WWW.MASH.DOBROTA.BIZ
БЕСПЛАТНАЯ  ИНТЕРНЕТ  БИБЛИОТЕКА - онлайн публикации
 

«Парусникова Анастасия Владимировна АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ РЕШЕНИЙ ПЯТОГО УРАВНЕНИЯ ПЕНЛЕВЕ ...»

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

имени М.В. ЛОМОНОСОВА

Механико-математический факультет

На правах рукописи

УДК 517.925

Парусникова Анастасия Владимировна

АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ РЕШЕНИЙ

ПЯТОГО УРАВНЕНИЯ ПЕНЛЕВЕ

01.01.02 Дифференциальные уравнения, динамические системы и

оптимальное управление

Автореферат

диссертации на соискание учёной степени

кандидата физико-математических наук

Москва, 2012

Работа выполнена на кафедре теории динамических систем Механикоматематического факультета Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова .

Научный руководитель: доктор физико-математических наук профессор Александр Дмитриевич Брюно

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук профессор Андрей Игоревич Шафаревич, кафедра дифференциальной геометрии и приложений механико-математического факультета МГУ имени М. В. Ломоносова, профессор кандидат физико-математических наук Ренат Равилевич Гонцов, Институт проблем передачи информации им. А. А. Харкевича РАН, старший научный сотрудник

Ведущая организация: Санкт-Петербургский государственный университет аэрокосмического приборостроения

Защита диссертации состоится 14 декабря 2012 г. в 16 часов 40 минут на заседании диссертационного совета Д 501.001.85 при Московском государственном университете имени М. В. Ломоносова по адресу: 119991, ГСПМосква, Ленинские горы, МГУ, механико-математический факультет, ауд. 16-24 .

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж) .

Автореферат разослан 14 ноября 2012 г .

Ученый секретарь диссертационного совета Д 501.001.85 при МГУ, доктор физико-математических наук, профессор В. Н. Сорокин

Общая характеристика работы

Актуальность темы .

Данная диссертация является исследованием в области аналитической теории дифференциальных уравнений. Рассматривается пятое уравнение Пенлеве. Методами двумерной и трёхмерной степенной геометрии отыскиваются асимптотические разложения и асимптотики его решений в окрестности особых и неособых точек уравнения .

Л. Фукс в работе 1884 года1 и А. Пуанкаре в работах 1885-1886 годов2,3,4 предложили искатьв классе нелинейных дифференциальных уравнений те, решения которых не имеют критических подвижных особых точек, и при этом не выражаются через уже известные функции, в том числе и через спецфункции (особая точка функции называется критической, если при обходе этой точки значение функции меняется; особая точка решения уравнения называется подвижной особой точкой, если её положение зависит от начальных условий). Фукс показал, что уравнения вида P (w, z) w=, Q(w, z) где P (w, z), Q(w, z) по w многочлены, а по z аналитичны, будут уравнениями с неподвижными критическими точками, если и только если они являются уравнениями Риккати, т. е. имеют вид w = a0 (z)w2 /2 + a1 (z)w + a0 (z) .

Дальнейшее развитие проблематики сузило поставленную задачу. В 1887 году Э. Пикар5 предложил исследовать класс ОДУ второго порядка вида w = F (z, w, w ), (1) где F (z, w, w ) мероморфная по z и рациональная по w, w функция, и уже из уравнений этого класса выделить те уравнения, решения которых не имеют подвижных критических особых точек .





L. Fuchs, Uber dierentiagleichung deren integrale feste verzweigung-spucte besitzen // Sitz. Acad .

Wiss. Berlin. 1884.669-720 .

A. Poincare, Sur les integrales irregullieres des equations lineaires // C. r. Acad. sci. 1885. 101. 939-941 .

Oeuvres. IV. 611-613 .

A. Poincare, Sur les integrales irregullieres des equations lineaires// C. r. Acad. sci. 1885. 101. 990-991 .

Oeuvres. IV. 614-615 .

A. Poincare, Sur les integrales irregullieres des equations lineaires // Acta Math. 1886. 8. Oeuvres. I .

167-222 .

E. Picard, Demonstration d’ un theoreme generale sur les fonctionsuniformes linees par une relation algebraique // Acta Math. 1887. 11. 1-12 .

В такой постановке в начале двадцатого века задачу решил П. Пенлеве6 со своими учениками Б. Гамбье7 и Р. Гарнье8 : они нашли 50 канонических уравнений. Среди этих уравнений были выделены 6, получившие название уравнений Пенлеве. Для остальных 44 уравнений все решения либо выражались через элементарные или известные тогда специальные функции, либо уравнения сводились к уравнениям Пенлеве .

Решения уравнений Пенлеве определяли новые функции, которые были названы трансцендентами Пенлеве. Отметим, что в форме, поставленной Фуксом и Пуанкаре, задача о поиске обыкновенных дифференциальных уравнений, все решения которых не имеют критических подвижных особых точек, на данный момент остаётся открытой .

В первые годы после обнаружения нового класса объектов были выделены случаи явной интегрируемости, найдены условия на параметры уравнений, при которых уравнения имели частные решения в виде специальных функций. П. Бутру9 нашёл эллиптические асимптотики первого и второго трансцендентов Пенлеве .

Уравнения Пенлеве вновь привлекли внимание в конце 1970-х гг. в связи с исследованиями М. Абловица и Х. Сегура10, показавшими, что уравнения Пенлеве возникают как точные редукции нелинейных уравнений в частных производных .

В те же годы уравнения Пенлеве обнаружены как описывающие физические явления: к ним сводятся трёхмерное нелинейное уравнение Шрёдингера, уравнения Эрнста, Буссинеска, Кортевега-де-Фриза, Кадомцева Петвиашвили и другие. Также к ним сводятся sin-Гордон и эллиптическое sin-Гордон уравнения. Уравнения Пенлеве используются в статистической физике, дискретные уравнения Пенлеве в теории случайных матриц. Всё это объясняет актуальность изучения трансцендентов Пенлеве .

Результаты, касающиеся асимптотического поведения трансцендентов Пенлеве, получены Ф. В. Андреевым, А. П. Бассом, А. Д. Брюно, И. В. Горючкиной, Д. Гузетти, М. Джимбо, Б. Дубровиным, А. Итсом, Н. ЙоP. Painleve, Memoire sur les equations dierentielles dont l’integrale generale est uniforme //Bull. Soc .

Math. France. 1900. 28. 201-281 .

B. Gambier, Sur les equations dierentielles du seconde ordre et du premier degre dont l’integrale generale est a points critiques xes // Acta Math. 1910.33.1-55 .

R. Garnier, Sur des equations dierentielles du troisieme ordre dont l’integrale generale est uniforme et sur une classe d’equations nouvelles d’ordre superieur dont l’integrale generale a ses points critiques xes // Ann. Sci. de l’Ecole Normale Superieure. 1912. v. 29. p. 1-126, serie 3, 1917. v. 34. p. 239-353 P. Boutroux, Recherches sur les transcendantes de M.Painleve et l’etude asymptotique des equations dierentielle dusecond ordre// Ann. Sci. Ec. Norm. Super .

M. J. Ablowitz, H. Segur, Asymptotic solutions of the Kortweg de Vries equation // Stud. Appl. Math., v. 57, №1, p. 13-44 .

ши, А. Капаевым, К. Краскалом, А. Китаевым, П. А. Кларксоном, К. Ло, М. Мазокко, Дж. Мак Леодом, С. П. Новиковым, В. Новокшёновым, В. Сулеймановым, Ш. Тэнгом и другими11 .

Цель работы .

Целью настоящей диссертации является отыскание и исследование асимптотических разложений и асимтотик пятого трансцендента Пенлеве в окрестности точек расширенной комплексной плоскости .

Методы исследования .

В работе применяются методы аналитической теории дифферениальных уравнений, методы двумерной и трёхмерной степенной геометрии, методы теории расходящихся рядов .

Научная новизна работы .

В диссертации получены следующие новые результаты:

- найдены асимптотические разложения решений пятого уравнения Пенлеве в окрестности нуля;

- найдены все асимптотические разложения решений пятого уравнения Пенлеве в окрестности неособых точек уравнения, доказана сходимость разложений;

- получены и изучены асимптотические разложения решений пятого уравнения Пенлеве в окрестности бесконечности; они являются расходящимися рядами по целым и полуцелым степеням независимой переменной; доказана их суммируемость по Жевре порядка 1; вычислены экспоненциально малые добавки к расходящимся рядам;

- найдены периодические и эллиптические асимптотики решений вспомогательных к пятому уравнению Пенлеве уравнений в окрестности бесконечности .

Подробная библиография, относящаяся к истории изучения уравнений Пенлеве, имеется в книге А. Р. Итса, А. А. Капаева, В. Ю. Новокшенова, А. С. Фокаса. Трансценденты Пенлеве. Метод задачи Римана // М., Ижевск, Регулярная и хаотическая динамика, 2005 .

Теоретическая и практическая ценность .

Диссертация носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы в дальнейших исследованиях специалистами по уравнениям Пенлеве .

Апробация работы .

Автор выступал с докладами по теме диссертации на следующих научных семинарах:

1. семинар Качественная теория дифференциальных уравнений кафедры дифференциальных уравнений механико-математического факультета МГУ под рук. проф. И. В. Асташовой, проф. А. В. Боровских, проф. Н. Х. Розова, проф. И. Н. Сергеева (2012);

2. семинар по аналитической теории дифференциальных уравнений МИАН им. В. А. Стеклова под рук. академика Д. В. Аносова (2012);

3. семинар Математическая физика ИПМ им. М.В. Келдыша РАН под рук. проф. В. В. Веденяпина, проф. В. А. Дородницина, проф .

М. В. Масленникова, проф. Ю. Н. Орлова (2012);

4. семинар Асимптотические методы математической физики и механики лаборатории механики природных катастроф ИПМех им .

А. Ю. Ишлинского РАН под рук. академика В. П. Маслова, проф .

С. Ю. Доброхотова (2012) .

Содержащиеся в диссертации результаты докладывались автором на следующих конференциях:

1. Международная конференция Ломоноcов -2009 (г. Москва, 2009);

2. Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (г. Суздаль, 2010);

3. Пятые Богдановские чтения по дифференциальным уравнениям (г. Минск, 2010);

4. Международная конференция Тараповские чтения-2011 (г. Харьков, 2011);

5. Международная конференция Дифференциальные уравнения и смежные вопросы, посвящённая памяти И.Г. Петровского (г. Москва, 2011);

6. Международная конференция Уравнения Пенлеве и смежные вопросы (г. Санкт-Петербург, 2011);

7. Международная конференция Формальные и аналитические решения дифференциальных уравнений (г. Познань, Бедлево, Польша, 2011);

8. Международная конференция Дифференциальные уравнения и оптимальное управление, посвященная 90-летию со дня рождения академика Е. Ф. Мищенко (г. Москва, 2012);

9. Международный коллоквиум Дифференциальные и разностные уравнения в комплексной области (г. Варшава, Польша, 2012);

10. Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (г. Суздаль, 2012);

Тезисы всех докладов опубликованы в сборниках тезисов соответствующих конференций .

Публикации .

Результаты диссертации опубликованы в пяти работах, список которых приведён в конце автореферата [1] – [5], а также в сборниках тезисов перечисленных выше конференций .

Структура и объем работы .

Диссертация состоит из введения, трёх глав и списка литературы. Все три главы разделены на параграфы, каждая из глав состоит из четырёх параграфов. В списке литературы 35 наименований. Объем диссертации 96 страниц. В работе имеется 25 поясняющих иллюстраций .

–  –  –

где cr (z), cs (z), r, s C. Множество K лежит в полуплоскости Re (sr) 0 для разложений при z 0 и в полуплоскости Re (sr) 0 для разложений при z ; оно является “положительной“ частью некоторой дискретной решётки в C .

Различаем четыре типа разложений (2):

1) cr (z) и cs (z) – постоянные (степенные разложения);

2) cr (z) – постоянный коэффициент, cs (z) – многочлены от ln z (степенно-логарифмические разложения);

3) cr (z) и cs (z) – ряды по убывающим степеням ln z (сложные разложения, в литературе их также называют пси-рядами);

4) r, s R, cr (z) и cs (z) – ряды по степеням z i, i2 = 1; показатели степени z i в каждом из коэффициентов cr (z), cs (z) ограничены либо сверху, либо снизу (экзотические разложения); если в каждой из сумм конечное число слагаемых, то разложения называем полуэкзотическими .

5) Также ищем экспоненциальные разложения решений bk (z)C k exp(k(z)), w= k=0

–  –  –

где s, j (z) ряды по убывающим степеням ln z с однозначно определёнными комплексными коэффициентами (семейства H5 и H6 переходят друг в друга при смене ветви корня) .

Семейство разложений H1 имеется в книге В. И. Громака, И. Лэйне, С. Шимомуры12, семейство H2 указано в работе А. Д. Брюно и Е. С. Карулиной13. Из найденных в диссертации разложений новыми являются 3 семейства сложных разложений, 2 семейства экзотических и семейство полуэкзотических разложений .

В четвёртом параграфе первой главы получены 20 семейств разложений решений пятого уравнения Пенлеве: 9 степенных, 2 степеннологарифмических, 3 сложных, 6 экзотических. Эти семейства аналогичны имеющимся в работе А. Д. Брюно и И. В. Горючкиной14 разложениям решений шестого уравнения Пенлеве .

Во второй главе найдены все асимптотические разложения решений пятого уравнения Пенлеве в окрестности его неособой точки z0, z0 = 0,, и получена Теорема 13. В окрестности неособой точки z0 при всех значениях параметров получены все разложения решений пятого уравнение Пенлеве. Они образуют 10 семейств. Разложения трёх семейств это ряды Лорана с конечной главной частью (сходятся в проколотой окрестности неособой точки), остальные ряды Тейлора (сходятся в окрестности особой точки) .

Ранее не было известно полученное для = 0, = 0 семейство разложений cs,8 (z z0 )s, O8 : w = 1 (z z0 ) + 2z0 s=3 V. I. Gromak, I. Laine, S. Shimomoura, Painleve Dierential Equations in the Complex Plane// Walter de Gruter. Berlin, New York, 2002. 303 p .

А. Д. Брюно, Е. С. Карулина. Разложения решений пятого уравнения Пенлеве // ДАН 2004 395, № 4, с. 439-444 .

А. Д. Брюно, И. В. Горючкина. Асимптотические разложения решений шестого уравнения Пенлеве .

Труды ММО, т. 71, 2010 г .

где c3,8 = 0, c4,8 произвольная постоянная, остальные коэффициенты постоянны и однозначно определены .

В третьей главе отыскиваются и исследуются асимптотические разложения и асимптотики решений пятого уравнения Пенлеве вблизи бесконечности .

В первом параграфе третьей главы методами двумерной степенной геометрии найдены асимптотические разложения решений пятого уравнения Пенлеве при z пяти типов, описанных во втором параграфе первой главы; получена Теорема 14. При z существуют следующие однопараметрические семейства экспоненциальных асимптотических разложений решений пятого уравнения Пенлеве, имеющие вид bk (z)C k exp(k(z)) .

w = b0 (z) + C exp((z)) + k=2

–  –  –

В заключение автор благодарит своего научного руководителя профессора Александра Дмитриевича Брюно за постановку задачи, внимание к ее решению и плодотворные обсуждения .

–  –  –






Похожие работы:

«Философский пароход КОНСТАНТИН ПИГРОВ Философ Родился в г. Белогорске Амурской области в 1938 году. Закончил Ленинградский кораблестроительный институт в 1963 году, работал инженером и инженеромисследователем в ЦНИИ им. академика А. Н. Крылова. Преподаёт философию с 1965 год...»

«СпонСоры деловой программы w w w.valve-forum.ru В этом номере журнала мы знакомим вас со спонсорами и участниками Форума '2016 Спонсор Научно-технической конференции "InnoValve" (Конструкторские и технологические инновации в арматуростроении. Техническая экспертиза новаторских разработок) ООО "ИЛЬМА" 197348, Россия, г. Санкт...»

«Владимир Симоненко 19 августа 1991 года. Путч На фото автор, оказавшийся случайно в центре объектива. Фото опубликовано во время путча владивостокской газетой. 19 августа 1991 года. С утра было непонятно в чём дело. По телевизору без конца крутились балерин...»

«МЕЖГОСУДАРСТВЕННЫЙ СОВЕТ ПО СТАНДАРТИЗАЦИИ, МЕТРОЛОГИИ И СЕРТИФИКАЦИИ (МГС) INTERSTATE COUNCIL FOR STANDARDIZATION, METROLOGY AND CERTIFICATION (ISC) ГОСТ МЕЖГОСУДАРСТВЕННЫЙ 20850— СТАНДАРТ КОНСТРУКЦИИ ДЕРЕВЯННЫ...»

«ОКП 42 2700 "Мастер Т-300" Прибор микропроцессорный многофункциональный для систем водои теплоснабжения Москва 2008г. РУКОВОДСТВО ПО ЭКСПЛУАТАЦИИ РЭ 4218-004-40055471-2007 ОГЛАВЛЕНИЕ Перечень принятых сокращений и символов Общие правила техники безопасности ОБЩЕЕ ОПИСАНИЕ Назначение и область п...»

«№ 4 (76) апрель 2016 ГОСУДАРСТВЕННОЕ РЕГУЛИРОВАНИЕ ЗАКОНОДАТЕЛЬСТВО ЗАКОНОПРОЕКТЫ ФИНАНСЫ ИНВЕСТИЦИИ ФОНДОВЫЙ РЫНОК БАНКРОТСТВО ТЕХНИЧЕСКОЕ РЕГУЛИРОВАНИЕ СТАНДАРТЫ СЕРТИФИКАЦИЯ ЛИЦЕНЗИРОВАНИЕ КАЧЕСТВО АУДИТ СЛИЯНИЯ ПОГ...»

«Содержание Назначение Техническая характеристика: Комплект поставки (Рис.1): Устройство и принцип действия Монтаж счетчика молока Работа счетчика молока Разборка и сборка первичного преобразователя. 7 Правила...»







 
2019 www.mash.dobrota.biz - «Бесплатная электронная библиотека - онлайн публикации»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.