WWW.MASH.DOBROTA.BIZ
БЕСПЛАТНАЯ  ИНТЕРНЕТ  БИБЛИОТЕКА - онлайн публикации
 

«Толченников Антон Александрович Спектральные свойства оператора Лапласа на декорированных графах и на поверхностях с дельта-потенциалами ...»

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

УНИВЕРСИТЕТ

ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

На правах рукописи

УДК 517.984.68, 515.168.5

Толченников Антон Александрович

Спектральные свойства

оператора Лапласа

на декорированных графах

и на поверхностях с

дельта-потенциалами

01.01.04 геометрия и топология

АВТОРЕФЕРАТ

диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 2009

Работа выполнена на кафедре дифференциальной геометрии и ее приложений Механико-математического факультета Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова .

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор Шафаревич Андрей Игоревич .

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Степин Станислав Анатольевич;

кандидат физико-математических наук Морозов Павел Валерьевич .

Ведущая организация: Санкт-Петербургское отделение Математического института им. Стеклова РАН .

Защита диссертации состоится 19 февраля 2010 г. в 16 ч. 45 м. на заседании диссертационного совета Д.501.001.84 при Московском государственном университете имени М.В. Ломоносова по адресу: Российская Федерация, 119991, Москва, ГСП-1, Ленинские горы, дом 1, МГУ им М.В.Ломоносова, Механико-математический факультет, аудитория 14-08 .

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж)

Автореферат разослан 19 января 2010 г .

Ученый секретарь диссертационного совета Д501.001.84 при МГУ доктор физико-математических наук, профессор А.О. Иванов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы .

Диссертация посвящена: 1) изучению взаимосвязи геометрических свойств декорированных графов со спектральными свойствами оператора Лапласа на декорированных графах; 2) изучению предельного поведения спектра оператора Лапласа на окружности, двумерной сфере и диске с потенциалами, сходящимися к дельта-функции; 3) изучению предельного поведения спектра оператора Лапласа на торе вращения, меридиан которого стягивается в точку .

Декорированным графом называется топологическое пространство, полученное отождествлением концов отрезков с точками на гладких римановых замкнутых многообразиях, размерность которых не превосходит 3. Причем ребра приклеиваются в разных точках .

Оператор Лапласа на декорированном графе - это оператор, удовлетворяющий следующим двум требованиям: 1) на функциях, носители которых не содержит точек приклейки, он должен совпадать с прямой суммой операторов Лапласа на отрезках и на поверхностях; 2) он должен быть самосопряжен .

Этому определению удовлетворяет целое семейство операторов, которое можно параметризовать лагранжевыми плоскостями в C4n C4n (где n количество отрезков в декорированном графе). Это эквивалентно заданию граничных условий в точках склейки, то есть системы из 4n линейных уравнений, связывающих значения функции и ее односторонних производных на концах ребер, а также коэффициенты при особенностях и значения регулярных частей функции в точках склейки (всего 8n переменных) .





Актуальность этой темы связана, в частности, с тем, что подобными операторами можно моделировать гамильтониан заряженной частицы в массиве фуллеренов. Подобные объекты впервые появились в работе Б.С .

Павлова1 .

В работе Й. Брюнинга и В. Гейлера2 изучались свойства матрицы рассеяния для компактной поверхности с прикрепленными полупрямыми. В диссертации И.С. Лобанова3 изучались спектральные свойства операторов Шредингера на периодических декорированных графах .

Аналогичная техника используется в вопросе о спектральных свойствах оператора Лапласа на поверхности с дельта-потенциалами. Этот оператор Павлов Б.С. Электрон в однородном кристалле из точечных атомов с внутренней структурой. // Теоретическая и математическая физика. – 1987. – Т. 72, N 3.– С. 403-415 .

J.Bruning, V.Geyler. Scattering on compact manifolds with innitely thin horns.// J.Math.Phys. –2003. – Vol.44. – pp.371-405 .

И.С. Лобанов. Спектральные свойства гамильтонианов явнорешаемых моделей мезоскопических структур: декорированные квантовые графы и квантовые точки. Дис.... канд. физ.-матем. наук, Мордовский гос. ун-т, Саранск, 2005 .

определяется как самосопряженное расширение классического оператора Лапласа, ограниченного на функции, которые зануляются на конечном наборе точек .

Использование дельта-потенциалов в квантовой механике имеет более чем 70-летнюю историю. Изучая движение нерелятивистского электрона в жесткой кристаллической решетке, Р. де Л. Крониг и В.Г. Пенни4 в 1931 году одними из первых стали использовать точечные потенциалы. В 1961 году Ф.А. Березин и Л.Д. Фадеев5, используя теорию самосопряженных расширений, дали строгое математическое обоснование этого метода и предложили использовать резольвентную формулу М.Г. Крейна для получения резольвент возмущений. Дальнейшее исследование подобных моделей атомной физики проводилось в работах В.Н. Островского6, Б.С .

Павлова7, 8 Для классического оператора Лапласа на замкнутом многообразии размерность ядра совпадает с количеством компонент связности многообразия. В данной работе дано описание ядра оператора Лапласа на декорированных графах и оператора Лапласа на поверхностях с дельта-потенциалом в терминах соответствия между операторами и лагранжевыми плоскостями .

Также в работе рассматривается конкретный оператора Лапласа на декорированных графах, заданный условиями типа непрерывности. Для этого оператора найдена связь размерности ядра с топологией графа .

Связь геометрических характеристик риманова многообразия со спектральными свойствами оператора Лапласа, построенного по римановой метрике, проявляется в классической задаче нахождения асимптотической формулы следа квадрата резольвенты T r ( + z 2 )2 (z ) и экспоненты оператора T r et (t 0) .

Для компактного риманова многообразия M хорошо известно (см., например, учебник С. Розенберга9 ), что n t ak t k, (4t) Tr e 2

k=0

где ak = ak (x)dwx, ak (x) - полиномиальные выражения от компонент M Kronig R. de L., Penney W.G. Quantum mechanics of electrons in crystal latices. // Proc. Roy. Soc. A. – 1931. – V.130. – P.499 - 513 .

Березин Ф.А., Фадеев Л.Д. Замечание об уравнении Шредингера с сингулярным потенциалом. // Докл. Акад. Наук СССР. – 1961.– Т. 137. – С. 1011 - 1014 .

Демков Ю.Н., Островский В.Н. Метод потенциалов нулевого радиуса в атомной физике. - Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1975 .

Курасов П.Б., Павлов Б.С. Электрон в однородном кристалле из точечных атомов с внутренней структурой. II. // Теоретическая и математическая физика. – 1987. – Т.74, N. 1. – С. 82-93 .

Павлов Б.С. Теория расширений и явнорешаемые модели. // Успехи матем. наук. – 1987. – Т.42, N 6 .

– С. 99-131 .

S. Rosenberg. The Laplacian on a Riemannian manifold. // London Mathematical Society Student Texts .

–1997. – Vol. 31. – Cambridge .

–  –  –

Обобщением этих формул на случай декорированных графов посвящена диссертация С.В. Рогановой10. Для этих целей использовалась формула Крейна, выражающая разность резольвент двух дизъюнктных расширений через граничные операторы (i). В отличие от классического случая риманова многообразия, формула для следа квадрата резольвенты оператора Лапласа на декорированных графах содержит в качестве коэффициентов при степенях z рациональные функции от ln z. Получается т.н. псевдоасимптотическое разложение, разложение по z n lnm z, n, m N {0}. Такое разложение, если существует, единственно. С.В. Рогановой было вычислено псевдоасимптотическое разложение для расширений специального вида с условиями локальности. Это означает, что граничные условия имеют вид (2) = (1), где - матрица, состоящая из четырех диагональных блоков .

В данной работе мы вычисляем след экспоненты операторов с условиями локальности, а также находим разложение следа квадрата резольвенты для оператора с условиями непрерывности, который не попадает в класс операторов, рассматриваемых С.В. Рогановой .

Также в работе изучается следующий вопрос: что происходит со спектром оператора Лапласа при добавлении обычного потенциала, зависящего от малого параметра и сходящегося к дельта-функции? Будет ли он сходиться к спектру оператора с дельта-потенциалом?

Вопрос о дельта-потенциалах и их аппроксимациях для евклидовых пространств предельно подробно разбирался в монографии С.Альбеверио, Ф.Гестези, Р.Хэг-Крона и Х. Хольдена11. Для случая оператора на прямой имеет место следующий результат. Рассмотрим семейство операторов H,y = + 1 V ( ·y ), где V L1 (R). Тогда H,y сходится в равномерном резольвентном смысле к оператору,y, где = R V (x)dx (это единственный параметр, определяющий расширение). При 0 отрицательная часть спектра H,y состоит из одного простого собственного значения, сходящегося к единственному собственному значению оператора,y. Если 0, то при достаточно малых отрицательная часть спектра H,y отсутствует и у,y нет отрицательных собственных значений. При = 0 H,y имеет S. Roganova. Direct and inverse spectral problems for hybrid manifolds. Dissertation, Humboldt Universitat zu Berlin. – 2007 .

Альбеверио С., Гестези Ф., Хеэг-Крон Р., Хольден Х. Решаемые модели в квантовой механике. - М.:

Мир. – 1991 .

не более одного отрицательного собственного значения, погружающегося в существенный спектр [0; ) .

В данной работе рассматривается семейство операторов на окружности вида = + 1 V ( x ) .

Для двумерной плоскости имеет место следующее утверждение.

Пусть семейство операторов имеет вид:

–  –  –

V (x) ln(x x )V (x )dx dx 2 V (x)dx = +, (2)2 2( V (x)dx)2 при V (x)dx = 0, 1 = .

V (x)dx В противном случае H,y сходится в равномерном резольвентном смысле к .

Техника, применяемая в моногорафии, не обобщается на случай операторов на компактных многообразиях, имеющих дискретный спектр .

Нами разбирается задача о сходимости спектра оператора Лапласа на сфере и диске с кусочно-постоянным потенциалом, сходящимся к дельта-функции (без нормировки логарифмом). Эта задача является модельным примером .

Еще одна затрагиваемая тема - сходимость спектра оператора Лапласа на поверхности, которая стягивается вдоль одного из направлений .

Подобным задачам посвящены статьи П. Кучмента12, У. Саито13. В работе П. Экснера и О. Поста14 рассматривается "графоподобная" двумерная поверхность M в R3, стягивающаяся при 0 к некоторому конечному графу. Ограниченные по собственные значения оператора Лапласа на графоподобных поверхностях сходятся к спектру оператора Лапласа на метрическом графе, причем граничные условия в вершинах графа зависят от способа перехода к пределу. В частности, ими построено такое семейство графоподобных поверхностей M, для которых все ограниченные собственные значения k (M ) оператора Лапласа сходятся либо к нулю, либо к собственным значениям прямой суммы операторов Лапласа с условиями Дирихле на ребрах графа .

Kuchment P., Zheng H. Convergence of spectra of mesoscopic systems collapsing onto a graph. // J. Math .

Anal. Appl. – 2001. – V. 258, N.2. – P.671-700 .

Saito Y. The limiting equation for Neumann Laplacians on shrinking domains. // Electron. J. Dier. Equ .

– 2000. – V.31 – P. 1-25 .

Exner P., Post O. Convergence of spectra of graph-like thin manifolds.// Journal of Geometry and Physics .

– 2005. – V.54. – P. 77-115 .

В данной работе рассматривается задача о сходимости спектра оператора Лапласа на двумерном торе вращения, радиус меридиана которого стремится к нулю .

Цель работы .

Нахождение связи между геометрическими характеристиками сингулярных пространств и спектральными свойствами оператора Лапласа на этих пространствах Научная новизна .

В диссертации получены следующие новые результаты:

1. Описан изоморфизм ядра оператора Лапласа на декорированных графах и пересечения лагранжевой плоскости, задающей оператор, с некоторой фиксированной лагранжевой плоскостью. Доказана оценка размерности ядра оператора Лапласа с условиями типа непрерывности на декорированных графах .

2. Найдены первые члены псевдоасимптотического разложения следа экспоненты оператора Лапласа на декорированном графе с условиями типа локальности и первые члены псевдоасимптотического разложения следа квадрата резольвенты оператора Лапласа на декорированных графах с условиями типа непрерывности

3. Для оператора Лапласа с потенциалом, сходящимся к дельта-функции, на окружности, двумерной сфере и двумерном диске доказано, что в случае окружности непрерывные ограниченные собственные значения сходятся к собственным значениям оператора Лапласа с дельтапотенциалом, а в случаях сферы и диска сходятся к собственным значениям оператора Лапласа .

Основные методы исследования .

В работе используются топологические методы, методы анализа и абстрактной теории операторов (в частности, теории расширений) .

Теоретическая и практическая ценность работы .

Диссертация носит теоретический характер. Изложенные в диссертации подходы и полученные результаты могут представлять интерес для специалистов в теории сингулярных пространств и теории операторов на сингулярных пространствах .

Апробация работы .

Результаты диссертации докладывались на следующих научноисследовательских семинарах и конференциях:

• Топологическая конференция памяти П.С. Александрова (МГУ, мехмат, 2006)

• Семинар "Алгебры Ли и интегрируемые системы" под руководством к.ф.-м.н. А.А. Ошемкова, профессора А.И. Шафаревича (МГУ, мехмат, 2007)

• Конференция "Воронежская зимняя математическая школа им. С.Г .

Крейна" (Воронежский Государственный Университет, 24 - 30 января 2008)

• Семинар "Математическая физика" под руководством профессора Т.Крихебауэра (Германия, Бохумский университет, 10 июня 2008)

• Международная конференция "Дни дифракции" (СПбГУ, 25-29 мая 2009)

• Семинар "Теория рассеяния" под руководством профессора Р.А. Минлоса (МГУ, мехмат, 10 декабря 2009) .

Публикации .

Основное содержание диссертации было опубликовано в 4 работах, список которых приведен в конце автореферата [1] [4] .

Структура и объем диссертации .

Диссертация состоит из введения, 7 глав и списка литературы. Объем диссертации 59 страниц, библиография включает 26 наименований .

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении содержится обзор результатов, связанных с темой диссертации, приводится постановка задачи, дается краткое изложение основных результатов диссертации .

В первой главе мы формулируем основные определения и факты из теории самосопряженных расширений. Также мы рассматриваем необходимый в дальнейшем примера. Мы рассматриваем оператор 0 - ограничение оператора Лапласа (заданного на замкнутом многообразии M ) на функции, которые зануляются на конечном наборе точек {qi }n. Оператор Лапласа i=1 с дельта-потенциалом - это самосопряженное расширение замкнутого оператора 0 (с индексами дефекта (n, n)). В первой главе мы перечисляем основные свойства интегрального ядра G(x, y; z) резольвенты ( z)1 и описываем базис дефектного подпространства Nz для 0 (это в точности {G(·, qi ; z)}n ). Таким образом, каждая функция f (x) D( ) имеет i=1 следующее разложение в окрестности т.

qi :

–  –  –

Таким образом, по лагранжевой плоскости Cn Cn мы можем построить самосопряженное расширение с областью определения D( ) = {f D(S ) | ((1) f, (2) f ) } Во второй главе доказывается Теорема 4. ker L, где L = (ker ) - лагранжева плоскость .

В утверждении 3 находится явный вид плоскости L, а в пункте 2.1 разобран конкретный пример нахождения параметров плоскости L (для оператора Лапласа на двумерной сфере) .

Третья глава посвящена ядру оператора Лапласа H на декорированных графах.

Здесь имеет место утверждение, абсолютно аналогичное теореме 4:

ker H L, где L - лагранжева плоскость в C4n C4n, где n - количество ребер графа .

Далее, в пункте 3.2 рассматривается конкретное расширение H 0 с условиями типа непрерывности. В утверждении 4 доказывается его существование и единственность .

Центральный результат главы 3 - доказательство неравенства (теорема 5), выполненного для оператора H 0 на декорированном графе (полученном декорацией графа ):

0 dim ker H 0 0 + 1

где 0 - количество компонент связности графа, 1 - количество независимых циклов графа. Приведен пример, в котором указанная оценка достигается (п. 3.4), и показано, что сколь угодно малым изменением длин ребер можно добиться равенства dim ker H 0 = 0. Также показано, что величина 1 () dim ker H 0 не убывает при добавлении новых ребер и многообразий .

В четвертой главе мы вычисляем след экспоненты операторов Лапласа с условиями типа локальности (это означает, что граничные условия имеют вид (2) = (1), где - матрица из четырех диагональных блоков), для чего применяем пребразование Лапласа T r(t etH ) T r(H + p)2 к каждому члену псевдоасимптотического разложения T r(H + p)2 (утверждение 7), которое было найдено С.В. Рогановой, и даем оценку остаточного члена (утверждение 8). В теореме 7 найдены первые члены разложения T r(t etH ) .

В пятой главе мы, используя технику С.В. Рогановой, вычисляем T r(H 0 + z 2 )2 для оператора Лапласа с введенными в п. 3.2 условиями непрерывности H 0. Для этих целей необходимо изменить операторы граничных условий и сравнивать резольвенту оператора H 0 с резольвентой оператора H0 - прямой суммы операторов Лапласа на многообразиях и операторов Лапласа на отрезках с условием Дирихле. В теореме 8 найдены первые члены псевдоасимптотического разложения T r(H 0 + z 2 )2 .

Оказывается, что в разложении T r(H 0 +z 2 )2 слагаемые, не содержащие логарифмических членов, дают разложение для следа квадрата резольвенты прямой суммы операторов Лапласа на многообразиях и на отрезках с условиями Неймана. В то время, как в разложении следов операторов, рассматриваемых С.В. Рогановой, присутствуют ненулевые добавки к степенным членам .

В шестой главе рассматривается задача о предельном поведении спектра оператора Лапласа с потенциалом, сходящимся к дельта-функции .

В пункте 6.1 рассматривается оператор на окружности и доказывается Теорема 9 .

Рассмотрим задачу на окружности, параметризованной x [0, 1): y + 1 V ( x )y = y, где V (x) - интегрируемая функция с носителем [0, 1]. Для каждой точки 0 вида (2k)2 (k N) или решения уравнения = 2 ctg 2 0 (где M = 0 V (x)dx) существует единственное собственное M 0 значение (), т.ч. () 0. Других собственных значений нет .

В пункте 6.2 рассматривается оператор на сфере и доказывается Теорема 10 .

Рассмотрим задачу на нахождение собственных значений оператора Лапласа-Бельтрами с потенциалом на стандартной двумерной C сфере радиуса 1 : ( V (cos ))u = u, где - широта, V (cos ) = 2 при 0, и V (cos ) = 0 при .

Тогда каждая непрерывная и ограниченная функция () сходится при 0 к числу вида n(n + 1), n Z .

Аналогично, в пункте 6.3 рассматривается оператор Лапласа на двумерном диске с кусочно-постоянным потенциалом, сходящимся к дельтафункции. В теореме 11 доказывается сходимсть непрерывных ограниченных собственных значений к точкам спектра обычного оператора Лапласа .

В седьмой главе рассматривается задача об асимптотике спектра оператора Лапласа на двумерном торе вращения, радиус меридиана которого стремится к нулю. Теорема 12 вычисляет первые члены асимптотики собственных значений .

Благодарности .

Автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю профессору Андрею Игоревичу Шафаревичу за постановку задач, постоянное внимание, многочисленные плодотворные обсуждения и помощь в работе .

Список публикаций по теме диссертации .

[1] А.А. Толченников. О ядре операторов Лапласа-Бельтрами с потенциалом нулевого радиуса и на декорированных графах.// Математический сборник. – 2008. – Т. 199, N7. – с. 123-138 .

[2] A.A. Tolchennikov. Kernel and Trace Formula for the Exponential of the Laplace-Beltrami Operator on a Decorated Graph. // Russian Journal of Mathematical Physics. – 2008. – Vol. 15, No. 1. – pp.128-139 .

[3] А.А. Толченников. Тезисы конференции "Дни дифракции 2009". Изд-во СПбГУ. – 2009. – с. 88 .

[4] А.А. Толченников. Воронежская зимняя математическая школа С.Г.




Похожие работы:

«1 Экз. №_ АКТ государственной историко-культурной экспертизы раздела, обосновывающего меры по обеспечению сохранности объектов культурного (археологического) наследия при проведении земляных, строительных работ по объекту: "Реконструкция 6 КЛ-0,4 кВ ТП 23092 – вв. 91489, вв. 101377, вв. 20687 (перевод КЛ из ТП 537 в ТП 23092),...»

«ТУ-5690-014-59350959-2015 УТВЕРЖДАЮ Генеральный директор ООО "ЮниТрейд" Приходько Н.Н. Механизмы трансформации серии "Еврокнижка/Пантограф". Технические условия ТУ-5690-014-59350959-2015 Дата введения с 08 09 2017 ПФ78301 ТУ-5690-014-59350959-2015 1 В...»

«Союз потребителей Украины Исследование рынка строительных материалов: металлопластиковые окна Накануне 15 марта Всемирного дня прав потребителей Цель проекта    Проверить качество и безопасность металлопластиковых конструкций, которые продаются...»

«База нормативной документации: www.complexdoc.ru ЦЕНТРАЛЬНЫЙ ИНСТИТУТ НОРМАТИВНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ И НАУЧНО-ТЕХНИЧЕСКОЙ ИНФОРМАЦИИ "О Р Г Т Р А Н С С Т Р О Й " МИНИСТЕРСТВА ТРАНСПОРТНОГО СТРОИТЕЛЬСТВА УСТРОЙСТВО ЦЕМЕНТОГРУНТОВОГО ОСНОВАНИЯ АЭРОДРОМОВ ПРОФИЛИРОВЩИКОМ ИЗ СМЕСИ, ПРИГО...»

«ЭЛЕКТРОЛАБОРАТОРИЯ КАБЕЛЬНАЯ ПЕРЕДВИЖНАЯ Руководство по эксплуатации КАЭЛ-5/21.00.00.00 РЭ СОДЕРЖАНИЕ 1. Назначение 2. Технические данные 3. Состав КАЭЛ-5 4 . Устройство и работа КАЭЛ-5 5. Указание мер безопасности 6. Подготовка к работе и порядок работы 7. Техническ...»

«Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования "Тамбовский государственный технический университет"...»

«Решение № М-2514/2013 2-2839/13 2-2839/2013~М-2514/2013 2от 27 августа 2013 г. Красногвардейский районный суд (Город Санкт-Петербург) Гражданское Дело № 2-2839/13 27 августа 2013 года РЕШЕНИЕ ИМЕНЕМ РОС...»

«История МБОУ "Средняя общеобразовательная школа №20" История "Средней общеобразовательной школы № 20" и посёлка Биофабрика, на территории которого она располагается, связана с именем знаменитого земляка Петра Александровича Бадмаева, известного государ...»







 
2019 www.mash.dobrota.biz - «Бесплатная электронная библиотека - онлайн публикации»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.