WWW.MASH.DOBROTA.BIZ
БЕСПЛАТНАЯ  ИНТЕРНЕТ  БИБЛИОТЕКА - онлайн публикации
 

«МОДЕЛЬ ИЗГИБА БАЛКИ С НАДРЕЗОМ: ПРЯМАЯ И ОБРАТНАЯ ЗАДАЧИ А. М. Ахтямов, М. А. Ильгамов Институт механики Уфимского научного центра РАН, 450054 Уфа Башкирский государственный ...»

152 ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. 2013. Т. 54, N- 1

УДК 534.113

МОДЕЛЬ ИЗГИБА БАЛКИ С НАДРЕЗОМ:

ПРЯМАЯ И ОБРАТНАЯ ЗАДАЧИ

А. М. Ахтямов, М. А. Ильгамов

Институт механики Уфимского научного центра РАН, 450054 Уфа

Башкирский государственный университет, 450074 Уфа

E-mails: AkhtyamovAM@mail.ru, ilgamov@anrb.ru

Предложены условия сопряжения, моделирующие поперечный надрез в балке. С использованием этих условий решена задача об определении местоположения и размеров надреза. Проведена идентификация надреза в статическом случае по значениям прогибов балки в нескольких точках и в динамическом случае по ее первым собственным частотам колебаний. Получены зависимости первых собственных частот от характерных параметров задачи. Изучено влияние относительной погрешности измерения частот на относительную погрешность вычисления параметров надреза. Показано, что использование первых собственных частот изгибных колебаний балки относительно различных осей позволяет получить более точные результаты идентификации, чем использование собственных частот изгибных колебаний относительно одной оси. Поскольку локальное повреждение типа вмятины, местной коррозии, раскрытой трещины допускается моделировать надрезом, полученные результаты могут быть использованы также для диагностирования соответствующих дефектов .

Ключевые слова: обратная задача, балка, собственные частоты, надрез .



В настоящей работе определяются местоположение и размеры надреза в балке по ее прогибам в нескольких точках, а также по собственным частотам ее изгибных колебаний. Эти задачи связаны с задачами акустической диагностики [1, 2], обратными задачами математической физики [3] и задачей идентификации краевых условий и функции нагрузки [4]. Наиболее близкие к рассматриваемой проблеме задачи рассматривались в [5–12]. В [5–8] изучались возможности определения местоположения и размеров полости в стержне. В случае продольных колебаний стержня такие задачи изучались в [9], а в случае изгибных колебаний — в [10–12]. В настоящей работе, в отличие от работ [10–12], предлагаются условия сопряжения для надреза, которые в случае сквозного разреза стержня не содержат дополнительного условия, кроме естественных в таком случае условий свободных концов .

1. Условия сопряжения, моделирующие надрез. При рассмотрении изгиба балки с двусторонним надрезом (рис. 1) напряженно-деформированное состояние учитывается в рамках технической теории для тонкой балки без учета сложного деформированного состояния в пределах надреза. Не учитываются также инерционные и внешние силы в области надреза. Ширина прямоугольного поперечного сечения балки равна B, высота — H, длина надреза l значительно меньше длины балки L. Распределенная поперечная сила P Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (коды проектов 11-01-00293-а, 11-01-97002-р поволжье а, 11-01-12005-офи-м) .

c Ахтямов А. М., Ильгамов М. А., 2013 А. М. Ахтямов, М. А. Ильгамов

–  –  –

то из (7) получаем следующее решение: p = 0,288 00, c = 0,395 51, h/H = 0,196 40. Таким образом, в случае c k (k = 1, 2, 3) погрешность при определении неизвестных больше, чем в случае 1 c k (k = 2, 3). Такая же тенденция наблюдается при увеличении погрешности определения прогибов .

2.2. Определение параметров надреза и нагрузки по заданным углам поворота сечения балки. Углы поворота слева и справа от надреза равны

–  –  –



Константы Ai, Bi, Ci, Di (i = 1, 2) являются решениями системы восьми алгебраических уравнений — четырех краевых условий и четырех условий сопряжения (2)–(4) .

Нули определителя () этой системы являются собственными значениями поставленной задачи .

А. М. Ахтямов, М. А. Ильгамов

–  –  –

Ниже на основе предложенной модели проведен численный анализ зависимостей первых собственных частот от глубины и координаты надреза .

На рис. 3 показана зависимость отношений fkd /fk0 (k = 1, 2, 3) от глубины надреза для образца 2 при xc = 595 мм. Видно, что с увеличением глубины надреза собственные частоты монотонно уменьшаются .

На рис. 4 показана зависимость отношений fk4 /fk0 от координаты надреза xc для образцов 1, 2 при d = 4 мм. По мере приближения координаты надреза к свободному концу балки первая частота увеличивается. Аналогично изменяются вторая и третья собственные частоты, однако при удалении от свободного конца их поведение становится немонотонным: третья частота изменяется быстрее, чем вторая .

В случае высоких собственных частот при определенном расположении надреза (для второй моды при c = 0,2) собственные частоты балки с надрезом и без надреза могут А. М. Ахтямов, М. А. Ильгамов

–  –  –

совпадать. Это объясняется тем, что надрез совпадает с точкой перегиба соответствующей собственной функции, в которой кривизна упругой линии равна 2 w1 / 2 = 0 ( = c ). При этом условие (3) переходит в условие w2 / = w1 /. Вследствие малости µ3 (l/L)2 по сравнению с единицей (µ — коэффициент изменяемости деформированного состояния) при = c условие (4) переходит в равенство w2 () = w1 (). Тогда условия (2)–(4) переходят в равенства изгибающих моментов, перерезывающих сил, прогибов и углов поворота в точке = c (в случае балки без надреза) .

4. Определение глубины и местоположения надреза по первым частотам колебаний балки. Обратная задача состоит в определении местоположения и размеров надреза балки по собственным частотам ее колебаний. Решение этой задачи сводится к решению системы нелинейных алгебраических уравнений (k ) = 0 (k = 1, 2, 3) относительно неизвестных c, l/L, h/H .

Идентифицируя наряду с c параметры l и h, получаем бесконечное множество решений. Как и в статическом случае, это обусловлено тем, что при малых значениях (l2 /L2 ) условие сопряжения (4) сводится к равенству w1 = w2 (для данных экспериментов (lH/Lh)3 109 ). Поэтому искомые параметры l/L и h/H остаются только в условии (3), из которого ни один из них нельзя однозначно определить, не зная другой .

При определении c и одного из двух параметров (h/H или l/L) обратной задачи по двум собственным значениям решение можно найти с помощью системы уравнений (1, c, lL1, hH 1 ) = 0, (2, c, lL1, hH 1 ) = 0. (13) В табл. 3 приведены значения параметров d, xc надреза в зависимости от частот для образца 2 ( — погрешность вычисления соответствующего параметра; в графе xc в скобках указано расстояние от левого края до симметричного надреза) .



Относительная погрешность реконструкции увеличивается на четыре-пять порядков (возрастает в 104 105 раз) по сравнению с относительной погрешностью входной информации. Поэтому в табл. 1, 2 значения частот приведены с точностью до тысячных долей герца (экспериментальные данные в [14] также найдены с точностью до тысячных долей герца) .

Заметим, что если центр надреза расположен в середине балки (xc = 916 мм) со свободными концами, то при решении системы (13) возникают значительно бльшие погрешо ности определения параметров надреза. В этом случае относительная погрешность реконструкции увеличивается на 1011 порядков по сравнению с относительной погрешностью входной информации. Это обусловлено тем, что в середине балки со свободными концами расположены узел и точка перегиба второй моды колебаний, поэтому вторая частота балки не меняется при увеличении глубины надреза и становится малоинформативной при диагностировании параметров надреза .

В данной работе предлагается другой метод диагностирования параметров надреза, в котором используются только первые собственные частоты изгибных колебаний относительно различных осей [15]. Этот метод позволяет проводить диагностику без использования вторых и последующих собственных частот и получать более точные результаты .

160 ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. 2013. Т. 54, N- 1

5. Определение параметров надреза по собственным частотам изгибных колебаний балки относительно различных осей. Выше использовались лишь собственные частоты изгибных колебаний относительно оси z, проходящей через центр тяжести сечения стержня перпендикулярно оси x и параллельно надрезу. При этом моменты инерции вычислялись по формулам J (1) = BH 3 /12 (вне области разреза) и J12 = Bh3 /12 (в области надреза). В случае изгибных колебаний относительно оси y, проходящей через центр тяжести сечения стержня перпендикулярно осям x и z, получаем следующие формулы для (2) осевых моментов инерции: J (2) = HB 3 /12 (вне области разреза), J12 = hB 3 /12 (в области надреза). Тогда в формулах (1)–(4), (10), (11) следует заменить на EB 2 /(12L4 ), p — 3 P/(EB 3 H), а — на lH/(Lh). Если изгибные колебания происходят относительно на 12L биссектрисы координатных углов II и IV системы zOy, то соответствующие осевые моменты инерции определяются по формулам J (3) = HB(H 2 + B 2 )/24 (вне области разреза) и (3) J12 = hB(h2 + B 2 )/24 (в области надреза) [16. C. 138]. Если изгибные колебания происходят относительно оси, проходящей через центр тяжести сечения стержня под углом /6 к оси z (в плоскости zOy), то осевые моменты инерции равны J (4) = HB(3H 2 +B 2 )/48 (вне (4) области разреза) и J12 = hB(3h2 + B 2 )/48 (в области надреза) [16. C. 138]. Используя эти формулы, для каждого из четырех видов рассмотренных изгибных колебаний получаем (i) следующие уравнения для определения первых собственных частот 1 :

(i) (i) (1, c, lL1, hH 1 ) = 0, i = 1, 2, 3, 4, (14) и наоборот, если для каждого из четырех рассмотренных колебаний известны первые собственные частоты, то, используя любые три из четырех уравнений (14), можно найти все три неизвестных параметра c, l, h надреза .

В табл. 4 приведены результаты решения системы трех уравнений (i = 1, 2, 4) для трех (i) неизвестных xc, d, l (f1 — первые собственные частоты, соответствующие собственным (i) значениям 1 ). Вычисления проведены для образца 3. Образец 3 отличается от образца 2 тем, что в нем надрез расположен на расстоянии xc = 916 мм от левого конца балки .

Из табл. 4 следует, что в отличие от случая, рассмотренного в п. 4, при использовании спектров частот изгибных колебаний относительно разных осей можно определить все три параметра надреза. Это обусловлено тем, что по одному найденному параметру (1) = lJ (1) /(LJ12 ) невозможно однозначно определить l и h (или d); если же найти (i) любые два параметра из четырех (i) = lJ (i) /(LJ12 ), i = 1, 2, 3, 4, то вследствие различия формул для осевых моментов инерции можно найти однозначное решение для l и h (или d) в соответствующих интервалах. При реконструкции всех трех параметров надреза относительная погрешность возрастает в 108 109 раз по сравнению с погрешностью вычисления собственных частот. Однако эти результаты значительно точнее результатов реконструкции трех параметров по трем собственным частотам одного и того же спектра частот изгибных колебаний .

Использование спектров частот изгибных колебаний относительно различных осей позволяет получить более точные результаты и при определении двух неизвестных параметров. В табл. 5, 6 приведены результаты численных экспериментов для образца 3 .

Из табл. 5, 6 следует, что в случае, когда в качестве исходной информации используются две частоты изгибных колебаний относительно одной и той же оси, относительная погрешность реконструкции возрастает в 1010 1011 раз по сравнению с погрешностью измерения частот для образца 3. Если используются первые частоты изгибных колебаний относительно различных осей, погрешность увеличивается в 105 106 раз. Если неизвестен только один параметр, то при определении l относительная погрешность реконструкции А. М. Ахтямов, М. А. Ильгамов 162 ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. 2013. Т. 54, N- 1 по сравнению с погрешностью измерения первой собственной частоты возрастает в 10100 раз, при определении d или xc — в 103 104 раз .

Заключение. Для балки с малым поперечным надрезом сформулированы условия сопряжения, используемые в статической и динамической задачах. Указанный надрез является моделью локальных повреждений балки. В прямой задаче по данным параметрам балки и надреза определяются прогиб балки или собственные частоты. В обратной задаче по прогибам в нескольких точках или по низшим собственным частотам определяются координата и параметры надреза. На основе известных результатов измерений решение позволяет определить местоположение, глубину или ширину локальных повреждений, в том числе на участках балки, недоступных для визуального осмотра и использования контактных средств диагностики .

ЛИТЕРАТУРА

1. Артоболевский И. И. Введение в акустическую динамику машин / И. И. Артоболевский, Ю. И. Бобровницкий, М. Д. Генкин. М.: Наука, 1979 .

2. Ваньков Ю. В., Казаков Р. Б., Яковлева Э. Р. Собственные частоты изделия как информативный признак наличия дефектов // Техн. акустика. 2003. № 5. C. 1–7. [Электрон .

ресурс]. http://www.ejta.org .

3. Романов В. Г. Обратные задачи математической физики. М.: Наука, 1984 .

4. Ахтямов А. М., Нафикова Э. Р. Восстановление краевых условий и функций нагрузки // Контроль. Диагностика. 2007. № 9. С. 50–52 .

5. Ватульян А. О. Обратные задачи в механике деформируемого твердого тела. М.: Физматлит, 2007 .

6. Ватульян А. О., Солуянов Н. О. Об определении местоположения и размера полости в упругом стержне // Дефектоскопия. 2005. № 9. C. 44–56 .

7. Ахтямов А. М, Аюпова А. Р. Диагностирование полости в стержне методом отрицательной массы // Дефектоскопия. 2010. Т. 46, № 5. С. 29–35 .

8. Ватульян А. О., Солуянов Н. О. Идентификация полости в упругом стержне при анализе поперечных колебаний // ПМТФ. 2008. Т. 49, № 6. C. 152–158 .

9. Ильгамов М. А. Диагностика повреждений вертикальной штанги // Тр. Ин-та механики Уфим. науч. центра РАН. 2007. Вып. 5. C. 201–211 .

10. Ильгамов М. А., Хакимов А. Г. Диагностика повреждений консольной балки с надрезом // Дефектоскопия. 2009. № 6. C. 83–89 .

11. Morassi A. Crack-induced changes in eigenparameters on beam structures // J. Engng Math .

1993. V. 119. P. 1798–1803 .

12. Гладвелл Г. М. Л. Обратные задачи теории колебаний. М.; Ижевск: Ин-т компьютер .

исслед., 2008 .

13. Вибрации в технике: Справ. Т. 1. Колебания линейных систем / Под ред. В. В. Болотина .

М.: Машиностроение, 1978 .

14. Sinha J. K., Friswell M. I., Edwards S. Simplied models for the location of cracks in beam structures using measured vibration data // J. Sound Vibrat. 2002. V. 251, N 1. P. 13–38 .

15. Ахтямов А. М., Саляхова Е. В. Всегда ли наличие полости в стержне меняет собственные частоты? // Техн. акустика. 2011. Т. 7. С. 1–10. [Электрон. ресурс] http://www.ejta.org .

16. Рудицын М. Н. Справочное пособие по сопротивлению материалов / М. Н. Рудицын, П. Я. Артемов, М. И. Любошиц. Минск: Вышэйш. шк., 1970.




Похожие работы:

«ДЕЯТЕЛЬНОСТЬ МЕЖДУНАРОДНОГО КОММЕРЧЕСКОГО АРБИТРАЖНОГО СУДА при ТПП УКРАИНЫ в 2016 году В 2016 году, помимо основной юрисдикционной деятельности по рассмотрению внешнеэкономических споров, в Международном коммерческом арбитражном суде при ТПП Украины (далее – МКАС при ТПП Украи...»

«1990 МАТЕРИАЛЫ ГЛЯЦИОЛОГИЧЕСКИХ ИССЛЕДОВАНИЙ № 70 ХРОНИКА ОБСУЖДЕНИЯ Д.Ю. Большиянов, О.Л. Клементьев, И.М. Коротков, В.И. Николаев ААНИИ, Институт географии АН СССР ИССЛЕДОВАНИЯ КЕРНА МОРЕНОСОДЕРЖАЩЕГО ЛЬДА ЛЕДНИКА ВАВИЛОВА НА СЕВЕРНОЙ ЗЕМЛЕ Статья поступило в редакцию 29 марта 1989 г. Представлена членом редкол...»

«Полимерная добавка ® PCI Lastoflex Для смешивания с укладочными растворами PCI ОБЛАСТИ Для внешнего и внутреннего применения. ПРИМЕНЕНИЯ Для стен и полов. Для смешивания с PCI Nanolight и PCI Nanolight Weisse. Благодаря добавке плиточный клей преобретает деформирую...»

«КОМПЬЮТЕРНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ И МОДЕЛИРОВАНИЕ 2013 Т. 5 № 1 С. 2536 МОДЕЛИ В ФИЗИКЕ И ТЕХНОЛОГИИ УДК: 517.977.5 Подсистема "Разработчик" системы приема коммунальных платежей А. А. Клименкоa, Г. А. Угольницкий Южный федеральный университет, факультет м...»

«Усилитель (ретранслятор) сигналов сотовой связи PicoCell E900/1800 SXA Инструкция по эксплуатации Москва Версия 0168 Содержание 1 . Общие сведения 1.1. Назначение 1.2. Сертификация 1.3. Меры безопасности 1.4. Комплектация 1.5. Внешний вид 1.6. Принцип работ...»

«0408150 "Сварка + Техника" Телефон/факс: (095)112-03-07. Сотовый телефон: 8-901 906 55 13. E-mail: pierro()online.ru Http://www.az.ru/gensaf/ http//plasmatome.narod.ru/ http:// www.az.ru/welding/ Адрес: 115487...»

«КОПИЯ ЭЛЕКТРОННОГО ДОКУМЕНТА, Утверждена ПОДПИСАННОГО ЭЛЕКТРОННОЙ ПОДПИСЬЮ приказом Министерства строительства Сведения об электронной подписи Сертификат: 7e5065d15000394e711505796d63cb4 и жилищно-коммунального хозяйства Владелец: ООО "Гидротехник", Черепня Василий Евгень...»

«ОБЩЕСТВО С ОГРАНИЧЕННОЙ ОТВЕТСТВЕННОСТЬЮ НАУЧНО-ПРОИЗВОДСТВЕННОЕ ПРЕДПРИЯТИЕ "ВИБРОБИТ" Автоматизированная система контроля вибрации и механических величин "Вибробит 300" Руководство по эксплуатации канала измерения относительно...»




 
2019 www.mash.dobrota.biz - «Бесплатная электронная библиотека - онлайн публикации»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.