WWW.MASH.DOBROTA.BIZ
БЕСПЛАТНАЯ  ИНТЕРНЕТ  БИБЛИОТЕКА - онлайн публикации
 

«Краснобаев Игорь Олегович АППРОКСИМАЦИЯ ТИПА МЮНЦА-САСА ...»

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

имени М. В. ЛОМОНОСОВА

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

На правах рукописи

УДК 517.538.2

Краснобаев Игорь Олегович

АППРОКСИМАЦИЯ ТИПА МЮНЦА-САСА

01.01.01 вещественный, комплексный и

функциональный анализ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени

кандидата физико-математических наук

Москва, 2010

Работа выполнена на кафедре математического анализа механико-математического факультета Московского Государственного Университета имени М. В. Ломоносова .

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор Седлецкий Анатолий Мечиславович .

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, ведущий научный сотрудник Буслаев Виктор Иванович, кандидат физико-математических наук, доцент Шерстюков Владимир Борисович .

Ведущая организация: Московский Технический Университет Связи и Информатики .

Защита диссертации состоится 4 марта 2011 г. в 16 час. 40 мин. на заседании диссертационного совета Д 501.001.85 при Московском Государственном Университете им. М. В. Ломоносова по адресу: 119991, ГСП-1, Москва, Ленинские Горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 16-24 .

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж) .

Автореферат разослан 4 февраля 2011 г .

Ученый секретарь диссертационного совета Д 501.001.85 при МГУ, доктор физико-математических наук, профессор В. Н. Сорокин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы Тематика работы берет начало в известных теоремах Мюнца1 и Саса2. Данными авторами рассматривается проблема описания полных систем степеней {xµn } в пространствах C0 [0, 1] (пространстве непрерывных на отрезке [0, 1] n=1 функций f (x), таких что f (0) = 0) и Lp (0, 1) .

С течением времени данная проблема, называемая теперь проблемой МюнцаСаса, трансформировалась в эквивалентную проблему описания полных систем из экспонент {en t }n, = {n C : Re n 0}. (1) в пространствах C0 (пространстве непрерывных на [0, ) функций с sup нормой, для которых lim f (x) = 0) и Lp на полупрямой R+. Преимущеx+ ство такой переформулировки проблемы заключается в возможности применения аналитических методов и методов функционального анализа, дающих наиболее полные результаты, хотя при этом приходится ограничиться пока

–  –  –

Необходимое условие, полученное Зигелем, содержится в Теореме Левинсона при (x) = |x|, 0 1 .

Необходимое условие Теоремы A является более содержательным, чем необходимое условие Саса в том случае, когда единственной предельной точкой последовательности является бесконечно удаленная точка. (Если последовательность ограничена, то это условие, в сущности, ничем не отличается от необходимого условия Саса) .

Теорема A была распространена А.М. Седлецким6 на случай конечного числа предельных точек последовательности на мнимой оси, одна из которых, возможно, совпадает с бесконечностью. А именно, если последовательность = {n : Re n 0} имеет вид

–  –  –





Данное утверждение доказано Тэйлором и Вильямсом8 .

Нельсон9 дал описание нулей функции класса A в другом виде Теорема B. (J.D. Nelson) Для того, чтобы замкнутое множество

–  –  –

Ответ прост. Так как dist (iy, n ) dist (iy, iIm n ), то в классе последовательностей = {n : Re n 0}, для которых выполняется условие (7), Taylor B.A. and Williams D.L., Zeros of Lipschitz functions analytic in the unit disc// Michigan Math. J .

1971. V.18. P.129-139 .

Nelson,J.D. A characterization of zero sets for A //Michigan Math. J. 1971. V.18. P. 141-147 .

условие (2) необходимо для полноты системы e() в пространстве C0. Тем не менее, переход от условия (4) к условию (7) послужил толчком к работе в следующем направлении .

Обозначим через A (Re z 0) класс всех не тождественных аналитических в правой полуплоскости функций, ограниченных в ней вместе со всеми своими производными. Сформулированное выше утверждение дает повод рассматривать задачу описания нулей функций класса A (Re z 0) (как самостоятельную задачу), как через точки n, так и через их проекции на мнимую ось. Отчасти, поставленная задача объясняется и желанием получить для полуплоскости аналог Теоремы Нельсона .

При конформном отображении правой полуплоскости на единичный круг, ортогональные проекции точек n на мнимую ось не перейдут в радиальные проекции их образов на единичную окружность, что и объясняет сложность распространения Теоремы Нельсона на полуплоскость. В Главе 3 получено описание нулей функций A в полуплоскости через условие Бляшке на них и условие на проекции данных нулей на мнимую ось .

–  –  –

В связи с этим, в частности, возникает вопрос об отыскании необходимых условий полноты системы (1) в пространствах (9). В Главе 2 получено такое условие в случае, когда p = 2, 1 0, при некотором ограничении на расположение точек .

Цель работы

• Исследовать проблему описания полных систем из экспонент в пространстве C0 на полупрямой и получить необходимое условие полноты системы экспонент e() в указанном пространстве в случае, когда мощность множества предельных точек последовательности на мнимой оси более чем конечна .

• Исследовать проблему описания полных систем из экспонент в весовых пространствах интегрируемых функций .

• Описать нули функций класса A в полуплоскости через их проекции на мнимую ось .

Научная новизна В диссертации получены следующие новые результаты

• Найдено необходимое условие полноты систем экспонент e() в пространствах C0 и Lp, p 2 на полупрямой в случае, когда множество предельных точек последовательности на мнимой оси счетно и отделимо .

• Найдено необходимое условие полноты системы экспонент e() в весовых пространствах L2 на полупрямой, где w(x) = l(x)x, 1 0, w(x) l(x) медленно меняющаяся функция, при определенных ограничениях на расположение точек .

• Получено описание нулей функции класса A в полуплоскости через условие Бляшке на них и условие на их проекции на мнимую ось .

Методы исследования В работе применяются методы комплексного анализа и теории аппроксимации .

Теоретическая и практическая ценность Работа носит теоретический характер. Ее результаты могут найти применение в дальнейших исследованиях по теории аппроксимации и комплексному анализу .

Апробация работы Основные результаты диссертации докладывались

• на семинаре механико-математического факультета Московского Государственного Университета имени М.В. Ломоносова "Негармонический анализ" под руководством профессора А. М. Седлецкого (2004-2010 гг.) .

• на семинаре механико-математического факультета Московского Государственного Университета имени М.В. Ломоносова "Тригонометрические и ортогональные ряды" под руководством профессора Т.П. Лукашенко, профессора М.И. Дьяченко, профессора В.А. Скворцова, профессора М.К. Потапова (декабрь 2010 г.) .

• на Воронежской зимней математической школе "Современные методы теории функций и смежные проблемы" (г. Воронеж, январь 2007 г.) .

• на международной конференции "Ломоносов 2010" (г. Москва, апрель 2010 г.) .

• на международной конференции "Математическая физика и ее приложения" (г. Самара, август 2010 г.) .

Публикации Основные результаты диссертации опубликованы в 4 работах автора. Их список приведен в конце автореферата. Работ, написанных в соавторстве, нет .

Структура и объем работы Диссертация состоит из введения и трех глав, разбитых в общей сложности на 4 параграфа. Объем диссертации 70 страниц. Список литературы включает 23 наименования .

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении дан краткий обзор по теме диссертации, сформулированы рассматриваемые в диссертации задачи и изложены основные результаты .

Глава 1 диссертации посвящена задаче отыскания необходимого условия полноты системы {en t }n, = {n C : Re n 0} в пространствах C0 и Lp на полупрямой, p 2 в случае, когда множество предельных точек последовательности {n } на мнимой оси счетно и отделимо .

В параграфе 1 приведены вспомогательные утверждения, используемые в данной главе .

В параграфе 2 сформулирован и доказан основной результат первой главы .

Теорема (1.1). Пусть последовательность

–  –  –

Теорема (1.1) доказана в диссертации с помощью модификации доказательства Левинсона Теоремы A .

Глава 2 диссертации посвящена отысканию необходимого условия полноты системы

–  –  –

В параграфе 1 приведены основные вспомогательные определения и утверждения.

В параграфе 2 сформулировано и доказано необходимое условие полноты системы e() в пространствах L2, w(t) = l(t)t, 1 0:

w(t) Теорема (2.1). Пусть 1 0. Пусть дана последовательность

–  –  –

Глава 3 диссертации посвящена вопросу описания нулей функций класса A в полуплоскости через условие Бляшке на них и условие на их проекции на мнимую ось .

Пусть дана последовательность

–  –  –

существует функция f A (Re z 0), обращающаяся в 0 в точках, то последовательность удовлетворяет условиям (11) и (12) .

Теорема (3.1) является аналогом Теоремы Кограна11 для круга, которая доказана в диссертации для полуплоскости.

Она может быть улучшена при дополнительном требовании к последовательности, что и является основным результатом этой главы, заключенным в следующей теореме:

Теорема (3.2). Пусть дана последовательность = {n C : 0 Re n A R+ } .

Тогда последовательность является множеством нулей функции из класса A (Re z 0) тогда и только тогда, когда выполнены условия (11) и (12) .

Теорема (3.2) доказана в диссертации с помощью модификации доказательства Теоремы B, предлагающей описание нулей функций класса A в круге. Потребность в модификации указанного доказательства была вызвана тем фактом, что при конформном отображении круга на полуплоскость, радиальные проекции точек единичного круга на единичную окружность не переходят в ортогональные проекции образов данных точек на мнимую ось, Caughran J.G. Zeros of analytic functions with innitely dierentiable boundary values//Proc. Amer. Math .

Soc. 1970. V.24. P.700-704 .

а значит нельзя утверждать тот факт, что условия на радиальные и ортогональные проекции при конформном отображении перейдут друг в друга .

Теорема (3.2) являлась бы аналогом Теоремы B, доказанной Нельсоном, если бы не дополнительное требование к расположению точек n в виде Re n A R+ .

Показано, что условие Re n A R+ является существенным для справедливости Теоремы (3.2). А именно, доказано, что последовательность

–  –  –

является множеством нулей некоторой функции из класса A (Re z 0), но при этом для нее не выполняется условие (12) .

Благодарности Автор глубоко благодарен своему научному руководителю, профессору, доктору физико-математических наук Анатолию Мечиславовичу Седлецкому за постановку задач, помощь в различных вопросах и постоянное внимание к работе.




Похожие работы:

«Отчет о работе ЦТР и ГО "Гармония" в статусе Базовой площадки ГАУДО СО "Дворец молодёжи" по реализации образовательного проекта "Дополнительное образование как открытое мотивирующее пространство для личностного и профессионального самоопределения детей и подростков в техническом творчестве" за I полугодие 2017-2018 учебного...»

«ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТАНДАРТ СОЮЗА ССР ДИФТОРДИХЛОРМЕТАН (ХЛАДОН 12) ТЕХНИЧЕСКИЕ УСЛОВИЯ ГОСТ 19212-87 Издание официальное БЗ 10-95 ИПК ИЗДАТЕЛЬСТВО СТАНДАРТОВ Москва проект строительства УДК 661.723.64:003.365 Группа Л92...»

«Литература 1. Бальчинова Д.Г., Казанцева Л.С., Жигарева Е.Ю. Лидерские качества студентов медицинского вуза как объект исследования // Молоджный научный форум: гуманитарные науки: сборник материалов...»

«2 1. Цель и задачи освоения дисциплины "Методы и алгоритмы ЦОС" Цель дисциплины – ознакомление магистрантов с концептуальными основами цифровой обработки сигналов, изучение современных методов математического описа...»

«Устойчивое развитие городского пассажирского транспорта в муниципии Кишинэу Докладчик: Виталие Бутучел, вице-директор Главного управления общественного транспорта и путей сообщения при Муниципальном совете Кишинэу Общая характеристика муниципия Кишинэу Мун...»

«Зайцева Екатерина Вячеславовна МЕТОД Р Е Ш Е Н И Я ЗАДАЧ О ВЗАИМОДЕЙСТВИИ ТРЕЩИН 01 02 04 Механика деформируемого твердого тела Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математ...»

«РУКОВОДСТВО ПОЛЬЗОВАТЕЛЯ БЕНЗОПИЛА ЦЕПНАЯ CS-3500 ПРЕДУПРЕЖДЕНИЕ ОПАСНОСТЬ ПРОЧИТАЙТЕ ВНИМАТЕЛЬНО РУКОВОДСТВО ПО ЭКСПЛУАТАЦИИ И СЛЕДУЙТЕ ИНСТРУКЦИЯМ ДЛЯ ОБЕСПЕЧЕНИЯ ВАШЕЙ БЕЗОПАСНОСТИ. НЕВЫПОЛНЕНИЕ ПРИВЕДЕННЫХ В РУКОВОДСТВЕ УКАЗАНИЙ МО...»







 
2019 www.mash.dobrota.biz - «Бесплатная электронная библиотека - онлайн публикации»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.