенностей геометрии по существу невыпуклых множеств, при построении функции оптимального результата в задачах управления, а также при формировании эйконала в геометрической оптики, развивались в работах [7–9] .

Приводятся результаты моделирования решений задач Дирихле, эволюции множеств управляемости, а также распространения волновых фронтов в среде с постоянным коэффициентом преломления .

1 Работа выполнена при финансовой поддержке программы Президиума РАН «Математическая теория управления», РФФИ (проект 08-01-00587-а) и программы государственной поддержки ведущих научных школ (НШ-64508.2010.1) .

Оптимальное управление и дифференциальные игры 41

–  –  –

Литература [1] Субботин A.И. Обобщенные решения уравнений в частных производных первого порядка. Москва–Ижевск: Институт компьютерных технологий. 2003 .

42 Тезисы 42-й молодежной школы-конференции [2] Кружков С.Н. Обобщенные решения уравнений Гамильтона– Якоби типа эйконала // I. Математический сборник. 1974. Т. 98 .

№ 3. C. 450–493 .

[3] Успенский А.А., Лебедев П.Д. Численно-аналитические методы построения волновых фронтов в задачах управления и геометрической оптике // Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. 2007. Т. 12. № 4. C. 538–539 .

[4] Ушаков В.Н., Успенский А.А., Лебедев П.Д. Построение минимаксного решения уравнения типа эйконала // Труды Института математики и механики, 2008. Т. 14, № 2. С. 182–191 .

[5] Арнольд В.И. Особенности каустик и волновых фронтов. М.: ФАЗИС, 1996 .

[6] Брус Дж., Джиблин П. Кривые и особенности. М.: Мир, 1988 .

[7] Айзекс Р. Дифференциальные игры. М.: Мир, 1967 .

[8] Красовский Н.Н., Субботин А.И. Позиционные дифференциальные игры. М.: Наука, 1974 .

[9] Григорьева С.В., Пахотинских В.Ю., Успенский А.А., Ушаков В.Н. Конструирование решений в некоторых дифференциальных играх с фазовыми ограничениями // Математический сборник. 2005. Т. 196, № 4. C. 51–78 .

Оптимальное управление и дифференциальные игры 43

–  –  –

Доклад посвящен изучению игровой задачи о сближении конфликтно управляемой системы с целью в фиксированный момент времени и исследованию свойства стабильности в этой игре. Свойство стабильности было введено в работах [1–4]; в них было дано определение стабильного моста — особого множества в пространстве позиций игровой задачи, обладающего свойством слабой инвариантности относительно некоторого набора дифференциальных включений, тесно связанных с динамикой конфликтно управляемой системы .

В настоящем докладе используется идеология унификации, предложенная в [6, 7], а также конструкции из [8, 9]. Развивается подход, направленный на расширение концепции стабильности [1–7]. Он связан с рассмотрением в пространстве позиций множеств, ведущих к целевому множеству, но не обладающих, вообще говоря, свойством стабильности. При таком подходе оказалось удобным использование унификационных определений стабильности в инфинитезимальной форме [11] .

Суть расширения концепции стабильности состоит в том, что замкнутому множеству в пространстве позиций игровой задачи о сближении сопоставляется некоторая неотрицательная функция, заданная на промежутке времени, на котором рассматривается игра. Эта функция оценивает степень несогласованности множества и динамики конфликтно управляемой системы с точки зрения понятия стабильности. Окончательная оценка степени несогласованности выражена некоторым интегралом от этой функции, который мы и называем дефектом стабильности множества [12, 13] .

В работе сделан акцент на вычислении дефекта стабильности в конкретных примерах. При этом нам представляется удобным такой подход к решению игровых задач о сближении, в котором стабильРабота выполнена при финансовой поддержке программы Президиума РАН «Математическая теория управления», РФФИ (проект 08-01-00587-а) и программы государственной поддержки ведущих научных школ (НШ-64508.2010.1) .

44 Тезисы 42-й молодежной школы-конференции ные мосты (максимальные стабильные мосты) со сложной геометрией подменяются (не очень сильно уклоняющимися от них в хаусдорфовой метрике) множествами с гладкой границей в пространстве позиций игровой задачи, временными сечениями которых являются эллипсы. Удобство подхода заключается в относительной простоте описания таких множеств с гладкой границей, а также в том, что в процессе реализации принципа экстремального прицеливания мы строим в каждый момент времени разрешающее позиционное управление первого игрока, исходя из прицеливания на эллипсы — множества с хорошей геометрией. Здесь мы следуем тому важному и полезному направлению в теории управления, которое развивается начиная с 80-х годов ХХ столетия А. Б. Куржанским и его сотрудниками [14–16], Ф. Л. Черноусько и его сотрудниками [17] .

Литература [1] Красовский Н.Н. Игровые задачи динамики. I // Изв. АН СССР .

Техн. кибернетика. 1969. № 5. С. 3–12 .

[2] Красовский Н.Н., Субботин А.И. Смешанное управление в дифференциальной игре // Докл. АН СССР. 1969. Т. 188, № 4 .

С. 745–747 .

[3] Красовский Н.Н. Игровые задачи о встрече движений. М.: Наука, 1970 .

[4] Красовский Н.Н., Субботин А.И. О структуре дифференциальных игр // Докл. АН СССР. 1970. Т. 190, № 3. С. 523–526 .

[5] Красовский Н.Н., Субботин А.И. Позиционные дифференциальные игры. М.: Наука, 1974 .

[6] Красовский Н.Н. К задаче унификации дифференциальных игр // Докл. АН СССР. 1976. Т. 226, № 6. С. 1260–1263 .

[7] Красовский Н.Н. Унификация дифференциальных игр // Труды ИММ. Свердловск: УНЦ АН СССР. 1977. Вып. 24: Игровые задачи управления. С. 32–45 .

Оптимальное управление и дифференциальные игры 45 [8] Тарасьев А. М., Ушаков В. Н. О построении стабильных мостов в минимаксной игре сближения-уклонения. Деп. в ВИНИТИ, № 2454-83. Свердловск, 1983 .

[9] Тарасьев А. М., Ушаков В. Н., Хрипунов А. П. Об одном вычислительном алгоритме решения игровых задач управления // Прикл. математика и механика. 1987. Т. 51, вып. 2. С. 216–222 .

[10] Ushakov V. N., Taras’ev A. M., Tokmantsev T. B., Uspenskii A. A .

On procedures for constructing solutions in dierential games on a nite interval of time // Journal of Mathematical Sciences, Vol .

139, №5, 2006. Pp. 6954–6975 .

[11] Guseinov H.G., Subbotin A.I., Ushakov V.N. Derivatives for Multivalued Mappings with Applications to Game–Theoretical Problems of Control // Problems Control Inform. Theory. 1985 .

Vol. 14, №. 6. Pp. 405–419 .

[12] Ушаков В. Н., Латушкин Я. А. Дефект стабильности множеств в игровых задачах управления // Труды ИММ УрО РАН. Екатеринбург: УрО РАН. 2006. Т. 12, № 2. С. 178–194 .

[13] Ushakov V. N., Brykalov S. A., Latushkin Y. A. Stable and unstanble sets in problems of conict control // Functional Dierential Equations, Vol. 15, №3–4, 2008. Pp. 309–338 .

[14] Куржанский А. Б. Принцип сравнения для уравнений типа Гамильтона–Якоби в теории управления // Труды ИММ УрО РАН. 2006. Т. 12, № 1. С. 173–183 .

[15] Гусев М. И. Оценки множеств достижимости многомерных управляемых систем с нелинейными перекрёстными связями // Труды ИММ УрО РАН. 2009. Т. 15, № 4. С. 82–94 .

[16] Филиппова Т. Ф. Дифференциальные уравнения эллипсоидальных оценок множеств достижимости нелинейной динамической управляемой системы // Труды ИММ УрО РАН. 2010. Т. 16, № 1. С. 223–232 .

[17] Черноусько Ф. Л. Оценивание фазового состояния динамических систем. М.: Наука. 1988 .

46 Тезисы 42-й молодежной школы-конференции

–  –  –

Настоящее исследование посвящено построению приближенного метода решения (в модельной постановке) задачи о демонтаже оборудования энергоблока АЭС, выведенного из эксплуатации. Предполагается, что «невыключенные» элементы системы оказывают вредное воздействие на работника. Дозы облучения, полученные в процессе элементарных перемещений, суммируются. Совокупная доза зависит от маршрута, который требуется выбрать в интересах ее минимизации. Данная маршрутная задача имеет своим прототипом известную задачу коммивояжера (одну из классических труднорешаемых задач) .

Точное решение сводится к применению метода динамического программирования (МДП). Однако применение МДП связано с большими трудностями вычислительного характера. Особые затруднения представляют рассчитывание и хранение большого массива значений функции Беллмана. В этой связи большой интерес представляют приближенные алгоритмы, в частности, в основу их построения можно положить аналог уравнения Беллмана, в котором, однако, значение самой функции Беллмана заменено некоторой огрубленной характеристикой .

Идея построения алгоритма. Будем исходить из предположения, что j выбирается из условия:

–  –  –

Рис. 1: результаты расчета для 10 различных наборов городов воздействие со стороны активных элементов (множество K) при перемещении от i-го элемента системы к j; ci,j [{s}] вычисляется исходя из интенсивности излучения активного элемента s и относительных расстояний между элементами s, i и j .

В свою очередь, играет роль параметра управления и выбирается из отрезка [0, 1]. Заметим, в частности, если находится на концах отрезка ( = 0 и = 1), то решение задачи сводится к приближенным алгоритмам, предложенным в работах [1, 2]. Нам следует выбирать [0, 1] таким образом, чтобы величина совокупных затрат (по смыслу – оценка суммарной дозы радиации) была минимальна .

Аналитическая часть На основании вычислительного эксперимента, а именно, результатов, представленных на рис. 1, можно отметить, что в большинстве случаев с уменьшением шага по не происходит минимизации величины совокупных затрат, а лишь увеличивается область, где этот результат остается минимальным. Это объясняется степенью дискретизации. Рассмотрим данное наблюдение на наборе городов № 2 (см. рис. 1 и рис. 2). Сначала выбираем шаг по, равный 0.1: диапазон минимальных значений [0.9, 1], величина совокупных затрат 4771.513. Уменьшим шаг по до 0.01: диапазон минимальных значений расширился до [0.88, 1], то есть наш прежний результат остался 48 Тезисы 42-й молодежной школы-конференции

Рис. 2: путь посещения 50 городов при выборе [0, 1] с шагом 0.1,0.01 и 0.001

минимальным и при = 0.88, и при = 0.89. Еще уменьшим шаг по до 0.001: наш минимальный результат попадает в диапазон значений [0.877, 1]. Обратим внимание на результат, полученный при решении задачи с набором городов № 3 (см. рис. 1): с уменьшением шага по наблюдается улучшение величины совокупных затрат, результат становится более точным .

Литература [1] Морина М.С., Ченцов А.Г. Об одном алгоритме решения задачи маршрутизации процесса выведения элементов системы из рабочего режима // Алгоритмы и программные средства параллельных вычислений. 2010, вып. 10. C. 25–35 .

[2] Коротаева Л.Н., Сбоев С.А., Хасанова И.С., Ченцов А.Г. Об одном алгоритме маршрутизации задачи обхода конечной системы множеств // Алгоритмы и программные средства параллельных вычислений. 1999, вып. 3. C. 95–106 .

Оптимальное управление и дифференциальные игры 49

–  –  –

(·) — бесконечно дифференцируемая на Rn, строго выпуклая функция; · — евклидова норма в соответствующем конечномерном пространстве .

Наряду с (1) рассмотрим также вырожденную задачу

–  –  –

Исследована асимптотика оптимального значения функционала качества (T, x0, y 0 ) в задаче (1) при +0 и фиксированных T, x0, y 0 в сингулярном случае .

Теорема. Пусть выполнено (2), а также следующие условия:

(x) бесконечно дифференцируема на Rn и матрица D2 (r0 ) положительно определенная;

1 Работа поддержана грантами РФФИ № 05-01-01008, 06-01-00148 .

50 Тезисы 42-й молодежной школы-конференции

–  –  –

где 0 (T, x0 ) — решение задачи (3), а k,n (T, x0, y 0 ) — известные функции .

Литература [1] Понтрягин Л.С. [и др.] Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1983 .

[2] Красовский Н.Н. Теория управления движением. М.: Наука, 1968 .

[3] Тихонов А.Н. // Мат. сб. 1952. Т. 31(73), № 3. С. 575–586 .

[4] Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений. М.: Наука, 1973 .

Оптимальное управление и дифференциальные игры 51

–  –  –

Доклад посвящен получению и анализу достаточных условий глобальной оптимальности, базирующихся на применении семейств решений неравенств Гамильтона-Якоби, обладающих свойством монотонности вдоль всех траекторий управляемой системы; такие решения мы называем сильно монотонными функциями типа Ляпунова (кратко L-функциями) [1–3]. Новизна представляемых результатов состоит в использовании класса L-функций, параметрически зависящих от начальной (или конечной) позиции системы .

Рассматривается задача (P ) оптимального управления с общими (не раздельными) концевыми ограничениями на траекторию:

u(t) U, x = f (t, x, u), (1) q := (t0, x(t0 ); t1, x(t1 )) Q, (2) J() = l(q) min, где функции f, l непрерывны и непрерывно дифференцируемы по t, x, q, множество Q замкнуто, U произвольно, = (x(t), u(t) | t ) — пара функций, определенных на отрезке времени = [t0, t1 ] (зависящем от ), причем траектория x(·) абсолютно непрерывна, а управление u(·) измеримо и ограничено на, dim x = n, dim u = m .

Множество пар, удовлетворяющих управляемой системе (1), обозначим через f и назовем множеством процессов этой системы, а множество траекторий x(·), соответствующих процессам f, обозначим через T. Множество f, состоящее из процессов, удовлетворяющих концевому ограничению (2), назовем множеством допустимых процессов. Будем предполагать, что = .

Определение 1. Пару точек (t0, x0 ), (t1, x1 ) назовем соединимыми (траекториями системы (1)), если найдется траектория x(·) T, для которой x(t0 ) = x0 и x(t1 ) = x1. Множество всех соединимых точек системы (1) обозначим через R .

1 Работа поддержана СО РАН (интеграционный проект СО-УрО РАН № 85) .

52 Тезисы 42-й молодежной школы-конференции Определение 2. Обозначим через V+ множество всех функций V (t, x; t0, x0 ) : R2n+2 R, гладких по (t, x) и таких, что

–  –  –

где Vt и Vx — частные производные функции V по t и x. Отметим, что неравенство (6) обеспечивает выполнение условия (4) даже для локально липшицевой по (t, x) функции V ; в этом случае соотношение (6) должно выполняться в точках дифференцируемости функции (t, x) V (t, x; t0, x0 ) .

Оптимальное управление и дифференциальные игры 53

–  –  –

Литература [1] Дыхта В.А. Неравенство Ляпунова-Кротова и достаточные условия в оптимальном управлении // Итоги науки и техники. Совр .

математика и ее приложения. 2006. Т. 110. С. 76–108 .

[2] Дыхта В.А. Анализ достаточных условий оптимальности с множеством функций типа Ляпунова // Труды ИММ УрО РАН .

2010. Т. 16, № 5. С. 66–75 .

[3] Сорокин С.П. Монотонные решения неравенств ГамильтонаЯкоби в оптимальном управлении // Вестник Тамбовского ун-та .

Серия Естеств. и техн. науки. 2009. Т. 14. Вып. 4. С. 800–802 .

[4] Субботин А.И. Обобщенные решения уравнений в частных производных первого порядка. Перспективы динамической оптимизации. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003 .

[5] Clarke F.H., Ledyaev Yu.S., Stern R.J., Wolenski P.R. Nonsmooth Analysis and Control Theory. Grad. Texts in Math. Vol. 178. New York: Springer-Verlag, 1998 .

54 Тезисы 42-й молодежной школы-конференции

–  –  –

Рассматриваются две задачи оптимального управления инвестициями S, построенные на основе моделей экономического роста, анализирующих изменение внутреннего валового продукта (ВВП) Y страны в зависимости от двух факторов: основного капитала K и труда L. Данная взаимосвязь описывается производственной функцией Кобба-Дугласа F, а именно Y = F [K, L] = K L1, где 0, 0 1. Суть задач состоит в максимизации функции полезности J, определяемой как интеграл от логарифмического индекса потребления одного рабочего c(t) = (1 s(t))y(t), дисконтированного на бесконечном промеt + (ln (1 s(t)) + ln f (k(t))) dt вдоль тражутке времени: J = e t0 екторий динамической системы k(t) = s(t)f (k(t)) k(t), k(t0 ) = k0, которая определяет изменение основного капитала страны в соответствии с моделью Солоу. Относительно труда L предполагается, что он изменяется экспоненциально с положительной относительной скоростью n. В качестве управляющего параметра задачи рассматривается доля s(0 s a 1) ВВП, инвестируемая в основной капитал страны. Начальный уровень основного капитала и труда заданы величинами K0 и L0, соответственно. Поясним некоторые обозначения: k(t) – основной капитал страны, приходящийся на одного рабочего; k0 = K0 /L0] – начальный уровень относительного капитаK F [K, 1] Y = y = k – уровень ВВП ла; f (k) = F,1 = = L L L 1 Работа поддержана грантами Российского фонда фундаментальных исследований, 08-01-00587a; грантом Российского гуманитарного научного фонда, 08a; грантом поддержки ведущих научных школ, НШ-64508.2010.1; программой Президиума Российской Академии Наук № 29 «Математическая теория управления»; Международным институтом прикладного системного анализа (IIASA) Оптимальное управление и дифференциальные игры 55 страны на одного рабочего, вычисленный в силу свойства положительной однородности первой степени производственной функции, = n + µ – уровень размывания капитала .

Вторая задача возникает вследствие увеличения параметра эластичности модели до единицы: f1 (k) = k = lim f (k). Исследуется влияние изменений параметра эластичности модели на равновесные положения гамильтоновых систем, оптимальные траектории и функции цены .

Решение задач опирается на принцип максимума Понтрягина для задач на бесконечном горизонте [1] .

Утверждение 1. Гамильтонова система в нелинейной модели имеет стационарную точку седлового типа:

( ) 1 k =, z = +(1). В случае с линейной динамикой стационарная точка отсутствует, а именно, k1 = +, когда +, и k1 = 0 в противном случае .

Утверждение 2. Оптимальная траектория нелинейной задачи оптимального управления поточечно сходится к оптимальной траектории линейной задачи (см. [3]), когда параметр стремится к единице слева .

Следует отметить, что для нелинейной задачи в областях с постоянным управлением решение можно построить аналитически, а именно в области нулевого управления D1 (s0 = 0) имеем: k1 (t) = 0 k0 e(tt0 ), z1 (t) = C1 et + /, в области насыщенного управления D3 (s = a) имеем: x(t) = (1 a k0 )e(1)(tt0 ), z3 (t) =

–  –  –

Утверждение 3. Функция цены V [t0 ; k0 ] нелинейной задачи оптимального управления поточечно сходится к функции цены V1 [t0 ; k0 ] линейной задачи, когда параметр стремится к единице слева .

Для линейной задачи функция цены строится аналитически (см .

[3]). На рис. 1 изображена сходимость оптимальных траекторий

–  –  –

Литература [1] Асеев С.М., Кряжимский А.В. Принцип максимума Понтрягина и задачи оптимального экономического роста // Труды МИАН,

2007. Т. 257. C. 5–271 .

[2] Krasovskii A.A., Tarasyev A.M. Conjugation of Hamiltonian Systems in Optimal Control Problems // Preprints of the 17th World Congress of the International Federation of Automatic Control IFAC,

2008. Pp. 7784–7789 .

[3] Усова А.А. Функция цены в задаче управления с линейной динамикой и логарифмическим функционалом качества // Труды 40-й Молодежной школы-конференции, 2009. С. 260–265 .

Оптимальное управление и дифференциальные игры 57

ЧИСЛЕННОЕ ПОСТРОЕНИЕ ТРЕХМЕРНЫХ

МАКСИМАЛЬНЫХ СТАБИЛЬНЫХ МОСТОВ

Ушаков А.В.1 e-mail: std_string@mail.ru В теории антагонистических дифференциальных игр важной является задача о построении совокупности всех начальных позиций, откуда первый игрок гарантирует приведение фазового вектора в фиксированный момент времени на заданное целевое множество, как бы ни действовал второй игрок. Такое множество называется максимальным стабильным мостом [1] .

В работе рассматривается алгоритм построения максимальных стабильных мостов для систем с линейной динамикой, скалярными (ограниченными по модулю) управлениями игроков и выпуклым, замкнутым, ограниченным трехмерным целевым множеством. Последнее обстоятельство позволяет перейти к эквивалентной дифференциальной игре третьего порядка .

Рассматриваемый алгоритм [2] попятного по времени построения t-сечений базируется на процедуре нахождения выпуклой оболочки кусочно-линейной положительно-однородной функции, заданной в трехмерном пространстве на некоторой сетке. Специфика процедуры овыпукления связана с тем, что нам известны все участки исходной функции, где потенциально может отсутствовать локальная выпуклость .

В последнее время основное внимание автором было уделено проблемам, связанным с реализацией разрабатываемого алгоритма на компьютере. Из-за того, что представление действительных чисел имеет конечную точность, в исследуемой задаче возникает проблема неразличимости близких объектов .

Существует два типа близких объектов: близкие вершины и близкие связи (связи, угол между которыми мал). Новые вершины возникают в данном алгоритме только при учете действия первого игрока, поэтому проблема близких вершин решается при помощи «умного» первого игрока, который их не создает. С близкими связями так просто бороться не удается, так как мы не можем произвольно менять связи овыпукляемой (на сетке) кусочно-линейной функции. Одним из вариантов решеРабота поддержана грантом РФФИ № 10-01-96006 .

58 Тезисы 42-й молодежной школы-конференции ния этой проблемы является применение масштабирования: мы масштабируем систему вдоль «проблемного» направления, при этом узлы функции «сгущаются» к плоскости, перпендикулярной этому направлению, что приводит к увеличению углов между узлами и между связями функции в области «проблемного» направления. Обычно «проблемным» направлением является направление наименьшей толщины выстраиваемого множества. Во многих случаях введение масштабирования позволило увеличить количество шагов попятной процедуры при удовлетворительном качестве (например, сохранение симметрии в «симметричных» задачах) .

Приводятся результаты расчета мостов для нескольких примеров .

Литература [1] Красовский Н.Н., Субботин А.И. Позиционные дифференциальные игры. — М.: Наука, 1974 .

[2] Ivanov Alexey, Ushakov Andrey. Maximal stable bridges in linear dierential games of the third order / In: “13th International symposium on dynamic games and applications”. Edited by Arik A.Melikyan, Andrzej S. Nowak, Krzysztof J. Szajowski; Wroclaw, 30th June – 3rd July 2008. P. 118. — Wroclaw: Ocyna Wydawnicza Politechniki Wroclawskiej, 2008 .

Оптимальное управление и дифференциальные игры 59

–  –  –

В частности, элементы (T, P ) — такие функции µ, что µ|[0,n] ([0, n], P ) для всякого n N. Тогда (T, P ) наследует у ([0, n], P ) компактность и соотношение cl U (T, P ), отсюда отображения и J непрерывно продолжаются на (T, P ), то есть у обобщенного аналога (2) в условиях I II найдётся оптимальное решение µ0 (T, P ). Перейдя теперь к управлениям Гамкрелидзе (см. [1]), можно обеспечить Условие III ([1, (A2)]). Для всякого (t, x) T X выпукло множество {(z, f (t, x, u)) Rm+1 | z, g(t, x, u)], u P } .

Тогда будет достигаться верхняя грань J(U), теперь выполнено:

Следствие ([5]). В условиях IIII для задачи (2) всегда существует оптимальное управление u U = B(T, P ) .

Условия трансверсальности. Cоотношения (1), (3), (4) не содержат условия на правом конце. Есть несколько вариантов таких условий (подробнее см. [1, §1.6]), в данной работе исследуется условие lim (t) = 0. (5) t Оптимальное управление и дифференциальные игры 61 Условие IV. Для всякого (x0, u0, 0, 0 ) Z существует предел limt 0 (t); кроме того, этот предел равномерен для решений (1), (3) в целой окрестности точки (x0, u0, 0, 0 ), то есть для некоторой функции 1 для всякого решения (x, u,, ) соотношений (1), (3) для всех s T limt ||(t) (s)|| 1 (s) .

Предложение 2. В условиях Iabc, II IV для всякой оптимальной в (2) траектории x0 найдется такое решение (x0, u0, 0, 0 ) соотношений принципа максимума (1), (3), (4), что выполнено (5) .

При доказательстве вводятся вспомогательные задачи, для оптимальных решений которых выполнено условие трансверсальности n (n ) = 0 и мало ||x xn ||C([0,n ],R). Из полунепрерывной сверху зависимости решений (см. [3]) и компактности следует n (n ) (n ) 0 при n. Затем применяется условие IV .

Одно из самых общих условий на (5) показано в [6, Theorem 6.1] .

Поскольку условие IV следует из условий [6, Theorem 3.1] в силу [6, Lemm 3.1], то и основной результат статьи [6] для задачи управления без фазовых ограничений вкладывается в предложение 2 .

Литература [1] Асеев С.М., Кряжимский А.В. Принцип максимума Понтрягина и задачи оптимального экономического роста // Труды Математического Института им. В.А. Стеклова. 2007. Т. 257. С. 1–271 .

[2] Кларк Ф. Оптимизация и негладкий анализ. – М.: Наука, 1988 .

[3] Толстоногов А.А. Дифференциальные включения в банаховом пространстве. — М.: Наука, 1986 .

[4] Энгелькинг Р. Общая топология. — М.: Мир, 1986 .

[5] Balder E.J. An existence result for optimal economic growth problems // J. of Math. Anal. 1983. Vol. 95. № 1. Pp. 195–213 .

[6] Seierstad A. Necessary conditions for nonsmooth, innite-horizon optimal control problems // JOTA. 1999. Vol. 103. № 1. Pp. 201–230 .

62 Тезисы 42-й молодежной школы-конференции

К ВОПРОСУ О ВЗАИМОДЕЙСТВИИ

МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК В УСЛОВИЯХ ТОЧНОГО И

ПРИБЛИЖЕННОГО СОБЛЮДЕНИЯ ОГРАНИЧЕНИЙ

Шапарь Ю.В .

e-mail: shaparuv@mail.ru Рассматривается один конкретный пример задачи об игровом взаимодействии двух материальных точек с ограничениями, включающими импульсную и моментную составляющие. Моментные ограничения допускают ослабление, что может приводить к скачкообразному изменению качества. В настоящей работе используется подход, последовательно развиваемый в [1, 2] и связанный с построением множеств притяжения. Рассмотрим материальные точки

–  –  –

где cU и cV — фиксированные положительные константы. Наличие здесь общего краевого условия можно интерпретировать как обязательное требование встречи материальных точек (по координате), причем точка встречи задается. Упомянутая точка встречи назначается директивно, что позволяет игрокам раздельно решать вопрос о допустимости соответствующих программных управлений. При упомянутых ограничениях рассматривается задача вида ( 1 ) v(t) dt sup inf .

(u, v) = f0 u(t) dt, Функция f0 определена и непрерывна на R R. Считаем далее, что допустимые управления есть кусочно-постоянные, непрерывные Оптимальное управление и дифференциальные игры 63

–  –  –

Литература [1] Chentsov A. G. Asymptotic attainability. — Dordrecht-BostonLondon: Kluwer Academic Publishers, 1997 .

[2] Chentsov A. G. Finitely additive measures and relaxations of extremal problems. — New York, London and Moscow: Plenum Publishing Corporation, 1996 .

[3] Кожан М. М., Ченцов А. Г. К вопросу о корректности некоторых задач управления материальной точкой. / Проблемы управления и информатики. — № 1. C. 5–15. 2007 .

[4] Ченцов А. Г., Шапарь Ю.В. Конечно-аддитивные меры и расширения игровых задач с ограничениями асимптотического характера. / Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. № 3. — С. 89–111. 2010 .

Дифференциальные и интегральные уравнения 65

–  –  –

Теорема единственности решения поставленной задачи доказывается с помощью метода интегралов энергии [2]. Для доказательства существования решения задачи приводится вспомогательная задача, т.е. требуется найти функцию u(x, y), обладающую свойствами 1–4 задачи РТ и удовлетворяющую граничным условиям u| = (x), u|AC = 0, где (x) – пока неизвестная функция. Затем полученное решение вспомогательной задачи удовлетворим условиям задачи РТ. Для этого необходимо подобрать (x) так, чтобы выполнялось условие (2). При этом получается сингулярное интегральное уравнение относительно (x). Регуляризуя его известным способом, получаем интегральное уравнение Фредгольма второго рода, безусловная разрешимость которого следует из единственности решения задачи РТ .

Литература [1] Салахитдинов М. С., Аманов Д. Задача Пуанкаре–Трикоми для уравнения смешанного типа с разрывными коэффициентами // Сб. «Фан», 1987. С. 3–38 .

–  –  –

где G(t, ) – функция Грина задачи (1) .

Это соотношение, являющееся обращением дифференциального оператора (1), позволяет по измеренному экспериментально решению найти правую часть уравнения (1). Эффективные и устойчивые методы решения подобных задач хорошо известны (например, [1]) .

68 Тезисы 42-й молодежной школы-конференции

–  –  –

На основании описанной теории, анализа существующих методов и современных тенденций развития компьютерной техники, в связи с широким внедрением многопроцессорных компьютеров и появлением высокопроизводительных многопроцессорных кластеров, был предложен следующий алгоритм решения обратной задачи теории динамических измерений, реализующий ресурс параллелизма данной задачи (подробнее в [2]) .

Входные данные: x(t) – измеренный сигнал, pi (t) – коэффициенты дифференциального уравнения, Uj (x) – граничные условия .

1. Вычисляем функцию Грина вспомогательной задачи (3). Вычисление функции Грина происходит в два этапа .

–  –  –

3. Вычисление искомой функции f (t) .

Искомую функцию f (t) находим из соотношения (2), рассматриваемого как уравнение относительно f (t) при заданной функции x(t). Решение уравнения Фредгольма I-го рода будем искать как решение вариационной задачи минимизации функционала Af x2 + f 2, (6) где A – соответствующий интегральный оператор (2) .

Оценка точности полученного решения производится при помощи вычислительного эксперимента (вычислением невязки для близкой к искомому решению функции f (t) и последующим решением полученной задачи предлагаемым методом) .

Выходные данные: f (t) – искомая функция, – точность полученного решения .

Блок, производящий вычисление функции Грина для линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами, реализован с использованием пакета Mathematica 5.1. Программа, реализующая описанный алгоритм, находится в стадии разработки .

Предложенный алгоритм реализуется на языке Си++ с использованием стандарта MPI-2 (Message Passing Interface) на высокопроизводительном вычислительном кластере «СКИФ Урал» (332 процессора 1328 вычислительных ядер, 12.2 триллиона операций в секунду) суперкомпьютерного центра ЮУрГУ .

Литература [1] Иванов В.К., Васин В.В., Танана В.П. Теория линейных некорректных задач. — М.: Наука, 1978 .

[2] Асфандиярова Ю. С. Численный анализ одной обратной задачи для линейного дифференциального уравнения // Тр. Матем. центра им. Н. И. Лобачевского. Т. 40. С. 32–36. — Казань: Изд-во Казанск. матем. об-ва, 2010 .

[3] Zalyapin V. I., Kharitonova H. V., Ermakov S. V. Inverse problems of the measurements theory // Inverse problems, Design and Optimization Symposium. P. 91–96. — Miami, Florida, U.S.A., 2007 .

70 Тезисы 42-й молодежной школы-конференции

–  –  –

Здесь t, r,, z – независимые переменные, соответственно время и цилиндрические координаты; искомыми функциями являются

– квадрат скорости звука, u, v – радиальная и окружная проекции вектора скорости в плоскости xOy, w – проекция вектора скорости на ось Oz; = const 1 – показатель политропы газа; a = 2 sin, b = 2 cos, – угловая скорость вращения Земли; – широта точки O на поверхности Земли, в которой находится начало координатной плоскости xOy, В системе (1) стандартным образом введены безразмерные переменные. Если в качестве масштабных значений скорости и расстояния взяты соответственно: c = 333 м, r = 103 м,– то безразмерные с значения констант g и такие: g 101, 2 · 104. Поскольку малые параметры g и входят в систему (1) регулярно, то далее строятся частные решения системы (1) в виде разложения в ряд по 1 Исследование поддержано РФФИ, проект № 08-01-00052 Дифференциальные и интегральные уравнения 71 степеням g и :

–  –  –

где U есть вектор искомых функций с компонентами, u, v, w .

Далее строится конечный отрезок представления (3), который приближенно описывают стационарные течения газа, имеющие место в вертикальной части восходящего закрученного потока типа торнадо [2] .

Если в системе (1) положить g = = 0, то получится [2] система для U00, решения которой можно взять в виде 00 = 0 (r); u00 = 0; v00 = v0 (r); w00 = const 0, (3) где вначале исходя из газодинамического смысла задачи выбирается функция v0 (r), а затем из уравнения (r) = ( 1)v0 (r)/r определяется функция 0 (r).

В работе в качестве v0 (r) берутся четыре разных зависимости:

v0 (r) = v00 = const 0; v0 (r) = r, = const 0;

v0 (r) = v00 (1/r r) v0 (r) = v00 /r;

и, следовательно, получаются четыре разных набора, составляющих вектор U00. Заметим, что в [2] рассмотрен частный случай представления (3): без слагаемого с U01 и c v0 (r) = r .

Система уравнений для U10 получается после дифференцирования системы (1) по параметру g и подстановки значений g = = 0, U = U00. Во всех четырех случаях решений (3) получаются линенйые системы уравнений для компонент искомого вектора U10 .

Переменные коэффициенты этой системы зависят от U00 и не имеют особенностей при r 0 и при условии 0 w00. Последнее неравенство обеспечивается дозвуковым характером течения вдоль оси Oz. Во всех четырех рассматриваемых случаях удается, как и в [2], получить одно уравнение второго порядка для искомой функции u10 (r, z). Это позволяет найти такое решение краевой задачи для этой функции, которое обеспечивает условие непротекания на двух заданных контактных поверхностях. Например: u10 |r=r1 = 0, u10 |r=r2 = 0, 0 r1 r2 .

Система уравнений для U01 получается после дифференцирования системы (1) по параметру и подстановки значений g = = 0, 72 Тезисы 42-й молодежной школы-конференции U = U00. Так же, как и выше, во всех четырех случаях решений (3) получаются линейные системы уравнений для компонент искомого вектора U01. Переменные коэффициенты этой системы зависят от U00 и не имеют особенностей при r 0 и при условии 0 v0, что обеспечивается дозвуковым характером вращательного движения газа. В качестве искомой функции w01 можно взять такую: w01 = 2 cos (1 + cos )r,– и тогда оставшиеся искомые V01 = (01, u01, v01 ) строятся в следующем виде

V01 = V01,0 (r) + V01,1 (r) cos + V01,2 (r) sin .

В частности, можно положить: u01,0 (r) = u01,1 = 0. В этом случае для u01,2 (r) также получается одно дифференциальное уравнение второго порядка. Это, в свою очередь, позволяет и для этой функции удовлетворить условиям непротекания на тех же контактных поверхностях: u01,2 |r=r1 = 0, u01,2 |r=r2 = 0 .

Литература [1] Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика. Ч. 1. — М.: Физматгиз, 1963 .

–  –  –

01-96022урал, ФЦП 02.740.11.0202 74 Тезисы 42-й молодежной школы-конференции В зависимости от параметров системы можно наблюдать различное ее поведение. В областях, в которых одна из точек устойчива, а вторая является седлом, существует бассейн притяжения, который ограничивает область устойчивого сосуществования хищников и жертв от области безграничного роста жертв .

Рис. 1: Равновесие и бассейн притяжения при a = 0.33, b = 0.3

–  –  –

где w1 и w2 - стандартные независимые винеровские процессы, а интенсивность возмущения .

Под воздействием случайных шумов вокруг устойчивого равновесия образуется облако случайных точек, геометрию которого, с некоторой доверительной вероятностью, аналитически можно описать с помощью эллипса рассеивания [1]:

–  –  –

где (x, y) - координаты эллипса, - интенсивность возмущения, K = ln(1 P ), где P - доверительная вероятность, 1, 2 - собственные числа матрицы чувствительности W. Матрица чувствительности удовлетворяет уравнению

–  –  –

где F - матрица системы первого приближения в окрестности равновесия, S - матрица возмущений .

При малых значениях интенсивности шума облако случайных состояний концентрируется вблизи устойчивого равновесия. При увеличении разброс состояний увеличивается. Соответственно эллипс рассеивания выходит за границу бассейна притяжения - появляется зона риска .

Таким образом, метод эллипсов рассеивания позволяет проводить параметрический анализ выхода случайных траекторий из бассейна притяжения .

Литература [1] Ryashko L., Bashkirtseva I., Gubkin A., Stikhin P. Condence tori in the analysis of stochastic 3D-cycles. Mathematics and Computers in Simulation 80 (2009) 256-269 .

76 Тезисы 42-й молодежной школы-конференции

–  –  –

При численном моделировании дифференциальные уравнения (1) и (2) заменялись разностными. При этом реализовывались различные разностные схемы: явного метода Эйлера, метода Рунге– Кутты четвёртого порядка, неявного метода Эйлера, метода Адамса второго порядка. Множество {N : N 0} является инвариантным для уравнения (1), а множество {(N1, N2 ) : N1 0, N2 0} — инвариантным для уравнения (2). Принципиальным вопросом для численного моделирования является сохранение инвариантных множеств при переходе к разностным схемам. Анализ показал, что для уравнений (1) и (2) методы Эйлера, Рунге–Кутты четвёртого порядка и Адамса второго порядка не сохраняют инвариантные множества. В результате находится момент времени, когда численность популяции становится отрицательной и дальнейшие вычисления теряют биологический смысл. В случае неявного метода Эйлера инвариантность сохраняется, если постоянный шаг интегрирования h 1 для модели Хатчинсона и h min{1, 1 } для модели ЛоткиВольтерра .

Проводился анализ условий выживаемости популяции в модели Хатчинсона, т.е. выполнения условия Nmin 2. Из результатов работы [1] следует, что при больших значениях численность популяции, описываемой уравнением Хатчинсона, выходит на предельный цикл, Дифференциальные и интегральные уравнения 77 для которого минимальное значение численности стремится к нулю с ростом. Найдены условия выживаемости для предельного цикла .

Поставлена задача нахождения условий выживаемости популяции, численность которой не превосходит некоторого заданного значения Nmax. При решении этой задачи требуется сузить класс начальных функций .

Проблема выживаемости для модели Лотки-Вольтерра решается отрицательно. При этом возникает задача: определить, какой из видов погибает первым? Численные эксперименты показали возможность гибели первым любого из видов. Условия гибели конкретного вида зависят и от значений параметров системы, и от начальных условий. Были поставлены вопросы: о существовании областей параметров, для точек которой конкретный вид погибает при любых начальных условиях; о нахождении области начальных условий, для точек которой после некоторого времени происходит гибель конкретного вида. Для модели Лотки–Вольтерра важной характеристикой является время жизни определенного вида популяции .

Для оценки точности вычислительных методов в качестве теста использовался предельный цикл уравнения Хатчинсона. Для него известны асимтптотические формулы при больших значениях [1] .

Вычисления показали, что при min асимптотические формулы дают хорошее приближение. При тестировании лучше всего проявил себя метод Рунге–Кутты четвёртого порядка, хуже – явный метод Эйлера. Для численного анализа модели Хатчинсона интересны две задачи. Первая состоит в нахождении переходных процессов при min. Вторая – нахождение периодических решений и переходных процессов при min. Для модели Лотки–Вольтерра проводилось сравнение результатов численных вычислений по различным схемам .

Литература [1] Колесов А.Ю., Колесов Ю.С. Релаксационные колебания в математических моделях экологии. — М.: Наука, 1993 .

[2] Вольтерра В. Математическая теория борьбы за существование .

— М.: Наука, 1976 .

[3] Свирежев Ю.М., Логофет Д.О. Устойчивость биологических сообществ. — М.: Наука, 1978 .

78 Тезисы 42-й молодежной школы-конференции

АНАЛИТИЧЕСКОЕ И ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ

РЕШЕНИЙ НАЧАЛЬНО-КРАЕВЫХ ЗАДАЧ

ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ,

ОПИСЫВАЮЩИХ ТЕЧЕНИЯ С УДАРНЫМИ

ВОЛНАМИ Дронова А.В., Казаков А.Л .

e-mail: AlisaDronova@gmail.com, kazakov@iсс.ru Исследуются начально-краевые задачи для нелинейных систем уравнений с частными производными, описывающих течения газа с ударными волнами [1] .

C точки зрения общей теории дифференциальных уравнений с частными производными, описание течений идеального газа с разрывами приводит к начально-краевым задач для систем квазилинейных уравнений. Для течений со слабыми разрывами это различные модификации характеристической задачи Коши [2, 3]. Для течений с сильными разрывами (ударными волнами) это обобщенная задача Коши [4–6] .

Данная работа является продолжением исследования, начатого более года назад и представленного на предыдущей конференции [7]. Исследуются обобщенные задачи Коши, возникающие в газовой динамике. Для некоторых задач одним из авторов ранее были доказаны доказаны теоремы существования и единственности решения в классе аналитических функций, т. е. в виде сходящихся степенных рядов [7, 8] .

Для вычисления коэффициентов этих рядов ранее были получены явные формулы, что позволило построить на их основе численные алгоритмы и выполнить иллюстрирующие численные расчеты для некоторых модельных задач [7] следующего вида:

ux = a(x, y, u, v)uy + b(x, y, u, v)vx + f (x, y, u, v), vy = c(x, y, u, v)uy + d(x, y, u, v)vx + g(x, y, u, v), (1) u(0, y) = 0, v(x, 0) = 0 .

Однако, при попытке перенести полученные результаты с модельных задач на начально-краевые задачи для системы уравнений газовой динамики даже в случае политропного газа, плоскосимметричные течения которого описываются [1] системой квазилинейных Дифференциальные и интегральные уравнения 79

–  –  –

где r = r (t) – траектория движения фронта УВ, D – скорость движения ударной волны, – любой параметр газа за фронтом УВ, индексом «0» обозначены параметры перед фронтом УВ, которые предполагаются известными. Эти формулы являются довольно громоздкими (и здесь по этой причине не приводятся), что существенно затрудняет получение явных формул, описывающих переход от задачи для системы (3) к обобщенной задаче Коши стандартного вида .

К тому же, система (2) и условия (3) содержат по три уравнения, это также приводит к возникновению дополнительных сложностей .

Тем не менее, указанные трудности авторам удалось преодолеть .

Получены следующие результаты:

1. Выписаны явные формулы, которые определяют переход от начально-краевых задач газовой динамики, описывающих некоторые течения газа с УВ, в том числе отражение УВ от жесткой стенки, к обобщенным задачам Коши стандартного вида .

2. Численная методика, которая ранее была предложена для модельных задач, адаптирована для решения задач, содержащих четыре искомых функции (а не две, как было ранее) .

3. Выполнена программная реализация и тестовые расчеты .

80 Тезисы 42-й молодежной школы-конференции Авторы признательны д.ф.-м.н. А.Р. Данилину, д.ф.-м.н. А.И .

Короткому (ИММ УрО РАН), д.ф.-м.н. А.А. Чеснокову (ИГиЛ СО РАН) за полезные замечания и рекомендации .

Литература [1] Рождественский Б.Л., Яненко Н.Н. Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике. — М.: Наука, 1968 .

[2] Сидоров А.Ф. Избранные труды: Математика. Механика. — М.:

Физматлит, 2001 .

[3] Казаков А.Л. Применение обобщенного метода характеристических рядов при построении решения одной начально-краевой задачи для системы квазилинейных уравнений // Труды ИММ УрО РАН. 2010. Т. 16, № 2. С. 91–108 .

[4] Леднёв Н.А. Новый метод решения дифференциальных уравнений с частными производными // Мат. сб. 1948. Вып. 2. C. 205– 266 .

[5] Тешуков В.М. Постpоение фpонта удаpной волны в пpостpанственной задаче о поpшне // Динамика сплошной сpеды. 1978 .

Вып. 33. С. 114–133 .

[6] Тешуков В.М. О pегуляpном отpажении удаpной волны от жесткой стенки // Пpикл. математика и механика. 1982. Т. 46, вып. 2 .

C. 225–234 .

[7] Казаков А.Л., Лемперт А.А., Пьянкин А.П. Аналитическое и численное исследование некоторых начально-краевых задач для уравнений с частными производными, возникающих в газовой динамике / в сб. «Проблемы теоретической и прикладной математики», Тезисы 41-й Всероссийской молодежной конференции .

С. 261–267. — Екатеринбург: ИММ УрО РАН, 2010 .

[8] Казаков А.Л. Построение полей течений газа за фронтом расходящейся ударной волны в задаче о сферически- или цилиндрически-симметричном неавтомодельном сжатии // Вычислительные технологии. 2008. Т. 13, № 2. С. 35–52 .

Дифференциальные и интегральные уравнения 81

–  –  –

В области для уравнения (1) исследуется следующая Задача АТ.

Найти в области функцию u(x, y), обладающую свойствами:

1) u(x, y) C() C 1 ();

2) u(x, y) является дважды непрерывно дифференцируемым решением уравнения (1) в областях 1 и 2 ;

3) u(x, y) удовлетворяет краевым условиям 1 Национальный университет Узбекистана, г. Ташкент .

82 Тезисы 42-й молодежной школы-конференции

–  –  –

Литература [1] Исломов Б., Мадрахимова З.С. Краевая задача со смещением для уравнения третьего порядка с параболо-гиперболическом оператором // Узб. Мат. Журн. 2009. № 4. С. 76–81 .

[2] Исломов Б., Курьязов Д.М. Краевые задачи для смешанного нагруженного уравнения третьего порядка парабологиперболического типа // Узб. Мат. Журн. 2000. № 2. С. 29–35 .

Дифференциальные и интегральные уравнения 83

АНАЛИЗ МОДЕЛИ ПОВЕРХНОСТНОЙ ДИФФУЗИИ

С ФРОНТАЛЬНЫМ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕМ ВЕЩЕСТВ

Зверев В.С.1 e-mail: v-s-zverev@yandex.ru Комплекс явлений, носящий название поверхностной реакционной диффузии, был обнаружен в ходе разработки «аспектов концепции электрохимического подхода к реакциям синтеза сложных ионных соединений и межфазным транспортным процессам» [1]. Этот процесс заключается в твердофазном растекании при высокотемпературном отжиге вещества-диффузанта по поверхности подложки, сопровождающимся диффузионным проникновением и последующей химической реакцией, происходящей на фронте. При этом проявлялась особенность, не типичная для диффузионных задач: наблюдалась стабилизация продвижения прореагировавшего вещества по поверхности подложки, что вызвало интерес к данному процессу .

Данный доклад является продолжением исследования поверхностной реакционной диффузии и посвящен построению формального решения, позволяющего получить поправки к уже имеющимся аналитическим приближениям .

Рис. 1: схема распределения диффузионных потоков

Будем использовать следующие обозначения: u – концентрация диффузанта на поверхности подложки, w – внутри её, S – глубина фронта реакции, D1 и D2 – коэффициенты диффузии реагента по поверхности подложки и её объему, u0 – начальная концентрация,

– высота приповерхностоного слоя, в котором идет процесс диффуРабота выполнена в рамках ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России», госконтракт 02.740.11.0202 от 07.07.2009 года .

84 Тезисы 42-й молодежной школы-конференции

–  –  –

поскольку предполагается, что P 1 .

Было обнаружено, что если ограничиться слагаемым v0, то получаемые соотношения для ls полностью совпадают с решением при отбрасывании левой части в уравнении (4). Уравнения для последующих поправок являются полными линейными неоднородными уравнениями второго порядка. На рис. 2 представлены результаты численного решения задачи при наличии слагаемого с v1 .

Рис. 2: длина поверхностного слоя, получаемая при решении v0 (, ls ) = (график 1), при решении v0 (, ls ) + v1 (, ls ) /P =, (график 2) и при численном решении из [3] (график 3); = 0.001 При решении для малых P нужно брать большее количество членов ряда, но в этом случае графики аналитического и численного решения лежат ниже нулевого приближения и стремятся к одному значению, что хорошо видно при P 10. Итак, предложен новый подход получения асимптотического решения для задачи (1)-(3), поведение которого достаточно хорошо согласуется с численным решением из [3], и в тоже время говорит о необходимости улучшения метода для описания моделируемого процесса на начальной стадии .

Литература [1] Нейман А.Я. Электроповерхностные явления в твердофазных системах // Ж-л физ. химии. 2001. Т. 75, № 12, C. 2119–34 .

[2] Карташов Э.М. Аналитические методы в теории теплопроводности твердых тел. — М.: Высш. шк, 2001 .

[3] Зверев В.С. Моделирование поверхностной реакционной диффузии и численное решение // Математическое моделирование .

2010. Т. 22. № 7. C. 82–92 .

86 Тезисы 42-й молодежной школы-конференции

–  –  –

x(t) = Ax(t) (2) В настоящей статье сформулирован и доказан критерий структурной устойчивости по запаздыванию для линейных систем с запаздыванием .

Теорема. Если система (1) структурно устойчива по запаздыванию на [t0, ], то система (2) технически устойчива на [t0, ] .

Обратно, если система (2) устойчива, то система (1) структурно устойчива по запаздыванию, на любом ограниченном интервале [t0, ] .

Литература [1] Никольский С.М. Курс математического анализа. Изд. 6-е.

— М.:

Физматлит, 2001. — 592 с .

[2] Мартынюк А.А. Техническая устойчивость в динамике. — Киев:

Технiка, 1973. — 188 с .

[3] Ким А.В., Пименов В.Г. i-Гладкий анализ и численные методы решения функционально-дифференциальных уравнений. — М.Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004. — 256 с .

Дифференциальные и интегральные уравнения 87

–  –  –

где – интенсивность стохастических возмущений; i – стандартные независимые винеровские процессы. При = 0 имеем систему, соответствующую детерминированной модели, в которой при a = 45, c = 28 и b [1.1, 2] наблюдаются устойчивые предельные одноциклы [3]. На рисунке 1а изображена XZ-проекция предельного цикла при b = 1.3. Пучок случайных траекторий для = 0.05 изображен на рисунке 1б. На рисунке 2а и б изображены доверительные эллип

–  –  –

Рис. 1: XZ-проекция при b = 1.3 предельного цикла (а), пучка случайных таректорий вокруг предельного цикла для = 0.05 (б ) сы при b = 1.3, = 0.05 и доверительной вероятностью P = 0.99 в гиперплоскостях, проходящих через точки (0.784, 0.781, 10.774) и (1.203, 1.323, 8.444) соответственно, а также точки пересечения Дифференциальные и интегральные уравнения 89

–  –  –

стохастических траекторий с гиперплоскостями. Как видим, доверительные эллипсы хорошо отражают результаты прямого численного моделирования .

Литература [1] Bashkirtseva I.A., Ryashko L.B. Stochastic sensitivity of 3D-cycles .

Mathematics and Computers in Simulation. 2004. Vol. 66. Pp.55–67 .

[2] Chen G., Ueta T. Yet another chaotic attractor, Int. J. Bifurcations and Chaos, 9. Pp. 1465–1466, 1999 .

[3] Chen G., Ueta T. Bifurcation Analysis of Chen’s Equation. http:// rusa.is.tokushima-u.ac.jp/~tetsushi/chen/chenbif/chenbif.html 90 Тезисы 42-й молодежной школы-конференции

–  –  –

Здесь t, r,, z – независимые переменные, соответственно время и цилиндрические координаты; искомыми функциями являются c – скорость звука; u, v – радиальная и окружная проекции вектора скорости в плоскости xOy; w – проекция вектора скорости на ось Oz;

= const 1 – показатель политропы газа; – угловая скорость вращения Земли; – широта точки O на поверхности Земли, в которой находится начало координатной плоскости xOy, касающейся поверхности Земли в точке O. При этом 0 /2, если точка O лежит в Северном полушарии, /2 0, если в Южном, = 0 на экваторе .

Пусть соотношения

–  –  –

Установленный знак неравенства для производной 2 v/r2 |C + и равенство v/r|C + = 0 доказывают следующий факт: при плавном стоке газа одновременно с радиальным движением газа при стоке сразу возникает окружное движение (закрутка газа) в положительном направлении для случая Северного полушария и в отрицательном – для Южного полушария .

Литература [1] Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика. Ч. 1. — М.: Физматгиз, 1963 .

[2] Баутин С.П. Торнадо и сила Кориолиса. — Новосибирск: Наука, 2008 .

[3] Баутин С.П. Хаpактеpистическая задача Коши для квазилинейной аналитической системы // Диффеpенциальные уpавнения .

1975. Т. 1, № 11. C. 2052–2063 .

[4] Баутин С.П. Характеристическая задача Коши и ее приложения в газовой динамике. — Новосибирск: Наука, 2009 .

Дифференциальные и интегральные уравнения 93

–  –  –

6. После стабилизации процесса (2)-(5), если сингулярное число [ ] s+1 k, k smin, то := + 1 и осуществляется переход к 2 .

Для проверки эффективности алгоритма в рамках одного из численных экспериментов, к модельной пластине, состоящей из слоев с различной температуропроводностью, прикладывался поток тепла .

Прямым моделированием находилась температура на поверхности .

Восстановление производилось по ”данным наблюдений” с различным стандартным отклонением от вычисленных точных значений .

Результат представлен на рис. 1 .

Рис. 1: Результаты восстановления коэффициента температуропроводности при различных стандартных отклонениях данных измерений температуры на поверхности для двух модельных пластин .

Литература [1] Пененко В.В. Методы численного моделирования атмосферных процессов. — Л.: Гидрометиздат, 1981. 352 c .

[2] Kaltenbacher B. Some Newton-type methods for the regularization of nonlinear ill-posed problems // Inverse Problems. 1997. Т. 13, C. 729–753 .

[3] Пененко А.В. О решении обратной коэффициентной задачи теплопроводности методом проекции градиента / в сб. «Труды первой международной молодежной школы-конференции «Теория и численные методы решения обратных и некорректных задач»

Часть I» // Сибирские электронные математические известия .

2010. C. 178–198 .

96 Тезисы 42-й молодежной школы-конференции

О НЕПРЕРЫВНОЙ ЗАВИСИМОСТИ

ОТ ПАРАМЕТРОВ РЕШЕНИЙ ОПЕРАТОРНЫХ

УРАВНЕНИЙ В МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВАХ

Плужникова Е.А.1 e-mail: pluznikova_elena@mail.ru Результаты [1], [2] изучения накрывающих отображений метрических пространств находят приложения к задачам управления, в исследованиях функциональных, интегральных, дифференциальных уравнений. Для нахождения условий разрешимости нелинейных краевых задач дифференциальных уравнений в работе [3] рассмотрены накрывающие отображения в произведении метрических пространств. Здесь продолжены эти исследования и рассмотрены условия непрерывной зависимости от параметров решений операторных уравнений в произведении метрических пространств. Полученные в работе результаты позволяют сформулировать утверждения о корректности краевых задач для дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно производной .

Рассмотрим метрические пространства (X, X ) и (Y, Y ). Обозначим через BX (x, r) замкнутый шар с центром в точке x радиуса r 0 в пространстве X, аналогичное обозначение введем в Y (и других метрических пространствах, используемых ниже). Будем использовать следующее Определение. [1, с. 151] Пусть задано число 0. Отображение : X Y называется -накрывающим, если для любого r 0 и любого x X имеет место включение ( ) ( ) BX (x, r) BY (x), r .

В дальнейшем пространства X и Y будут являться декартовыми произведениями метрических пространств: X = X1 X2, Y = Y1 Y2 .

Пусть в X1 и X2 заданы метрики X1 и X2, в Y1 и Y2 — метрики Y1 1 Работа поддержана грантом РФФИ № 09-01-97503, аналитической ведомственной целевой программой «Развитие научного потенциала высшей школы (2009-2010 годы)» (проект № 2.1.1/1131), федеральной целевой программой «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России (2009-2013 годы)»

(проект № 14.740.11.0349) Дифференциальные и интегральные уравнения 97

–  –  –

введем в пространстве Y1 Y2 и будем считать, что здесь норма · 2 R также удовлетворяет требованиям (1) .

Пусть заданы отображения Fi = (F1i, F2i ) : X1 X2 Y1 Y2, i = 1, 2,... и элемент y 0 = (y1, y2 ) Y1 Y2. Рассмотрим систему

–  –  –

Нас интересуют условия, обеспечивающие разрешимость при любом натуральном i системы уравнений (2) и сходимость к x0 последовательности ее решений. Рассматриваемую задачу можно трактовать как корректность некоторого операторного уравнения

–  –  –

если принять, что x0 является его решением .

Имеет место следующая 98 Тезисы 42-й молодежной школы-конференции Теорема. Пусть пространства X1 и X2 являются полными .

Пусть существуют неотрицательные числа 1, 2, 1, 2, удовлетворяющие неравенству 1 2 1 2 и такие, что для любого натурального i при всех x1 X1 и x2 X2 выполнены условия:

a) отображение F1i (·, x2 ) является замкнутым и 1 -накрывающим;

b) отображение F2i (x1, ·) является замкнутым и 2 -накрывающим;

c) отображение F1i (x1, ·) является 1 -липшицевым;

d) отображение F2i (·, x2 ) является 2 -липшицевым .

Тогда, начиная с некоторого номера, при каждом i существует такое решение i = (1i, 2i ) X1 X2 системы уравнений (2), что i x0 .

Литература [1] Арутюнов А.В. Накрывающие отображения в метрических пространствах и неподвижные точки // Докл. РАН. 2007. Т. 416, № 2. С. 151–155 .

[2] Арутюнов А.В., Аваков Е.Р., Жуковский Е.С. Накрывающие отображения и их приложения к дифференциальным уравнениям, не разрешенным относительно производной // Дифференциальные уравнения. 2009. № 5. С. 613–634 .

[3] Жуковский Е.С., Плужникова Е.А. Об одном методе исследования разрешимости краевых задач для дифференциальных уравнений // Вестник ТГУ. Сер.: Естеств. и техн. науки. Тамбов, 2010 .

Т. 15. Вып. 6. С. 1673–1674 .

Дифференциальные и интегральные уравнения 99

–  –  –

Исследованию существенного спектра непрерывных и дискретных операторов Шредингера посвящены многие работы (см., например, [1] и [2], соответственно). В работе [2] доказано, что существенный спектр трехчастичного дискретного оператора Шредингера состоит из объединения не более чем конечного числа отрезков даже в том случае, когда соответствующий двухчастичный дискретный оператор Шредингера имеет бесконечное число собственных значений .

В настоящей работе рассматривается модельный оператор H, ассоциированный с системой трех частиц на решетке. Выделены двухи трехчастичная ветви существенного спектра оператора H. Установлено, что существенный спектр этого оператора состоит из объединения не более чем трех отрезков. В работе [2] доказано, что рассматриваемый решетчатый оператор не имеет частей существенного и дискретного спектра правее трехчастичной ветви. В данном случае, в отличие от этого, показано появление двухчастичных ветвей по обе стороны трехчастичной ветви существенного спектра H, который играет важную роль при изучении конечности или бесконечности частей дискретного спектра, расположенных там, а также на лакунах существенного спектра .

Пусть T = (; ] – -мерный куб с соответствующим отождествлением противоположных граней, L2 (T ) – гильбертово пространство квадратично-интегрируемых (комплекснозначных) функций, определенных на T, и Ls ((T )2 ) - гильбертово пространство квадратично-интегрируемых симметричных (комплекснозначных) функций, определенных на (T )2 .

Рассмотрим модельный оператор H, действующий в гильбертовом пространстве Ls ((T )2 ), по формуле

–  –  –

Здесь K(p, q) = 1 (p)1 (q) 2 (p)2 (q), 1 (·) и 2 (·) – вещественнозначные непрерывные линейно независимые функции на T, w(·, ·) – вещественнозначная симметричная непрерывная функция на (T )2 .

В этих предположениях оператор H является ограниченным и самосопряженным в гильбертовом пространстве Ls ((T )2 ) .

Для формулировки основного результата вводим модель Фридрихса h(p), p T, действующую в L2 (T ) как

–  –  –

где disc (h(p)) – дискретный спектр оператора h(p), p T .

Следующая теорема описывает существенный спектр оператора H .

Теорема. Для существенного спектра ess (H) оператора H имеет место равенство ess (H) = two (H) three (H). Более того, множество ess (H) состоит из объединения не более чем трех отрезков .

Вводим новые подмножества существенного спектра оператора H .

Дифференциальные и интегральные уравнения 101 Определение 1. Множества two (H) и three (H) называются, соответственно, двух- и трехчастичной ветвями существенного спектра оператора H .

Отметим, что множество two (H) состоит из объединения не более чем двух отрезков, которые расположены в обоих части множества three (H) .

Литература [1] Жислин Г.М. Исследование спектра оператора Шредингера для системы многих частиц // Труды Моск. матем. об-ва. 1960. T. 9, C. 81–120 .

[2] Albeverio S., Lakaev S.N., Muminov Z.I. On the structure of the essential spectrum for the three-particle Schrdinger operators on o lattices // Math. Nachr. 2007. Vol. 280. № 7. Pp. 699–716 .

[3] Расулов Т.Х. Уравнение Фаддеева и местоположение существенного спектра модельного оператора нескольких частиц // Изв .

вузов. Матем. 2008. № 12. С. 59–69 .

102 Тезисы 42-й молодежной школы-конференции

О ЧИСЛЕ И МЕСТОНАХОЖДЕНИИ СОБСТВЕННЫХ

ЗНАЧЕНИЙ ОБОБЩЕННОЙ МОДЕЛИ ФРИДРИХСА

Расулов Т.Х., Тошева Н.А .

e-mails: rth@mail.ru, nargiza_n@mail.ru

–  –  –

Здесь f0 H0, f1 H1, w1 (·), v1,2 (·), и w2 (·, ·) – вещественнозначные аналитические функции на T3 и (T3 )2, соответственно .

Пользуясь известной теоремой Г. Вейля о сохранении существенного спектра при возмущениях конечнего ранга, можно показать, Дифференциальные и интегральные уравнения 103

–  –  –

2.1) при всех p G1 G2 оператор h(p) имеет два собственных значения, лежащих левее m;

2.2) при всех p G1 G2 оператор h(p) имеет единственное собственное значение, лежащее левее m;

2.3) для любого p T3 \ (G1 G2 ) оператор h(p) не имеет собственных значений, лежащих левее m .

3. Пусть max 1,2 (p ; m) 0. Тогда для любого p T3 оператор pT h(p) имеет два собственных значения, лежащих левее m .

Литература [1] Расулов Т.Х. О структуре существенного спектра модельного оператора нескольких частиц // Матем. заметки. 2008. T. 83, вып. 1. C. 78–86 .

[2] Расулов Т.Х. О дискретном спектре одного модельного оператора в пространстве Фока // Теор. и матем. физика. 2007. Т. 152 .

вып. 3. С. 518–528 .

[3] Albeverio S., Lakaev S. N., Rasulov T. H. On the Spectrum of an Hamiltonian in Fock Space. Discrete Spectrum Asymptotics // J .

Stat. Phys. 2007. Vol. 127, № 2. Pp. 191–220 .

Дифференциальные и интегральные уравнения 105

–  –  –

Предполагается, что в этих соотношениях a, b, c, d = const,, = const 0 .

Устойчивость по Ляпунову для неавтономных систем понимается в смысле [1, стр. 9].

Имеют место утверждения [2]:

Теорема 1. Пусть система дифференциальных уравнений (1) обладает свойством (2) .

Если коэффициенты системы удовлетворяют неравенству: a + d 0, то существует значение T 0 такое, что при всех t T положение равновесия x = 0, y = 0 является асимптотически устойчивым решением для системы (1) .

Теорема 2. Пусть система дифференциальных уравнений (1) обладает свойством (2) .

Если коэффициенты системы удовлетворяют 1 Работа поддержана грантом РФФИ № 10-01-00186 .

2 Скорость убывания неавтономной части (возмущения) может быть иной, например, логарифмической. Для простоты здесь рассматривается степенное убывание с, 0 .

106 Тезисы 42-й молодежной школы-конференции неравенству: a + d 0, то существует значение T 0 такое, что при всех t T положение равновесия x = 0, y = 0 является неустойчивым для системы (1) .

Доказательство проводится путем построения функций Ляпунова .

Полученные результаты можно применять к нелинейным неавтономным уравнениям для исследования асимптотики их решений на бесконечности. Наиболее простой пример дает частный случай третьего уравнения Пенлеве. Уравнение

x + sin x = t1 x

эквивалентно системе (1): H(x, y) = 1 y 2 cos x + 1, коэффициенты a = b = c = 0, d = 1. Положение равновесия x = 0, y = 0 соответствует неподвижной точке типа «центр» для предельной системы x = y, y = sin x. Устойчивость положения равновесия для полной системы вытекает из теоремы 1, поскольку a + d = 1 0 .

Для других уравнений Пенлеве неподвижных точек обычно не существует. Вместо них рассматриваются специальные решения, которые выделяются структурой своей асимптотики на бесконечности [2]. Устойчивость таких решений доказывается с использованием теоремы 1.

Рассмотрим, например, второе уравнение Пенлеве:

–  –  –

Литература [1] Красовский Н.Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения. — М.: Физматгиз, 1959 г .

[2] Султанов О.А. Функции Ляпунова для неавтономных систем близких к гамильтоновым // Уфимский. мат. журнал. Т. 2, №

4. 2010. C. 88–97 .

[3] Калякин Л.А. Асимптотический анализ моделей авторезонанса // Успехи мат. наук. Т. 63, вып. 5. 2008. С. 3–72 .

[4] Калякин Л.А. Метод усреднения в задачах об асимптотике на бесконечности // Уфимский мат. журнал. Т. 1, № 2. 2009. С. 29– 52 .

108 Тезисы 42-й молодежной школы-конференции

–  –  –

1. Постановка задачи. Рассматривается линейная система дифференциальных уравнений с запаздыванием dx(t) = A(t)x(t) + B(t)x(t r), t R, (1) dt где x : R Rn, r 0, A и B — непрерывные матричнозначные функции на R .

При нахождении решения x(·, ) на полуоси (, r), с помощью итерационной процедуры, требуется решать уравнения Uk+1 xk =

1. Здесь Uk+1 (k Z)— линейный вполне непрерывxk+1, k ный оператор сдвига на запаздывание вдоль решения системы (1), действующий в пространстве H = L2 ([r, 0), Rn ) Rn со скалярным произведением (, ) = (0)(0) + r (s)(s)ds. Последние задачи являются некорректными. В настоящей работе для их решения используется метод регуляризации А.Н. Тихонова [1] со стабилизирующим функционалом следующего вида [x] = x (0)Gx(0) + 0 (x (s)Q(s)x(s) + x (s)P (s)x (s)) ds, x H, где P (s), Q(s), G, r s [r, 0] — положительно определённые матрицы, отображения Q : [r, 0] Rnn и P : [r, 0] Rnn непрерывны .

В работе [2] показано, что элемент xk = Rk+1 (xk+1, ) H, минимизирующий функционал M [xk+1, xk ] = (Uk+1 xk xk+1, Uk+1 xk xk+1 ) + [xk ], k 1, является компонентой решения краевой задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений, которая может быть получена из более общей краевой задачи, приведённой в работе [3] .

1 Работа поддержана Программой Президиума РАН «Математическая теория управления» (проект 09-П-1-1014), Урало-Сибирским интеграционным проектом 09-С-1-1010 и Программой поддержки ведущих научных школ (НШДифференциальные и интегральные уравнения 109

–  –  –

Литература [1] Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. — М.: Наука, 1986 .

[2] Долгий Ю.Ф., Сурков П.Г. Асимптотика регуляризованных решений линейной неавтономной системы дифференциальных уравнений с опережением // Дифференц. уравнения. 2010. Т. 46, № 4. C. 467–485 .

[3] Долгий Ю.Ф., Путилова Е.Н. Продолжение назад решений линейного дифференциального уравнения с запаздыванием как некорректная задача // Дифференц. уравнения. 1993. Т. 29, № 8 .

C. 1317–1323 .

[4] Linss T. Analysis of a Galerkin nite element method on a Bakhvalov-Shishkin mesh for a linear convection-diusion problem // IMA. J. Numer. Anal. 2000. Vol. 20, № 4. Pp. 621–632 .

Дифференциальные и интегральные уравнения 111

ОБ ОДНОЙ НЕЛОКАЛЬНОЙ ЗАДАЧЕ ПЕРВОГО

ТИПА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА С ГРАНИЧНЫМ

ОПЕРАТОРОМ ДРОБНОГО ПОРЯДКА

Торебек Б.Т .

e-mail: turebekb85@mail.ru Ррассматривается нелокальная краевая задача первого типа для уравнения Лапласа с граничным оператором дробного интегродифференцирования. Доказаны теоремы о единственности и существовании решений .

Пусть = {x R2 : |x| 1} – единичный шар, = {x R2 :

|x| = 1} – его граница .

Пусть aj – действительные числа, 0 j 1, j = 1, 2,..., N. Будем считать, что все числа aj – одного знака, т.е. при всех j = 1, 2,..., N выполняются aj 0 или aj 0 .

Рассмотрим в следующую нелокальную задачу

–  –  –

введенный в работе [1]. Здесь D – оператор дробного дифференцирования в смысле Капуто .

Рассматриваемая задача является простейшим обобщением задачи Бицадзе–Самарского [2] на граничные операторы нецелого порядка. Заметим, что аналогичные задачи в случае = 0 изучались в работах [3, 4] .

Задача 1. Найти функцию u(x) C 2 () C(), гармоническую в шаре, для которой функция B [u](x) непрерывна в и удовлетворяет условиям (2), (3) .

112 Тезисы 42-й молодежной школы-конференции

–  –  –

Литература [1] Карачик В.В., Турметов Б.Х., Торебек Б.Т. Некоторые интегродифференциальные операторы в классе гармонических функции и их применения // Известия ЧНЦ РАН. Челябинск. 2010 .

№ 1(47). С. 1–9 .

[2] Бицадзе А.В., Самарский А.А. О некоторых простейших обобшениях линейных эллиптических задач // Доклады АН СССР .

1969. Т. 185. № 4. С. 739–740 .

[3] Ильин В.А., Моисеев Е.И. Нелокальная краевая задача первого рода для оператора Штурма-Лиувилля в дифференциальной и разностной трактовке // Доклады АН СССР. 1986. Т. 291. № 3 .

С. 534–539 .

[4] Пулатов А.К. Об одной задаче Бицадзе–Самарского // Дифференциальные уравнения. Минск. 1989. Т. 25. № 3. С. 537–540 .

Дифференциальные и интегральные уравнения 113

–  –  –

где K(t) = sgn t · |t|n, n = const 0, b = const 0, в прямоугольной области D = {(x, t)|0 x 1, t },, – заданные положительные числа, и следующую краевую задачу .

Обратная задача.

Найти в области D функции u(x, t) и f (x), удовлетворяющие условиям:

–  –  –

Если при некоторых, и k = p N нарушено условие (7), т.е. p (, ) = 0, то однородная задача (1) – (6) (где (x) = (x) = g(x) 0) имеет нетривиальное решение

–  –  –

Литература [1] Сабитов К.Б. Об одной краевой задаче для уравнения смешанного типа третьего порядка // Докл. РАН. 2009. Т. 27, № 5. C. 593– 596 .

[2] Сабитов К.Б., Сафин Э.М. Обратная задача для уравнения смешанного параболо-гиперболического типа // Матем. заметки .

2010. № 6. C. 901–912 .

[3] Сабитов К.Б., Хаджи И.А. Краевая задача для уравнения Лаврентьева–Бицадзе с неизвестной правой частью // Известия вузов. Математика. 2010 (принята в печать) .

116 Тезисы 42-й молодежной школы-конференции

–  –  –

На примере двумерной дискретной нелинейной стохастической системы Эно в диапазоне каскада бифуркаций удвоения периода изучается поведение случайных состояний при увеличении интенсивности стохастических возмущений, когда стохастический 2n -цикл переходит в 2n1 -цикл. Описываемое качественное изменение фазового портрета системы – уменьшение кратности стохастического цикла при увеличении интенсивности шума – будем называть обратной стохастической бифуркацией (ОСБ) .

Система Эно Рассмотрим стохастическую систему Эно в следующем виде

–  –  –

Рис. 1: эмпирическая плотность вероятности циклов системы Эно для µ =

1.72 а) при = 0.01, б) при = 0.03 1 Работа выполнена при частичной поддержке грантов РФФИ 09-01-00026, 10

–  –  –

Эмпирический анализ Эмпирический подход к изучению ОСБ опирается на численное моделирование случайной траектории. Для анализа ОСБ используется плотность вероятности состояний систем p(X), X = (x, y). Рассмотрим ОСБ перехода стохастического 2-цикла в 1-цикл .

При малом значении график p(X) имеет два четких всплеска (рис. 1a). При некотором значении происходит бифуркация – качественное изменение формы графика – она становится унимодальной (рис. 1б). Для 2k -цикла бифуркационное значение интенсивности шума, при котором происходит качественное изменение графика плотности p(X) – переход от 2k -модальной формы к 2k1 -модальной

– будем называть критическим значением шума первой ОСБ и обозначать .

–  –  –

Рис. 2: теоретическая аппроксимация плотности вероятности циклов системы Эно для µ = 1.72 а) при = 0.01, б) при = 0.03 Теоретический анализ Плотность распределения, полученная методом численного моделирования, имеет достаточно большую шумовую составляющую, особенно при небольшом числе итераций стохастической системы или большой кратности цикла. Рассмотрим построение аппроксимации плотности распределения с использованием значений теоретической функций чувствительности [1], т.е. без учета эмпирических данных. Пусть в детерминированной системе (1) при = 0 наблюдается цикл кратностью 2k с состояниями Xj (j = 1,..., 2k ), тогда в качестве аппроксимации плотности возьмем следующую функцию 118 Тезисы 42-й молодежной школы-конференции

p(X):

–  –  –

где Wi – матрицы чувствительности в точках цикла .

На рис. 2 представлены функции p(X) для системы Эно при µ = 1.72 и различной интенсивности внешнего шума. Как видно из сравнения рис. 1 и 2, численные эксперименты демонстрируют качественное соответствие между эмпирической плотностью p(X) и ее теоретическим аналогом p(X) .

µ 1.7 2 2.3 Рис. 3: иллюстрация критических значений интенсивности случайных возмущений для первых обратных бифуркаций системы Эно На рис. 3 приведены графики функций (µ). Следует отметить резкое уменьшение критической интенсивности для первой ОСБ ( ) при переходе от одного интервала структурной устойчивости к другому .

Литература [1] I. Bashkirtseva, L. Ryashko, I. Tsvetkov. Sensitivity analysis of the stochastic discrete systems // Dynamics of Continuous, Discrete and Impulsive Systems. Series A: Mathematical Analysis. 2010. № 17. Pp .

501–515 .

Дифференциальные и интегральные уравнения 119

–  –  –

1. Постановка задачи и предварительные результаты Пусть X – равномерно выпуклое вещественное пространство, а Y – произвольное банахово вещественное пространство; заданы линейные непрерывные операторы A L(X, Y ), B L(X, Y ), D(A) = D(B) = X. Для значений функционала f Y на элементе y Y будем использовать обозначение y, f .

Определение 1. Оператор A называется B-симметричным, если при любых x1, x2 X выполнено равенство Ax1, Bx2 = Ax2, Bx1 .

Определение 2. Оператор A называется B-положительным (не строго), если для каждого x X выполнено Ax, Bx 0, причём Ax, Bx = 0 в том и только в том случае, когда Ax = 0 .

Рассматривается задача решения операторного уравнения

–  –  –

Литература [1] Landweber L. An iteration formula for Fredholm integral equations of the rst kind // Am. J. Math. 1951. № 73. Pp. 615–624 .

[2] Schpfer F., Louis A. K., Schuster T. Nonlinear iterative methods o for linear ill-posed problems in Banach spaces // Inverse Problems .

2006. № 22. Pp. 311–329 .

[3] Schpfer F, Schuster T. Acceleration of the generalized Landweber o method in Banach spaces via sequential subspace optimization // J .

of Inverse and Ill-posed Problems. 2009. Т. 17. № 1. Pp. 91–99 .

[4] Xu Z-B, Roach G.F. Characteristic inequalities of uniformly convex and uniformly smooth Banach spaces // J. Math. Anal. Appl. 1991 .

№ 157. Pp. 189–210 .

122 Тезисы 42-й молодежной школы-конференции

–  –  –

В автономно управляемом движении информация о положении движущегося объекта поступает от инерциальной навигационной системы. Со временем накапливается ошибка в определении местоположения, которая может стать весьма большой. Для устранения накопленных ошибок используются дополнительные методы навигации, например навигация с использованием геофизических полей .

Данный метод основан на сравнении полученных измерений геофизического поля F (поля высот, гравитационного, магнитного) с эталонной информацией, хранящейся в памяти бортового вычислительного устройства. Важным его преимуществом является автономность и устойчивость к искусственным помехам. Целесообразно задавать такую траекторию движения автономного аппарата, которая позволила бы с наименьшей погрешностью (ошибкой привязки) определить его местоположение .

В [1] вводится модуль информативности, который позволяет оценить ошибку привязки (определения положения) при навигации по геофизическому полю, а также при выборе траектории движения предлагается оптимизировать не сам модуль, а значение его производной в нуле .

Введем функционал = (), характеризующий оптимальность траектории.

В качестве может использоваться:

– значение производной модуля информативности в нуле (см. [1, гл. 4]): () = J (0, F, );

– среднее значение модуля информативности в окрестности нуля:

() = J(t, F, )dt, 0 .

Пусть в области Q заданы точки x0, x1. Требуется построить гладкую траекторию 1 Работа выполнялась в рамках программы фундаментальных исследований Президиума РАН «Математическая теория управления» (проект 09-П-1-1013), а также при поддержке РФФИ (проект 11-01-00445) .

Приближение функций и численный анализ 123

–  –  –

— количество итераций больше минимально требуемого itermin ;

— найдена хотя бы одна промежуточная траектория, либо пока число итераций не превысит itermax .

Выбор itermin и itermax производится, исходя из допустимого времени работы алгоритма .

На рисунке представлен результат работы алгоритма, показаны две траектории: начальная — ломаная линия и результат шага .

Алгоритм реализован в виде Windows-приложения, поддерживающего параллельные вычисления, и апробирован на большом количестве примеров. При создании программы использовался объектноориентированный подход, который позволяет сравнительно легко вводить новые критерии оптимизации и алгоритмы, не обязательно основанные на случайном поиске, изменять формы представления траектории и поля, тем самым, расширяя класс решаемых задач .

Литература [1] В. И. Бердышев, В. Б. Костоусов. Экстремальные задачи и модели навигации по геофизическим полям. Екатеринбург: УрО РАН, 2007 .

[2] В. И. Бердышев, Ю. Н. Субботин Численные методы приближения функций. Свердловск: Средне-Уральское кн. изд-во, 1979 .

Приближение функций и численный анализ 125

–  –  –

где u0 (z) – гармоническая функция в области G, uk (z) – гармонические функции в C \ Fk, uk () = limz uk (z) = 0, k = 1, n .

Для доказательства основной теоремы нам потребовалось сделать несколько шагов, оформленных ниже в виде утверждений. Будем считать, что кривые, встречающиеся в дальнейших формулировках утверждений, являются замкнутыми, жордановыми, спрямляемыми. Пусть DL — область, ограниченная такой кривой L .

126 Тезисы 42-й молодежной школы-конференции

–  –  –

Следующее утверждение, по сути, является обобщением теоремы Лорана о представлении аналитической функции в кольце .

Утверждение 4. Пусть f (z) – аналитическая в области G функция. Тогда f (z) однозначным образом представима в виде:

–  –  –

Литература [1] Субботин Ю.Н., Черных Н.И. Всплески в пространствах гармонических функций // Изв. РАН. Сер. матем. 2000. Т. 64. № 1 .

С. 145–174 .

[2] Канторович Л.В., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа. — М.-Л.: Физматлит, 1962 .

[3] Маркушевич А.И. Теория аналитических функций. — М.: Физматлит, 1967. Т. 2 .

128 Тезисы 42-й молодежной школы-конференции

–  –  –

Используя теорему 2 из статьи [3] и утверждение 4 из [4], мы можем получить следующую теорему .

130 Тезисы 42-й молодежной школы-конференции

–  –  –

Литература [1] On D., Oskolkov K. A note on orthonormal polynomial bases and wavelets // Constructive approx. 1993. Vol. 9. № 1. Pp. 319–325 .

[2] Субботин Ю.Н., Черных Н.И. Всплески в пространствах гармонических функций // Изв. РАН. Сер. матем. 2000. Т. 64. № 1 .

С. 145–174 .

[3] Субботин Ю.Н., Черных Н.И. Всплески периодические, гармонические и аналитические в круге с нецентральным отверстием / в сб. Труды Международной летней математической Школы С.Б. Стечкина по теории функций. С. 128–144. — Алексин, 2007 .

[4] Дубосарский Г.А. Разложение гармонической функции в многосвязной области / см. настоящие Тезисы, с. 125–127 .

Приближение функций и численный анализ 131

–  –  –

Аналог задачи (1) для тригонометрических рядов в R1 был предложен П. Тураном в 1970 г. В 1972 г. С.Б. Стечкин [7] решил ее для p = 2, N = 2, 3,... ; окончательное решение этой задачи получили N В.И. Иванов, Д.В. Горбачев, Ю.Д. Рудомазина (см. работу [6] и приведенную там библиографию). В 1997 г. задача для многомерного куба была решена Н.Н. Андреевым [1]; он также дал оценки (1) при n = 3, 4 для октаэдра D = {t T m : |t1 | + |t2 | +... + |tm | h}. В 2000 г. Д.В. Горбачев решил задачу (1) для m-мерных евклидовых шаров. В 2001 г. В.В. Арестов и Е.Е. Бердышева решили задачу Турана для правильного шестиугольника на плоскости [2], а в 2002 г .

для класса многогранников, которыми можно покрыть пространство Rm с помощью сдвигов [3]. К настоящему времени задаче Турана посвящено довольно большое число работ; см. статью С. Ревеса [9] и приведенную там библиографию .

Мы будем рассматривать следующую модифицированную задачу Турана. В качестве носителя D возьмем m-мерный евклидов шар 132 Тезисы 42-й молодежной школы-конференции

–  –  –

среднего значения функции f Gm (B) по сфере S(p), 0 p 1 .

В 1945 г. Боас и Кас [8] нашли величину (2) в одномерном случае .

В 2003 г. В.В. Арестов, Е.Е. Бердышева и Х. Беренс рассмотрели [4] периодический аналог последней задачи и получили двусторонние оценки для значения задачи .

Нами получены следующие результаты:

Теорема 1. При всех 0 p 1 и m 2 в задаче (2) можно ограничиться радиальными функциями .

В силу этой теоремы задача (2) сводится к одномерной .

Теорема 2. Для нечетных чисел m при всех p (0, 1) в задаче (2) существует экстремальная (радиальная) функция .

Теорема 2 для одномерного случае (m = 1) содержится в [8] .

Следующая теорема существенно сужает класс функций, на котором следует искать экстремум в (2) .

–  –  –

Литература [1] Андреев Н.Н. Экстремальная задача для периодических функций с малым носителем // Вестник МГУ. Сер. 1. Математика, механика. 1997. № 1. С. 29–32 .

[2] Арестов В.В., Бердышева Е.Е. Задача Турана для положительно определенных функций с носителем в шестиугольнике // Труды ИММ УрО РАН, т. 7, № 1. 2001. С. 21–29 .

[3] Арестов В.В., Бердышева Е.Е. The Turan problem for a class of polytopes // East J. Approx. 2002. Vol. 8, № 3. Pp. 381–388 .

[4] Arestov V.V., Berdysheva E.E., Berens H. On Pointwise Turan’s Problem for Positive Denite Functions // East J. Approx. 2003 .

Vol. 9, № 1. Pp. 31–42 .

[5] Горбачев Д.В. Экстремальная задача для периодических функций с носителем в шаре // Матем. заметки, т. 69, № 3. 2001. С .

346–352 .

[6] Иванов В.И. О задачах Турана и Дельсарта для периодических положительно определенных функций // Матем. заметки, т. 80, № 6. 2006. С. 934–939 .

[7] Стечкин С.Б. Одна экстремальная задача для тригонометрических рядов с неотрицательными коэффициентами // Acta Math .

Acad. Scient. Hungaricae 1972, Vol. 23 (3-4). Pp. 289–291 .

[8] Boas R. P., Jr. and M. Kac. Inequalities for Fourier transforms of positive functions // Duke Math. J. 1945. Vol. 12, № 1. Pp. 189–206 .

[9] Revesz S.G. Turan’s extremal problem on locally compact abelian groups // http://arxiv.org, arXiv:0904.1824v1 .

134 Тезисы 42-й молодежной школы-конференции

–  –  –

На классы менее гладких функций оператор Лапласа (и его степени) распространяются по схеме Соболева (см., например, [1]) .

Обозначим через Wp = Wp (Rm ) при натуральном n 2 и веn 2n <

–  –  –

В работе [5] для величин (1), (3) и (6) в случае m = 2, p = автор получил близкие двусторонние оценки. Оценка сверху наилучшей константы K была улучшена по сравнению с результатом (7) .

Как частный случай общих результатов С. Б. Стечкина справедливо следующее утверждение (см., например, [3]) .

136 Тезисы 42-й молодежной школы-конференции Теорема 1. Для величин (1), (3), (6) справедливы равенства

–  –  –

Литература [1] Шилов Г.Е. Математический анализ. Второй специальный курс .

— М.: Наука, 1965 .

[2] Стечкин С.Б. Наилучшее приближение линейных операторов // Матем. заметки. 1967. Т. 1, № 2. С. 137–148 .

[3] Арестов В.В. Приближение неограниченных операторов ограниченными и родственные экстремальные задачи // Успехи мат .

наук. 1996. Т. 51, вып. 6 (312). С. 89–124 .

[4] Kounchev O. Extremizers for the multivariate Landau–Kolmogorov inequality // in «Multivariate Approximation», W. Haussmann et al .

(eds.). Pp. 123–132. Akademie Verlag, 1997 .

[5] Koshelev A. Best approximation of the Laplace operator on the plane by linear bounded operators // East journal on approximations, 2008 .

Vol. 14. № 2. Pp. 29–40 .

Приближение функций и численный анализ 137

–  –  –

здесь {Pk } — система ультрасферических многочленов, ортоm) k=0 m3 гональных на отрезке [1, 1] с весом (t) = (1 t2 ) 2 и нормироm) ванных условием Pk (1) = 1 .

В работе [1] найдено точное значение величины wm при m = 4, а в работе [2] — при 5 m 146, 148 m 156, m = 161 (кроме случаев m = 8, m = 24, которые были известны ранее). В этих работах во всех перечисленных случаях найдена экстремальная функция, которая оказалась алгебраическим многочленом (конечной степени) .

Случай m = 3 не был изучен .

При m = 3 ранее автором были получены для величины w3 близкие оценки 13.15822571531152 w3 13.15822571531179. Помимо того, в работе [3] доказан следующий факт .

1 Исследования выполнены при поддержке РФФИ, проект № 08-01-00213 .

138 Тезисы 42-й молодежной школы-конференции Утверждение. Экстремальная функция задачи (1) при m = 3 не может быть многочленом степени ниже, чем 15 .

Доказательство этого утверждения основывается на тех же методах, что и в работах [1, 2] .

На данный момент этот результат удалось усилить, используя алгоритм нахождения базиса Грёбнера системы алгебраических уравнений. Кроме того, удалось доказать, что экстремальная функция при m = 3 также является многочленом. Для доказательства применялись отличные от [1–3] методы (без отыскания экстремальной функции). В докладе будет представлен следующий результат .

Теорема. Экстремальная функция задачи (1) при m = 3 является алгебраическим многочленом степени выше, чем 26 .

Литература [1] Арестов В.В., Бабенко А.Г. О схеме Дельсарта оценки контактных чисел // Труды МИАН. 1997. Т. 219. С. 44–73 .

[2] Штром Д.В. Метод Дельсарта в задаче о контактных числах евклидовых пространств больших размерностей // Труды ИММ УрО РАН, 2002, Т. 8, № 2. С. 162–189 .

[3] Куклин Н.А. Аналитический метод в задаче о контактном числе трехмерного пространства // Проблемы теоретической и прикладной математики: Тезисы 41-й Всероссийской молодежной конференции. Екатеринбург: Институт математики и механики УрО РАН, 2010. С. 159–164 .

Приближение функций и численный анализ 139

ПРИМЕРЫ И АППРОКСИМАТИВНЫЕ СВОЙСТВА

N -РАЗДЕЛЬНЫХ КМА Плещёва Е.А.1 В данной работе рассматриваются ортонормированные системы вида {2nj/2 1 (2nj x k), 2(nj+1)/2 2 (2nj+1 x k),.. .

..., 2(nj+(n1))/2 n (2nj+(n1) x k) : k, j Z}, введенные нами ранее в [1], образующие ОНБ в L2 (R). Для построения таких функций было введено понятие n-раздельного кратномасштабного анализа Определение. Назовем n-раздельным кратномасштабным анализом (n-КМА) пространства L2 (R) кортеж n последовательностей (Vis )iZ, s=1,2,...,n замкнутых в L2 (R) подпространств

–  –  –

1 Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект 09-01-00014) .

140 Тезисы 42-й молодежной школы-конференции

–  –  –

можно построить, например, 2-раздельный КМА на основе двух функций, используя в качестве ms,ps классические маски .

Пример. В качестве примера масштабирующих функций и всплесков на основе классических рассмотрим функции, которые получены на базе двух различных всплесков Добеши, полагая m1,2 (0) = Приближение функций и численный анализ 141

–  –  –

Литература [1] Плещева Е.А. Построение и свойства n-раздельного КМА // Тезисы 41-й всероссийской молодежной конференции «Проблемы теоретической и прикладной математики», Екатеринбург, 1–5 февраля 2010 года. C. 172–178 .

[2] de Boor C., de Vore R.A., Ron A. Approximation from shiftinvariant subspaces of L2 (Rd ) // Trans. Amer. Math. Soc. 1994 .

Vol. 341, № 2. Pp.787–806 .

142 Тезисы 42-й молодежной школы-конференции

–  –  –

функций и соответственно. Для коэффициентов всех функций получены точные формулы через значения (в некоторых специальных точках) многочленов Чебышева 1-го и 2-го рода .

Для минимума J функционала (5) также получена точная формула: она представляет собой положительно определенную квадратичную форму от указанных конечных разностей. Коэффициенты формы также вычислимы через значения многочленов Чебышева .

144 Тезисы 42-й молодежной школы-конференции Последнее обстоятельство позволяет провести исследование на качество аппроксимации при разных N и. При фиксированном [0, 1] определена последовательность { JN }, где JN — это значение J, вычисленное при заданном N N. При выполнении определенных условий на функции, и имеем JN 0, поэтому полученная формула позволяет при заданной точности вычислений 0 решить неравенство JN (например, программным образом) и получить априори достаточное количество узлов сетки { (i, hj ) } .

Пусть, например, = 1, = 0.1, функции,, — линейные, причем старшие коэффициенты функций и — одинаковы и равны

0.9. Если = 103, а = 0.5, то достаточно взять N = 14 .

При фиксированном N N определена аналитическая функция J(), где J() — это значение J, вычисленное при заданном [0, 1]. В условиях предыдущего примера полагаем N = 14, а — любое. В результате вычислений имеем значения J(0.0) = 0, 0028867, J(0.1) = 0, 0025362, J(0.2) = 0, 0020595, J(0.3) = 0, 0014592, J(0.4) = 0, 0007530, J(0.5) = 0, 0000009 .

(Функция J() имеет ровно два интервала монотонности, причем J(1) = J().) Мы обнаруживаем ярко выраженный минимум функции, расположенный в точке = 0.5, и «желанный» эффект:

значение = 0.5 имеет безусловный приоритет .

У нас есть основание полагать, что процедура конструирования сплайнов посредством формулы (1) и их «усреднение» с помощью параметра = 0.5 применимы не только для функционала из задачи (5), но и для функционала J(u) = Du 2 (), порожденного L2 произвольным дифференциальным оператором D. Вычислительные эксперименты подтверждают это наблюдение, однако, в отличие от задачи (5), мы не имеем возможности точных вычислений: минимизация функционала осуществляется методом градиентного спуска .

Литература [1] Родионов В.И. Об аппроксимации функций многих переменных специальными сплайнами / В сб. «Трехмерная визуализация научной, технической и социальной реальности. Кластерные технологии моделирования», Труды I-й международной конференции .

Т. 1. C. 164–168. — Ижевск: АНО «Ижевский институт компьютерных исследований», 2009 .

Приближение функций и численный анализ 145

–  –  –

В различных разделах математики возникает задача о соотношении между нормами производной многочлена и самого многочлена на отрезке. В докладе будет рассмотрена задача о точной константе в неравенстве

–  –  –

для алгебраических многочленов степени точно n .

В общем случае задача формулируется так.

Рассматривается множество Pn алгебраических многочленов степени n с комплексными коэффициентами и со старшим коэффициентом, равным единице:

<

–  –  –

Литература [1] Марков А.А. Об одном вопросе Д.И. Менделеева // Зап. Имп .

Акад. наук. 1889. № 62. С. 1–24 .

[2] Марков В.А. О функциях, наименее уклоняющихся от нуля в данном промежутке. СПб, 1892 .

[3] Bojanov B.D. An extension of Markov inequality // J. Approx .

Theory. 1982. № 35. Pp. 181–190 .

[4] Глазырина П.Ю. Неравенство братьев Марковых в пространстве L0 на отрезке // Матем. заметки. 2005. Т. 78, № 1. C. 59–65 .

[5] Глазырина П.Ю. Неравенство Маркова–Никольского в пространствах Lq, L0 на отрезке // Труды ИММ УрО РАН. 2005. Т. 11, № 2. C. 60–71 .

148 Тезисы 42-й молодежной школы-конференции

–  –  –

Этот сплайн не является интерполяционным, так как S((j + )h) = yj+. При каждом фиксированном x [lh, (l + 1)h] (l Z) сумма (2) состоит из трех слагаемых и поэтому S(x) зависит от пяти значений функции f : yl2+, yl1+,..., yl+2+ .

Дадим два определения. Будем говорить, что схема (1)–(2) локальной аппроксимации точна на пространстве алгебраических многочленов Pk степени k = 0, 2, если для любого многочлена pk Pk имеет место равенство S(pk (·), x) = pk (x) (x R). Поясним также, что означает свойство локального сохранения сплайном S kмонотонности исходных данных (при k = 0 — это неотрицательность, при k = 1 — монотонность, при k = 2 — выпуклость). Пусть l 1 Работа поддержана грантом РФФИ № 08–01–00325 и проектом 09-С-1-1007,

–  –  –

установил, что в случае 2) при = 1/2, C1 = C3 = 0, C2 = 1 соответствующая величина приближения E(W ) равняется h2 /8. Последний результат означал, что при указанном выборе параметров сплайна величина приближения такими сплайнами класса функций W в равномерной метрике для 1-периодических функций совпадает с величиной колмогоровского поперечника (определение и историю вопроса см., например, в [2]). Поэтому выбор = 1/2 является оптимальным с точки зрения наилучших аппроксимативных свойств сплайна. Иной выбор параметра ранее не рассматривался. На наш взгляд, в прикладных задачах теории приближения функций параметр может быть выбран не только из соображений наилучшей 150 Тезисы 42-й молодежной школы-конференции аппроксимации на классе W. Например, из теоремы 1 следует, что при = 1/ 2 (или = 1 1/ 2) коэффициент C1 = 0 (C3 = 0), т. е. длину шаблона в (1) при условии точности схемы на пространстве P2 можно уменьшить на единицу. Оказывается также, что если в качестве выбрать единственный на (0, 1) корень уравнения 3 + 2 + 0, 5 = 0, то схема (1)–(2) будет точной на пространстве алгебраических многочленов P3 третьей степени, рассматриваемых только на сетке {(j +)h}jZ, и параметры C1, C2 и C3 в этом случае определяются из системы уравнений 3) теоремы 1 и дополнительного уравнения 7C1 + C2 C3 = 23 .

Нами доказано также, что при любом [0, 1) условия Cs 0 (s = 1, 2, 3) неотрицательности метода (1)–(2) являются необходимыми и достаточными для того, чтобы при каждом фиксированном k = 0, 2 сплайн S обладал свойством локального сохранения kмонотонности исходных данных {yj+ }. При = 1/2, C1 = C3 = 0, C2 = 1 этот результат установил Ю. Н. Субботин [3]. Интересно заметить, что система 2) теоремы 1 при каждом [0, 1) имеет следующее неотрицательное решение: C1 = /2, C2 = 1/2, C3 =, а для системы 3) не существует ни одного значения [0, 1), при котором все числа Cs 0 (s = 1, 2, 3) .

Литература [1] Завьялов Ю.С., Квасов Б.И., Мирошниченко В.Л. Методы сплайн-функций. М.: Наука, 1980 .

[2] Корнейчук Н.П. Сплайны в теории приближения. М.: Наука, 1984 .

[3] Субботин Ю.Н. Наследование свойств монотонности и выпуклости при локальной аппроксимации // ЖВМ и МФ. 1993. Т. 33, № 7. C. 996–1003 .

Приближение функций и численный анализ 151

–  –  –

В теории всплесков для построения кратномасштабного анализа вложенных друг в друга замкнутых подпространств {Vj L2 (R) :

j Z}, определяемых на основе сплайнов, основную роль играют двухмасштабные соотношения для базисных B-сплайнов и их аналогов (см., например, [1, глава IV]). В настоящей работе мы покажем, как эти и более общие соотношения (их еще называют калибровочными) могут быть получены для B-L-сплайнов с равномерными узлами, соответствующих произвольному линейному дифференциальному оператору Ln порядка n N с постоянными действительными коэффициентами. Идея построения заимствована нами из работ С. Б. Стечкина [2], посвященных доказательству неравенства Джексона об оценке сверху наилучшего приближения в C непрерывной функции тригонометрическими многочленами через ее k-ый модуль гладкости, в котором конечные разности с большим шагом раскладываются в линейную комбинацию конечных разностей с шагом, в целое число раз меньшим исходного .

n Пусть Ln = Ln (D) = (D j ) (D — оператор дифференциj=1 рования) — произвольный линейный дифференциальный оператор порядка n с постоянными коэффициентами (старший коэффициент равен 1) и набором {1, 2,..., n } корней его характеристического многочлена. Здесь j — заданные комплексные числа (среди них могут быть и совпадающие).

Дифференциальному оператору Ln поставим в соответствие разностный оператор Ln (h 0), опредеh ленный на пространстве числовых последовательностей {ym }mZ по следующей формуле:

n n Ln ym = (T ej h E) = (1)ns µs ym+s, h s=0 j=1 1 Работа поддержана грантом РФФИ № 08-01-00325 и проектом 09-C-1-1007, выполняемым учеными УрО РАН совместно с СО РАН .

152 Тезисы 42-й молодежной школы-конференции

–  –  –

то имеет место равенство Ln ym = µn Ln ym+n + µn1 Ln ym+n1 + 2h h h... + µ0 Ln ym. Отсюда получаем, что s = µs (s = 0, n), т. е. n = h j h j h n n 1, n1 = e,..., 0 = e. В книге К. Чуи [1] соотношения j=1 j=1 (1) в случае оператора Ln = Dn доказано иным способом .

Из приведенного доказательства становится ясно, чтобы найти коэффициенты в k-масштабном соотношении (k = 2, 3,...) для BL-сплайнов нужно разделить многочлен QLn,kh (xk ) на многочлен QLn,h (x) и вычислить коэффициенты полученного в результате деления многочлена. Отметим, что идею деления характеристических многочленов дифференциальных операторов автор [4] применял также для доказательства неравенства Джексона – Стечкина в пространстве C с тригонометрическим модулем непрерывности, соответствующим оператору L3 = D(D2 + 1) .

Калибровочные соотношения для B-L-сплайнов третьего порядка вида L3 = D(D2 2 ), L3 = D(D2 + 2 ) ( R) изучались также в работах И. К. Демьяновича (см., например, [5]). Им же рассматривались и некоторые более общие конструкции аналогов B-сплайнов с неравномерными узлами, построенных на основе трех линейно независимых функций .

Литература[1] Чуи К. Введение в вейвлеты. М.: Мир, 2001 .

[2] Стечкин С.Б. Избранные труды: Математика. М.: Наука, 1998 .

[3] Шарма А., Цимбаларио И. Некоторые линейные дифференциальные операторы и обобщенные разности // Мат. заметки. 1977 .

Т. 21, № 21. C. 161–173 .

[4] Шевалдин В.Т. Неравенство Джексона – Стечкина в C с тригонометрическим модулем непрерывности, аннулирующим первые гармоники // Труды ИММ УрО РАН. 2001. Т. 7, № 1. C. 144–159 .

[5] Демьянович И.К. Вложение пространства тригонометрических сплайнов и их всплесковое разложение // Мат. заметки. 2005 .

Т. 78, № 5. C. 658–675 .

154 Тезисы 42-й молодежной школы-конференции

–  –  –

где — последовательность демонтажа — некоторая перестановка элементов множества 1, n; tk — время демонтажа k-го элемента; Hk — мощность дозы излучения, создаваемая k-м элементом .

В монографии [3] показано, что для достижения минимума D() Hk следует демонтировать элементы в порядке убывания величины .

tk В практических задачах различные технологические ограничения зачастую могут запрещать демонтировать один элементы раньше, чем будет демонтирован другой элемент. Будем понимать под условиями предшествования в задаче оптимального демонтажа набор пар (ak, bk ), означающий, что в допустимой последовательности элемент ak должен быть демонтирован до того, как будет демонтирован элемент bk .

Очевидно, такая задача имеет решение тогда и только тогда, когда условия предшествования задают некоторый частичный порядок на множестве 1, n. Поэтому, не ограничивая общность, можно считать набор пар (ak, bk ) отношением порядка .

В работе [2] приводится алгоритм решения данной задачи для случая единственного условия предшествования. Если же множество условий предшествования имеет произвольную структуру, то для минимизации функционала D() можно использовать метод динамического программирования (см. [1]). Однако время работы алгоритма, реализующего данный метод, растёт экспоненциально с роМатематическое программирование и распознавание образов 155 стом количества элементов n, и решать задачи на персональном компьютере с его помощью можно, только если n не превосходит двухтрёх десятков .

Общая схема метода имитации отжига Метод имитации отжига (simulated annealing) строит последовательность планов оптимизационной задачи, начиная с начального плана x0 и на t-й итерации переходя от плана xt1 к плану xt. На каждой из итераций метод действует следующим образом. Сначала из множества «соседних» к xt1 планов случайным образом выбирается некоторый план x. Пусть f (x) — стоимость плана x. Если f (x) f (xt1 ), то в качестве xt выбирается план x. Иначе xt задатся по правилу { x с вероятностью pt, xt = xt1 с вероятностью 1 pt .

Здесь pt — вероятность перехода к худшему решению на t-й итерации — некоторая функция от t, x и xt1 .

Процесс построения последовательности планов задачи завершается после выполнения T итераций. Среди всех построенных планов xi выбирается план с наименьшей стоимостью. Этот план и является результатом работы алгоритма, реализующего метод имитации отжига .

Описание алгоритма Для создания алгоритма, укладывающегося в схему имитации отжига, нужно зафиксировать три составляющие: алгоритм построения начального плана x0, алгоритм выбора «соседнего» плана x и функцию pt .

Рассмотрим ориентированный граф, вершинами в котором являются элементы энергоблока, а дугами — отношения предшествования. В качестве плана x0 возьмём произвольную топологическую сортировку данного графа. Алгоритм топологической сортировки приведён в [4] и имеет сложность O(n2 ) .

Пусть на t-й итерации отжига мы имеем текущий план xt1 — перестановку на множестве 1, n. Будем называть элемент перемещаемым, если его положение в xt1 можно изменить, не меняя порядок демонтажа всех остальных элементов. Очевидно, элемент k является перемещаемым тогда и только тогда, когда либо непосредственно 156 Тезисы 42-й молодежной школы-конференции перед k, либо непосредственно после k в перестановке xt1 находится элемент, не связанный с k отношением предшествования. Выберем равновероятно среди всех перемещаемых элементов случайный .

Случайным образом среди всех возможных новых положений этого элемента выберем некоторое (вновь равновероятно). Переместив выбранный элемент на это место, получим план x. Заметим, что множество всех перемещаемых элементов и множество новых положений выбранного элемента могут быть найдены за время O(n) .

Обозначим переменной d количество неупорядоченных пар элементов, между которыми есть отношение предшествования. Полоn + 100d жим pt = 100 · .

n2 + 100d Временная сложность описанного алгоритма составляет O(nT ), где T — количество итераций отжига .

Литература [1] Балушкин Ф.А., Сесекин А.Н., Ташлыков О.Л., Чеблоков И.Б., Щеклеин С.Е., Ченцов А.Г. Использование метода динамического программирования для оптимизации демонтажа оборудования энергоблоков АЭС, выводимых из эксплуатации, с целью минимизации облучения // Известия вузов. Ядерная энергетика. 2009 .

№ 4. С. 3–10 .

[2] Балушкин Ф.А. О задаче минимизации дозы облучения персонала при наличии условия предшествования // Проблемы теоретической и прикладной математики: тезисы 41-й Всероссийской молодёжной конференции. Екатеринбург: ИММ УрО РАН. 2010 .

С. 309–314 .

[3] Конвей Р., Максвелл В., Миллер Л. Теория Расписаний // М.: Наука, 1975 .

[4] Кормен Т., Лейзерсон Ч., Ривест Р. Алгоритмы: построение и анализ. М.: МЦНМО: БИНОМ. Лаборатория знаний. 2004 .

Математическое программирование и распознавание образов 157

СИСТЕМА ДЕТАЛЬНОГО ПЛАНИРОВАНИЯ

МАШИНОСТРОИТЕЛЬНОГО ПРОИЗВОДСТВА

НА ОСНОВЕ ЗАДАЧИ ОБРАБОТКИ ОГРАНИЧЕНИЙ

Белов A.М.1, Вакула И.А.2, Гаврилюк А.Л.2 e-mail: igor.vakula@adaptives.ru Оперативное планирование (составление расписаний) производственных операций крайне актуально в машиностроительном производстве, для которого характерна широкая номенклатура продукции, значительное количество операций, выполняемых в рамках заказа, и альтернативных маршрутов изготовления деталей .

Допустимое для производства расписание должно учитывать объемный план производства (совокупность заказов с директивными сроками), особенности функционирования оборудования (графики ремонтных работ и смен), конструкторскую и технологическую документацию (технологические цепочки операций), логистику предприятия. Подробную классификацию условий планирования (ограничений на допустимые расписания) в машиностроении см. в [1] .

Мы рассматриваем следующую задачу составления расписания (обобщение задачи планирования проекта с ограниченными ресурсами — RCPSP, [2, 3]). Имеется множество O = {o1, o2,..., on } операций, которые должны быть выполнены. На множестве O задано нерефлексивное отношение частичного порядка, задающее последовательность выполнения операций (ограничения предшествования). Для o O положим Pred(o) = {o O : o o}. Для выполнения операций имеется множество ресурсов R = {r1, r2,..., rm } .

Каждой операции o O сопоставлено множество альтернативных ресурсов R(o) R, каждый из которых необходим и достаточен для выполнения o. Для всех o O и r R(o) задана d(o, r) N — длительность выполнения o на r (время дискретно, операции непрерываемы). Естественно полагать, что не все ресурсы и не всегда одинаково могут быть использованы для выполнения операций. Возможность ресурса r выполнять операции в момент t задается функцией cr (t) N — профилем доступности ресурса. В частности, r не может выполнять операции в моменты, когда cr (t) = 0. Рассматриваются 1 ООО «Экстенсив» (http://www.x-tensive.ru) 2 ООО «Адаптивные решения» (http://adaptives.ru), ИММ УрО РАН 158 Тезисы 42-й молодежной школы-конференции только дизъюнктные ресурсы, способные выполнять одновременно не более одной операции, cr (t) {0, 1} .

Для операции o O и r R(o) может быть задан тип операции, T = T (r, o), который определяет время l(r, o), необходимое для переналадки r перед выполнением на нем операции o, если непосредственно предшествующая o операция на r имела тип T = T .

Для моделирования отношений между операциями, в некотором смысле подобных предшествованию, используется понятие продукта .

А именно, вводится множество продуктов P = {p1, p2,..., pk }. Для каждой операции o O задано множество продуктов Cons(o) P, которые потребляются в начале её выполнения, и множество продуктов Prod(o) P, которые оказываются произведенными в результате её выполнения. Для каждого p P задан начальный профиль доступности продукта cp (t), который является неубывающей функцией времени, точки прироста её значений соответствуют внешним поставкам продукта. Для o O и p Cons(o) (соотв. p Prod(o)) задаются величины cs(p, o) (соотв. pr(p, o)) потребляемого (соотв. производимого) операцией o продукта p, и лаги времени: lc(p, o) — готовности и lp(p, o) — доступности продукта p в необходимом объеме до начала операции o и после ее окончания, соответственно .

С помощью продуктов можно моделировать такие связи между операциями, в которых операции одной группы O O производят некоторый полуфабрикат, необходимый для выполнения операций другой группы O O. Выполнение отдельных операций из O может начинаться при наличии необходимого объема полуфабриката независимо от того, какими операциями из O он был произведен .

Использование для описания этой ситуации стандартных отношений предшествования потребует явного задания того, какие именно операции из O для каких операций из O будут производить полуфабрикат, что необоснованно сужает множество допустимых расписаний. Поэтому отношения предшествования на основе продуктов мы называем также отношениями альтернативного предшествования .

Для p P обозначим Prod O(p) = {o O : p Prod(o)} и Cons O(p) = {o O : p Cons(o)} .

Расписанием является любое отображение S, сопоставляющее каждой операции o O ресурс rS (o) R(o) и непрерывный отрезок времени [sS (o), fS (o)] длиной d(o, r).

Расписание S — допустимое, Математическое программирование и распознавание образов 159 если соблюдается:

(1) предшествование с учетом лагов o O:

–  –  –

Длиной расписания назовем величину FS = maxoO fS (o). В нашей постановке задачи не рассматривается ограничение вида FS H, то есть длина допустимого расписания не ограничивается горизонтом планирования H. Под оптимизацией расписания в простейшем случае понимают минимизацию величины FS.

Также в работе рассматриваются следующие критерии оптимизации расписания:

— минимизация максимального отставания сроков выполнения заказов (цепочек операций) от заданных для них директивных сроков, — балансировка загрузки альтернативных ресурсов, — минимизация незавершенного производства .

Для поиска решения подобных оптимизационных задач мы использовали алгоритмы генерации расписаний (см. [3]) на основе эвристических правил предпочтения [2–4]. Для программной реализации этих алгоритмов мы описали задачу составления допустимого расписания как систему ограничений [5], при этом сами эвристические алгоритмы реализуются на уровне методов «обработки ограничений» (constraint processing). На сегодняшний день использование данного подхода является тенденцией, на этой технологии основаны такие передовые пакеты для решения задач дискретной оптимизации, как Comet компании Dynadec и ILOG CP Optimizer компании IBM .

Результатом данной работы является библиотека (реализованная на Microsoft.NET), решающая описанную задачу составления 160 Тезисы 42-й молодежной школы-конференции расписания (как систему ограничений). В постановке задачи учтена специфика области применения библиотеки — MES-система машиностроительного производства. Необходимость разработки была обусловлена рядом причин, среди которых – потребность в новых быстрых эвристических процедурах для составления расписаний (с учетом критериев и условий, характерных для машиностроения [1]), а также стоимость существующих решений и их производительность .

Разработанные алгоритмы показали хорошие результаты по производительности и качеству составляемых расписаний на реальных производственных данных завода ООО «Радиус-Сервис», г. Пермь .

Литература [1] Загидуллин Р.Р. Вопросы классификации систем планирования машиностроительного производства // http://erpnews.ru/doc5478.html .

[2] Erik L. Demeulemeester, Willy S. Herroelen. Project Scheduling:

a Research Handbook. — New York, Boston, Dordrecht, London, Moscow: Kluwer Academic Publishers, 2002 .

[3] Peter Brucker, Sigrid Knust. Complex Scheduling. — Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag, 2006 .

[4] Rainer Kolisch, Sonke Hartmann. Heuristic Algorithms for Solving the Resource-Constrained Project Scheduling Problem: Classication and Computational Analysis (in "Project scheduling: Recent models, algorithms and applications"). — Amsterdam: Kluwer Academic Publishers, 1999. Pp. 147–178 .

[5] Dechter R. Constraint Processing. — San Francisco: Elsevier, 2003 .

[6] Claude Le Pape. Implementation of Resource Constraints in ILOG SCHEDULE: A Library for the Development of Constraint-Based Scheduling Systems // Intelligent Systems Engineering. 1994. Vol. 3 .

Iss. 2. Pp. 55–66 .

Математическое программирование и распознавание образов 161

ОБ ОДНОМ МЕТОДЕ ПОСТРОЕНИЯ ОКРЕСТНОСТИ

В ЗАДАЧЕ CMST

Ипатов А.В .

e-mail: sandro@acm.timus.ru Рассмотрим неориентированный граф G = (V, E), где V = {v0, v1,..., vn }, E = {{vi, vj } | i = j}, для каждого ребра из E определена его неотрицательная стоимость dij. Вершина v0 называется корнем, а все остальные вершины — терминалами. Будем считать, что для каждого терминала определён его вес qi (qi 0) .

Пусть T — остов графа G с корнем в v0. Назовём шлюзами все терминалы, смежные с корнем в графе T .

Задача о минимальном остове с ограниченной пропускной способностью (далее CMST = Capacitated minimum spanning tree) состоит в нахождении такого остова T графа G с корнем в v0, что:

1) сумма весов всех терминалов в любом поддереве T с корнем в шлюзе не превосходит Q;

2) среди всех остовов, удовлетворяющих первому свойству, T имеет минимальную стоимость .

Число Q называется пропускной способностью. Q max qi .

vi V \v0 Задача CMST возникает при проектировании сетей телекоммуникаций, гидравлических сетей и автомобильных дорог. Она является NP-трудной даже в том случае, если все qi = 1 (см. [3]), в связи с чем большое внимание уделяется разработке эвристических и метаэвристических методов её решения. Краткий обзор существующих методов можно найти в [4] .

Отдельный класс методов решения комбинаторных задач составляют алгоритмы локального поиска. В основе всех методов из этого класса лежит итеративная процедура: строится некоторый допустимый план x0 задачи, и далее на каждой итерации осуществляется переход от плана xt к следующему плану xt+1 .

Центральный момент любого алгоритма, реализующего локальный поиск — построение окрестности N (x) — множества допустимых планов, к которым может быть осуществлён переход от плана x .

162 Тезисы 42-й молодежной школы-конференции Некоторые методы построения окрестности для задачи CMST могут быть найдены в [4] .

В данной работе мы рассмотрим окрестность N (xt ) всех планов, получаемых из плана xt удалением и добавлением двух рёбер. Мы приведём алгоритм, перебирающий планы в N (xt ), пока не будет найден план со значением целевой функции меньше, чем у плана xt, и реализуем метод локального поиска, вызывающий на каждой итерации приведённый алгоритм и завершающий работу, как только будет найден первый локальный минимум .

Алгоритм получает на вход план xt. Если в N (xt ) существуют допустимые планы CMST со стоимостью меньше, чем у плана xt, то в качестве xt+1 возвращается произвольный из них. В противном случае в качестве xt+1 возвращается xt .

1. Положим xt+1 = xt. Составим массив currentEdgeP airs из всех пар различных рёбер xt (vi vj, vk vl ), упорядоченных по убыванию величины dij + dkl .

2. Если массив currentEdgeP airs просмотрен до конца, то завершим работу алгоритма. Иначе возьмём из него очередную пару рёбер (vi vj, vk vl ). Удалим эти рёбра из дерева xt+1. При этом xt+1 распадётся на три компоненты связности .

3. Поместим в массив newEdges все рёбра, соединяющие вершины из разных компонент связности xt+1 и имеющие стоимость строго меньше dij + dkl, в порядке возрастания их стоимости .

4. Переберём пары рёбер vp vq и vr vs из newEdges. Если vp vq и vr vs связывают разные пары компонент связности xt+1, добавление vp vq и vr vs к графу xt+1 не нарушит ограничения по пропускной способности и dpq + drs dij + dkl, то добавим к xt+1 рёбра vp vq и vr vs и завершим работу алгоритма .

5. Добавим к xt+1 рёбра vi vj и vk vl и вернёмся к шагу 2 .

Если алгоритм завершил работу на шаге 2, то xt является локальным минимумом. Если же это произошло на шаге 4, то стоимость xt+1 меньше стоимости xt. Если реализовать проверку условий на шаге 4 за O(1) (для этого нужно хранить для каждого поддерева xt Математическое программирование и распознавание образов 163

–  –  –

В таблицу включены примеры, на которых локальный поиск показал наибольшее отклонение от лучшего решения. Для каждого из них указаны стоимость найденного решения (cost), количество итераций локального поиска (k), общее время работы программы (ttotal ) и время работы последней итерации (tk ) в секундах. Для сравнения даны стоимости лучшего известного решения (best) и решения, найденного классическим алгоритмом, приведённым в работе [2] (EW ) .

Литература [1] Robust branch-cut-and-price for the capacitated minimum spanning tree problem over a large extended formulation / E. Uchoa [et al.] // Mathematical Programming: Series A and B. Vol. 112, № 2. 2007 .

Pp. 443–472 .

[2] L.R. Esau, K.C. Williams. On teleprocessing system design .

Part II — A method for approximating the optimal network. IBM Systems Journal 5. 1966. Pp. 142–147 .

[3] C.H. Papadimitriou. The complexity of the capacitated tree problem // Networks 8. 1978. P. 217–230 .

[4] S. Voss. Capacitated minimum spanning trees // C.A. Floudas, P.M. Pardalos (eds.), Encyclopedia of optimization. Vol. 6. Kluwer Academic Publishers. Doordrecht, 2001. Pp. 225–235 .

164 Тезисы 42-й молодежной школы-конференции

–  –  –

На данный момент задачу распознавания диктора нельзя считать решенной, так как разработанные системы идентификации диктора по голосу не отличаются высокой надежностью. Последние исследования в области голосовой биометрики были направлены на исследования формантного метода параметризации речевого сигнала [1, 4–6] .

В работе [6] рассматривается метод текстозависимой верификации диктора на основе анализа формантного набора, где дается описание теста надежности текстозависимой верификации диктора. В реализуемом методе верификации диктора речевой сигнал разбивается на кратковременные непересекающиеся вокализованные сегменты, для которых вычисляются формантные наборы. Практически все алгоритмы приводят к появлению антиформант [1, 3] и тем самым сказываются на качестве распознавания диктора .

В данной работе автором был предложен концептуально новый метод и алгоритм для успешного разбиения речевого сигнала на непересекающиеся вокализованные сегменты. Данный метод основан на представлении сигнала в виде его сингулярностей, которые определяются через их показатели Гёльдера [2, 7] .

Пусть W f (x, s) — непрерывное вейвлет-преобразование функции f (x) : R R

–  –  –

Теорема Джаффара [2] устанавливает связь между убыванием максимума модуля вейвлет-преобразования W f (x, s) и ее показателями Гёльдера, то есть локальной регулярностью функции f (x). По данной теореме вейвлет-преобразование W f (x, s) функции f (x) меМатематическое программирование и распознавание образов 165 няется с изменением масштаба s как

–  –  –

где A — константа, — показатель Гёльдера .

Прологарифмировав обе части последнего уравнения, получим уравнение:

log |W f (x, s)| log A + log s .

Это значит, что, показатель Гёльдера, — это максимальный угол наклона прямых линий уравнения в логарифмическом масштабе, которые превышают log |W f (x, s)| .

В экспериментах был использован широко известный вейвлет, вторая производная от функции Гаусса et /2, равный (t) = 1/4 (1 t2 )et /2 .

Вещественные вейвлеты часто используются для выделения резких изменений сигнала, чтобы исключить информацию о фазе за счет рассмотрения модулей вейвлет-коэффициентов [2] .

Реализованный алгоритм строит скейлограмму изучаемого звукового сигнала при помощи выбранного вейвлета, затем в каждой точке по времени вычисляется наклон log-log графика скейлограммы при помощи построения прямой наилучшего среднеквадратичного приближения этого графика .

Для оценки качества работы предложенного нового метода разбиения речевого сигнала на вокализованные сегменты был проведен эксперимент. Для этого была собрана база голосов из 10 дикторов, каждый диктор произносил 13 раза некоторое одинаковое для всех слово. Ко всем речевым фразам из собранной базы был применен новый метод разбиения речевого сигнала на вокализованные сегменты с помощью оценки сингулярности сигнала, в результате были получены вокализованные сегменты, которые полностью соответствовали гласным звукам в этих речевых сигналах .

Новый предложенный метод разбиения речевого сигнала на вокализованные сегменты был также применен в реализованной системе текстозависимой верификации диктора [6].

Были получены ошибки:

166 Тезисы 42-й молодежной школы-конференции ошибка первого рода — 0.301 и второго рода — 0.0011. Если сравнить с полученными ошибками перового и второго рода с применением обычного метода разбиения речевого сигнала на вокализованные сегменты [6], то можно сделать вывод, что ошибка первого рода уменьшилась на 7 % при фиксированной ошибке второго рода .

Результаты сравнения дают основания полагать, что новый метод сегментации позволит существенно уменьшить ошибки первого и второго рода в задаче текстозависимой верификации диктора .

Литература [1] Аграновский А.В., Леднов Д.А. Теоректические аспекты алгоритмов обработки и классификации сигналов / – М. : Радио и связь, 2004 .

[2] Малла, С. Вейвлеты в обработке сигнала – М.: Мир, 2005 .

[3] Рамишвили Г.С. Автоматическое опознавание говорящего по голосу / – М.: Радио и связь, 1981 .

[4] Ручай А.Н. К вопросу о формантном методе текстозависимой верификации диктора // Научная сессия ТУСУР-2010: Материалы докладов Всероссийской научно-технической конференции. – Томск: В-Спектр, 2010. Ч. 3 С. 194–197 .

[5] Ручай А.Н. К вопросу о законе распределения форманты, биометрической характеристики диктора // Проблемы теоретической и практической математики: тезисы 41-й Всероссийской молодежной конференции. – Екатеринбург: УрО РАН, 2010. C. 401– 407 .

[6] Ручай А.Н. Формантный метод текстозависимой верификации диктора // Вестник Челябинского государственного университета. – Челябинск: ЧелГУ, 2010. C. 121–131 .

[7] Хабибуллин Р.Ф., Левкович-Маслюк Р.Ф. Локализация транзиентов в звуковых сигналах с помощью оценки локального показателя Гёльдера, препринт ИПМ им. М. В. Келдыша РАН. М., 2006 .

Математическое программирование и распознавание образов 167

МОДИФИКАЦИЯ ОДНОГО АЛГОРИТМА

ОПРЕДЕЛЕНИЯ ТЕМПА МУЗЫКАЛЬНОЙ МЕЛОДИИ

Хачай М.Ю., Кобылкин К.С.1 e-mail: mkhachay@imm.uran.ru, kobylkin@imm.uran.ru Разработка алгоритмов определения ритма мелодии является одной из известных задач анализа и обработки цифрового аудио. Ее приложениями являются синхронизация компьютерной анимации, цветомузыкальных устройств с проигрываемым произведением, а также анализ музыкальных композиций с целью автоматического индексирования, облегчающего поиск в больших базах данных .

Можно считать, что ритм это последовательность ударов воображаемого метронома, согласованная в каждый момент времени с музыкальным рисунком проигрываемой композиции. Основными требованиями к алгоритму его выделения являются устойчивость к шуму и вариациям условий исполнения мелодии (громкости, темпа и.т.п.). При этом задача обработки мелодии в реальном времени является более сложной по сравнению с т.н. оффлайн-обработкой, т.к .

в последнем случае мелодия доступна для обработки целиком, в то время как при онлайн-обработке оценка ритма должна выдаваться на основе анализа достаточно короткой предыстории .

Наиболее известный алгоритм beat tracking приведен в работе [1]. В данной работе предлагается простой эвристический алгоритм выделения ритма мелодии, использующий идеи работы [2] .

Музыкальное произведение является структурированным набором музыкальных звуков (нот) определенной длительности и ритм является одним из его компонентов. Ритм любой композиции определяется особыми моментами времени, битами, которые выделяются исполнителем громкостью и (или) интонацией. Темпом называется измеряемая в ударах в минуту скорость, с которой в процессе исполнения встречаются биты .

Определение 1. Атакой [3] ноты называется короткий временной интервал, в течении которого амплитудная огибающая быстро увеличивается. Переходное состояние это включающий атаку короткий 1 Работа частично поддержана УрО РАН, гранты № 09-P-1-1001, 09-C-1-1010, и РФФИ, гранты № 10-01-00273, 10-07-00134 .

168 Тезисы 42-й молодежной школы-конференции временной интервал, в течении которого сигнал изменяется очень быстро некоторым сложным, непредсказуемым образом. Онсетом называется момент начала переходного состояния .

Отыскание онсетов является важной задачей при выделении ритма поскольку биты имеют тенденцию совпадать с онсетами «ярких»

событий музыкального произведения .

Описание алгоритма. Предлагаемая модификация алгоритма работает по следующей общей схеме. На первом этапе для обрабатываемого в реальном времени исходного сигнала вычисляются онсеты, хранится некоторая предыстория этих времен .

На втором этапе вычисляется длина временного промежутка 0 = tn tn1 между последним обнаруженным онсетом tn и предыдущим онсетом tn1. Диапазону возможных в музыке темпов от самого быстрого до самого медленного отвечает определенный диапазон длительностей (периодов). Длительности 0, не принадлежащие этому диапазону, отбрасываются алгоритмом как не соответствующие ни одному из известных музыкальных темпов .

Для каждой длительности этого диапазона алгоритм вычисляет относительную частоту. До момента начала проигрывания мелодии частоты всех длительностей полагаются одинаковыми. Относительная частота последней наблюденной длительности 0 и всех близких к ней длительностей увеличивается, а частоты, соответствующие остальным – уменьшаются. В момент, когда длительность 0 близка к длительности с наибольшей частотой, величина 1/0 выдается в качестве новой оценки темпа .

Вычисление онсетов. Онсеты «ярких» событий мелодии можно найти, регистрируя скачки энергии аудиосигнала (как функции времени) в нескольких частотных поддиапазонах. Функция энергии является суммой квадратов модулей отсчетов преобразования Фурье исходного аудиосигнала, примененного со скользящим окном .

Пусть во время обработки сигнала получен очередной блок из отсчетов исходного сигнала и для каждого частотного поддиапазона вычислены функции энергии {Ei }. Также хранится некоторая предыстория значений энергий для i-го поддиапазона и можно подсчитать среднюю энергию Mi, i = 1,..., k. Алгоритм регистрирует онсет в данном блоке, если выполнено неравенство Ei C · Mi Математическое программирование и распознавание образов 169 для некоторого i = i0, где C – пороговое значение, являющееся характеристикой алгоритма определения онсетов .

Обновление частот. Длительности, различающиеся на степени двойки, обычно считают похожими. В диапазоне длительностей, лежащих между 0.28с и 2.21с, нами был выбран поддиапазон I длительностей от 0.55с до 1.09с.

Введем функцию расстояния g между двумя длительностями 1 и 2 этого поддиапазона, равную:

g(1, 2 ) = min{M m, 2m M }, (1) где m = min{1, 2 }, а M = max{1, 2 } .

Формула для обновления частот длительностей диапазона при определении очередного промежутка 0 похожа на таковую в [2]:

p() = p() + eg (,0 ) (2) где I, 0, 0 а 0 = x0 I, где x = 2t для некоторого целого t. После пересчета частот длительностей I по формуле (2) величины p() нормируются так, чтобы их сумма была равна 1 .

Для оценки производительности алгоритма нами был проведен эксперимент с использованием коллекции MIREX Audio Beat Tracking, включающей 20 мелодий различных музыкальных жанров .

Его качество оценивалось методом кросс-корреляций Мак-Кинни .

Средняя кросс-корреляция по всей коллекции составила 0.34 .

Литература [1] Dixon S. Automatic extraction of tempo and beat from expressive performances / Journal of New Music Research. 2001. Vol. 30, Pp. 39–58 .

[2] Jensen K., Andersen T.H. Real time beat estimation using feature extraction // Proceedings of the Computer Music Modelling and Retrieval Symposium. ser. Lecture Notes in Computer Science .

Springer Verlag. 2003. Vol. 2771. Pp. 13–22 .

[3] Bello J.P., Daudet L., Abdallah S., Duxbury Ch., Davies M., Sandler M. A tutorial on onset detection in music signals // IEEE Transactions on speech and audio processing. 2005. Pp. 1–13 .

[4] MIREX Contest: www.music-ir.org/mirex/wiki/2006:Audio_ Beat_Tracking_Results 170 Тезисы 42-й молодежной школы-конференции

СВОЙСТВО УНИФОРМИЗАЦИИ НА НЕКОТОРЫХ

ДОПУСТИМЫХ МНОЖЕСТВАХ

Авдеев Р.Р .

e-mail: avdeyev@math.nsc.ru Рассматривается вычислимость на допустимых множествах. Изучается свойство униформизации на допустимых множествах видов HF(M) и HYP(M), а также связанные с ним свойства модели M .

В дальшейшем, — сигнатура модели M, а = {U,, } — сигнатура допустимого множества над M .

Определение 1. На допустимом множестве A выполняется принцип униформизации для любого бинарного -предиката R(x, y) существует -функция F (x) такая, что dom(F ) = {x | yR(x, y)}, и справедливо R(x, F (x)) для всех x dom(F ) .

Теорема. Пусть M – рекурсивно насыщенная модель регулярной теории.

Следующие условия эквивалентны:

1. На HYP(M) выполняется принцип униформизации .

2. Для любого A P (M ) \ {}, A HYP(M), существует – функция f : A M такая, что для любого a A выполняется f (a) a. Кроме того, все эти функции задаются с единым набором параметров y .

3. Cуществует c M такой, что для любой пары (u, p) и (u, v, p) формул сигнатуры с параметрами p таких, что определяет отношение эквивалентности на (Mk ), существует вычислимое семейство формул i (u, p, c), дизъюнкция которых определяет подмножество (Mk ), пересекающееся с каждым классом эквивалентности по отношению ровно на одном элементе .

Утверждение. Пусть M – рекурсивно насыщенная модель регулярной теории. Тогда свойство униформизации на HYP(M) влечет свойство униформизации на HF(M) .

Гипотеза 1. Пусть M – рекурсивно насыщенная модель регулярной теории. Тогда свойство униформизации на HF(M) влечет свойство униформизации на HYP(M) .

Предложение 1. Пусть N – рекурсивно насыщенная модель арифметики. Тогда на HYP(N ) выполняется принцип униформизации .

Алгебра и дискретная математика 171 Предложение 2. Пусть R — рекурсивно насыщенная модель теории вещественных чисел (T h(R, 0, 1, +2, ·2, 2 )). Тогда на HYP(R ) выполняется принцип униформизации .

Предложение 3. Если T — несчетно категоричная теория и M — ее счетно-насыщенная модель, то ни на HF(M), ни на HYP(M) не выполняется принцип униформизации .

Предложение 4. Пусть M — счетно-насыщенная модель теории линейного порядка на натуральных числах (T h(, )). Тогда на HYP(M) выполняется принцип униформизации, а на HF(M) — нет (T h(, ) не регулярна) .

Гипотеза 2. Пусть Q — рекурсивно насыщенная модель pp адических чисел (Qp ). Тогда на HYP(Q ) не выполняется принцип p униформизации .

Определение 2. Модель M имеет -определимые скулемовские существует c M для любой формулы (x, y) (сигнафункции туры ) существует –формула (x, y, c)(сигнатуры ) такая, что HF(M) |= x !x( ) .

Предложение 5. Существует теория с определимыми скулемовскими функциями такая, что в HF(M) и HYP(M), где M — ее счетно-насыщенная модель, не выполняется принцип униформизации .

Предложение 6. Пусть T — полная теория, в которой любая модель имеет -определимые скулемовские функции. Тогда существует несущественное расширение T этой теории, в котором есть определимые скулемовские функции .

Предложение 7. Существует модель, в которой есть определимые скулемовские функции, но ее теория регулярна и в любом ее расширении конечным числом констант нет определимых скулемовских функций .

, {0, s2, P 2, Q1 }, где s — преИскомой моделью является M дикатный символ следования, (M |= P (x, y)) (x = 0) ((y = (2x)2 ) (y = (2x + 1)2 )), (M |= Q(x)) (x = 1) (x — не полный квадрат) .

172 Тезисы 42-й молодежной школы-конференции, {0, s2, P 2, Q1 }, где s — предиГипотеза 3. Теория модели M катный символ следования, (M |= P (x, y)) (x = 0) ((y = (f (2x)) (y = f (2x + 1))), (M |= Q(x)) (M |= (x = 0) ¬yP (y, x)) имеет определимые скулемовские функции в некотором несущественном расширении функция f является автоматной .

Основные сведения из теории допустимых множеств изложены в [1]. Критерий униформизации на HF(M), где M — модель регулярной теории, изучался А.И.Стукачевым в [2] .

Литература [1] Barwise J. Admissible Sets and Structures. — Springer–Verlag, Berlin, Gttingen, Heidelberg, 1975 .

o [2] Стукачев А.И. Теорема об униформизации в наследственно– конечных надстройках / в сб. «Обобщенная вычислимость и определимость», № 161, Новосибирск, 1998. С. 3–14 .

Алгебра и дискретная математика 173

–  –  –

Известная теорема О’Нэна-Скотта [1, теорема 2.4] дает индуктивное описание подгрупп симметрических групп. Она утверждает:

Теорема 1 (О’Нэна-Скотта). Пусть H — собственная подгруппа симметрической группы Sn, отличная от An.

Тогда справедливо одно из следующих утверждений:

1) H интранзитивна и H Sk Sm, где n = k + m;

2) H импримитивна и H Sk Sm, где n = km;

3) H содержится в примитивном сплетении Sk Sm, где n = km ;

4) H содержится в аффинной группе AGLd (r) rd : GLd (r), где n = rd ;

5) H содержится в группе вида T m.(Out(T ) Sm ), где T — неабелева простая группа, действующая на смежных классах по подгруппе Aut(T ) Sm, где n = |T |m1 ;

6) H — почти простая группа, действующая на смежных классах по максимальной подгруппе индекса n .

Получено следующее уточнение этой теоремы для случая, когда подгруппа H имеет нетривиальную нормальную r-подгруппу:

Теорема 2. Пусть H — собственная подгруппа симметрической группы Sn, причем Or (H) = 1 для некоторого простого числа r .

Тогда справедливо одно из следующих утверждений:

1) H интранзитивна и H Sk Sm, где n = k + m;

2) H импримитивна и H Sk Sm, где n = km;

3) H содержится в аффинной группе AGLd (r) rd : GLd (r), где n = rd .

Литература [1] Wilson R.A. The nite simple groups — London, Dordrecht, Heidelberg, New York: Springer-Verlag, 2009. P. 309 .

174 Тезисы 42-й молодежной школы-конференции

–  –  –

Все рассматриваемые в сообщении группы являются конечными .

Напомним, что подгруппа H группы G называется 2максимальной подгруппой (или второй максимальной подгруппой) группы G, если H является максимальной подгруппой в некоторой максимальной подгруппе M группы G. Аналогично могут быть определены 3-максимальные подгруппы и т.д. Максимальной цепью длины n группы G называется всякая цепь вида En En1... E1 E0 = G, где Ei является максимальной подгруппой в Ei1, i = 1, 2,..., n .

Связь между n-максимальными подгруппами (где n 1) группы G и структурой группы G исследовалась многими авторами. Но, пожалуй, наиболее ранние результаты в данном направлении были получены Хуппертом, установившим в работе [1] сверхразрешимость групп, в которых все вторые максимальные подгруппы нормальны. Эти результаты получили свое дальнейшее развитие и в работе Л.Я. Полякова [2], который доказал, что группа является сверхразрешимой, если все ее 2-максимальные подгруппы перестановочны со всеми ее максимальными подгруппами. В работе [3] Агравалем была доказана сверхразрешимость группы при условии, что все ее 2-максимальные подгруппы S-квазинормальны (подгруппа H группы G называется S-квазинормальной в G, если H перестановочна со всеми силовскими подгруппами группы G). В более поздней работе [4] М. Асааду удалось усилить отмеченные выше результаты Хупперта, рассматривая лишь строго n-максимальные подгруппы для n = 2, 3. Заметим попутно, что в работе П. Флавелла [5] была найдена точная верхняя граница числа максимальных подгрупп группы, содержащих строго 2-максимальную подгруппу, и описаны группы, в которых эта граница достигается. Естественным развитием упомянутых выше результатов стала работа А. Манна [6], в которой автор анализировал строение групп, в которых каждая n-максимальная подгруппа субнормальна .

В последние годы получен ряд новых интересных результатов Алгебра и дискретная математика 175 о вторых и третьих максимальных подгруппах. В недавней публикации [7] Ли Широнг получил классификацию ненильпотентных групп, каждая 2-максимальная подгруппа которой является T Iподгруппой. В работе [8] Го Шуин и К.П. Шам доказали разрешимость групп, в которых все 2-максимальные подгруппы обладают свойством покрытия-изолирования. В работах [9–11] Го Веньбинем, Ли Баоджуном, А.Н. Скибой и К.П. Шамом были получены новые характеризации сверхразрешимых групп в терминах 2максимальных подгрупп. В работе [12] получено описание ненильпотентных групп, в которых каждая 2-максимальная подгруппа перестановочна со всеми 3-максимальными подгруппами, а в работе [13] получено описание групп, в которых каждая максимальная подгруппа перестановочна со всеми 3-максимальными подгруппами .

В связи с отмеченными выше результатами Хупперта и Манна, Л.А. Шеметковым в 2005 году на Гомельском городском алгебраическом семинаре была поставлена задача установить точное строение конечных групп, у которых в каждой максимальной цепи длины два имеется собственная субнормальная подгруппа. Следующая теорема дает решение поставленной задачи .

Теорема. Пусть G — ненильпотентная группа.

Тогда следующие условия эквивалентны:

(1) в каждой максимальной цепи длины два группы G имеется собственная нормальная в G подгруппа;

(2) в каждой максимальной цепи длины два группы G имеется собственная S-квазинормальная в G подгруппа;

(3) каждая 2-максимальная подгруппа группы G субнормальна в G;

(4) в каждой максимальной цепи длины два группы G имеется собственная субнормальная в G подгруппа;

(5) G является группой Шмидта с абелевыми силовскими подгруппами .

Литература [1] Huppert B. Normalteiler and maximal Untergruppen endlicher gruppen // Math. Z. 1954. Vol. 60. Pp. 409–434 .

176 Тезисы 42-й молодежной школы-конференции [2] Поляков Л.Я. Конечные группы с перестановочными подгруппами // Наука и техника. 1966. С. 75–88 .

[3] Agrawal R.K. Generalized center and hypercenter of a nite group // Proc. Amer. Math. Soc. 1976. Vol. 54. Pp. 13–21 .

[4] Asaad M. Finite groups some whose n-maximal subgroups are normal // Acta Math. Hung. 1989. Vol. 54, № 1. Pp. 9–27 .

[5] Flavell P. Overgroups of second maximal subgroups // Arch. Math .

1995. Vol. 64. Pp. 277–282 .

[6] Mann A. Finite groups whose n-maximal subgroups are subnormal // Trans. Amer. Math. Soc. 1968. Vol. 132. Pp. 395–409 .

[7] Li Shirong. Finite non-nilpotent groups all of whose second maximal subgroups are T I-groups // Mathematical Proccedings of the Royal Irish Academy. 2000. Vol. 100A, № 1. Pp. 65–71 .

[8] Guo X.Y., Shum K.P. Cover-avoidance properties and the structure of nite groups // Journal of Pure and Applied Algebra. 2003 .

Vol. 181. Pp. 297–308 .

[9] Guo W., Shum K.P., Skiba A.N. X-semipermutable subgroups of nite groups // J. Algebra. 2007. Vol. 315. Pp. 31–41 .

[10] Li Baojun New characterizations of nite supersoluble groups // Science in China Serias A: Mathematics. 2008. Vol. 50, № 1. Pp. 827– 841 .

[11] Guo W., Skiba A.N. Finite groups with given s-embedded and nembedded subgroups // J. Algebra. 2009. Vol. 321. Pp. 2843–2860 .

[12] Guo W., Legchekova H.V., Skiba A.N. The structure of nite nonnilpotent groups in which every 2-maximal subgroup permutes with all 3-maximal subgroups // Communications in Algebra. 2009 .

Vol. 37. Pp. 2446–2456 .

[13] Го В.В., Легчекова Е.В., Скиба А.Н. Конечные группы, в которых любая 3-максимальная подгруппа перестановочна со всеми максимальными подгруппами // Матем. заметки. 2009. Т. 86, № 3. С. 50–359 .

Алгебра и дискретная математика 177

ОДНОРОДНОЕ НЕРАСЩЕПИМОЕ

1|4 СУПЕРМНОГООБРАЗИЕ С РЕТРАКТОМ CP3220 Башкин М.А.1 e-mail: m_bashkin@list.ru В 90-х годах А.Л. Онищиком была поставлена проблема классификации однородных нерасщепимых супермногообразий, связанных с заданным однородным расщепимым супермногообразием, которое называется их ретрактом. Мы покажем, что с однородным расщепимым супермногообразием CP3220 связано одно однородное нерасщепимое супермногообразие .

Воспользуемся тем, что однородные расщепимые супермногообразия над CP1 находятся во взаимно однозначном соответствии с 1|4 невозрастающими наборами неотрицательных чисел. Через CP3220 обозначим расщепимое супермногообразие, определяемое голоморфным векторным расслоением E CP1 ранга 4, представленное в виде прямой суммы линейных расслоений на прямые E = L3 2L2 L0 .

Покроем CP1 двумя аффинными картами U0 и U1 с локальными координатами x и y = x соответственно. Тогда функции перехода супермногообразия CP3220 в U0 U1 имеют вид y = x1, 1 = x3 1, 1|4 2 = x2 2, 3 = x2 3, 4 = 4, где i и i (i = 1,..., 4)— базисные сечения расслоения E над U0 и U1 соответственно .

Один из подходов к задаче классификации комплексных супермногообразий с заданным ретрактом (M, Ogr ) заключается в следующем. Согласно теореме Грина, классы изоморфных супермногообразий такого вида находятся в биективном соответствии с орбитами группы автоморфизмов соответствующего векторного расслоения E на множестве когомологий H 1 (M, Aut(2) Ogr ) со значениями в пучке Aut(2) Ogr автоморфизмов пучка Ogr, тождественных по модулю квадрата подпучка нильпотентных элементов. В некоторых случаях вычисление этих неабелевых когомологий удается свести к вычислению обычных (абелевых) когомологий со значениями в пучке Tgr векторных полей на (M, Ogr ). В нашем случае существует биекция между множеством H 1 (CP1, Aut(2) Ogr ) и векторным пространРабота поддержана грантом РФФИ № 07-01-00230 .

178 Тезисы 42-й молодежной школы-конференции ством H 1 (CP1, (Tgr )2 (Tgr )4 ) (см. [1, 2]). При этом как абелевы, так и неабелевы когомологии могут быть описаны при помощи комплекса Чеха, связанного со штейновым открытым покрытием многообразия M. При исследовании супермногообразий на однородность и четную однородность существенное значение имеют критерии подъема на супермногообразие с его ретракта векторных полей и действий групп Ли, связанные с инвариантностью класса когомологий, определяющего супермногообразие, относительно этих действий (см. [3]) .

Получено описание четно-однородных и однородных нерасщепимых супермногообразий с ретрактом CP3220. Основным результатом является доказательство того, что с точностью до изоморфизма существует одно однородное нерасщепимое супермногообразие с ретрактом CP3220.

В покрытии {U0, U1 } оно может быть задано следующим коциклом:

–  –  –

Литература [1] Башкин М.А., Онищик А.Л. Однородные нерасщепимые супермногообразия над комплексной проективной прямой / в сб. «Математика, кибернетика, информатика». Труды международной научной конференции памяти А.Ю. Левина. С. 40–57. — Ярославль: ЯрГУ, 2008 .

[2] Башкин М.А., Онищик А.Л. Однородные нерасщепимые супермногообразия размерности 1|4 над комплексной проективной прямой / в сб. «Математика в Ярославском университете. К 30летию математического факультета». С. 17–32. — Ярославль: ЯрГУ, 2006 .

[3] Onishchik A.L. A Construction of Non-Split Supermanifolds // Annals of Global Analysis and Geometry. 1998. Vol. 16. Pp. 309– 333 .

Алгебра и дискретная математика 179

О ГРУППЕ АВТОМОРФИЗМОВ ОБОБЩЕННОГО

ШЕСТИУГОЛЬНИКА GH(6, 6) Белоусов И.Н.1 e-mail: i_belousov@mail.ru Мы рассматриваем неориентированные графы без петель и кратных ребер. Для вершины a графа через i (a) обозначим iокрестность вершины a, то есть подграф, индуцированный на множестве всех вершин, находящихся на расстоянии i от a. Положим [a] = 1 (a), a = {a} [a] .

Пусть — граф, a, b, число вершин в [a] [b] обозначается через µ(a, b) (через (a, b)), если a, b находятся на расстоянии 2 (смежны) в. Далее, индуцированный [a] [b] подграф называется µ-подграфом (-подграфом) .

Если вершины u, w находятся на расстоянии i в, то через bi (u, w) (через ci (u, w)) обозначим число вершин в пересечении i+1 (u) (i1 (u)) с (w). Граф диаметра d называется дистанционно регулярным с массивом пересечений {b0, b1,..., bd1 ; c1,..., cd }, если значения bi (u, w) и ci (u, w) не зависят от выбора вершин u, w на расстоянии i в для любого i = 0,..., d. Для вершин u, w дистанционно регулярного графа, находящихся на расстоянии l друг от друга, через pl обозначается число вершин z с d(u, z) = i и d(z, w) = j .

ij Для подмножества X автоморфизмов графа через Fix(X) обозначается подграф, индуцированный на множестве всех вершин графа, неподвижных относительно любого автоморфизма из X .

Графом простых чисел GK(G) группы G называется граф, вершинами которого являются простые делители порядка группы G и две вершины p и q которого смежны тогда и только тогда, когда в группе существeт элемент порядка pq .

Система инцидентности (X, L), где X — множество точек и L — множество прямых, называется почти 2n-угольником порядка (s, t), если каждая прямая содержит s + 1 точку, каждая точка лежит на t + 1 прямой (прямые пересекаются не более, чем по одной точке), диаметр графа коллинеарности равен n и для любой пары 1 Работавыполнена при поддержке РФФИ (грант № 11-01-00019), программы отделения математических наук РАН и программ совместных исследований УрО РАН с СО РАН и с НАН Беларуси .

180 Тезисы 42-й молодежной школы-конференции (a, L) (X, L) на прямой L найдется единственная точка, ближайшая к a в графе коллинеарности. Почти 2n-угольник называется обобщенным 2n-угольником, если любые две точки u, w, находящиеся на расстоянии, меньшем n, лежат на единственном геодезическом пути, идущем от u к w. Обобщенный 2n-угольник порядка (s, t) называется толстым, если s 1 и t 1 .

Точечным графом геометрии точек и прямых называется граф, вершинами которого являются точки геометрии и две различные вершины которого смежны, если они лежат на прямой .

Фейт и Хигман в [1] показали, что толстые обобщенные 2nугольники существуют лишь для 2 n 5. Неизвестно, существуют ли толстые обобщенные шестиугольники порядка, отличного от (q, q), (q, q 3 ) и (q 3, q), где q — степень простого числа. В работе [2] Янушка доказал единственность обощенных шестиугольников порядка (p, p), где p — простое число. В данной работе изучаются автоморфизмы дистанционно регулярных графов с массивом пересечений {42, 36, 36; 1, 1, 7}. Этот граф является точечным графом обобщенного шестиугольника GH(6, 6) (см. [3, гл. 6]) и не содержит n-циклов для 4 n 5 .

В работе удалось доказать следущую теорему .

Теорема. Пусть — дистанционно регулярный граф с массивом пересечений {42, 36, 36; 1, 1, 7}, G = Aut(). Тогда (G) {2, 3, 5, 7, 31, 43} и G действует интранзитивно на множестве вершин графа .

Литература [1] Feit W., Higman G. The non-existence of certain generalized polygons // J. Algebra. 1964. Vol. 1. Pp. 114–131 .

[2] Yanushka A. Generalized hexagon of order (t, t) // Israel J. Math .

1976. Vol. 23. Pp. 309–324 .

[3] Brouwer A.E., Cohen A.M., Neumaier A. Distance-Regular Graphs — Berlin, Heidelberg, New York: Springer-Verlag, 1989 .

Алгебра и дискретная математика 181

О ВПОЛНЕ РЕГУЛЯРНЫХ ЛОКАЛЬНО

ЦИКЛИЧЕСКИХ ГРАФАХ

Буриченко В.П., Махнев А.А.1 e-mail: makhnev@imm.uran.ru Мы рассматриваем неориентированные графы без петель и кратных ребер. Если a, b — вершины графа, то через d(a, b) обозначается расстояние между a и b, а через i (a) — подграф графа, индуцированный множеством вершин, которые находятся в на расстоянии i от вершины a. Подграф (a) = 1 (a) называется окрестностью вершины a и обозначается через [a], если граф фиксирован. Через a обозначается подграф, являющийся шаром радиуса 1 с центром a .

Пусть F — класс графов. Граф называется локально F-графом, если [a] F для любой вершины a. Если класс F состоит из графов, изоморфных некоторому графу, то говорят о локально

-графах .

Граф называется регулярным графом степени k, если [a] содержит точно k вершин для любой вершины a из. Граф называется реберно регулярным графом с параметрами (v, k, ), если содержит v вершин, является регулярным степени k и каждое ребро лежит в треугольниках. Граф называется вполне регулярным графом с параметрами (v, k,, µ), если реберно регулярен и подграф [a] [b] содержит µ вершин в случае d(a, b) = 2. Вполне регулярный граф диаметра 2 называется сильно регулярным графом. Число вершин в [a] [b] обозначим через (a, b) (через µ(a, b)), если d(a, b) = 1 (если d(a, b) = 2), а соответствующий подграф назовем (µ-) -подграфом .

Через Km1,...,mn обозначим полный n-дольный граф, с долями порядков m1,..., mn. Если m1 =... = mn = m, то соответствующий граф обозначается через Knm. Если m 2, то граф K1,m называется m-лапой. Треугольным графом T (m) называется граф с множеством неупорядоченных пар из X в качестве вершин, |X| = m и пары {a, b}, {c, d} смежны тогда и только тогда, когда они имеют единственный общий элемент. Граф на множестве вершин X Y называется m n-решеткой, если |X| = m, |Y | = n и вершины 1 Работа выполнена при финансовой поддержке программы совместных исследований УрО РАН с НАН Беларуси и Российского фонда фундаментальных исследований (грант 11-01-00019) .

182 Тезисы 42-й молодежной школы-конференции (x1, y1 ), (x2, y2 ) смежны тогда и только тогда, когда x1 = x2 или y1 = y2. Для подграфа через || обозначим число его вершин, а через Xi () обозначим множество вершин из, смежных точно с i вершинами из .

Граф Пэли P (q) в качестве вершин имеет элементы поля Fq, q 1 (mod 4), и две его вершины a, b смежны, только если b a является ненулевым квадратом в Fq. Граф Шрикханде — это единственный сильно регулярный локально шестиугольный граф с параметрами (16,6,2,2) .

Если вершины u, w находятся на расстоянии i в, то через bi (u, w) (через ci (u, w)) обозначим число вершин в пересечении i+1 (u) (пересечении i1 (u)) с [w]. Граф диаметра d называется дистанционно регулярным с массивом пересечений {b0,..., bd1 ; c1,..., cd }, если для любого i {0,..., d} и любых вершин u, w, находящихся на расстоянии i, имеем bi (u, w) = bi, ci (u, w) = ci .

Заметим, что в реберно регулярном графе с параметрами (v, k, ) значение b1 (u, w) не зависит от выбора ребра {u, w} и равно k 1 .

Далее, дистанционно регулярный граф является вполне регулярным с k = b0, = k b1 1 и µ = c2. Граф Клейна — это единственный дистанционно регулярный локально семиугольный граф диаметра 3 на 24 вершинах, являющийся 3-накрытием 8-клики .

В работе исследуются локально Ck -графы, где Ck является kциклом, k 3. Такие графы называют также локально k-угольными .

Ясно, что связный локально C3 -граф является полным графом K4 на четырех вершинах. Связный локально Cn -граф является октаэдром в случае k = 4 и графом икосаэдра в случае k = 5 (см. предложения 1.1.4 и 1.1.5 из [1]) .

В случае k = 6 возникает бесконечное двупараметрическое семейство графов, задаваемых с помощью разбиения плоскости одинаковыми равносторонними треугольниками (см. [2]) .

Пример. Конструкция Мэтона. Пусть q = rµ + 1 — степень простого числа, r 1 и µ четно или q — степень 2. Если V — векторное пространство размерности 2 над полем F = Fq с невырожденной знакопеременной формой B, K — подгруппа из F индекса r и b F, то граф с множеством вершин {Kv | v V {0}}, в котором вершины Ku, Kv смежны, если B(u, v) bK, является дистанционно регулярным с массивом пересечений {q, qµ1, 1; 1, µ, q} Алгебра и дискретная математика 183 (r-накрытием (q + 1)-клики) .

является реберно симметричным графом. Степень графа равна µ, и — локально циклический граф, если µ = 2 и q — простое число .

Теорема 1. Пусть — сильно регулярный локально Ck -граф, k 4 и v 1000 .

Тогда — октаэдр или граф с параметрами (13, 6, 2, 3), (16, 6, 2, 2), (40, 12, 2, 4), (64, 18, 2, 6), (96, 19, 2, 4), (112, 30, 2, 10), (196, 39, 2, 9), (204, 28, 2, 4), (232, 33, 2, 5), (256, 51, 2, 12), (364, 33, 2, 3), (676, 45, 2, 3) или (690, 52, 2, 4) .

Теорема 2. Пусть — дистанционно регулярный локально Ck граф диаметра, большего 2, и v 1000. Тогда верно одно из утверждений:

(1) — примитивный граф с массивом пересечений {13, 10, 7; 1, 2, 7}, {15, 12, 6; 1, 2, 10}, {19, 16, 8; 1, 2, 8}, {24, 21, 3; 1, 3, 18}, {35, 32, 8;

1, 2, 28}, {51, 48, 8; 1, 4, 36};

(2) — антиподальный граф с µ = 2 и массивом пересечений {2r + 1, 2r 2, 1; 1, 2, 2r + 1}, r {3, 4,..., 21} {10, 16} и v = 2r(r + 1);

(3) — антиподальный граф с µ 3 и массивом пересечений {15, 12, 1; 1, 4, 15}, {18, 15, 1; 1, 5, 18}, {27, 24, 1; 1, 8, 27}, {35, 32, 1; 1, 4, 35}, {45, 42, 1; 1, 6, 45}, {42, 39, 1; 1, 3, 42}, {75, 72, 1; 1, 12, 75} .

Литература [1] Brouwer A.E., Cohen A.M., Neumaier A. Distance-regular graphs // Berlin etc: Springer-Verlag, 1989 .

[2] Thomassen C. Tilings of the torus and the Klein bottle and vertex transitive graphs on a xed surface // Trans. Amer. Math. Soc. 1991 .

Vol. 323. Pp. 605–635 .

184 Тезисы 42-й молодежной школы-конференции

ОБ M -ДОБАВЛЯЕМЫХ ПОДГРУППАХ КОНЕЧНЫХ

ГРУПП Васильев В.А .

e-mail: vovichx@mail.ru Рассматриваются только конечные группы.

Элемент m решетки L называется модулярным (в смысле Куроша), если выполняются следующие условия:

(1) x (m z) = (x m) z для всех x, z L таких, что x z;

(2) m (y z) = (m y) z для всех y, z L таких, что m z .

Имея дело с решеткой L(G) всех подгрупп группы G, мы приходим к понятию модулярной подгруппы группы G .

Определение 1.

Подгруппа M группы G называется модулярной подгруппой в G, если выполняются следующие условия:

(1) X, M Z = X, M Z для всех X G, Z G таких, что X Z;

(2) M, Y Z = M, Y Z для всех Y G, Z G таких, что M Z .

Понятие модулярной подгруппы впервые было введено в работе Р. Шмидта [1] и оказалось полезным в вопросах классификации составных групп. В частности, в монографии Р. Шмидта [2] модулярные подгруппы были использованы для получения новых характеризаций сверхразрешимых групп. Дополняя эти результаты, мы используем обобщенные модулярные подгруппы для изучения частично сверхразрешимых групп и нильпотентных групп .

Определение 2. Пусть H G. Подгруппу, порожденную всеми теми подгруппами из H, которые модулярны в G, назовем модулярным ядром подгруппы H в группе G и обозначим HmG .

Элементы теории модулярных ядер и некоторые приложения такой теории даны в работе [3]. В данном сообщении мы используем это понятие в следующем определении .

–  –  –

Данное сообщение посвящено изучению строения групп в зависимости от наличия в них m-добавляемых подгрупп. В частности, найдены новые критерии p-сверхразрешимости и p-нильпотентности групп .

Литература [1] Schmidt R. Modulare Untergruppen endlicher Gruppen // J. Ill .

Math. 1969. Vol. 13. Pp. 358–277 .

[2] Schmidt R. Subgroup Lattices of Groups. — Berlin, New York: Walter de Gruyter, 1994 .

[3] Васильев В.А., Скиба А.Н. Новые характеризации конечных разрешимых групп // Проблемы физики, математики и техники .

2010. № 3. C. 51–58 .

186 Тезисы 42-й молодежной школы-конференции

–  –  –

Диалгеброй называется векторное пространство D с двумя билинейными операциями умножения, : D D D, относительно каждой из которых D является алгеброй. Диалгебра называется ассоциативной, если она удовлетворяет тождествам

–  –  –

и (x, y, z) := (x y) z x (y z) = 0, (x, y, z) := (x y) z x (y z) = 0, (2) (x, y, z) := (x y) z x (y z) = 0 .

Тождества (1) называются 0-тождествами, тождества (2) получаются из тождества ассоциативности, если выбрать переменную и расположить знаки диалгебраических операций, чтобы они указывали на эту переменную. Ассоциативные диалгебры были введены в 1993 году [1], с их помощью строится универсальная обёртывающая для алгебр Лейбница. Далее в литературе появлялись различные типы диалгебр, и, наконец, Колесников [2] из общеалгебраических соображений, основанных на теории операд, показал, как для определённого многообразия алгебр построить соответствующее многообразие диалгебр. В частности, были указаны 3 тождества, определяющие многообразие йордановых диалгебр .

Пусть (D,, ) — ассоциативная диалгебра. Если определить на множестве D операции (a b + b a), a () b = (a b + b a), a () b = то получается новая диалгебра, которую мы будем обозначать D(+) .

Легко проверить, что эта диалгебра будет йордановой. Йорданову диалгебру J будем называть специальной, если J вкладывается в 1 Работа выполнена при поддержке АВЦП Рособразования (проект 2.1.1.10726), гранта РФФИ 09-01-00157-A, НШ-3669.2010.1 и ФЦП (гос .

контракты № 02.740.11.5191, № 14.740.11.0346) .

Алгебра и дискретная математика 187 D(+) для некоторой ассоциативной диалгебры D. Йордановы диалгебры, которые не являются специальными, будем называть исключительными. Автором доказано следующее предложение, дающее пример исключительной йордановой диалгебры .

Предложение. Пусть (J, ) — исключительная йорданова алгебра, причём такая, что из условия x J = 0, где x J, следует x = 0 .

Тогда J, рассматриваемая как диалгебра с одинаковыми операциями x () y := xy и x () y := xy, является исключительной йордановой диалгеброй .

Замечание. Как известно, существует простая исключительная йорданова алгебра Алберта. Она удовлетворяет условиям предложения 8 и, следовательно, будет являться исключительной йордановой диалгеброй .

В работе [3] по аналогии с обычными алгебрами введено понятие специального тождества (s-тождества) как тождества, которое выполнено во всех специальных йордановых диалгебрах, но не выполняется во всех йордановых диалгебрах. В работе [3] методами компьютерной алгебры доказано следующее утверждение .

Теорема 1 (Бремнер, Перези). Для йордановых диалгебр нет sтождеств степени 7 и существует полилинейное s-тождество степени 8 .

В настоящей работе теорема 1 получена как следствие из доказанной теоремы 2 о соответствии полилинейных s-тождеств диалгебр и обычных алгебр, при доказательстве не использовались методы компьютерной алгебры .

Если f = f (x1,..., xn ) — многочлен, то через f (x1,..., xi,..., xn ) мы будем обозначать димногочлен, в котором центральной буквой является xi, то есть он получается из f такой расстановкой знаков диалгебраических операций, что все знаки указывают на xi. Пусть g = g(x1,..., xi,..., xn ) — димногочлен, тогда через g мы будем обозначать многочлен, получающийся из g заменой знаков диалгебраических операций на знак одной операции обычного умножения .

Теорема 2. 1 .

Пусть g = g(x1,..., xn ) — полилинейное s-тождество обычных алгебр. Тогда для любого i = 1,..., n димногочлен g(x1,..., xi,..., xn ) является полилинейным s-тождеством диалгебр .

188 Тезисы 42-й молодежной школы-конференции

–  –  –

В работе [3] поставлена проблема обобщить классические результаты, известные для йордановых алгебр, на случай диалгебр. В настоящей работе доказаны следующие аналоги теоремы Ширшова .

Теорема 3. Пусть J — однопорождённая йорданова диалгебра .

Тогда J специальна .

Теорема 4. Пусть J — свободная двупорождённая йорданова диалгебра .

Тогда J специальна .

Следствие. Если тождество от двух переменных выполнено во всех специальных йордановых диалгебрах, то оно выполнено во всех йордановых диалгебрах .

Также доказан аналог теоремы Макдональда .

Теорема 5. Пусть f = f (x, y, z) — димногочлен, линейный по z .

Тогда если f выполняется во всех специальных йордановых диалгебрах, то f выполняется во всех йордановых диалгебрах .

Литература [1] Loday J.-L., Pirashvili T. Universal envelopping algebras of Leibniz algebras and homology // Math. Ann. 1993. Vol. 296. Pp. 139–158 .

[2] Колесников П. С. Многообразия диалгебр и конформные алгебры // Сиб. мат. журн. 2008. Т. 49, № 2. С. 322–339 .

[3] Bremner M., Peresi L. A. Special identities for quasi-Jordan algebras // to appear in Comm. Algebra, arXiv:1008.2723 .

–  –  –

Доказательство. См. [2] .

Утверждение 2. Окрестность вершины x имеет второе собb1 1 (при этом второе собственное ственное значение d + 1 значение считается равным степени графа a1, если (x) несвязен) .

Доказательство. См. [1, Th. 4.4.3] .

Утверждение 3. Пусть является связным графом на v вершинах. Если регулярен степени k v 1 и не является циклом нечетной длины, то содержит коклику размера v/k .

1 Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 11-01-00019), гранта Президента РФ для молодых ученых (проект МК-938.2011.1) и программы УрО РАН для молодых ученых .

190 Тезисы 42-й молодежной школы-конференции Доказательство. Из [3, Prop. 4.2.1] следует, что хроматическое число () 1 + k, при этом равенство достигается тогда и только тогда, когда является полным графом или циклом нечетной длины. С другой стороны, размер максимальной клики в не меньше, чем v/() .

Теорема. Массив {55, 36, 11; 1, 4, 45} не может быть массивом пересечений дистанционно регулярного графа .

–  –  –

Литература [1] A.E. Brouwer, A.M. Cohen, A. Neumaier. Distance-Regular Graphs .

Berlin, Heidelberg, New York: Springer-Verlag, 1989 .

[2] Jack H. Koolen, Jongyook Park. Shilla distance-regular graphs // arXiv:0902.3860 [math.CO] [3] A.E. Brouwer, W.H. Haemers. Spectra of graphs // course notes .

Алгебра и дискретная математика 191

–  –  –

Пусть G – конечная группа, N (G) – множество порядков сопряженных классов группы G, (G) — множество всех простых делителей ее порядка и (G) — спектр группы G, т. е. множество порядков всех ее элементов. В восьмидесятых годах прошлого столетия Томпсоном была сформулирована следующая гипотеза .

Гипотеза Томпсона. Пусть L – конечная простая группа, G

– конечная группа c тривиальным центром и N (G) = N (L). Тогда G L .

Граф GK(G) = V (GK(G)), E(GK(G)), где V (GK(G)) — множество вершин и E(GK(G)) — множество ребер, называется графом Грюнберга — Кегеля (или графом простых чисел) группы G, если V (GK(G)) = (G) и ребро (r, s) лежит в E(GK(G)) тогда и только тогда, когда rs (G). В настоящее время получен положительный ответ для большинства конечных простых групп с несвязным графом простых чисел [1], и лишь для двух групп со связным графом простых чисел [2]. В настоящей работе исследуется гипотеза Томпсона для знакопеременных групп степени p + 3, где p – простое число, большее 11 .

Теорема. Пусть L Altp+3, G – такая конечная группа c тривиальным центром, что N (G) = N (L). Тогда G неразрешима и обладает единственным неабелевым композиционным фактором .

Литература [1] Chen G. Y. On Thompson’s conjecture // J. Algebra, Vol. 185. Pp .

396–404 (1996) .

[2] Vasilev A. V. On Thompson’s conjecture for groups with connected prime graph // Sib. El. Math. Rep. (http://semr.math.nsc.ru), to appear .

1 Работа выполнена при поддержке Совета по грантам Президента РФ (НШи АВЦП Рособразования «Развитие научного потенциала высшей школы» (проект 2.1.1.419) .

192 Тезисы 42-й молодежной школы-конференции

–  –  –

Все графы, рассматриваемые в данной работе,— неориентированные, без петель и кратных ребер .

Определение 1. Графом Деза с параметрами (v, k, b, a), где b a, называется граф на v вершинах, степень каждой вершины которого равна k и любые две вершины имеют a или b общих смежных .

Определение 2. Сильно регулярным графом с параметрами (v, k,, µ) называется граф на v вершинах, степень каждой вершины которого равна k, любые две смежные вершины имеют точно общих смежных с ними и две несмежные вершины имеют µ общих смежных .

Определение 3. Точным графом Деза называется граф Деза диаметра 2, не являющийся сильно регулярным .

В этой работе рассматриваются только точные графы Деза .

В статье [1] Эриксона, Фернандо, Хэмерса, Харди и Хеммитера были предложены некоторые конструкции для построения точных графов Деза. В той же статье были найдены все точные графы Деза с числом вершин не более 13, с указанием способа построения. В данной статье мы продолжили эту работу и нашли все точные графы Деза на 14, 15 и 16 вершинах .

Для описания наденных графов нам понадобятся следующие конструкции из статьи [1] (утверждения 1-3) .

Пусть G — группа и D G. Определим D1 как множество {d1 :

d D} и определим DD1 как мультимножество {dd1 : d, d D} (в DD1 могут быть повторяющиеся элементы). Для подмножеств A и B множества элементов G и целых чисел a и b будем писать DD1 = aA+bB, если в DD1 содержится a копий каждого элемента из A и b копий каждого элемента из B .

1 Работавыполнена при финансовой поддержке гранта Президента РФ для молодых ученых (проект МК-938.2011.1) и программы УрО РАН для молодых ученых .

Алгебра и дискретная математика 193 Предложение 1. Пусть D — подмножество элементов группы такое, что (i) || = v и |D| = k;

(ii) единица группы не содержится в D;

(iii) D1 = D;

(iv) DD1 = aA + bB + ke, где A, B и {e} — разбиение ;

Пусть G — граф, множество вершин которого — все элементы группы, и вершина u смежна с v тогда и только тогда, когда v 1 u D, тогда G — граф Деза с параметрами (v, k, b, a) .

Предложение 2. Пусть G — сильно регулярный граф с параметрами (n, k,, µ), k = µ, = µ, и с матрицей смежности M. Пусть P — перестановочная матрица, тогда P M — матрица смежности графа Деза тогда и только тогда, когда P задает инволютивный автоморфизм графа G, переставляющий только несмежные вершины .

Определение 4. Пусть G1 = (V1, E1 ) и G2 = (V2, E2 ) — графы .

Композиция G1 [G2 ] графов G1 и G2 — граф с набором вершин V1 V2, в котором (u1, u2 ) смежна с (v1, v2 ) тогда и только тогда, когда u1 смежна с v1 или (u1 = v1 и u2 смежна с v2 ) .

Предложение 3. Пусть G1 = Kx, полный граф на x вершинах, и G2 = yK2, y изолированных копий K2. Тогда G1 [G2 ] — граф Деза с параметрами (2xy, 1 + 2y(x 1), 2y(x 1), 2 + 2y(x 2)) .

В статье [1] найдены ограничения на параметры графа Деза, наиболее существенное из них заключается в том, что если G — граф Деза с параметрами (v, k, b, a), то b a делит b(n 1) k(k 1) .

В данной работе найдены все точные графы Деза на 14, 15 и 16 вершинах, и для каждого графа найдена конструкция из [1], позволяющая его получить. Поиск графов осуществлялся с помощью разработанного авторами алгоритма перебора .

Алгоритм был реализован на языке C++. В результате его работы были найдены все наборы параметров, для которых точные графы Деза существуют. Но для каждого набора нашлось не менее 194 Тезисы 42-й молодежной школы-конференции нескольких тысяч, а для некоторых — и десятки тысяч графов. Поэтому была поставлена задача поиска среди этих графов всех неизоморфных и построения найденных графов с использованием приведенных выше конструкций. Так как в общем случае неизвестно существование полиномиального алгоритма проверки изоморфизма графов, то задача решалась отдельно для каждого набора параметров. В алгоритм вводились ограничения на перебор, соответствующие заданию нумерации вершин графа .

Найденные неизоморфные графы приведены в таблице, для каждого графа указана конструкция, с помощью которой он был получен .

<

–  –  –

Литература [1] Erickson M., Fernando S., Haemers W.H., Hardy D., Hemmeter J .

Deza graphs: a generalization of strongly regular graphs // J. Comb .

Designs. 1999. Vol. 7. Pp. 359–405 .

Алгебра и дискретная математика 195

–  –  –

Мы рассматриваем неориентированные графы без петель и кратных ребер. Если a, b — вершины графа, то через d(a, b) обозначается расстояние между a и b, а через i (a) — подграф графа, индуцированный множеством вершин, которые находятся в на расстоянии i от вершины a. Подграф (a) = 1 (a) называется окрестностью вершины a и обозначается через [a], если граф фиксирован. Через a обозначается подграф, являющийся шаром радиуса 1 с центром a .

Пусть F — класс графов. Граф называется локально F-графом, если [a] F для любой вершины a. Если класс F состоит из графов, изоморфных некоторому графу, то говорят о локально

-графах .

Граф называется регулярным графом степени k, если [a] содержит точно k вершин для любой вершины a из. Граф называется реберно регулярным графом с параметрами (v, k, ), если содержит v вершин, является регулярным степени k, и каждое ребро лежит в треугольниках. Граф называется вполне регулярным графом с параметрами (v, k,, µ), если реберно регулярен и подграф [a] [b] содержит µ вершин в случае d(a, b) = 2. Вполне регулярный граф диаметра 2 называется сильно регулярным графом .

В [1] классифицированы связные вполне регулярные локально псевдо-GQ(3, 5)-графы. Если диаметр графа равен 2, то граф имеет параметры (245, 64, 18, 16). В данной работе найдены возможные автоморфизмы сильно регулярного графа с параметрами (245, 64, 18, 16) и определены подграфы их неподвижных точек. Для автоморфизма g через i (g) обозначим число пар вершин (u, ug ) таких, что d(u, ug ) = i .

Теорема. Пусть — сильно регулярный граф с параметрами (245, 64, 18, 16), g — элемент простого порядка p из Aut() и =

Fix(g). Тогда верно одно из утверждений:

1 Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант 11-01-00019), программы отделения математических наук РАН и программ совместных исследований УрО РАН с СО РАН и с НАН Беларуси .

196 Тезисы 42-й молодежной школы-конференции (1) — пустой граф, (p = 5 и 1 (g) делится на 70) или (p = 7 и 1 (g) делится на 98);

(2) является n-кликой, и верно ровно одно из следующих утверждений:

(i) n = 5; p = 3, 1 (g) = 42r + 12 или p = 5, 1 (g) = 70s 30;

(ii) n = 8, p = 3 и 1 (g) = 42r 6;

(iii) n = 10, p = 5 и 1 (g) = 70s + 10;

(iv) n = 11, p = 3 и 1 (g) = 42r + 18;

(3) является m-кокликой, p = 2, m нечетно, 5 m 21 и 1 (g) 8m делится на 14;

(4) содержит геодезический 2-путь и p 13 .

Приведем некоторые вспомогательные результаты .

Лемма 1. Пусть является сильно регулярным графом, g — элемент порядка p группы G = Aut() и — характер проекции мономиального представления группы G на подпространство размерности m собственных векторов матрицы смежности графа, отвечающих неглавному собственному значению .

Тогда i (g) = i (g l ) для любого l, не кратного p, и m (g) делится на p .

Доказательство. Эта лемма 2 из [2] .

Лемма 2. Пусть — сильно регулярный граф с параметрами (245, 64, 18, 16) .

Тогда выполняются следующие утверждения:

(1) если содержит подграф Km,n, то mn 36;

(2) значение характера, полученного при проектировании мономиального представления на подпространство размерности 144, на элементе g Aut() равно 2 (g) = (80 (g) 1 (g))/14 + 4 и если |g| = p — простое число, то 144 2 (g) делится на p .

Пусть — сильно регулярный граф с параметрами (245, 64, 18, 16), g — автоморфизм простого порядка p графа и = Fix(g) .

Лемма 3. Если — пустой граф, то либо (1) p = 5, 1 (g) {0, 70, 140, 210}, либо p = 7, 1 (g) {0, 98, 196} .

Доказательство. Так как 245 = 5 · 49, то p {5, 7} .

Пусть p = 5. Из целочисленности 2 (g) следует, что 1 (g) делится на 70 .

Алгебра и дискретная математика 197 Пусть p = 7. Из леммы 2 следует, что 1 (g) = 1 (g)/14 5 и 100 1 (g) делится на 7, поэтому 1 (g) делится на 98. Лемма доказана .

В леммах 4–6 предполагается, что = Fix(g) содержит вершину a. Положим Xi = Xi () и xi = |Xi | .

Лемма 4. Пусть является n-кликой .

Тогда выполняется одно из утверждений:

(1) n = 5 и либо (p = 3, 1 (g) = 42r + 12), либо (p = 5, 1 (g) = 70s 30);

(2) n = 8, p = 3 и 1 (g) = 42r 6;

(3) n = 10, p = 5 и 1 (g) = 70s + 10;

(4) n = 11, p = 3 и 1 (g) = 42r + 18 .

Лемма 5. Пусть является m-кокликой, m 1 .

Тогда p = 2, m нечетно, 5 m 21 и 1 (g) 8m делится на 14 .

Если является объединением m (m 2) изолированных клик, то — коклика .

Лемма 6. Выполняются следующие утверждения:

(1) если a и [a] содержится в, то p 3;

(2) не является сильно регулярным графом с параметрами (v, k, 18, 16) и p 13 .

Теорема следует из лемм 3–6 .

Литература [1] Гутнова А.К., Махнев А.А. Графы, в которых окрестности вершин — псевдогеометрические графы для GQ(3, 5) // Теория групп и ее приложения. Труды восьмой Международной школыконференции по теории групп. Нальчик. 2010. С. 70–76 .

[2] Гаврилюк А.Л., Махнев А.А. Об автоморфизмах дистанционно регулярного графа с массивом пересечений {56, 45, 1; 1, 9, 56} // Доклады академии наук. 2010. Т. 432, № 5. С. 512–515 .

198 Тезисы 42-й молодежной школы-конференции

КРАТНО -РАССЛОЕННЫЕ ФОРМАЦИИ

МУЛЬТИОПЕРАТОРНЫХ T -ГРУПП ДЛИНЫ 2

Демина Е.Н .

e-mail: DeminaENmf@yandex.ru Аддитивная группа G c нулевым элементом 0 называется мультиоператорной T -группой с системой мультиоператоров T (или, коротко, T -группой), если в G задана еще некоторая система n-арных алгебраических операций T при некоторых n, удовлетворяющих условию n 0, причем для всех t T должно выполняться условие t(0,..., 0) = 0, где слева элемент 0 стоит n раз, если операция t n-арна (см. [1]; [2, гл. III]; [3, гл. VI, c. 356]). Используемые обозначения и определения можно найти в [4–6]. Пусть C – класс всех T -групп с конечными композиционными рядами, I – класс всех простых T -групп, – непустой подкласс класса I, = I\ .

Все рассматриваемые T -группы принадлежат классу C. Функция f :

{ } {формации T -групп} называется F -функцией; функция : I {непустые формации Фиттинга T -групп} называется F R-функцией. Формация F (f, ) = (G C : G/O (G) f ( ) и G/G(A) f (A) для всех A K(G)) называется -расслоенной формацией T -групп с -спутником f и направлением или, коротко, F -формацией. Обозначим Fn – множество всех n-кратно расслоенных C-формаций, Fn (X, ) – Fn -формация, пороженная непустым множеством T -групп X .

–  –  –

F = Fn (G, ), где G – T -группа .

Доказательство. Применим индукцию по k. Пусть k = 1 и lFn (F) = 1. Тогда по лемме 2 F = (0) = Fn ({0}, ), где {0}

–  –  –

тогда по лемме 2 F = (0). Выберем {0} = G F. Так как F C, то существует идеал N G такой, что G/N – простая T -группа. Поскольку G/N = {0}, то (0) Fn (G/N, ) F. По условию lFn (F) = 2, значит Fn (G/N, ) = F. Таким образом, F порождает

–  –  –

Литература [1] Higgins P.J. Groups with multiple operators // Proc. London Math .

Soc. 1956. Vol. 6, № 3. Pp. 366–416 .

[2] Курош А.Г. Лекции по общей алгебре. — М.: Наука, 1973 .

[3] Скорняков Л.А. Общая алгебра. Т. 2. — М.: Наука, 1991 .

[4] Шеметков Л.А., Скиба А.Н. Формации алгебраических систем .

— М.: Наука, 1989 .

[5] Ведерников В.А., Демина Е.Н. -расслоенные формации мультиоператорных T -групп // Сиб. матем. журнал. 2010. T. 51, № 5 .

C. 990–1009 .

[6] Демина Е.Н. Булевы решетки кратно -расслоенных формаций мультиоператорных T -групп / в сб. «Теория групп и ее приложения». Труды восьмой межд. школы-конф., посвященной 75-летию В.А. Белоногова. С. 86–93. — Каб.-Балк. ун-т: Нальчик, 2010 .

[7] Скиба А.Н. О локальных формациях длины 5 / в кн. «Арифметическое и подгрупповое строение конечных групп». C. 135–149 .

— Минск: Наука и техника, 1986 .

Алгебра и дискретная математика 201

–  –  –

Группа G насыщена группами из множества X, если любая конечная подгруппа K из G содержится в подгруппе группы G (возможно, совпадающей с K), изоморфной некоторой группе из X; если при этом для любой группы из X в G найдется изоморфная подгруппа, то говорят, что группа G насыщена множеством групп X, а X называют насыщающим множеством группы G. Многие известные группы «бернсайдова типа» насыщены конечными множествами конечных групп. Поэтому группы, насыщенные заданными множествами конечных групп, изучаются также при дополнительных условиях конечности [1–3], введенных в теорию групп В.П. Шунковым .

В работе [3] доказана локальная конечность периодической группы Шункова, насыщенной группами множества {L2 (5) In |n = 1, 2,...}, где In — элементарные абелевые 2-группы ранга n. Напомним, что в группах Шункова любая пара сопряженных элементов простого порядка порождает конечную подгруппу и это свойство переносится на сечения по конечным подгруппам .

Мы доказываем более общий результат .

Пусть p – фиксированное нечетное число. В нашей работе группа насыщена группами из множества Xp, состоящего из групп вида M Q, где Q – единичная или произвольная конечная 2-группа, M принадлежит фиксированному конечному множеству Yp конечных простых неабелевых групп L2 (q), Sz(q) или Re(q) и содержит элемент порядка p с нечетным порядком централизатора в M. Итак, Xp

– конечное или счетное множество, состоящее из конечных неразрешимых групп L указанного вида L = M O2 (L) .

Теорема. Если переодическая группа Шункова G насыщена группами из множества Xp, то все её элементы конечных нечетных порядков порождают конечную простую неабелеву характеристическую в G подгруппу L, CG (L) = O2 (G) и G = L O2 (G) .

1 Работа поддержана РФФИ (проект 10-01-00509-а) .

202 Тезисы 42-й молодежной школы-конференции Литература [1] Шлепкин А.К. О сопряженно бипримитивно конечных группах, насыщенных конечными простыми подгруппами U3 (2n ) // Алгебра и логика. 1998. Т. 37, № 5. С. 606–615 .

[2] Шлепкин А.К. О периодической части некоторых групп Шункова // Алгебра и логика. 1999. Т. 38, № 1. С. 96–125 .

[3] Панюшкин Д.Н., Тухватуллина Л.Р., Филиппов К.А. О группах Шункова, насыщенных прямыми произведениями циклических и проективных специальных линейных групп // Труды ИММ УрО РАН. Т. 16 (2010), № 2 .

–  –  –

Мы рассматриваем неориентированные графы без петель и кратных ребер. Если a, b — вершины графа, то через d(a, b) обозначается расстояние между a и b, а через i (a) — подграф графа, индуцированный множеством вершин, которые находятся на расстоянии i в от вершины a. Подграф (a) = 1 (a) называется окрестностью вершины a и обозначается через [a]. Через a обозначается подграф, являющийся шаром радиуса 1 с центром a. Под собственными значениями графа понимаются собственные значения его матрицы смежности. В дальнейшем слово «подграф» будет означать индуцированный подграф. Пусть F — семейство графов. Граф называется локально F графом, если [a] F для любой вершины a .

Граф называется регулярным графом степени k, если [a] содержит точно k вершин для любой вершины a из. Граф называется реберно регулярным графом с параметрами (v, k, ), если содержит v вершин, является регулярным степени k и каждое ребро графа лежит точно в треугольниках. Граф называется вполне регулярным графом с параметрами (v, k,, µ), если реберно регулярен с соответствующими параметрами и подграф [a][b] содержит µ вершин в случае d(a, b) = 2. Вполне регулярный граф диаметра 2 называется сильно регулярным графом. Число вершин в [a] [b] обозначим через (a, b) (через µ(a, b)), если d(a, b) = 1 (если d(a, b) = 2), а соответствующий подграф назовем -подграфом (µ-подграфом) .

Через Km1,...,mn обозначим полный n-дольный граф, с долями порядков m1,..., mn. Если m1 =... = mn = m, то соответствующий граф обозначается через Knm. Граф K1,m называется m-лапой .

Треугольным графом T (m) называется граф с множеством неупорядоченных пар из X в качестве вершин, |X| = m и пары {a, b}, {c, d} смежны тогда и только тогда, когда они имеют единственный общий элемент. Граф на множестве вершин X Y называется mn решеткой, если |X| = m, |Y | = n и вершины (x1, y1 ), (x2, y2 ) смежны тогда и только тогда, когда x1 = x2 или y1 = y2 .

1 Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант 11-01-00019) .

204 Тезисы 42-й молодежной школы-конференции Полный (вполне несвязный) подграф данного графа называется кликой (кокликой) .

Если вершины u, w находятся на расстоянии i в регулярном графе, то через bi (u, w) (через ci (u, w)) обозначим число вершин в пересечении i+1 (u) (пересечении i1 (u)) с [w]. Положим ai (u, w) = k bi (u, w) ci (u, w). Заметим, что в реберно регулярном графе с параметрами (v, k, ) значение b1 = b1 (u, w) не зависит от выбора ребра {u, w} и равно k 1. Граф диаметра d называется дистанционно регулярным графом с массивом пересечений {b0,..., bd1 ; c1,..., cd }, если для любого i {0,..., d} и любых вершин u, w, находящихся на расстоянии i в, имеем bi (u, w) = bi и ci (u, w) = ci .

При изучении реберно регулярных графов с k f (b1 ) для некоторых функций f удается установить оценку v g(k) (или получить описание графов, для которых не выполняется оценка v g(k)) .

Так, в лемме 1.4.2 [1] доказано, что если — связный неполный реберно регулярный граф с параметрами (v, k, ), в котором k 3b1, 2k 2. Фактически доказано, что то диаметр равен 2 и v v k 2 + 3b1 + 3/(b1 + 1), и уточнение границы для числа вершин потребует описания графов с малыми значениями b1 и графов, насыщенных хорошими парами вершин .

В следствии 1.1.6 из [1] доказано, что если — связный реберно регулярный граф с b1 = 1, то — многоугольник или полный многодольный граф Kn2. В работах А.А. Махнева и его учеников были изучены вполне регулярные графы с 2 b1 5. В статье [2] изучение вполне регулярных графов с b1 = 6 было редуцировано к исследованию графов с k {10, 11, 12}. В статье [3] доказано

Предложение. Пусть — связный вполне регулярный граф с параметрами (v, 10, 3, µ). Тогда выполняется одно из следующих утверждений:

(1) диаметр равен 2 и является дополнительным графом к треугольному графу T (7) или одним из десяти графов с параметрами (28, 10, 3, 4);

(2) µ = 3, диаметр равен 3 и 34 v 37;

(3) µ = 2 и является графом Конвея-Смита или графом Доро .

В данной работе начато изучение вполне регулярных графов с b1 = 6 и k = 11 .

Алгебра и дискретная математика 205 Теорема. Пусть — связный вполне регулярный граф с параметрами (v, 11, 4, 3).

Тогда диаметр равен 3 и выполняется одно из следующих утверждений:

(1) k3 = 2, для любой вершины u расстояние между двумя вершинами в 3 (u) равно 1 или 3, причем граф не является антиподальным;

(2) k3 = 8 и (i) если b2 (u, x) = 4 для некоторой вершины x 2 (u), то либо [x] 2 (u) — коклика и [x] 3 (u) является 3-путем, либо [x] 2 (u) содержит две изолированные вершины и ребро, и [x] 3 (u) — четырехугольник, (ii) если y, z — две вершины из 3 (u), то d(y, z) 2 .

Литература [1] Brouwer A.E., Cohen A.M., Neumaier A. Distance-regular graphs .

— Berlin etc: Springer-Verlag, 1989 .

[2] Ефимов К.С., Махнев А.А. Вполне регулярные графы с b1 = 6 // Журнал Сибирского Федерального ун-та, 2009. Т. 2, № 1. С .

63–77 .

[3] Ефимов К.С., Махнев А.А., Нирова М.С. О вполне регулярных графах с k = 10, = 3 // Труды ИММ УрО РАН, 2010. Т. 16, №

2. С. 75–90 .

206 Тезисы 42-й молодежной школы-конференции

–  –  –

Литература [1] S. Albeverio, Sh.A. Ayupov, K.K. Kudayberganov. Structure of derivations on various algebras of measurable operators for type I von Neumann algebras. J. Func. Anal. 256. 2009. Pp. 2917–2943 .

[2] S. Sakai. C -Algebras and W Algebras. Spriger-Verlag, 1971 .

–  –  –

В свое время в работе [1] была предложена конструкция супералгебры, которая получила название Дубль Кантора .

Дубль Кантора. Пусть = 0 1 — ассоциативная суперкоммутативная супералгебра с единицей 1 и {, } : — суперкососимметрическое билинейное отображение, которое мы будем называть скобкой. По супералгебре и скобке {, } можно построить супералгебру J(, {, }). Рассмотрим J(, {, }) = x — прямую сумму пространств, где x — изоморфная копия пространства .

Считаем, что D(a) = {a, 1}. Пусть a, b — однородные элементы из .

Тогда операция умножения · на J(, {, }) определяется формулами:

a · b = ab, a · bx = (ab)x, ax · b = (1)p(b) (ab)x, ax · bx = (1)p(b) {a, b} .

Положим A = 0 + 1 x, M = 1 + 0 x. Тогда J(, {, }) = A M является Z2 -градуированной алгеброй .

Для унитальной супералгебры скобка {, } называется йордановой, если при однородных элементах fi, gi, hi i выполняются следующие соотношения:

–  –  –

+D(fi ){gj, hk } + (1)ji D(gj ){hk, fi } + (1)k(j+i) D(hk ){fi, gj } .

В дальнейшем элементы ki, fi, gi, hi мы будем всегда считать однородными .

1 Работа выполнена при поддержке АВЦП Рособразования «Развитие научного потенциала высшей школы» (проект 2.1.1.419), РФФИ 09-01-00157-A, Совета по грантам Президента РФ для поддержки молодых российских ученых и ведущих научных школ (проект НШ-3669.2010.1), ФЦП «Научные и научнопедагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 гг. (гос. контракты № 02.740.11.0429, № 02.740.11.5191, № 14.740.11.0346), интеграционного проекта СО РАН № 97, Лаврентьевского гранта для коллективов молодых ученых СО РАН, постановление Президиума СО РАН № 43 от 04.02.2010 .

208 Тезисы 42-й молодежной школы-конференции Хорошо известно [3, 4], что супералгебра J(, {, }) йорданова тогда и только тогда, когда скобка {, } является йордановой. В силу йордановости супералгебры J(, {, }) получаем, что D : a {a, 1} — дифференцирование супералгебры .

Если D — нулевое дифференцирование, то {, } является скобкой Пуассона, т.е .

{a, bc} = {a, b}c + (1)p(a)p(b) b{a, c} и — супералгебра Ли относительно операции {, }. Произвольная скобка Пуассона является йордановой скобкой [2] .

Хорошо известно [3, 4], что йорданова супералгебра J = + x, полученная с помощью процесса удвоения Кантора, будет являться простой тогда и только тогда, когда не имеет ненулевых идеалов B с условием {, B} B .

Обобщенный дубль Кантора. Нами начато изучение обобщения супералгебры Дубль Кантора, так называемого «обобщенного дубля Кантора». Мы ослабили условие унитальности и суперкоммутативности супералгебры и построили супералгебру J(, {, }) по аналогии с вышеприведенной конструкцией Дубля Кантора. Если супералгебра обладает дифференцированием D, то, задав скобку {, } по правилу {a, b} = D(a) aD(b), мы получим супералгебру векторного типа (не обязательно унитальную) .

Легко заметить, что условие простоты супералгебры J(, {, }) влечет отсутствие идеалов I в супералгебре c условием {I, } I .

В противном случае, в супералгебре J(, {, }) мы имели бы ненулевой градуированный идеал I + Ix .

Скобка {, }, определенная на супералгебре, называется йордановой, если

–  –  –

(1)(i+j)l ({fi hk gj, kl } fi hk {gj, kl }) = = (1)(k+j)i ({hk kl, gj }fi {hk kl, gj fi })+ +(1)(l+j)k ({kl fi, gj }hk {kl fi, gj hk }) .

Таким образом [5], была получена Теорема. Обобщенный дубль Кантора J(, {, }) является йордановой супералгеброй тогда и только тогда, когда скобка {, } является йордановой и супералгебра — суперкоммутативна .

О -дифференцированиях обобщенного дубля Кантора .

В дальнейшем нами были изучены некоторые вопросы описания дифференцирований обобщенного дубля Кантора. Исходя из известных примеров нетривиальных (1)-дифференцирований для алгебры sl2 и нетривиальных 1 -дифференцирований для алгебры Витта W1, мы получаем новые примеры нетривиальных (1)-дифференцирований и 1 -дифференцирований для алгебр Ли .

Литература [1] Кантор И. Л. Йордановы и лиевы супералгебры, определяемые алгеброй Пуассона / в сб. «Алгебра и анализ», Томск, изд-во ТГУ (1989), c. 55–80 .

[2] Kantor I. L. Connection between Poisson brackets and Jordan and Lie superalgebras / in «Lie Theory, Dierential Equations and Representation Theory», publications in CRM, Montreal (1990). Pp .

213–225 .

[3] King D., McCrimmon K. The Kantor construction of Jordan Superalgebras // Comm. Algebra. Vol. 20. 1992. № 1. Pp. 109–126 .

[4] King D., McCrimmon K. The Kantor doubling process revisited // Comm. Algebra. Vol. 23. 1995. № 1. Pp. 357–372 .

[5] Кайгородов И. Б. Об обобщенном дубле Кантора // Вестник Самарского гос. университета. Вып. 78. 2010. № 4. С. 42–50 .

210 Тезисы 42-й молодежной школы-конференции

–  –  –

Все рассматриваемые в сообщении группы являются конечными .

Пусть A, K и H — подгруппы группы G и K H G. Тогда мы говорим, что A покрывает пару (K, H), если AH = AK; A изолирует пару (K, H), если A H = A K [1]. Пара (K, H) из G называется максимальной, если K — максимальная подгруппа в H. Напомним, что подгруппа H называется дополняемой в G, если существует такая подгруппа K, что G = HK и H K = 1 .

Целью данного сообщения является анализ следующего обобщение понятия дополняемых подгрупп .

Определение. Пусть A — подгруппа группы G. Тогда мы говорим, что A является m-добавляемой в G, если в G существуют такие подгруппы T и C, что G = AT, T A C A и C покрывает или изолирует всякую максимальную пару группы G .

Нами доказана следующая теорема .

Теорема. Пусть G — группа и p — такой простой делитель порядка группы G, что (|G|, p 1) = 1.

Тогда справедливы следующие утверждения:

(1) Если каждая минимальная подгруппа нечетного порядка группы G m-добавляема в G, то G является 2 -сверхразрешимой .

(2) Если группа G разрешима и каждая подгруппа порядка 2 группы G дополняема в G, то G 2-нильпотентна .

(3) Если каждая максимальная подгруппа силовской pподгруппы P группы G m-добавляема в G, то группа G pнильпотентна .

Следствие 1. [2, IV, теорема 5.7] Если каждая минимальная подгруппа группы G нормальна в G, то коммутант G группы G является 2-замкнутой подгруппой .

Следствие 2. (Бакли, [3]) Пусть G — группа нечетного порядка .

Если каждая минимальная подгруппа группы G нормальна в G, то G сверхразрешима .

Алгебра и дискретная математика 211 Следствие 3. (Баллистер-Болише, Го, [4]) Если каждая минимальная подгруппа группы G дополняема в G, то группа G сверхразрешима .

Следствие 4. (Ванг, [5]) Пусть G — группа и P — силовская pподгруппа из G, где p — такое простое число, что (|G|, p 1) = 1 .

Предположим, что каждая максимальная подгруппа силовской pподгруппы P c-дополняема в G. Тогда G p-нильпотентна .

Литература [1] Ковалева В.А., Скиба А.Н. Конечные группы с обобщенным условием покрытия и изолирования для подгрупп // Известия Гомельского государственного университета им. Ф. Скорины. 2009 .

№ 2(53). С. 145–149 .

[2] Huppert B. Endliche Gruppen I. — Berlin-Heidelberg-New York:

Springer-Verlag, 1967 .

[3] Buckley J. Finite groups whose minimal subgroups are normal // Math. Z. 1970. № 15. Pp. 15–17 .

[4] Ballester-Bolinches A., Guo X.Y. On complemented subgroups of nite groups // Arch. Math. 1999. № 72. Pp. 161–166 .

[5] Wang Y. Finite Groups with Some Subgroups of Sylow Subgroups c-Supplemented // J. Algebra. 2000. № 224. Pp. 464–78 .

212 Тезисы 42-й молодежной школы-конференции

О КОНЕЧНЫХ ЧЕТЫРЕПРИМАРНЫХ ГРУППАХ

С НЕСВЯЗНЫМ ГРАФОМ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ

Кондратьев А.С., Храмцов И.В.1 e-mail: a.s.kondratiev@imm.uran.ru, ihramtsov@gmail.com В теории конечных групп интерес многих исследователей вызывают различные проблемы распознаваемости – характеризации группы по некоторому набору ее параметров с точностью до изоморфизма. Примером такой проблемы является проблема распознаваемости конечных групп по графу простых чисел .

Пусть G – конечная группа. Для натурального числа n через (n) обозначается множество всех его простых делителей. Положим (G) = (|G|). Через (G) обозначается спектр группы G, т. е. множество всех порядков ее элементов. Множество (G) определяет граф простых чисел (граф Грюнберга – Кегеля) (G) группы G, в котором множество вершин есть (G) и две различные вершины p и q соединены ребром тогда и только тогда, когда pq (G) .

Группа G называется распознаваемой (по спектру), если любая конечная группа H с условием (H) = (G) изоморфна G. С уже устоявшимся направлением исследований распознаваемости конечных групп по спектру (см. обзор В. Д. Мазурова [1]) тесно связано новое перспективное направление исследований распознаваемости конечных групп по графу простых чисел. Группа G называется распознаваемой по графу простых чисел, если для любой конечной группы H равенство (H) = (G) графов влечет изоморфизм H G = групп. Здесь под равенством графов (H) и (G) понимается совпадение их множеств вершин и множеств ребер соответственно. Ясно, что из распознаваемости конечной группы по графу простых чисел следует ее распознаваемость по спектру .

В 2003 г. в работе Хаги [2] были даны первые примеры конечных групп, распознаваемых по графу простых чисел, а именно, некоторые спорадические простые группы, а также получено некоторое описание (но не полная классификация) конечных групп G таких, что (G) = (S), где S – спорадическая простая группа .

В дальнейшем в работах А.В. Заварницина [3] и нескольких иранРаботавыполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 10-01-00324), программы Отделения математических наук РАН и программ совместных исследований УрО РАН с СО РАН и НАН Беларуси .

Алгебра и дискретная математика 213 ских математиков была установлена распознаваемость по графу простых чисел групп L2 (q) для некоторых q, 2 G2 (q) и G2 (7). В работах [4, 5] была доказана распознаваемость по графу простых чисел группы L16 (2), что дало первый пример распознаваемой по графу простых чисел группы, для которой этот граф связен .

Возникает также интересная общая задача: описать все конечные группы, графы простых чисел которых изоморфны графу с заданным свойством. Авторы исследуют конечные группы, граф простых чисел которых несвязен и имеет небольшое число вершин. При этом можно пользоваться имеющимися результатами о конечных группах с несвязным графом простых чисел (см. [6, 7]), но возникают весьма нетривиальные проблемы, связанные с модулярными представлениями и расширениями конечных почти простых групп .

В своей недавней работе [8] авторы рассмотрели случай, когда несвязный граф простых чисел конечной группы имеет две или три вершины .

Основным результатом данной работы является некоторое предварительное описание конечных групп G, граф простых чисел которых имеет точно четыре вершины (в этом случае группа G называется четырепримарной) и несвязен. Доказана следующая Теорема. Пусть G – конечная четырепримарная группа с несвязным графом простых чисел и G = G/F (G).

Тогда выполнено одно из следующий утверждений:

1) G – группа Фробениуса;

2) G – двойная группа Фробениуса, т.е. в G существуют такие подгруппы A, B и C, что G = ABC, A и AB нормальные подгруппы в G, AB и BC – группы Фробениуса с ядрами A и B и дополнениями B и C соответственно;

3) G L2 (2p ), где p и 2p 1 – простые числа, p 5, |(2p +1)| = 2;

=

4) G L2 (3p ), где p – нечетное простое число, и |(2p ± 1)| = 2;

=

5) G L2 (p), где p – простое число, p 5 и |(p2 1)| = 3;

=

6) G A7, S7, A8, S8, A9, L2 (16), L2 (16) : 2, Aut(L2 (16)), L2 (25), = L2 (25) : 2, L2 (49), L2 (49) : 21, L2 (49) : 23, L2 (81), L2 (81) : 2, L3 (4), L3 (4) : 2, L3 (5), Aut(L3 (5)), L3 (7), L3 (7) : 2, L3 (8), L3 (8) : 2, L3 (8) : 3, Aut(L3 (8)), L4 (3), L4 (3) : 22, L4 (3) : 23, U3 (4), U3 (4) : 2, Aut(U3 (4)), U3 (5), U3 (5) : 2, U3 (7), Aut(U3 (7)), U3 (8), U3 (8) : 31, U3 (8) : 33, U3 (9), U3 (9) : 2, Aut(U3 (9)), U4 (3), U4 (3) : 22, U4 (3) : 23, U5 (2), 214 Тезисы 42-й молодежной школы-конференции

–  –  –

Литература [1] В.Д. Мазуров. Группы с заданным спектром // Изв. Урал. гос .

ун-та. 2005. № 36. С. 119–138. (Математика и механика; вып. 7.) [2] M. Hagie. The prime graph of a sporadic simple group // Comm .

Algebra. 2003. Vol. 31, № 9. Pp. 4405–4424 .

[3] А.В. Заварницин. О распознавании конечных простых групп по графу простых чисел // Алгебра и логика. 2006. Т. 45, № 4. С .

390–408 .

[4] Behrooz Khosravi, Bahman Khosravi, Behnam Khosravi. A characterization of the nite simple group L16 (2) by its prime graph // Manuscripta math. 2008. Vol. 126. Pp. 49–58 .

[5] A.V. Zavarnitsine. Uniqueness of the prime graph of L16 (2) // Сиб .

электрон. матем. изв. 2010. Т. 7. С. 119–121 .

[6] J.S. Williams. Prime graph components of nite groups // J .

Algebra. 1981. Vol. 69, № 2. Pp. 487–513 .

[7] А.С. Кондратьев. О компонентах графа простых чисел конечных простых групп // Мат. сб. 1989. T. 180, № 6. С. 787–797 .

[8] A.C. Кондратьев, И.В. Храмцов. О конечных трипримарных группах // Труды ИММ УрО РАН. 2010. Т. 16, № 3. С. 150– 158 .

[9] J.H. Conway, R.T. Curtis, S.P. Norton, R.A. Parker, R.A. Wilson .

Atlas of nite groups. Oxford: Clarendon Press, 1995 .

[10] The GAP Group. GAP – Groups, algorithms, and programming .

Vers. 4.4.2. URL: http://www.gap-system.org .

Алгебра и дискретная математика 215

ОБРАТИМЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ В КОЛЬЦАХ ВЫЧЕТОВ

КВАДРАТИЧНЫХ ПОЛЕЙ

Кривова А.С .

e-mail: leska.nastya@mail.ru В [1] была показана важность изучения обратимых элементов колец вычетов колец целых подполей круговых полей (эти подполя называются также абелевыми полями). Важнейшим классом таких полей являются квадратичные поля, для которых в [2] найдены экспоненты мультипликативных групп колец вычетов колец целых .

В данной работе продолжено изучение обратимости элементов колец вычетов по простому натуральному модулю колец целых квадратичных полей. Отметим, что в силу результатов из [1] это позволяет получить информацию об обратимости элементов колец вычетов по любому натуральному модулю .

Теорема 1. Пусть K — конечное кольцо .

Тогда множество необратимых элементов совпадает с множеством делителей нуля .

С использованием этой теоремы и некоторых технических результатов о нильпотентности элементов в кольцах вычетов получена Теорема 2. Пусть I — кольцо целых квадратичного поля Q( d), q — простое число и A = I/qI — кольцо вычетов кольца I по модулю q. Тогда множество всех необратимых элементов кольца A совпадает с его радикалом Джекобсона J(A) .

Этот результат позволяет получить информацию об обратимости элементов колец вычетов по натуральному модулю колец целых квадратичных полей. Также исследуется вопрос о нахождении обратимых элементов наибольшего порядка в таких кольцах вычетов .



Pages:   || 2 |



Похожие работы:

«СТОЛБ ПРОТИВОТАРАННЫЙ ВЫДВИЖНОЙ С ИНТЕГРИРОВАННОЙ ГИДРОСТАНЦИЕЙ ДПС 32.100.18ИГ Паспорт Техническое описание СР200-33.00.00.00ПС 2014г. Столб противотаранный выдвижной с интегрированной гидростанцией ДПС 32.100.18ИГ СР200-33.00.00.00ПС СОДЕРЖАНИЕ 1 ВВЕДЕНИЕ...»

«Секция 5 УДК 502.3:504.5:662.6/.7 МЫШЬЯК В СНЕГОВОМ ПОКРОВЕ В ЗОНЕ ВЛИЯНИЯ ТОМСКОЙ ГРЭС-2 Н.П. Самохина, Е.А. Филимоненко, А.В. Таловская Национальный исследовательский Томский политехнический университет, г. Томск, Россия E-mail: samokhina_np@mail.ru В статье обсужда...»

«СОВРЕМЕННАЯ ГУМАНИТАРНАЯ АКАДЕМИЯ ТРУДЫ СГА № 5–6 май – июнь 2013 Москва Труды СГА. Выпуск 5–6 (май – июнь). Юриспруденция . Образование. Психология. Филология. Информатика. История. М.: Издательство СГУ, 2013.Редакционная коллегия: Карпенко М.П. — доктор технических наук (председатель) Волкова Н.А. — кандидат юридических наук Дмитри...»

«версия 1.2 Made by NARVI Oy Finland Каменки Narvi Steam Master RU Инструкция по монтажу, эксплуатации и обслуживанию RU 2 Yrittjntie 14, FI-27230 Lappi • тел. +358 0207 416 740 • факс +358 0207 416 743 • www.narvi.fi/ru RU Оглавление 1.1 Технические данные 4 2. Перед тем, как устанавлива...»

«Роговские чтения УДК 556.52 ХАРАКТЕРИСТИКА ГЕОДИНАМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ И ЯВЛЕНИЙ БАССЕЙНА РЕКИ КОРГАС РЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН М.Р . Заппаров, А.Т. Кашибаева Казахский Национальный технический уни...»

«ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ПРОГРАММА Моделист-конструктор (наименование программы) Возраст обучающихся: 8-10 лет Время реализации: 1 год. г. Сургут Паспорт дополнительной общеобразовательной программы Название программы Моделист-конструктор Направленность Техническая. Основы начального технического моделирования...»

«ГОСУДАРСТВЕННЫЙ стандарт СОЮЗА ССР СТАЛЬ ЭЛЕКТРОТЕХНИЧЕСКАЯ МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ МАГНИТНЫХ И ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ СВОЙСТВ Г О С Т 1 2 1 1 9 -8 0 Издание официальное Цена 15 кол, ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОМИТЕТ СССР ПО СТАНДАРТАМ Москва оценка недвижимости РАЗРАБОТАН Государственным ком итетом СССР по стандартам ИСПОЛНИТЕЛИ Б. Г. Романов, А....»

«г; согласовано *. ;.'1 -i-y. \\.. ; ' Заместитель директора шЛцим. Д.И. Менделеева1 ' 0\ B.C. Александров Ш ’ ЬШ М 2001 г. Внесены в Государственный реестр средств измерений Газоанализаторы Регистрационный номер с ? / -(О / THERMOX модели WDG-IVI IVC Взамен №_ Выпускаются по технической док...»

«АО "ПК "Ярославич"БОРОНА ДИСКОВАЯ ТЯЖЕЛАЯ БДТ-5-36Ф РУКОВОДСТВО ПО ЭКСПЛУАТАЦИИ 11-252-00.00.000 РЭ. Ярославль 2018 г. СОДЕРЖАНИЕ Раздел Наименование раздела Стр. Общие сведения Назначение и область применения 1.1. Требования к качеству выполнения техн...»

«Кибиткин А.И., Скотаренко О.В. Эконометрические методы оценки чувствительности. УДК 330.101 : 330.111 Эконометрические методы оценки чувствительности экономической системы А.И. Кибиткин, О.В. Скотаренко Экономический факультет МГТУ, кафедра финансов, бухгалтерского учета и управления экономическими системами Аннотация. В статье пр...»

«IST 03 C 935 02 MINORCA KC KR KRB 24 РУКОВОДСТВО ПО УСТАНОВКЕ, ЭКСПЛУАТАЦИИ И ТЕХОБСЛУЖИВАНИЮ RU Перевод на русский с оригинала (на итальянском языке) Уважаемые господа, Благодарим Вас за выбор наших котлов. Просим Вас внимательно оз...»

«Борона дисковая модернизированная со стойками на эластомерах БДМВ-5,6х2С БЭМС-5,6х2.00.00.00 РЭ Руководство по эксплуатации РОССИЯ, КРАСНОДАР, ООО "БДТ-АГРО" 2015г. Содержание 1. Введение.2. Общие правила техники безопасности.3. Техническая характеристика.4. У...»

«А К А Д Е М И Я К О М М У Н А Л Ь Н О Г О ХОЗЯЙСТВА им. К. Д. П а м ф и л о в а С. И. КИЛЕССО и А. В. ИВАНОВА ПЕНОМАГНЕЗИТ, ЕГО СВОЙСТВА И ТЕХНОЛОГИЯ ПРОИЗВОДСТВА ИЗДАТЕЛЬСТВО МИНИСТЕРСТВА КОММУНАЛЬНОГО ХОЗЯЙСТВА...»

«ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. 2003. Т. 44, N5 177 УДК 534 СИНХРОНИЗАЦИЯ ХОДА МАЯТНИКОВЫХ ЧАСОВ, ПОДВЕШЕННЫХ НА УПРУГОЙ БАЛКЕ А. Ю . Канунников, Р. Е. Лампер Новосибирский государственный техни...»

«Согласовано: Согласовано: ФГБУ ВНИИПО МЧС России ФГУП "ВНИИФТРИ" ОС "ПОЖТЕСТ" ОС ВСИ "ВНИИФТРИ" ОПОВЕЩАТЕЛЬ ПОЖАРНЫЙ ВЗРЫВОЗАЩИЩЕННЫЙ "Прометей" Руководство по эксплуатации СПЕК.425548.100.000 РЭ ВНИМАНИЕ! Перед установкой и включением оповещателя внимательно ознакомьтесь с руково...»

«Электронная библиографическая база данных методических разработок 2015-2016, 2016-2017, 2017-2018 учебные годы Алиева Зарема Эскендеровна. Методические рекомендации для самостоятельной работы и контроля знаний по дисциплине ЕН.02. Информатика [Электронный ресурс] : для...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНОСТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра экономики и управления в городском хозяйстве ОСНОВЫ МАРКЕТИНГА Методические ук...»

«s, s, A LOVAK JTVCADEMY OF SCIENCES i E R NSTITUTE OF JUXHERIMENTAL 1 H Y S I C S Предложение эксперимента по изучению реакций Т о * ^ р и Vn-H^cJP на установке ГИПЕРОН Я . Антош, В.М. Маниев, Б. Пастирчак, Н.А. Русекович, Р. Ценов, Л. Шандор 2P 02 06 Апрель 1/J86...»

«Министерство жилищно -коммунального хозяйства Ставропольского края Государственное унитарное предприятие Ставропольского края "СТАВРОПОЛЬКОММУНЭЛЕКТРО" Шпаковская ул., д. 76/6, г. Ставрополь, 355...»

«Инструкция по эксплуатации электронного контроллера AKO-14323В производства АКО (Испания) Общее описание: Электронный контроллер используется для отображения на экране и регулирования температуры в холодильных камерах (с ручной и авт...»

«Механические дозаторы Tacta Идеально сбалансированы Механические дозаторы Tacta Вы когда-либо задумывались о всеобщем опыте использования дозаторов? Мы задумываемся и учитываем его в своей работе. Sartorius с гордостью представляет Tacta нов...»

«ОСНОВНОЕ ГИДРОСИЛОВОЕ, ВСПОМОГАТЕЛЬНОЕ И ГИДРОМЕХАНИЧЕСКОЕ ОБОРУДОВАНИЕ ГЭС Гидравлические турбины и насосы, использование энергии в гидравлических турбинах, классы турбин, системы и типы, турбинные установки, регулирование турбинами,...»

«Ю.К.МЕНЬШАКОВ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ТЕХНИЧЕСКИХ РАЗВЕДОК МОСКВА На основе открытых отечественных и зарубежных публикаций рассмотрены вопросы, связанные с различными направлениями и разновидностями технической разведки. Определены задачи, объекты и о...»




 
2019 www.mash.dobrota.biz - «Бесплатная электронная библиотека - онлайн публикации»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.