WWW.MASH.DOBROTA.BIZ
БЕСПЛАТНАЯ  ИНТЕРНЕТ  БИБЛИОТЕКА - онлайн публикации
 

Pages:   || 2 |

«(МГС) INTERSTATE COUNCIL FOR STANDARDIZATION, METROLOGY AND CERTIFICATION (ISC) ГОСТ МЕЖГОСУДАРСТВЕННЫЙ 34100.3СТАНДАРТ 2017/ ISO/IEC Guide 98-3:2008 Н Е О П Р Е Д Е Л Е Н Н О ...»

-- [ Страница 1 ] --

МЕЖГОСУДАРСТВЕННЫЙ СОВЕТ ПО СТАНДАРТИЗАЦИИ, МЕТРОЛОГИИ И СЕРТИФИКАЦИИ

(МГС)

INTERSTATE COUNCIL FOR STANDARDIZATION, METROLOGY AND CERTIFICATION

(ISC)

ГОСТ

МЕЖГОСУДАРСТВЕННЫЙ

34100.3СТАНДАРТ

2017/

ISO/IEC Guide

98-3:2008

Н Е О П Р Е Д Е Л Е Н Н О С Т Ь И ЗМ Е РЕ Н И Я

Часть 3 Руководство по выражению неопределенности измерения (ISO/IEC Guide 98-3:2008, ЮТ) Издание официальное Москва Стандартинформ строительный сертификат ГОСТ 34100.3—2017 Предисловие Цели, основные принципы и основной порядок проведения работ по межгосударственной стан­ дартизации установлены в ГОСТ 1.0—2015 «Межгосударственная система стандартизации. Основные положения» и ГОСТ 1.2—2015 «Межгосударственная система стандартизации. Стандарты межгосудар­ ственные, правила и рекомендации по межгосударственной стандартизации. Правила разработки, при­ нятия, обновления и отмены»

Сведения о стандарте 1 ПОДГОТОВЛЕН Межгосударственным техническим комитетом по стандартизации МТК 125 «Статистические методы в управлении качеством продукции» на основе собственного перевода на рус­ ский язык англоязычной версии международного документа, указанного в пункте 5 2 ВНЕСЕН Федеральным агентством по техническому регулированию и метрологии 3 ПРИНЯТ Межгосударственным советом по стандартизации, метрологии и сертификации (про­ токол от 14 июля 2017 г. № 101-п)



За принятие проголосовали:

Краткое наименование страны Код страны по МК Сокращенное наименование национального органа по МК (ИСО 3166) 004—97 (ИСО 3166) 004—97 по стандартизации Беларусь BY Госстандарт Республики Беларусь Казахстан KZ Госстандарт Республики Казахстан Киргизия KG Кыргыз

–  –  –

4 Приказом Федерального агентства по техническому регулированию и метрологии 12 сентября 2017 г. № 1065-ст межгосударственный стандарт ГОСТ 34100.3—2017 введен в действие в качестве на­ ционального стандарта Российской Федерации с 1 сентября 2018 г .

5 Настоящий стандарт идентичен международному документу ISO/IEC Guide 98.3:2008 «Не­ определенность измерения. Часть 3. Руководство по выражению неопределенности измерения»

(«Uncertainty of measurement — Part 3: Guide to the expression of uncertainty in measurement», IDT) .

Международный документ подготовлен Рабочей группой ISCyTAG 4/WG 3 Международной органи­ зации по стандартизации (ISO) .

Официальные экземпляры международного стандарта, на основе которого подготовлен настоя­ щий межгосударственный стандарт, и международных стандартов, на которые даны ссылки, имеются в Федеральном агентстве по техническому регулированию и метрологии 6 ВВЕДЕН ВПЕРВЫЕ

–  –  –

Информация об изменениях к настоящему стандарту публикуется в ежегодном информацион­ ном указателе «Национальные стандарты» (по состоянию на 1 января текущего года), а текст изменений и поправок — в ежемесячном информационном указателе «Национальные стандарты» .

В случае пересмотра (замены) или отмены настоящего стандарта соответствующее уведомле­ ние будет опубликовано в ежемесячном информационном указателе «Национальные стандарты» .

Соответствующая информация, уведомление и тексты размещаются также в информационной системе общего пользования — на официальном сайте Федерального агентства по техническому регулированию и метрологии в сети Интернет (www.gost.ru) © ISO/IEC Guide, 2008 — Все права сохраняются © Стандартинформ, оформление, 2018 В Российской Федерации настоящий стандарт не может быть полностью или частично воспроиз­ веден, тиражирован и распространен в качестве официального издания без разрешения Федерального агентства по техническому регулированию и метрологии ГОСТ 34100.3—2017



Содержание

1 Область применения

2 Термины и определения

3 Основные понятия

4 Оценивание стандартной неопределенности

5 Определение суммарной стандартной неопределенности

6 Определение расширенной неопределенности

7 Представление результатов оценивания неопределенности

8 Краткое описание процедуры оценивания и представления неопределенности

Приложение А (обязательное) Основные метрологические термины

Приложение В (обязательное) Основные метрологические тер м и н ы

Приложение С (справочное) Основные термины и понятия математической статистики

Приложение D (справочное) Понятия «истинное значение», «погрешность»

и «неопределенность»

Приложение Е (справочное) Мотивы и основы для разработки Рекомендации INC-1 (1 9 8 0 )...............47 Приложение F (рекомендуемое) Практические рекомендации по оцениванию составляющих неопределенности

Приложение G (рекомендуемое) Число степеней свободы и уровни д о вер и я

Приложение Н (справочное) П рим еры

Приложение J (обязательное) Основные обозначения

Приложение ДА (справочное) Дополнительные замечания к межгосударственным стандартам, вводящим международные руководства в области неопределенности измерения...97 Библиография

–  –  –

Руководство устанавливает общие правила оценивания и представления неопределенности из­ мерения применительно к широкому спектру измерений. Основой Руководства являются Рекоменда­ ция 1 (С И 981) Международного комитета мер и весов (МКМВ) и Рекомендация INC-1 (1980) Рабочей группы по неопределенности. Рабочая группа по неопределенности была организована Международ­ ным бюро мер и весов (МБМВ) по поручению МКМВ. Рекомендация, разработанная Рабочей группой, является единственной рекомендацией в отношении выражения неопределенности измерения, одобрен­ ной межправительственной организацией .

Руководство разработано объединенной рабочей группой экспертов, назначенных МБМВ, ИСО, МЭК и МОЗМ .

Следующие семь организаций1 поддержали разработку Руководства, которое публикуется от их имени:

- Международное бюро мер и весов (МБМВ);

- Международная электротехническая комиссия (МЭК);

- Международная федерация клинической химии (МФКХ)2;

- Международная организация по стандартизации (ИСО);

- Международный союз теоретической и прикладной химии (ИЮПАК)2;

- Международный союз теоретической и прикладной физики (ИЮПАП)2;





- Международная организация законодательной метрологии (МОЗМ) .

Пользователей Руководства приглашают присылать свои замечания и предложения в любую из семи указанных международных организаций, чьи адреса указаны на обратной странице обложи3 .

1 Примечание к изданию 2008 г. В 2005 г. к указанным семи международным организациям присоединилось Международное сотрудничество по аккредитации лабораторий (ИЛАК) .

2 Примечание к изданию 2008 г. В 1995 г. наименования трех международных организаций были измене­ ны. Теперь эти организации имеют следующие наименования: Международная федерация клинической химии и лабораторной медицины (МФКХ); Международная организация по теоретической и прикладной химии (ИЮПАК);

Международная организация по теоретической и прикладной физике (ИЮПАП) .

3 Примечание к изданию 2008 г. В настоящее время ссылка на адреса восьми международных организаций, поддержавших разработку Руководства, приведена на сайте Объединенного комитета по разработке руководств в области метрологии (JCGM): http://www.bipm.org/en/committees/jc/jcgm .

V ГОСТ 34100.3—2017 Предисловие к международному документу ISO/IEC Guide 98.3:2008 В 1978 г., признавая отсутствие международного единства по вопросу выражения неопределен­ ности измерения, наиболее авторитетная международная организация в области метрологии МКМВ обратилась в МБМВ с просьбой рассмотреть эту проблему совместно с национальными метрологиче­ скими лабораториями и подготовить соответствующую рекомендацию .

МБМВ подготовило подробную анкету и разослало ее в 32 национальные метрологические лабо­ ратории, заинтересованные в разрешении данной проблемы, а также для сведения в пять международ­ ных организаций. К началу 1979 г. были получены ответы из 21 лаборатории [1]. Почти в каждом ответе подчеркивалась важность установления признанной на международном уровне процедуры выражения неопределенности измерения и объединения частных составляющих неопределенности в одну общую неопределенность. Однако в том, какой должна быть эта процедура, единства достигнуто не было. Для решения этого вопроса МБМВ организовало встречу, на которой присутствовали представители 11 нацио­ нальных метрологических лабораторий. Эта Рабочая группа по неопределенности разработала Реко­ мендацию INC-1 (1980) «Выражение экспериментальных неопределенностей» [2]. Рекомендация была одобрена МКМВ в 1981 г. [3] и подтверждена в 1986 г. [4] .

Задачу разработки подробного Руководства, основанного на подготовленной Рабочей группой Рекомендации (которая является скорее краткой формулировкой общих принципов, чем детализиро­ ванной инструкцией), МКМВ передало Международной организации по стандартизации ИСО, которая могла в большей степени учесть потребности, возникающие из широких интересов промышленности и торговли .

Ответственность за решение указанной задачи была возложена на Техническую консультативную группу по метрологии (ИСО/ТАГ 4), целью которой в том числе является координация разработки руко­ водств в области измерений, представляющих общий интерес для ИСО и других шести организаций, которые вместе с ИСО участвуют в работе ИСО/ТАГ 4: МЭК (партнера ИСО в области международной стандартизации); МКМВ и МОЗМ (двух всемирно признанных международных организаций в области метрологии); ИЮПАК и ИЮПАП (двух международных союзов в области физики и химии) и МФКХ .

ИСО/ТАГ 4, в свою очередь, учредила Рабочую группу 3 (ИСО/ТАГ 4/РГ 3), состоящую из экс­ пертов, предложенных МБМВ, МЭК, ИСО и МОЗМ и утвержденных председателем ИСО/ТАГ 4. Перед ней была поставлена следующая задача: разработать руководящий документ, базирующийся на Реко­ мендации Рабочей группы по неопределенности МБМВ, в котором были бы сформулированы правила выражения неопределенности измерения и который использовался бы организациями и слуКбами в области стандартизации, калибровки, аккредитации лабораторий, а также в метрологии .

Целью данного руководства должно было стать:

- обеспечение предоставления полной информации о том, как получены утверждения о неопре­ деленности измерений;

- создание основы для международного сопоставления результатов измерений .

Настоящее первое издание ISO/IEC Guide 98-3 отменяет и заменяет «Руководство по выражению неопределенности измерений», опубликованное совместно МБМВ, МЭК, МФКХ, ИСО, ИЮПАК, ИЮПАП и МОЗМ в 1993 г. и переизданное с исправлениями в 1995 г .

–  –  –

0.1 Сообщению о результате измерения величины должна сопутствовать некоторая количествен­ ная характеристика качества результата измерений, чтобы при использовании данного результата воз­ можно было оценить его достоверность. Без такой информации результаты измерений нельзя сопо­ ставить ни друг с другом, ни со значениями, указанными в технических условиях или стандарте. Это требует наличия простой в применении, понятной и общепризнанной процедуры, позволяющей харак­ теризовать качество результата измерений, т. е. оценивать и выражать его неопределенность .

0.2 Понятие неопределенности как количественной характеристики является относительно но­ вым в истории измерений, хотя понятия погрешности и анализа погрешностей давно используются в метрологической практике. В настоящее время общепризнанно, что после того, как найдены оценки всех ожидаемых составляющих погрешности и в результат измерения внесены соответствующие по­ правки, все еще остается некоторая неопределенность в отношении полученного результата, т. е. со­ мнение в том, насколько точно он соответствует значению измеряемой величины .

0.3 Подобно тому, как Международная система единиц (СИ), будучи системой практически универ­ сального использования, привнесла согласованность во все научные и технические измерения, между­ народное единство в оценивании и выражении неопределенности измерения обеспечило бы должное понимание и правильное использование широкого спектра результатов измерений в науке, технике, торговле, промышленности и законодательстве. В условиях международного рынка чрезвычайно важ­ но, чтобы метод оценивания и выражения неопределенности был единым во всем мире, а результаты измерений, проведенных в разных странах, были легко сопоставимы между собой .

0.4 Идеальный метод оценивания и выражения неопределенности результата измерения дол­ жен быть универсальным, т. е. применимым ко всем видам измерений и всем видам входной информа­ ции, используемой в измерениях .

Величина, непосредственно используемая для выражения неопределенности, должна быть:

- внутренне согласованной, т. е. непосредственно выводиться из составляющих ее компонентов и не зависеть от того, как эти компоненты группируются и как они делятся на подкомпоненты;

- переносимой, т. е. допускающей непосредственное использование неопределенности, получен­ ной для одного результата измерения, в качестве составляющей неопределенности другого измерения, в котором используется первый результат .

Кроме того, зачастую в промышленности и торговле, а также в здравоохранении и в сфере обе­ спечения безопасности результат измерения должен быть представлен с указанием охватывающего его интервала, в пределах которого, как можно ожидать, будет находиться большая часть распределе­ ния значений, которые обоснованно могут быть приписаны измеряемой величине. Таким образом, иде­ альный метод оценивания и выражения неопределенности измерения должен предоставлять возмож­ ность указать такой интервал, в частности, который был бы действительно близок к доверительному интервалу с заданным уровнем доверия .

0.5 Подход, на котором базируется настоящий руководящий документ, изложен в Рекоменда­ ции INC-1 (1980) [2] Рабочей группы по неопределенности, организованной МБМВ по инициативе МКМВ (см. предисловие). Данный подход, обоснованность которого обсуждается в приложении Е, со­ ответствует всем вышеуказанным требованиям. Этого нельзя сказать о большинстве других использу­ емых в настоящее время методах. Рекомендация INC-1 (1980) была одобрена и вновь подтверждена МКМВ его собственными Рекомендацией 1 (С И 981) [3] и Рекомендацией 1 (С И 986) [4], перевод кото­ рых приведен в приложении А (разделы А.2 и А.З соответственно). Поскольку основой для настоящего Руководства остается Рекомендация INC-1 (1980), ее перевод также приведен в приложении А (раз­ дел А.1) .

0.6 Краткое описание метода, установленного настоящим руководящим документом по оценива­ нию и выражению неопределенности измерений, приведено в разделе 8, а ряд подробных поясняющих примеров — в приложении Н. Остальные приложения посвящены: терминам, используемым в метро­ логии (приложение В), основным терминам и понятиям математической статистики (приложение С), сопоставлению понятий «истинное значение», «погрешность» и «неопределенность» (приложение D), практическому руководству по оцениванию составляющих неопределенности (приложение F), оценива­ нию степеней свободы и уровней доверия (приложение G), используемым основным математическим символам (приложение J). В конце документа приведена библиография .

VII ГОСТ 34100.3— 2017/ ISO/IEC Guide 98-3:2008

М Е Ж Г О С У Д А Р С Т В Е Н Н Ы Й С Т А Н Д А Р Т

НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЬ ИЗМЕРЕНИЯ

–  –  –

1 Область применения

1.1 Настоящее Руководство устанавливает общие правила оценивания и выражения неопреде­ ленности измерения, которые следует соблюдать при измерениях разной точности и в разных об­ ластях — от технических измерений на производстве до фундаментальных научных исследований .

Подход, установленный настоящим Руководством, распространяется на широкий спектр измерений, включая те, что используют для:

- обеспечения требуемого качества продукции и контроля качества на производстве;

- проверки выполнения требований законов и нормативных документов;

- проведения фундаментальных и прикладных исследований и разработок в науке и технике;

- калибровки эталонов и приборов, а также проведения испытаний в соответствии с националь­ ной схемой обеспечения единства измерений (для обеспечения прослеживаемости к национальным эталонам);

- разработки, поддержания и сличения международных и национальных эталонов единиц вели­ чин, включая стандартные образцы веществ и материалов .

1.2 Настоящее Руководство в первую очередь рассматривает выражение неопределенности из­ мерения хорошо определенной величины, характеризуемой единственным значением. Если предмет изучения нельзя охарактеризовать единственным значением, а лишь некоторым распределением зна­ чений или если он характеризуется зависимостью от одного или более параметров (например, пред­ ставляет собой временной процесс), то измеряемыми величинами, требуемыми для его описания, яв­ ляются параметры распределения или зависимости .

1.3 Настоящее Руководство распространяется также на оценивание и выражение неопределен­ ности результатов теоретических расчетов и испытаний, методов измерений, анализа сложных систем .

Поскольку в таких приложениях результат оценивания величины и его неопределенность могут быть умозрительными и полностью основанными на гипотетических данных, то термин «результат измере­ ний», используемый в настоящем Руководстве, следует толковать в этом более широком контексте .

1.4 Настоящее Руководство устанавливает общие правила оценивания и выражения неопреде­ ленности измерения и не содержит подробных указаний для конкретных измерений. В нем не рассма­ тривается также вопрос, каким образом полученная оценка неопределенности результата конкретного измерения может быть использована в дальнейшем, например, для вывода о сопоставимости данного результата с результатами аналогичных измерений, для установления допусков в технологическом про­ цессе, для заключения о соблюдении или несоблюдении установленных требований безопасности. По­ добные вопросы, связанные со специфическими областями измерений или с конкретным использованием количественных оценок неопределенности, могут рассматриваться в других стандартах, основанных на

Издание официальное ГОСТ 34100.3—2017

настоящем Руководстве1. Такие стандарты могут представлять собой упрощенные версии настоящего Руководства, но они должны содержать в себе все необходимые сведения, исходя из требуемого уров­ ня точности и сложности измерений, на которые они распространяются .

П р и м е ч а н и е — Возможны случаи, когда концепция неопределенности измерения неприменима в пол­ ном объеме, например, при определении точности метода испытаний (см., например, [5]) .

2 Термины и определения

2.1 Общие метрологические термины Определение ряда общих метрологических терминов по тематике настоящего Руководства, та­ ких как «измеримая величина», «измеряемая величина» и «погрешность измерения», приведено в приложении В. Эти определения взяты из Международного словаря основных и общих терминов в метрологии [6]2. Кроме того, в приложении С приведены определения ряда основных статистических терминов, взятых большей частью из ISO 3534-1 [7]. Когда один из этих метрологических или статисти­ ческих терминов (или терминов, близко с ними связанных) встречается в тексте впервые (начиная с раздела 3), он выделяется полужирным шрифтом, а в скобках приводится номер подраздела, в котором дано его определение .

Ввиду особой важности для настоящего Руководства термина «неопределенность измерения» его определение дано как в приложении В, так и в 2.2.3. Определения других наиболее важных для настояще­ го Руководства терминов даны в 2.3.1—2.3.6. В этих подразделах так же, как и в приложениях В и С, вы­ деление в термине слова скобками означает, что данное слово, если только это не приводит к путанице, может быть опущено .

2.2 Термин «неопределенность»

Понятие неопределенности подробно рассматривается в разделе 3 и приложении D .

2.2.1 Слово «неопределенность» означает сомнение, и, таким образом, в широком смысле «не­ определенность измерения» означает сомнение в достоверности результата измерения. Специальные термины для величин, характеризующих количественную меру такого сомнения (например, стандарт­ ного отклонения), отсутствуют, поэтому слово «неопределенность» используют и в указанном широком смысле, и в смысле некоторой количественной меры .

2.2.2 В настоящем Руководстве слово «неопределенность», используемое без прилагательного, относится как к общему понятию неопределенности, так и к любым количественным мерам неопреде­ ленности. Если необходимо уточнить, какая количественная мера имеется в виду, то для этого исполь­ зуется соответствующее прилагательное .

2.2.3 Для применения в настоящем Руководстве и в международном словаре VIM [6] (VIM:1993, словарная статья 3.9) принято следующее формальное определение термина «неопределенность из­ мерения»:

неопределенность (измерения) [uncertainty (of measurement)]: Параметр, относящийся к резуль­ тату измерения и характеризующий разброс значений, которые могли бы быть обоснованно приписаны измеряемой величине .

П р и м е ч а н и е 1 — Параметром может быть, например, стандартное отклонение (или величина, пропор­ циональная стандартному отклонению) или полуширина интервала, которому соответствует заданный уровень доверия .

П р и м е ч а н и е 2 — Неопределенность измерения, как правило, включает в себя много составляющих. Не­ которые из них могут быть оценены из статистического распределения результатов ряда измерений и описаны вы­ борочными стандартными отклонениями. Другие составляющие, которые также могут быть описаны стандартными 1 Примечание к изданию 2008 г. Ряд таких документов общего и частного характера уже опубликован. Не пре­ тендующий на полноту перечень подобных документов можно найти на сайте http://www.bipm.org/en/committees/jc/ jcgm/wg1_bibliography.html. Кроме того, перечень действующих документов, ссылающихся на Руководство по вы­ ражению неопределенности измерений, можно получить, воспользовавшись полнотекстовым поиском на сайтах http://www.iso.org/ и http://www.iec.ch/ .

2 Примечание к изданию 2008 г. Третье издание словаря опубликовано в 2007 г. как ISO/IEC Guide 99 «Меж­ дународный словарь по метрологии. Основные и общие понятия и связанные с ними термины» [ISO/IEC Guide 99, International vocabulary of metrology — Basic and general concepts and associated terms (VIM)] .

ГОСТ 34100.3— 2017 отклонениями, оценивают, исходя из основанных на опыте предположений или иной информации о виде закона распределения .

П р и м е ч а н и е З — Предполагается, что результат измерения является лучшей оценкой измеряемой ве­ личины, а все составляющие неопределенности, включая обусловленные систематическими эффектами (разного рода поправками, используемым эталоном сравнения), вносят вклад в разброс значений измеряемой величины .

2.2.4 Определение неопределенности измерения, приведенное в 2.2.3, является рабочим, при­ вязанным в первую очередь к понятиям результата измерения и оценки его неопределенности. Однако оно не противоречит использованию понятия неопределенности измерений в других смыслах, таких как:

- мера возможной погрешности оценки измеряемой величины, полученной как результат измерения;

- оценка, характеризующая диапазон значений, в пределах которого находится истинное значение измеряемой величины (VIM:1984, 3.09) .

Хотя оба этих традиционно используемых представления справедливы как идеализация, основ­ ной акцент в них сделан на неизвестные величины: «погрешность» результата измерения и «истин­ ное значение» измеряемой величины (в противоположность известной оценке этой величины) соответ­ ственно. Тем не менее, независимо оттого, какой смысл вкладывают в понятие неопределенности, для оценивания составляющей неопределенности всегда используют одни и те же данные и имеющуюся информацию (см. также раздел Е.5) .



2.3 Термины, вводимые Руководст вом Как правило, пояснения терминов, вводимых настоящим Руководством, даны при их первом упо­ треблении в тексте. Однако для удобства пользования Руководством определения этих терминов со­ браны в настоящем подразделе .

П р и м е ч а н и е — Более полное рассмотрение вводимых в настоящем подразделе терминов содержится:

для термина по 2.3.2 — в 3.3.3 и 4.2; для термина по 2.3.3 — в 3.3.3 и 4.3; для термина по 2.3.4 — в разделе 5 [см. также формулы (10) и (13)]; для термина по 2.3.6 — в разделе 6 .

2.3.1 стандартная неопределенность (standard uncertainty): Неопределенность результата из­ мерения, выраженная в виде стандартного отклонения .

2.3.2 оценивание (неопределенности) типа A [Type A evaluation (of uncertainty)]: Метод оценива­ ния неопределенности путем статистического анализа ряда наблюдений .

2.3.3 оценивание (неопределенности) типа В [Туре В evaluation (of uncertainty)]: Метод оценива­ ния неопределенности, отличный от статистического анализа ряда наблюдений .

2.3.4 суммарная стандартная неопределенность (combined standard uncertainty): Стандартная неопределенность результата измерения, полученного из значений ряда других величин, равная поло­ жительному квадратному корню взвешенной суммы дисперсий или ковариаций этих величин, весовые коэффициенты при которых определяются зависимостью изменения результата измерения от измене­ ний этих величин .

2.3.5 расширенная неопределенность (expanded uncertainty): Величина, определяющая интер­ вал вокруг результата измерения, который, как ожидается, содержит в себе большую часть распределе­ ния значений, которые с достаточным основанием могут быть приписаны измеряемой величине .

П р и м е ч а н и е 1 — Долю распределения, охватываемую интервалом, можно рассматривать как вероят­ ность охвата или уровень доверия для данного интервала .

П р и м е ч а н и е 2 — Чтобы сопоставить интервалу, рассчитанному через расширенную неопределенность, некоторое значение уровня доверия, необходимо сделать в явном или неявном виде предположение о форме рас­ пределения, характеризуемого результатом измерения и его суммарной стандартной неопределенностью. Уровень доверия, поставленный в соответствие этому интервалу, может быть известен только в той мере, в которой оправ­ дано сделанное предположение о форме распределения .

П р и м е ч а н и е 3 — В параграфе 5 Рекомендаций INC-1 (1980) расширенная неопределенность названа общей неопределенностью .

2.3.6 коэффициент охвата (coverage factor): Коэффициент, на который умножают суммарную стандартную неопределенность для получения расширенной неопределенности .

П р и м е ч а н и е — Коэффициент охвата обычно принимает значения от 2 до 3 .

ГОСТ 34100.3—2017

3 Основные понятия

Дополнительное рассмотрение основных понятий можно найти в приложении D, в котором ос­ новное внимание уделено вопросам сопоставления (в том числе графического) «истинного» значения, погрешности и неопределенности, и в приложении Е, где исследуются необходимость разработки и статистическая база Рекомендации INC-1 (1980), на которой основано настоящее Руководство. В при­ ложении J приведен словарь основных математических символов, используемых в настоящем Руко­ водстве .

3.1 Измерение 3.1.1 Целью измерения (В.2.5) является определение значения (В.2.2) измеряемой величины (В.2.9), т. е. значения конкретной величины (В.2.1, примечание 1), которую надо измерить. Поэтому измерению предшествует определение измеряемой величины, метода измерения (В.2.7) и методики измерения (измерительной процедуры) (В.2.8) .

П р и м е ч а н и е — Термин «истинное значение» (см. приложение D) не используется в настоящем Руководстве по причинам, указанным в D.3.5. Термины «значение измеряемой величины» и «истинное значение измеряемой величины» рассматриваются как эквивалентные .

3.1.2 Обычно результат измерения (В.2.11) является только аппроксимацией или оценкой (С.2.26) значения измеряемой величины и, таким образом, будет полным только в том случае, если он сопровождается указанием неопределенности (В.2.18) этой оценки .

3.1.3 На практике определение (дефиниция) измеряемой величины зависит от требований к точ­ ности измерения (В.2.14). Измеряемую величину следует определять с достаточной полнотой (с уче­ том необходимой точности измерений), чтобы для всех практических целей, связанных с измерением, значение измеряемой величины было единственным. Именно в таком смысле выражение «значение измеряемой величины» используется в настоящем Руководстве .

Пример — Если длину стального стержня номинальной длины 1 м нужно узнать с точностью до микрона, то определение измеряемой величины должно включать температуру и давление, при которых длина стержня должна быть измерена. Таким образом, определение измеряемой величины должно иметь вид: например, длина стержня при температуре 25,00 °С и давлении 101 325 Па (с указанием, возможно, других необходимых параметров, например, способа опирания стержня при измерении). Однако если длина стержня должна быть получена с точностью до миллиметра, то определение измеряемой величины не требует указания температуры, давления и иных аналогичных факторов .

П р и м е ч а н и е — Недостаточно полное определение измеряемой величины может привести к росту со­ ставляющей неопределенности, которая в этом случае должна быть включена в оценку неопределенности резуль­ тата измерения (см. D.1.1, D.3.4 и D.6.2) .

3.1.4 Во многих случаях результат измерения получают на основе ряда наблюдений, выполнен­ ных в условиях повторяемости (В.2.15, примечание 1) .

3.1.5 Предполагается, что причиной изменчивости результатов повторных наблюдений являются влияющие величины (В.2.10), от которых может зависеть результат измерений и которые невозможно поддерживать в точности постоянными .

3.1.6 Очень важно правильно составить математическую модель, с помощью которой сово­ купность повторных наблюдений преобразуется в результат измерения, поскольку помимо наб­ людений в нее обычно необходимо включать различные влияющие величины, точные значения которых неизвестны. Эта неизвестность вносит вклад в неопределенность результата измерений наряду с изменчивостью результатов повторных наблюдений и с неточностью самой математиче­ ской модели .

3.1.7 В настоящем Руководстве измеряемая величина рассматривается как скаляр, т. е. ее зна­ чение выражается единственным числом. Распространение на случай связанных между собой вели­ чин, определяемых одновременно в одном измерении, требует перейти от рассмотрения измеряемой скалярной величины и ее дисперсии (С.2.11, С.2.20, С.3.2) к измеряемой векторной величине и ковари­ ационной матрице (С.3.5). В настоящем Руководстве измерение векторной величины рассматривается только в примерах (см. Н.2, Н.З и Н.4) .

ГОСТ 34100.3—2017

3.2 Погрешности, случайные и систематические эффекты, поправки 3.2.1 Погрешность (В.2.19) результата измерения обусловлена несовершенством измеритель­ ной процедуры. Традиционно погрешность рассматривают как сумму двух составляющих: случайной (В.2.20) и систематической (В.2.21) .

П р и м е ч а н и е — Погрешность является идеализированным понятием, поскольку на практике ее точное значение неизвестно .

3.2.2 Предполагается, что случайная погрешность возникает из непредсказуемых временных или пространственных изменений влияющих величин. Следствием таких изменений, называемых далее случайными эффектами, являются изменения измеряемой величины при повторных наблюдениях .

Хотя случайную погрешность результата измерения нельзя компенсировать введением поправки, ее можно уменьшить, увеличив число наблюдений. Математическое ожидание (ожидаемое значение) (С.2.9, С.3.1) случайной погрешности равно нулю .

П р и м е ч а н и е 1 — Выборочное стандартное отклонение среднего арифметического значения ряда наб­ людений (см. 4.2.3) не является случайной погрешностью среднего значения (см. 4.2.1), хотя такое толкование встречается в некоторых публикациях. На самом деле эта величина является мерой неопределенности среднего значения, обусловленной случайными эффектами. Точное значение погрешности среднего значения, обусловлен­ ной этими эффектами, не может быть известно .

П р и м е ч а н и е 2 — В настоящем Руководстве уделяется большое внимание различию терминов «погреш­ ность» и «неопределенность». Эти слова не являются синонимами, отражают разные понятия, и их не следует путать друг с другом или использовать в неправильном значении .

3.2.3 Систематическую погрешность, так же как и случайную, нельзя устранить полностью, но зачастую можно уменьшить. Если систематическая погрешность возникает в результате известного действия влияющей величины на результат измерения (далее — систематического эффекта), то это влияние можно количественно оценить и, если оно существенно по сравнению с требуемой точностью измерения, внести поправку (В.2.23) или поправочный коэффициент (В.2.24) для его компенсации .

Предполагается, что после внесения поправки математическое ожидание погрешности, обусловленной систематическим эффектом, становится равным нулю .

П р и м е ч а н и е — Неопределенность поправки, вносимой в результат измерения для компенсации систе­ матического эффекта, не является систематической погрешностью (часто называемой смещением) результата измерения, связанной с этим эффектом, как ее иногда определяют. На самом деле она представляет собой меру неопределенности результата из-за неполного знания о требуемом значении поправки. Погрешность, появляюща­ яся от неполной компенсации систематического эффекта, не может быть известна точно. Термины «погрешность»

и «неопределенность» следует использовать правильно и следить за тем, чтобы не путать их .

3.2.4 Далее предполагается, что приняты все меры для выявления значимых систематических эффектов и соответствующие поправки внесены в результат измерения .

Пример — В результат измерения падения напряжения (измеряемая величина) на высокоомном ре­ зисторе вносят поправку, обусловленную конечным электрическим сопротивлением вольтметра для уменьшения систематического эффекта, вызванного присоединением вольтметра. Для вычисления поправки используют значения сопротивлений вольтметра и резистора, которые получены в резуль­ тате других измерений и сами содержат неопределенности. Эти неопределенности учитывают при оценивании составляющей неопределенности измерения падения напряжения, связанной с вносимой поправкой и в конечном счете с систематическим эффектом вследствие конечного электрического со­ противления вольтметра .

П р и м е ч а н и е 1 — Часто с целью исключить систематические эффекты измерительные приборы и си­ стемы настраивают или калибруют с использованием эталонов и стандартных образцов, однако при этом следует учитывать составляющие неопределенности, вносимые эталонами и стандартными образцами .

П р и м е ч а н и е 2 — Случай, когда поправку на известный значимый систематический эффект не вносят, рассмотрен в примечании к 6.3.1 и в F.2.4.5 .

3.3 Неопределенность 3.3.1 Неопределенность результата измерения отражает отсутствие точного знания значения из­ меряемой величины (см. 2.2). Результат измерения после внесения в него поправки на известные си­ стематические эффекты остается только оценкой значения измеряемой величины, поскольку содержит ГОСТ 34100.3— 2017 неопределенности, связанные со случайными эффектами и неточностью поправки результата на систе­ матические эффекты .

П р и м е ч а н и е — Может оказаться, что результат измерения (после внесения поправки) будет очень близ­ ким к значению измеряемой величины и тем самым иметь пренебрежимо малую погрешность. Эту неисключенную малую систематическую погрешность не следует путать с неопределенностью результата измерения .

3.3.2 Разнообразие источников неопределенности измерений включает в себя:

a) неполное определение измеряемой величины;

b) несовершенную реализацию определения измеряемой величины;

c) нерепрезентативность выборки (измерения проводят на образце, не представляющем измеряе­ мую величину);

d) неточное знание влияния условий окружающей среды на результат измерения или неточное измерение величин, характеризующих эти условия;

e) субъективная систематическая погрешность (вносимая оператором при снятии показаний ана­ логовых приборов);

f) конечную разрешающую способность или порог чувствительности прибора;

д) неточные значения, приписанные эталонам и стандартным образцам;

h) неточные знания физических констант и других параметров, полученных из сторонних источни­ ков и используемых при обработке данных;

i) аппроксимации и предположения, используемые в методе и методике измерений (измеритель­ ной процедуре);

j) изменчивость в повторных наблюдениях при, казалось бы, неизменных условиях измерений .

Эти источники необязательно являются независимыми, например, некоторые из источников, ука­ занных в перечислениях а)— i), могут вносить вклад в источник, указанный в перечислении j). Если какой-либо систематический эффект не был выявлен, то он не может быть учтен в оценке неопреде­ ленности результата измерения, хотя и вносит вклад в погрешность измерения .

3.3.3 Рекомендация INC-1 (1980) Рабочей группы по неопределенности разделяет составляющие неопределенности на две категории в зависимости от метода оценивания: по типу А или по типу В (см. 2.3.2 и 2.3.3). Эта классификация применима только к неопределенности и не является заменой классификации погрешности на случайную и систематическую. Неопределенность поправки на извест­ ный систематический эффект может в некоторых случаях быть оценена по типу А, а в других случаях — по типу В. То же самое относится к неопределенности, обусловленной случайными эффектами .

П р и м е ч а н и е — В ряде публикаций составляющие неопределенности разделяют на «случайные» и «си­ стематические», связывая их с погрешностями, возникающими, соответственно, из случайных и известных систе­ матических эффектов. Такая классификация составляющих неопределенности может привести к неоднозначности толкования при ее практическом применении. Например, «случайная» составляющая неопределенности в одном измерении может стать «систематической» составляющей в другом измерении, в котором результат первого изме­ рения используется в качестве входных данных. При классификации методов оценивания составляющих неопре­ деленности, а не самих составляющих, такая неоднозначность устраняется. В то же время это не мешает объеди­ нять отдельные составляющие, оцененные двумя разными методами, в группы для конкретных целей (см. 3.4.3) .

3.3.4 Классификация по типам А и В введена только для указания на наличие двух разных спо­ собов оценивания составляющих неопределенности и для удобства обсуждения. Ее не следует интер­ претировать как различие в природе составляющих неопределенности, полученных разными методами оценивания. Оба способа оценивания основаны на распределении вероятностей (С.2.3), и независи­ мо от способа оценивания составляющие неопределенности количественно характеризуются одним и тем же параметром: дисперсией или стандартным отклонением .

3.3.5 Оценку дисперсии и2 для составляющей неопределенности, оцениваемой по типу А, полу­ чают на основе ряда повторных наблюдений, и она совпадает с известной статистической характери­ стикой — выборочной дисперсией s2. Оценка стандартного отклонения (С.2.12, С.2.21, С.3.3) и, пред­ ставляющая собой положительный квадратный корень из и2, совпадает, таким образом, с выборочным стандартным отклонением, и = s, и для удобства ее иногда называют стандартной неопределенно­ стью типа А. Оценку дисперсии и2 для составляющей неопределенности, оцениваемой по типу В, получают по имеющейся информации (см. 4.3), а оценку стандартного отклонения и иногда называют стандартной неопределенностью типа В .

Таким образом, стандартную неопределенность типа А рассчитывают по плотности распределе­ ния (С.2.5), полученной из распределения частот (С.2.18), а стандартную неопределенность типа В — ГОСТ 34100.3—2017 по предполагаемой плотности распределения, отражающей степень уверенности в появлении того или иного события [часто называемой субъективной вероятностью (С.2.1)]. Оба подхода являются обще­ принятой интерпретацией понятия вероятности .

П р и м е ч а н и е — Оценивание составляющей неопределенности по типу В обычно основывается на всей имеющейся в распоряжении надежной информации (см. 4.3.1) .

3.3.6 Стандартную неопределенность результата измерения, полученного из значений ряда дру­ гих величин, называют суммарной стандартной неопределенностью и обозначают ис. Она является оценкой стандартного отклонения результата измерения, равной положительному квадратному корню из суммарной дисперсии, т. е. суммы дисперсий и ковариаций (С.3.4) всех составляющих неопреде­ ленности, и полученной по правилу, названному в настоящем Руководстве законом трансформирова­ ния неопределенностей (см. раздел 5) .

3.3.7 Для удовлетворения потребностей в ряде областей промышленности и торговли, а также требований в областях здравоохранения и обеспечения безопасности используют расширенную не­ определенность U, получаемую умножением суммарной стандартной неопределенности ис на коэф­ фициент охвата к. Назначением U является построение интервала, охватывающего результат из­ мерения, в пределах которого, как можно ожидать, будет находиться большая часть распределения значений, которые обоснованно могут быть приписаны измеряемой величине. Выбор коэффициента к, обычно принимающего значения от 2 до 3, зависит от вероятности охвата или уровня доверия, соот­ ветствующего данному интервалу (см. раздел 6) .

П р и м е ч а н и е — Вместе со значением расширенной неопределенности U следует всегда указывать ко­ эффициент охвата к. Это позволит восстановить значение стандартной неопределенности измеряемой величины, которая впоследствии может быть использована для расчета суммарной стандартной неопределенности результа­ та измерения другой величины, зависящей от первой .

3.4 Практические аспекты 3.4.1 Если все величины, от которых зависит результат измерения, обладают вариативностью, то их неопределенности могут быть получены посредством статистических процедур. Однако на практике такой подход редко может быть реализован вследствие ограничений на временные и иные ресурсы, по­ этому неопределенность результата измерения обычно оценивают, используя математическую модель измерения и закон трансформирования неопределенностей. Это объясняет используемое в данном Ру­ ководстве допущение, что измерение можно моделировать математически с точностью, достаточной для обеспечения требуемой точности измерения .

3.4.2 Поскольку математическая модель может быть неполной, для оценивания неопределенно­ сти на основе данных наблюдений следует обеспечить диапазоны вариативности влияющих величин, соответствующие тем, что имеют место в практических условиях измерений. Для получения достовер­ ных оценок неопределенности рекомендуется по возможности использовать эмпирические математи­ ческие модели, основанные на долговременных измерениях количественных величин, а также эталоны сравнения и контрольные карты, позволяющие судить, находится ли измерение под статистическим контролем. Если данные наблюдений, включая результаты статистически независимых измерений од­ ной и той же измеряемой величины, свидетельствуют о неполноте модели, то модель должна быть пе­ ресмотрена. Использование хорошо спланированных экспериментов позволяет существенно повысить достоверность оценок неопределенности, поэтому планирование эксперимента следует рассматривать как важную часть в технике проведения измерений .

3.4.3 Чтобы оценить правильность работы измерительной системы, часто сравнивают выбороч­ ное стандартное отклонение полученных с ее помощью результатов измерений с оценкой стандартно­ го отклонения, полученной суммированием составляющих неопределенности от разных источников .

В этом случае необходимо учитывать составляющие неопределенности (независимо от того, как полу­ чена их оценка — по типу А или В) только от тех источников, которые обусловливают вариативность измеряемой величины в ходе эксперимента .

П р и м е ч а н и е — Для этих целей все источники неопределенности разбивают на две группы: те, которые обусловливают вариативность измеряемой величины в ходе эксперимента, и те, которые в ходе данного экспери­ мента на изменения значений измеряемой величины влияния не оказывают .

3.4.4 Если неопределенность поправки на систематический эффект незначительна по срав­ нению с суммарной стандартной неопределенностью результата измерения, то ее при оценивании ГОСТ 34100.3—2017 неопределенности результата измерения можно не учитывать. Если сама поправка на систематиче­ ский эффект незначительна по сравнению с суммарной стандартной неопределенностью результата измерения, то допускается не вносить эту поправку в результат измерения .

3.4.5 На практике, особенно в области законодательной метрологии, измерительный прибор часто поверяют сравнением с эталоном, и при этом неопределенности, связанные с эталоном и процеду­ рой сравнения, пренебрежимо малы по сравнению с требуемой точностью поверки. Примером может служить использование эталонов массы при поверке весов. Если составляющими неопределенности вследствие их малости допустимо пренебречь, то разность между показанием прибора и эталоном можно рассматривать как погрешность поверяемого прибора (см. также F.2.4.2) .

3.4.6 Иногда результат измерения выражают в единицах эталона, а не в соответствующих еди­ ницах Международной системы единиц величин (СИ). Таким образом, по сути, результат измерения выражают в виде отношения к принятому значению эталона. При этом неопределенность, приписанная результату измерения, может быть существенно меньше неопределенности, которая имела бы место при выражении результата измерения в единицах СИ .

Пример — Прецизионный источник напряжения на диоде Зенера калибруют методом сравнения с эталоном постоянного напряжения на основе эффекта Джозефсона. Для расчета напряжения, создава­ емого эталоном, используют значение постоянной Джозефсона, рекомендованное для международного применения МКМВ. Относительная суммарная стандартная неопределенность uc(V^/Vs (см. 5.1.6) кали­ бровки источника на диоде Зенера будет равна 2 10~8, если напряжение источника Vs выражено в отно­ сительных единицах через напряжение, создаваемое эталоном, и 4 • 10~7 если оно выражено в единицах, СИ (т. е. вольтах). Разница в оценках обусловлена дополнительной неопределенностью, связанной с выражением постоянной Джозефсона в единицах СИ .

3.4.7 Ошибки при регистрации или анализе данных могут вносить значительную неизвестную по­ грешность в результат измерения. Если ошибка велика, то ее можно выявить проверкой данных, но небольшие ошибки могут быть замаскированы случайными изменениями измеряемой величины или даже быть приняты за случайные изменения. Такие ошибки не имеют отношения к неопределенности измерения .

3.4.8 Хотя настоящее Руководство устанавливает общую методологию оценивания неопределен­ ности, его применение требует от пользователя критического мышления, интеллектуальной честности и компетентности. Оценивание неопределенности нельзя рассматривать как типовую задачу, требую­ щую применения стандартных математических процедур. От пользователя требуется детальное знание природы измеряемой величины и процедуры измерения. Поэтому качество оценки неопределенности, приписанной результату измерения, зависит в конечном счете от понимания, критического анализа и профессиональной добросовестности всех лиц, принимающих участие в ее получении .

4 Оценивание стандартной неопределенности Дополнительное руководство преимущественно практического характера по оцениванию состав­ ляющих неопределенности приведено в приложении F .

4.1 Моделирование измерения 4.1.1 В большинстве случаев измеряемую величину У не измеряют непосредственно, а определя­ ют через N других величин X,, Х2,..., X N посредством функциональной зависимости f (1 )

–  –  –

Пример — Если к клеммам терморезистора с линейной зависимостью сопротивления от темпе­ ратуры с температурным коэффициентом а, имеющего при температуре t0 сопротивление Rq при­, ложена разность потенциалов V, то рассеиваемую на данном терморезисторе при температуре t мощ­ ность Р (измеряемую величину) рассчитывают по формуле

–  –  –

П р и м е ч а н и е — Другим методам измерения Р будут соответствовать другие математические модели .

4.1.2 Входные величины Х 1, Х2,..., X N, от которых зависит выходная величина У, также можно рас­ сматривать как измеряемые величины, и они тоже могут зависеть от других величин, включая поправ­ ки и поправочные коэффициенты на систематические эффекты, что усложняет вид функциональной зависимости f, которая, таким образом, никогда не может быть в явном виде определена полностью .

Кроме того, функциональная зависимость Сможет быть определена экспериментально или существо­ вать только в виде алгоритма численного расчета. Поэтому в настоящем Руководстве функциональная зависимость f понимается в более широком смысле, а именно как функция, которая включает в себя все величины, в том числе поправки и поправочные коэффициенты, способные существенно влиять на неопределенность измерения У .

Таким образом, если данные показывают, что функциональная зависимость ^не моделирует изме­ рение с требуемой точностью, то для устранения неадекватности модели в нее должны быть включены дополнительные входные величины (см. 3.4.2). Включением дополнительной входной величины можно учесть неполноту знаний о явлении, влияющем на измеряемую величину. В примере 4.1.1 дополни­ тельные входные величины могут потребоваться, например, чтобы учесть известную неравномерность распределения температуры по резистору, нелинейную зависимость сопротивления резистора от тем­ пературы или зависимость сопротивления от атмосферного давления .

П р и м е ч а н и е — В то же время формула (1) может иметь самый простой вид: например, У = Х, - Х 2. Такая модель соответствует, к примеру, сравнению двух определений одной и той же величины X .

4.1.3 Входные величины Х |, Х2,..., X N могут быть разделены на две группы:

- величины, значения и неопределенности которых определяют непосредственно в текущем из­ мерении. Эти значения и неопределенности можно получить, например, в результате однократного на­ блюдения, повторных наблюдений или по основанным на опыте суждениям. Они могут включать опре­ деления поправок к показаниям приборов и поправок на влияющие величины, такие как окружающая температура, атмосферное давление и влажность;

- величины, значения и неопределенности которых получены из сторонних источников. К ним относятся величины, связанные с аттестованными эталонами, стандартными образцами веществ и ма­ териалов, а также величины, значения которых указаны в справочниках .

4.1.4 Оценку измеряемой величины У, обозначаемую у, получают из формулы (1), подставляя в нее входные оценки х1, х2,..., xN для N входных величин Х 1, Х2,..., X N. Таким образом, выходная оцен­ ка у, являющаяся результатом измерения, имеет вид

–  –  –

П р и м е ч а н и е — В некоторых случаях оценку у получают как среднее арифметическое (см. 4.2.1) п неза­ висимых определений Yk величины У по формуле

–  –  –

когда каждое определение имеет одну и ту же неопределенность и каждое основано на полном наборе наблюдае­ мых значений N входных величин X), полученных в одно и то же время. Этому способу усреднения следует отдать

–  –  –

4.1.5 Оценку стандартного отклонения результата измерения (оценки выходной величины) у в виде суммарной стандартной неопределенности, обозначаемой ис(у), получают из оценок стандартного ГОСТ 34100.3—2017 отклонения результатов измерений (оценок) х( каждой входной величины в виде стандартных неопре­ деленностей, обозначаемых u(xj) (см. 3.3.5 и 3.3.6) .

4.1.6 Каждую входную оценку х, и связанную с ней стандартную неопределенность и(х() получают из вероятностного распределения значений входной величины Х г Это вероятностное распределение можно интерпретировать как частотную вероятность, основанную на серии наблюдений X) к вели­ чины Х(, или как априорное распределение. Оценки составляющих стандартной неопределенности по типу А основаны на частотном представлении вероятности, а по типу В — на априорных распределе­ ниях. Следует понимать, что в обоих случаях распределения отражают некоторое модельное представ­ ление знаний о случайной переменной .

4.2 Оценивание стандартной неопределенности типа А 4.2.1 В большинстве случаев наилучшей оценкой математического ожидания случайным об­ разом изменяющейся величины (/[случайной переменной (С.2.2)], для которой при постоянных усло­ виях измерения (см. В.2.1.5) были получены п независимых наблюдений qk, является среднее ариф­ метическое (или просто среднее) значение q из п наблюдений:

–  –  –

Выборочная дисперсия среднего значения s2 (q) и выборочное стандартное отклонение сред­ него значения s(q), равное положительному квадратному корню из s2 (q), определяют количествен­ 7, но, насколько хорошей оценкой математического ожидания рк величины q является и могут быть использованы в качестве меры неопределенности q .

Таким образом, стандартную неопределенность u(xj) оценки х( =Ху, полученную по п независи­ мым повторным наблюдениям Х,к входной величины X j: определяют как u [x t ) = s(X y ) с использованием формулы (5) для оценки s2( x ; ). Для удобства и2(х;-) = s2( x ; ) и u (x/ ) = s ( x / ) иногда называют соот­ ветственно дисперсией типа А и стандартной неопределенностью типа А .

П р и м е ч а н и е 1 — Число наблюдений п должно быть достаточно большим, чтобы q и s2 (q) являлись на­ дежными оценками математического ожидания \ik случайной переменной q и дисперсии математического ожида­ ния a2(q) =ст2/л соответственно (см. примечание к 4.3.2). При построении доверительных интервалов (см. 6.2.2) следует учитывать различие между s2(q) и a2(q). Если q распределена по нормальному закону (см. 4.3.4), то это различие учитывается применением f-распределения для выборочного среднего (см. G.3.2) .

–  –  –

4.2.4 Для измерений, проводимых в хорошо известных условиях под статистическим контролем, может быть доступна объединенная оценка дисперсии s2 (или объединенное выборочное стандартное отклонение sp). Если значение измеряемой величины q определяют по п независимым наблюдениям, то в качестве оценки выборочной дисперсии среднего значения q рекомендуется принимать s2/ n, а не s2(qk ]/n, а в качестве стандартной неопределенности соответственно и = sD/yfn (см. примечание кН.3.6) .

4.2.5 Часто для получения оценки х,- входной величины X) используют функциональную зави­ симость, полученную по экспериментальным данным методом наименьших квадратов. Выборочные оценки дисперсий и стандартных отклонений параметров функциональной зависимости, а также значе­ ний, прогнозируемых по данной функциональной зависимости, обычно могут быть легко вычислены с помощью хорошо известных статистических процедур (см. Н.З и [8]) .

4.2.6 При заявлении оценки составляющей неопределенности u(xj) типа А всегда необходимо ука­ зывать соответствующее ей число степеней свободы v, (С.2.31) — см. G.3. В простейшем случае п не­ зависимых наблюдений, когда х,- = X, и и{х^ = s(Xj), v, = п - 1 .

4.2.7 В случае коррелированной (например, во времени) последовательности наблюдений вход­ ной величины среднее значение и выборочное стандартное отклонение, полученные согласно 4.2.1 и 4.2.3, могут быть неадекватными оценкам и (С.2.25) соответствующих статистик (С.2.23). Для анализа таких наблюдений следует использовать статистические процедуры, специально разработанные для обработки рядов случайных коррелированных результатов измерений .

П р и м е ч а н и е — Примером специальных процедур являются те, что используют для обработки результа­ тов измерений эталонов частоты. Может оказаться, что измерения, проявляющие себя как некоррелированные на коротком интервале времени, должны рассматриваться как коррелированные на более длительных интервалах с применением специальных методов обработки (см., например, [9], где подробно рассматривается так называемая дисперсия Аллана) .

4.2.8 Анализ оценивания неопределенности типа А в 4.2.1— 4.2.7 не является исчерпывающим .

Существует много ситуаций, иногда довольно сложных, требующих применения разных статистических методов. Важным примером является планирование эксперимента, часто основанное на применении метода наименьших квадратов, в целях калибровки для оценки неопределенностей, связанных с кра­ тковременными и долговременными случайными изменениями результатов сличений материальных эталонов с неизвестными размерами единиц величин (например, концевых мер длины, эталонов мас­ сы) с эталонами сравнения с известными передаваемыми размерами единиц величин. В таких срав­ нительно простых измерительных задачах составляющие неопределенности часто можно оценить по­ средством дисперсионного анализа (см. Н.5) результатов иерархических экспериментов для заданного числа уровней иерархии .

П р и м е ч а н и е — На низких ступенях поверочной схемы, когда размер единицы величины, передаваемый эталоном сравнения, считают известным точно (поскольку эти эталоны были калиброваны с использованием пер­ вичных эталонов), неопределенность результата калибровки может состоять только из стандартной неопределен­ ности типа А, за которую принимают объединенное выборочное стандартное отклонение, полученное в условиях, полно характеризующих измерение .

4.3 Оценивание стандартной неопределенности типа В 4.3.1 Для оценки х( входной величины Х(, которая не была определена в результате повторных наблюдений, значения оценки дисперсии и2(х() или стандартной неопределенности и(х() получают в результате обобщения и анализа всей доступной информации о возможной вариативности Хг Такая информация может включать в себя:

- данные предшествующих измерений;

- полученные опытным или теоретическим путем сведения о свойствах материалов и характери­ стиках приборов;

-характеристики, заявляемые изготовителем;

- данные, приводимые в свидетельствах о калибровке и других документах;

- неопределенности величин, которые вместе со значениями этих величин приведены в справочниках .

Для удобства оценки u2(xj) и u(xj), полученные таким образом, называют соответственно диспер­ сией типа В и стандартной неопределенностью типа В .

П р и м е ч а н и е — Если х,- получено из известного априорного распределения вероятностей, то соответ­ ствующую этой величине дисперсию следует обозначать и2(Х(). Однако для упрощения в настоящем Руководстве используются обозначения и2(х() и и(х() .

ГОСТ 34100.3— 2017 4.3.2 Правильное использование доступной информации для оценивания стандартной неопреде­ ленности типа В требует физической интуиции, основанной на опыте и общих знаниях, которая прихо­ дит с накопленной практикой. Следует понимать, что оценка стандартной неопределенности по типу В может быть не менее надежной, чем оценка стандартной неопределенности по типу А, особенно если последняя получена в условиях небольшого числа статистически независимых наблюдений .

П р и м е ч а н и е — Если распределение вероятностей q (см. примечание 1 к 4.2.3) является нормальным, то отношение o [s ( ^ ) ]//cr(q) приблизительно равно [2( п - 1)]-1/2. Таким образом, если принять a [s (g )] в качестве неопределенности s(g), то для 10 наблюдений (п = 10) относительная неопределенность s(q) будет равна 24 %, а для 50 наблюдений (п = 50) — 10 % (дополнительная информация приведена в таблице Е.1 приложения Е) .

4.3.3 Если оценка х( взята из технической документации изготовителя, свидетельства о поверке, справочника или другого документального источника, в котором значение неопределенности х( дано в виде стандартного отклонения, умноженного на некоторый коэффициент, то стандартную неопределен­ ность u(xj) можно получить, разделив справочное значение неопределенности на этот коэффициент, а оценку дисперсии u2(xj) — возведя полученный результат в квадрат .

Пример — Согласно сертификату о калибровке масса ms эталона из нержавеющей стали с номи­ нальным значением 1 кг равна 1000,000325 г, а его «неопределенность в виде утроенного стандартного отклонения равна 240 мкг». В этом случае стандартную неопределенность эталона массы получа­ ют как и(т^ = 240/3 = 80 мкг. Это соответствует относительной стандартной неопределенности u(ms)/ms = 80 10~9 (см. 5.1.6). Оценка дисперсии составляет и2(т^ = (80 10~6 2 = 6,4 10~9 г 2 .

) П р и м е ч а н и е — Как правило, источник информации, указывающий неопределенность измерения ка­ кой-либо величины, не приводит составляющие этой неопределенности. В большинстве случаев при выражении неопределенности измерения в соответствии с настоящим Руководством это не имеет значения, поскольку при вычислении суммарной стандартной неопределенности результата измерения единообразно суммируются стан­ дартные неопределенности всех входных величин (см. раздел 5) .

4.3.4 Приводимая в том или ином источнике информация о неопределенности х,- не всегда имеет вид величины, кратной стандартному отклонению, как рассмотрено в 4.3.3. Часто такую неопределен­ ность определяют в виде интервала с уровнем доверия 90, 95 или 99 % (см. 6.2.2). Если не указано иное, то можно предположить, что для расчета указанного интервала была использована гипотеза о нормальном распределении (С.2.14) величины х(. В этом случае стандартную неопределенность для х, получают делением приведенного в источнике информации значения на соответствующий коэффи­ циент для нормального распределения. Так, вышеуказанным трем уровням доверия соответствуют следующие коэффициенты: 1,64; 1,96 и 2,58 (см. также таблицу G.1 приложения G) .

П р и м е ч а н и е — В таком предположении не было бы необходимости, если бы неопределенность была выражена в соответствии с рекомендациями настоящего Руководства, в котором подчеркивается необходимость при заявлении неопределенности всегда указывать используемый коэффициент охвата (см. 7.2.3) .

Пример — Согласно свидетельству о калибровке сопротивление Rs эталонного резистора с но­ минальным значением 10 Ом равно 10,000742 Ом ± 129 мкОм при температуре 23 °С, и указано, что «не­ определенность 129 мкОм соответствует интервалу с уровнем доверия 99 %». В этом случае стан­ дартную неопределенность сопротивления можно принять равной u(Rs) = 129/2,58 = 50 мкОм. Это соответствует относительной стандартной неопределенности u(Rs )/Rs = 5,0 10~6 (см. 5.1.6). Оценка дисперсии равна u2(RJ = (50 10~6 2 = 2,5 10~9 Ом2 .

) 4.3.5 Рассмотрим случай, когда на основе некоторого источника информации можно сделать за­ ключение, что значение входной величины Х( с равной вероятностью может находиться как в пределах интервала от а_ до а+, так и вне этого интервала. Другими словами, вероятность того, что значение X) находится в интервале от а_ до а+ равна 0,5 или 50 %. Если есть основания предположить, что распре­ деление вероятностей X t близко к нормальному, то лучшей оценкой х, для Х( будет средняя точка этого интервала. Обозначив а полуширину интервала, а = (а+ - а_)/2, можно принять u(xj) = 1,48а, поскольку для нормального распределения с математическим ожиданием ц и стандартным отклонением о интер­ вал ц + о/1,48 охватывает приблизительно 50 % распределения .

Пример — Станочник, определяя размеры детали, решил, что ее длина I с вероятностью 0,5 на­ ходится в интервале от 10,07 до 10,15 мм и записал это в виде I = (10,11 ± 0,04) мм, понимая под этим, что ± 0,04 — интервал с уровнем доверия 50 %. В этом случае а = 0,04 мм, и в предположении нор­ мального распределения возможных значений I стандартная неопределенность длины будет равна и(1) = 1,48 0,04 = 0,06 мм. Оценка дисперсии будет и2(1) = (1,48 0,04)2 = 3,5 1Q-3 мм2 .

ГОСТ 34100.3—2017 4.3.6 Рассмотрим случай, подобный изложенному в 4.3.5, но когда на основе имеющейся инфор­ мации можно утверждать, что «в двух случаях из трех значение Х( будет находиться в интервале от а_ до а+. Другими словами, вероятность того, что значение Х( находится в интервале от а_ до а+ равно приблизительно 0,67. Тогда с достаточным основанием можно принять u{xj) = а, поскольку для нор­ мального распределения с математическим ожиданием р и стандартным отклонением о интервал р ± о охватывает приблизительно 68,3 % распределения .

П р и м е ч а н и е — Точное значение стандартного отклонения о, соответствующего интервалу с доверитель­ ной вероятностью р = 2/3, равно 0,96742, тогда стандартную неопределенность и(х() следовало бы получить по формуле u(Xj) = а/0,96742 = 1,033а. Однако столь высокая точность вычислений стандартной неопределенности, очевидно, не является оправданной .

4.3.7 В ряде случаев можно оценить только границы (верхний и нижний пределы) для X h в част­ ности утверждать, что «для всех практических целей вероятность нахождения значения Х( в интервале от а_ до а+ близка к единице, а вне пределов этого интервала — несущественна». Если дополнительная информация о возможных значениях X) внутри указанного интервала отсутствует, то остается пред­ положить, что вероятность для X) принять любое значение в пределах интервала одинакова (что со­ ответствует равномерному или прямоугольному распределению вероятностей, см. 4.4.5 и рисунок 2) .

Тогда Xj, равное математическому ожиданию Х р будет средней точкой интервала, х( = (а+ + а_)/2 .

Дисперсию u2(xj) такого распределения определяют по формуле 6) ( Если разность между границами, а+ - а_, обозначить 2а, то формула (6) примет вид (7) П р и м е ч а н и е — Если составляющая неопределенности, полученная таким образом, дает значительный вклад в неопределенность результата измерения, то целесообразно рассмотреть возможность получения допол­ нительной информации для уточнения вида распределения .

Пример 1 — Согласно справочнику значение температурного коэффициента линейного расшире­ ния чистой меди при 20 °С a2Q (Cu) равно 16,52 10~6 °С~1 а погрешность этого значения не превышает, 0,40 10~6 °С~1. На основании такой ограниченной информации можно только предположить, что зна­ чение а2(/С и ) равновероятно распределено в интервале от 16,12 10~6 до 16,92 К Г 6 °С~1 и что веро­ ятность нахождения о.20(Си) вне пределов этого интервала очень мала. Дисперсию симметричного прямоугольного распределения возможных значений а2(/С и ) с полушириной а = 0,40 10~6 °С~1 можно получить по формуле (7): и2(а20} = (0,40 10~6 2 = 53,3 10~15 °С~2. Тогда стандартная неопределенность ) /3 будет равна u (a 20) = (0,40-10-6y j 3 = 0,23-10~6 °С 1 .

Пример 2 — В технических условиях изготовителем цифрового вольтметра указано, что «в про­ межутке от года до двух лет после калибровки прибора его погрешность состоит из относительной погрешности, равной 14 10~6, и погрешности, приведенной к пределу измерений (1 В), равной 2 10~6 .

Пусть спустя 20 месяцев после калибровки повторные измерения напряжения V в диапазоне до 1 В дали среднее значение V = 0,928571 В. При этом известно, что стандартная неопределенность по типу А, связанная с изменчивостью при повторных наблюдениях, u (V ) = 12 мкВ. Оценку стандартно неопре­ деленности по типу В по техническим условиям изготовителя можно получить в предположении, что указанная им погрешность определяет симметричные границы равномерного распределения аддитив­ ной поправки A V к V с нулевым математическим ожиданием. Тогда полуширину а диапазона возможных значений AV определяют как а = ( 1 4 - 10~6 0,928571 + (2 10~6 1 = 15 10~6 В или 15 мкВ, и из формулы (7) ) ) получают и2 (A V j = 75 мкВ2 и = 8,7 мкВ. Оценка значения измеряемой величины V, для простоты обозначаемая тем же символом V, равна V = V + AV = 0,928571 В. Суммарную стандартную неопреде­ ленность этой оценки получают суммированием стандартной неопределенности по типу А, равной 12 мкВ, и стандартной неопределенности по типу В, равной 8,7 мкВ. Общий метод суммирования со­ ставляющих стандартной неопределенности дан в разделе 5, а этот конкретный пример рассмотрен в 5.1.5 .

4.3.8 В рассмотренном в 4 .

3.7 случае верхняя (а+) и нижняя (а_) границы диапазона изменений входной величины X) могут быть расположены несимметрично относительно лучшей оценки х(. Так, если нижнюю границу представить в виде а_ = х( - Ь_, а верхнюю — в виде а+ = х, + Ь+, то может быть ГОСТ 34100.3—2017 справедливо условие Ь_ Ф Ь+. Поскольку в этом случае х,- (математическое ожидание X)) не находится посередине интервала от а_ до а+, то распределение вероятностей X, не может быть равномерным в данном интервале. При этом имеющейся информации может быть недостаточно, чтобы сделать обоснованное заключение о виде распределения, а произвольный выбор разных моделей распределе­ ния даст разные оценки дисперсии. В этом случае простейшей оценкой дисперсии является

–  –  –

4.3.9 В случае, рассмотренном в 4.3.7, отсутствие информации о возможных значениях величины X} в пределах границ ее изменения от а_ до а+ не позволило сделать иного предположения о плотности распределения вероятностей X), кроме как принять ее постоянной в пределах интервала от а_ до а+ и нулевой вне этого интервала. Распределение вероятностей такого вида содержит разрывы (на грани­ цах интервала), что зачастую не имеет под собой ясной физической основы. Во многих случаях можно ожидать, что значения X) вблизи границ интервала гораздо менее вероятны, чем в его центре. Тогда симметричное прямоугольное распределение целесообразно заменить симметричным трапецеидаль­ ным распределением с шириной нижнего основания а+ - а_ = 2а и шириной верхнего основания 2ар, где 0 р 1. При р — 1 это распределение стремится к прямоугольному, рассмотренному в 4.3.7, а при Р — 0 — к треугольному [см. 4.4.6 и рисунок 2 Ь)]. Математическое ожидание величины Х( для такого трапецеидального распределения будет равно х( = (а_+а+)/2, дисперсия u2(xj) определяется по формуле и2 (х() = а2 (1 + р2)/б, (9а) а в случае треугольного распределения (Р = 0):

и2 (х( ) = а2/б. (9Ь) П р и м е ч а н и е 1 — Для нормального распределения с математическим ожиданием р и стандартным от­ клонением о в интервал р ± Зо попадают приблизительно 99,73 % значений случайной переменной. Таким обра­ зом, если принять, что интервал от а_ до а+ охватывает не 100 %, а 99,73 % значений, и что случайная перемен­ ная распределена по закону, близкому к нормальному (это будет дополнительной информацией о распределении случайной переменной по сравнению с той, что рассмотрена в 4.3.7), то и2(х() = а2/9. Для сравнения: дисперсия симметричного прямоугольного распределения на интервале полушириной а равна а2/3 [формула (7)], а дисперсия симметричного треугольного распределения на интервале полушириной а равна а2/6 [формула (9Ь)]. Различия в значениях дисперсий этих трех распределений довольно незначительны по сравнению с разницей в объемах ин­ формации, требуемой для обоснования выбора того или иного распределения .

П р и м е ч а н и е 2 — Трапецеидальное распределение можно рассматривать как свертку двух прямоуголь­ ных распределений (см. [10]): одного с полушириной а^ равной длине средней линии трапеции, а1 = а(1 + Р)/2, другого — с полушириной а2, равной длине средней линии треугольника, образованного боковой линией, опу­ щенной из нее высотой и частью нижнего основания трапеции, а2 = а(1 - Р)/2.

Тогда дисперсию трапецеидаль­ ного распределения и2 можно представить в виде суммы дисперсий этих двух прямоугольных распределений:

и2 = а?/3 + а |/3. Свертку распределений можно интерпретировать также как случайную переменную, распреде­ ленную по равномерному закону на интервале 2аь значение которого известно с некоторой неопределенностью, ГОСТ 34100.3— 2017 определяемой другим равномерным распределением на интервале 2а2, т. е. как равномерно распределенную слу­ чайную переменную, границы распределения которой точно неизвестны. Но даже если а2 составляет 30 % аь стандартное отклонение трапецеидального распределения и будет превышать а^/у/з менее чем на 5 % .

4.3.10 Важно, чтобы одни и те же составляющие неопределенности не были учтены более одного раза. Если составляющая неопределенности, обусловленная конкретным эффектом, получена оцени­ ванием типа В, то она должна войти как независимая составляющая при расчете суммарной стандарт­ ной неопределенности только в той части, в какой этот эффект не вызывает вариативности результатов измерения. Это обусловлено тем, что та часть эффекта, которая вносит вклад в вариативность, уже включена в составляющую неопределенности, полученную на основе статистического анализа наблю­ дений .

4.3.11 Обсуждение оценивания стандартной неопределенности типа В в 4.3.3— 4.3.9 проведено на качественном уровне. Однако получение оценок неопределенности в максимально возможной мере должно быть основано на количественных данных, как подчеркивается в 3.4.1 и 3.4.2 .

4.4 Графическая иллюстрация оценивания стандартной неопределенности 4.4.1 На рисунке 1 графически показана оценка значения входной величины X t и оценка неопре­ деленности этой оценки по выборке (повторным наблюдениям) из генеральной совокупности с неиз­ вестным законом распределения .

4.4.2 На рисунке 1 а) показан пример, когда входной величиной X t является температура t, а неизвестным распределением является нормальное распределение с математическим ожиданием = 100 °С и стандартным отклонением о = 1,5 °С, плотность вероятности которого описывается фор­ мулой (см. С.2.14)

–  –  –

П р и м е ч а н и е — Из определения плотности распределения вероятностей p(z) следует необходимость выполнения условия Jp(z)dz = 1 .

4.4.3 На рисунке 1 Ь) показана гистограмма п = 20 повторных наблюдений ^тем пературы t, взятых предположительно, из генеральной совокупности, которая описывается распределением, изображен­ ным на рисунке 1 а). Для построения гистограммы наблюдения, значения которых даны в таблице 1, были сгруппированы в классы шириной 1 °С. (Гистограмма приведена в качестве иллюстрации; ее по­ строение не входит в статистический анализ данных.) Таблица 1 — Двадцать повторных наблюдений температуры t, сгруппированных в классы шириной 1 °С

–  –  –

94,5 95,5 — 95,5 96,5 — 96,5 97,5 96,90 97,5 98,5 98,18; 98,25 98,5 99,5 98,61; 99,03; 99,49 99,5 100,5 99,56; 99,74; 99,89; 100,07; 100,33; 100,42 100,5 101,5 100,68; 100,95; 101,11; 101,20 101,5 102,5 101,57; 101,84; 102,36 ГОСТ 34100.3—2017 Окончание таблицы 1

–  –  –

102,5 103,5 102,72 103,5 104,5 — 104,5 105,5 — Среднее арифметическое (или среднее) значение t из п = 20 наблюдений, вычисленное по фор­ муле (3), равно t = 100,145 °С «100,14 °С, и предполагается, что оно является лучшей оценкой матема­ тического ожидания величины t. Выборочное стандартное отклонение s(ffc вычисленное по форму­ ), ле (4), равно s(t^ = 1,489 °С = 1,49 °С, а выборочное стандартное отклонение среднего значения s ( t ), вычисленное по формуле (5) и являющееся стандартной неопределенностью ) среднего значения Т, равно u ( t ) = s ( f ) = s(tk)/y j20 = 0,333 °С « 0,33 °С .

П р и м е ч а н и е — Данные в таблице 1 выглядят как полученные с помощью высокоточного цифрового электронного термометра, широко применяющегося в измерениях в последнее время. Однако в действительности они не соответствуют реальному измерению и приведены только в качестве иллюстрации .

4.4.4 На рисунке 2 графически показаны оценка значения входной величины Xsи оценка неопре­ деленности этой оценки для известного априорного распределения (распределения, выбранного на основе всей имеющейся информации о Х ). Как и в предыдущем примере, предполагается, что входной величиной является температура t .

4.4.5 Для случая, показанного на рисунке 2 а), предполагается, что имеющаяся информация о входной величине t позволяет только сделать заключение, что она описывается симметричным прямо­ угольным распределением вероятностей в интервале с нижней границей а_ = 96 °С и верхней границей а+ = 104 °С, т. е. с полушириной а = (а+ - а_)/2 = 4а °С (см. 4.3.7). Математическая запись этой плотности вероятности имеет вид

–  –  –

Как указано в 4.3.7, наилучшей оценкой t является ее математическое ожидание = (а+ + а_)/2 = 100 °С, что следует из С.3.1. Стандартная неопределенность этой оценки будет равна u(y.t ) = аД/з = 2,3 °С, что следует из С.3.2 [см. формулу (7)] .

4.4.6 Для случая, показанного на рисунке 2 Ь), предполагается, что о величине t имеется более обширная информация, позволяющая предположить, что данной величине соответствует симметрич­ ное треугольное распределение вероятностей с теми же нижней (а_ = 96 °С) и верхней (а+ = 104 °С) границами и с той же полушириной интервала а = (а+ - а_)/2 = 4 °С (см. 4.3.9). Математическая запись этой плотности вероятности имеет вид t e [ ( a + + a_)/ 2; а+ р ( ' Ь К - 0 / а2;

t г [а_;а+] .

р (0 = °;

Как указано в 4.3.9, математическое ожидание величины t равно = (а+ + а_)/2 = 100 °С, что следует из С.3.1. Стандартная неопределенность этой оценки будет равна Д ц Д = аД/б = 1,6 °С, что следует из С.3.2 [см. формулу (9Ь)] .

Это последнее значение, u(pf) = 1,6 °С, можно сравнить с u(pf) = 2,3 °С, полученным в 4.4.5 для прямоугольного распределения на том же интервале шириной 8 °С, а также с о = 1,5 °С для нормально­ го распределения, показанного на рисунке 1 а), у которого 99 % значений попадают в интервал о т -2,5 а до + 2,58а той же ширины 8 °С, и с ) = 0,33 °С, полученной в 4.4.3 по 20 наблюдениям, которые, как предполагалось, были взяты случайным образом из того же самого нормального распределения .

ГОСТ 34100.3—2017

–  –  –

Ь) Рисунок 1 — Графическая иллюстрация оценивания стандартной неопределенности входной величины по повторным наблюдениям

–  –  –

0,250 0, 200

–  –  –

5 Определение суммарной стандартной неопределенности

5.1 Некоррелированные входные величины В настоящем подразделе рассмотрен случай, когда все входные величины независимы (С.3.7) .

Случай, когда две или более входных величин связаны между собой, т. е. коррелированны (С.2.8), рассмотрен в 5.2 .

5.1.1 Стандартную неопределенность оценки (результата измерения) у измеряемой величины У получают путем соответствующе определенного суммирования стандартных неопределенностей вход­ ных оценок х 1,х2,..., xN (см. 4.1). Эту суммарную стандартную неопределенность оценки у обознача­ ют как ис(у) .

П р и м е ч а н и е — По тем же причинам, что указаны в примечании к 4.3.1, каждый из символов ис(у) и 1/2 (у) используется в двух значениях .

–  –  –

5.1.2 Суммарная стандартная неопределенность ис(у) представляет собой положительный ква­ дратный корень из суммарной дисперсии, получаемой по формуле ( 10) где f — функция, определенная в 4.1.1 [см. формулу (1)];

и(х;) — стандартная неопределенность входной величины, оцененная по типу А (см. 4.2) или по типу В (см. 4.3) .

Суммарная стандартная неопределенность ис(у) представляет собой оценку стандартного откло­ нения измеряемой величины У и характеризует разброс значений, которые с достаточным основанием могут быть приписаны этой величине (см. 2.2.3) .

Формула (10), как и ее аналог для случая коррелированных входных величин — формула (13), основана на аппроксимации функциональной зависимости У = 7(Х1,Х2,..., XN) рядом Тейлора первого порядка и в терминах настоящего Руководства представляет собой закон трансформирования не­ определенностей (см. Е.3.1 и Е.3.2) .

ГОСТ 34100.3—2017

–  –  –

Пример, когда необходимо учитывать члены разложения в ряд Тейлора вы сш их порядков, при­ веден в Н.1 .

5.1.3 Частные производные dfldXj следует понимать как dfldXj при X s= х,- (см. примечание 1 ниже) .

Эти производные, называемые также коэф ф ициентами чувствительности, показывают, как изменяется выходная оценка у с изменением входных о ц е н о кх 1, х 2,...,x N. Так, при небольшом изменении входной оценки Xj на величину Ах, оценка у изменится на (Ду);- = (df/dxj)(AXj). Если изменение входной оценки Xj совпадает с ее стандартной неопределенностью, то соответствующее изменение в у будет равно Оdfldxj)u(Xj). Поэтому суммарную дисперсию (у ) можно рассматривать как сумму дисперсий выход­ ной оценки у, каждая из которых обусловлена дисперсией соответствующей входной оценки х(. Это по­ зволяет записать ф ормулу (10) в виде

–  –  –

П р и м е ч а н и е 1 — Строго говоря, частные производные сШх,- представляют собой значения dfldXj в точке математических ожиданий величин X,-. Однако на практике для их оценивания используют формулу

–  –  –

П р и м е ч а н и е 2 — Суммарную стандартную неопределенность ис(у) можно рассчитать численно, заменяя в формуле (11а) с(и(х() на То есть численную оценку и;(у) получают, вычисляя изменения у при изменениях х( на + и(х() и

- u(Xj) и принимая щ(у) равным |Z(|. При этом соответствующий коэф ф ициент чувствительности с( может быть представлен как Zjlu(x]) .

Пример — Используя в примере к 4.1.1 в целях упрощения записи одно и то же обозначение как для величины, так и для ее оценки, можно получить следующие оценки коэффициентов чувствительно­ сти и суммарной дисперсии:

–  –  –

5.1.4 Иногда коэффициенты чувствительности dfldXj определяют не расчетным способом из вида функциональной зависимости f, а экспериментально, измеряя изменение У, вызванное изменением заданной входной величины Х г когда значения остальных входных величин поддерживаются посто­ янными. В этом случае не требуется знания вида функциональной зависимости f (или части этой за­ висимости, если экспериментально определяют только некоторые коэффициенты чувствительности) .

Вместо этого достаточно получить разложение f в ряд Тейлора первого порядка через эмпирические коэффициенты чувствительности .

5.1.5 Если функциональную зависимость для измеряемой величины У разложить в ряд в окрест­ ности номинальных значений X jQ входных величин Х( и ограничиться членами первого порядка (что в большинстве случаев будет достаточно хорошим приближением), то формула (1) преобразуется к виду У = У0 + + с252 +... + cN5W где У0 = Щ 0,Х20,..., Xwo), с, = (dfldXj) в точкахX, = Х)0 и 5, = X, - XjQ .

, Таким образом, в целях анализа неопределенности измеряемую величину можно аппроксимировать линейной функцией, перейдя от входных величин X) к их приращениям 8( (см. Е.3.1) .

Пример — В примере 2 к 4.3.7 оценка значения измеряемой величины имеет вид V = V + AV, где V = 0,928571 В, и {у } = 12 мкВ, д (у ) = 0 и u (a v ) = 8,7 мкВ. Поскольку 8V/dV = 1 и dV/s(AV) = 1, то сум­ марную дисперсию для V можно получить по формуле

–  –  –

Эта формула имеет такой же вид, что и формула (11а), но вместо суммарной дисперсии и2 (у) в нее входит относительная суммарная дисперсия [ис(у)/у]2, а вместо оценок дисперсий входных вели­ чин и2(х-) — оценки относительных дисперсий [л(х()/х(]2. (Относительной суммарной стандартной неопределенностью и относительной стандартной неопределенностью для каждой входной оцен­ ки будут соответственно ис(у)/\у\ и и(х()/|х(|; уф 0, хФ 0) .

П р и м е ч а н и е 1 — Если функциональная зависимость имеет вид произведения степенных функций от входных величин, то ее легко преобразовать в линейную зависимость (см. 5.1.5) путем подстановки Х( = Х( 0(1 + 5/) .

что позволяет получить приближенную формулу ( У -У о )/ ^о Х Р /8/- Если же использовать операцию логарифми

–  –  –

ствующие элементы ковариационной матрицы и равны нулю. Если все входные величины некоррелированны, то все недиагональные элементы равны нулю, и ковариационная матрица будет диагональной (см. также С.3.5) .

П р и м е ч а н и е 3 — Для получения числовых оценок формулу (16) можно записать в виде

–  –  –

формуле u |x /,Xyj = s | x /,X J j, где s ( x (,X y ) получают по формуле (17). Оценка ковариации, получен­ ная в соответствии с формулой (17); будетоценкой по типу А. Выборочный коэффициент корреляции для Xj и Ху может быть получен из формулы (14): r ( x /,Xy) = r ( x /,X y) = s ( x /, X y ) / [ s ( X / ) s ( X y ) ] .

П р и м е ч а н и е — Примеры, в которых необходимо использовать значения ковариаций, рассчитанных по формуле (17), приведены в Н.2 и Н.4 .

5.2.4 Значительная корреляция между двумя входными величинами может наблюдаться в слу­ чаях, когда для их оценивания используют один и тот же измерительный прибор, один и тот же эталон или одни и те же справочные данные, имеющие большую стандартную неопределенность. Например, если использовать один и тот же термометр для внесения температурной поправки в оценку входной величины X/ и аналогичной поправки в оценку входной величины Xj, то после внесения поправок эти входные величины могут стать сильно коррелированными. Однако в описанном примере корреляции входных величин можно избежать, если в функциональную зависимость (1) включить Х( и Xj без по­ правок, но дополнить ее функциональными зависимостями (с известными параметрами и известными стандартными неопределенностями этих параметров) указанных величин от температуры (калибровоч­ ными характеристиками) — см. F.1.2.3 и F.1.2.4 .

5.2.5 Если между входными величинами имеется корреляция, и она значительна, то пренебрегать ею нельзя. Соответствующие ковариации при возможности варьирования значений входных величин (см. С.3.6, примечание 3) следует оценивать экспериментально или использовать всю доступную ин­ формацию о характере зависимости входных величин при их вариациях для оценивания типа В. При оценивании степени корреляции между входными величинами важную роль играет физическая интуи­ ция, основанная на накопленном опыте и общих знаниях (см. 4.3.1 и 4.3.2), особенно в случаях, когда корреляция обусловлена влиянием общих факторов, таких как температура окружающей среды, ат­ мосферное давление и влажность. Зачастую влияние таких факторов на взаимозависимость входных величин незначительно, и эти величины можно считать некоррелированными. Если же влиянием общих факторов пренебречь нельзя, то коррелированность входных переменных можно устранить, введя эти факторы в явном виде в функциональную зависимость (1) в качестве дополнительных независимых входных величин, как это описано в 5.2.4 .

ГОСТ 34100.3—2017 6 Определение расширенной неопределенности

6.1 Введение 6.1.1 Разработанная Рабочей группой по неопределенности Рекомендация INC-1 (1980), на которой основано настоящее Руководство (см. введение), а также разработанные МКМВ Рекомендация 1 (С И 981) и Рекомендация 1 (С И 986), которыми INC-1 (1980) была одобрена и вновь подтверждена (см. А.2 и А.З), поддерживают использование суммарной стандартной неопределенности ис(у) в каче­ стве количественной характеристики неопределенности результата измерения. Во второй из вышеуказан­ ных рекомендаций МКМВ содержится предложение, чтобы то, что сейчас называют суммарной стандарт­ ной неопределенностью ис(у), «использовалось всеми участниками при представлении результатов всех международных сличений и других работ, проводимых под эгидой МКМВ и консультативных комитетов» .

6.1.2 Хотя параметр ис{у) может служить универсальным средством выражения неопределенно­ сти результата измерения, зачастую в промышленности, торговле и законодательно регулируемых об­ ластях, например связанных с охраной здоровья и обеспечением безопасности, результат измерений должен быть представлен с указанием охватывающего его интервала, в пределах которого, как можно ожидать, будет находиться большая часть распределения значений, которые обоснованно могут быть приписаны измеряемой величине. Важность такого требования была признана Рабочей группой, что привело к появлению параграфа 5 Рекомендации INC-1 (1980). Данное требование нашло также отра­ жение в Рекомендации 1 (С И 981) МКМВ .

6.2 Расширенная неопределенность 6.2.1 Дополнительной мерой неопределенности, которая удовлетворяет требованию представле­ ния интервала в смысле, указанном в 6.1.2, является расширенная неопределенность, обозначаемая символом U. Расширенную неопределенность получают умножением суммарной стандартной неопре­ деленности ис(у) на коэффициент охвата к:

08) и = кис(у)При этом результат измерения удобно выражать в виде Y = y ± U, означающем, что лучшей оцен­ кой значения, приписываемого измеряемой величине У, является у и что интервал от у - U до у + U содержит, как можно ожидать, большую часть распределения значений, которые можно с достаточным основанием приписать У. Другой формой записи такого интервала будет у - U Y y + U .

6.2.2 Термины доверительный интервал (С.2.27, С.2.28) и доверительная вероятность (С.2.29), нашедшие применение в математической статистике и имеющие точную формулировку, могут быть применены к интервалу, определяемому через U, только при выполнении определенных усло­ вий. В частности, все составляющие неопределенности, входящие в ис(у), должны представлять собой оценки по типу А. Поэтому в настоящем Руководстве прилагательное «доверительный» применитель­ но к интервалу, определяемому через U, и к вероятности нахождения измеряемой величины внутри этого интервала не используется. Вместо «доверительной вероятности» используется термин «уровень доверия». Более точно, U понимается как параметр, характеризующий интервал, в который попадает результат измерения и который содержит большую часть р распределения вероятностей, связанного с результатом измерения и его суммарной стандартной неопределенностью. При этом р является веро­ ятностью охвата или уровнем доверия для этого интервала .

6.2.3 При необходимости для интервала, определяемого через U, оценивают и указывают уровень доверия р. Хотя умножение ис{у) на некоторый коэффициент не дает новой информации, оно позво­ ляет представить уже имеющуюся информацию в другом виде. Однако следует также признать, что в большинстве случаев уровень доверия р (особенно для значений р, близких к единице) будет весьма неопределенным не только из-за ограниченности знаний о распределении вероятностей, связанном с у и ис(у) (особенно о форме «хвоста» распределения), но также вследствие неопределенности самого значения ис(у) (см. примечание 2 к 2.3.5, 6.3.2, 6.3.3, а также приложение G, в частности, G.6.6) .

П р и м е ч а н и е — Предпочтительные способы представления результата измерения в случаях, когда ме­ рой неопределенности являются ис(у) и U, указаны соответственно в 7.2.2 и 7.2.4 .

6.3 Выбор коэффициента охвата 6.3.1 Значение коэффициента охвата к выбирают на основе уровня доверия, требуемого для ин­ тервала от у - U до у + U. Обычно к принимает значения от 2 до 3, однако в особых случаях значение к ГОСТ 34100.3—2017 может находиться вне этих границ. Обоснованный выбор значения /стребует большого опыта и четкого понимания, в каких целях будет использован результат измерения .

П р и м е ч а н и е — Может оказаться так, что при представлении результата измерения в него не была вне­ сена поправка b на известный систематический эффект, а вместо этого сделана попытка учесть данный эффект через увеличение неопределенности, приписанной результату измерения. Таких действий следует избегать. По­ правки на известные значимые систематические эффекты не вносят в результат измерения только в крайне ред­ ких, особых случаях (один из примеров приведен в F.2.4.5). Оценивание неопределенности результата измерения не следует путать с приписыванием «гарантированных» границ для какой-либо величины .

6.3.2 В идеале было бы желательно иметь возможность определить значение к [и соответственно интервал у ± U = у ± к и с(у)\, отвечающее выбранному уровню доверия, например 95 или 99 %, и, наобо­ рот, для выбранного значения к и связанного с ним интервала определить соответствующий уровень доверия. Однако это не всегда легко реализовать на практике, поскольку требует точного знания вида распределения вероятностей, характеризуемого результатом измерения у и его суммарной стандарт­ ной неопределенностью ис(у). Хотя эти параметры очень значимы, их знания недостаточно для опреде­ ления интервалов с заданными уровнями доверия .

6.3.3 Рекомендация INC-1 (1980) не устанавливает способ определения соотношения между к и р .

Этот вопрос рассматривается в приложении G, предпочтительный способ установления соотношения между км р приведен в G.4, а общий вывод по результатам рассмотрения — в G.6.4. Однако зачастую можно признать допустимым упрощенный подход, изложенный в G.6.6 для ситуаций, когда распреде­ ление вероятностей с оценками его параметров у и ис(у) близко к нормальному, а число эффективных степеней свободы при оценивании ис(у) достаточно велико. В этом часто встречающемся на практике случае можно принять, что значение к = 2 соответствует интервалу с уровнем доверия, близким к 95 %, а значение к = 3 — интервалу с уровнем доверия, близким к 99 % .

П р и м е ч а н и е — Метод определения числа эффективных степеней свободы для оценки ис(у) приведен в G.4. Определить, применим ли данный метод для конкретного измерения, можно с помощью таблицы G.2 при­ ложения G (см. G.6.6) .

7 Представление результатов оценивания неопределенности

7.1 Общие рекомендации 7.1.1 Как правило, по мере продвижения вверх по иерархии измерений требуется все больше ин­ формации о том, как были получены результат измерений и его неопределенность. Однако на любом уровне иерархии, будь то измерения в торговле или для проверки выполнения нормативных требований, технические измерения в промышленности, измерения на низших ступенях поверочной схемы, в науч­ но-технических и академических исследованиях, при создании промышленных первичных эталонов, в национальных метрологических институтах (лабораториях) или в работах по инициативе МБМВ, должна быть доступна вся информация, необходимая для проверки качества выполненных измерений. Разница заключается в том, что на низших уровнях иерархии большую часть необходимой информации можно по­ лучить из отчетов о калибровке и испытаниях, методик испытаний, сертификатов калибровки, руководств по эксплуатации, международных и национальных стандартов, местных законодательных актов .

7.1.2 Когда информация об измерении, включая способ оценивания неопределенности, дается ссылкой на соответствующие документы (например, сертификат, составленный по результатам калибров­ ки), крайне важно, чтобы эти документы поддерживались на современном уровне и соответствовали принятой на данный момент методологии измерений .

7.1.3 В промышленности и торговле каждый день проводится огромное число измерений без под­ робных описаний неопределенности. Однако многие из них выполняют с применением приборов, под­ лежащих периодической поверке или калибровке. Если известно, что приборы удовлетворяют техниче­ ским условиям или распространяющимся на них нормативным документам, то за неопределенности их показаний можно принять ту, что указана в этих документах .

7.1.4 Хотя на практике объем информации, необходимый для представления результата изме­ рения, зависит от его предполагаемого использования, общий принцип остается неизменным: лучше, чтобы объем информации был избыточным, нежели недостаточным. В частности, следует:

а) ясно описать методы, использованные для получения результата измерения и его неопреде­ ленности из экспериментальных наблюдений и иной доступной информации;

ГОСТ 34100.3—2017

b) перечислить все составляющие неопределенности и подробно описать, как они были оценены;

c) представить анализ данных таким образом, чтобы можно было легко проследить все этапы вы­ числений и при необходимости их повторить;

d) указать все поправки и константы, использованные при анализе, и указать источники их получения .

При выполнении вышеуказанных требований следует задаваться вопросом, достаточен ли объем представляемой информации и достаточно ли ясно она изложена, чтобы приводимый результат впо­ следствии мог быть скорректирован в случае поступления новых данных .

7.2 Частные рекомендации 7.2.1 Если мерой неопределенности результата измерения является суммарная стандартная не­ определенность ис(у), то при представлении результата измерения следует:

a) дать подробное определение измеряемой величины У;

b) привести оценку у измеряемой величины У и суммарной стандартной неопределенности ис(у) с указанием единиц измерений;

c) при необходимости указать относительную суммарную стандартную неопределенность ис(у)/|у|, уф 0;

d) дать информацию, указанную в 7.2.7, или сослаться на соответствующий опубликованный документ .

Если есть основания предполагать, что при использовании результатов измерения другими лицами им может потребоваться дополнительная информация об измерении, например для расчета коэффици­ ента охвата или лучшего понимания условий измерения, то дополнительно рекомендуется указывать:

- оценку числа эффективных степеней свободы veff (см. G.4);

- суммарные стандартные неопределенности отдельно для оценок по типу А, исА(у), и по типу В, исВ(у), а также число эффективных степеней свободы соответственно veffA и veffB (см. G.4.1, приме­ чание 3) .

7.2.2 При использовании ис{у) в качестве меры неопределенности измерения предпочтительно во избежание разночтений использовать одну из четырех форм записи результатов измерения (в ниже­ следующих примерах представления результата измерения предполагается, что измеряемой величи­ ной является масса ms эталона с номинальным значением 100 г; если в документе, где указывается результат, величина ис(у) уже была ранее определена, то слова «суммарная стандартная неопределен­ ность» для краткости можно опустить):

1) «т5 = 100,02147 г; суммарная стандартная неопределенность ис = 0,35 мг»;

2) «/ns = 100,02147(35) г, где число в скобках — суммарная стандартная неопределенность ис двух младших разрядов результата измерения»;

3) «ms = 100,02147(0,00035) г, где число в скобках — суммарная стандартная неопределенность ис в тех же единицах измерения (г)»;

4) «ms = (100,02147 ± 0,00035) г, где число, стоящее после знака «±», — суммарная стандартная неопределенность ис (а не доверительный интервал)» .

П р и м е ч а н и е — Представления с использованием знака «±» следует по возможности избегать, поскольку его традиционно используют для указания интервала, соответствующего некоторому высокому уровню доверия, и поэтому число, следующее за этим знаком, легко спутать с расширенной неопределенностью (см. 7.2.4). Воз­ можность неправильного истолкования не исключает даже пояснительный текст в скобках [см. перечисление 4)], тем более что этот текст может быть, например, по невнимательности опущен. По сути, в данном случае запись У = у ± и с(у) может быть интерпретирована как указание расширенной неопределенности с коэффициентом охвата к = 1 или интервала у - и с(у) У у + ис(у) с определенным уровнем доверия р (по умолчанию связанного с нор­ мальным распределением — см. G.1.3). Однако употребление ис(у) в таком контексте (с малым значением уровня доверия) малооправданно (см. 6.3.2 и приложение G) .

7.2.3 Если мерой неопределенности результата измерения является расширенная неопределен­ ность U = кис{у), то при представлении результата измерения следует:

a) дать подробное определение измеряемой величины У;

b) указать результат измерения в виде У = у ± U с указанием единиц измерений для у и (У;

c) при необходимости указать относительную расширенную неопределенность U/\y\, уФ 0;

d) указать использованное для получения расширенной неопределенности значение к [или для удобства пользователей результата измерения привести и к, и г/с(у)];

ГОСТ 34100.3—2017

e) указать приблизительный уровень доверия для интервала у ± У и пояснить, как он был определен;

f) дать информацию, указанную в 7.2.7, или сослаться на соответствующий опубликованный документ .

7.2.4 При использовании U в качестве меры неопределенности измерения предпочтительно для наибольшей ясности использовать следующую форму записи результата измерения (в нижеследую­ щем примере слова в скобках для краткости можно опустить, если перед этим в документе, представляю­ щем результаты измерения, U, ис \л к уже были определены): «т3 = (100,02147 ± 0,00079) г, где число, стоящее после знака «±», — (расширенная неопределенность) U = кис, полученная для (суммарной стандартной неопределенности) ис = 35 мг и (коэффициента охвата) к = 2,26, соответствующего уровню доверия 95 % для ^-распределения c v = 9 степенями свободы» .

7.2.5 Если в процессе измерения определяют более одной измеряемой величины, т. е. получают две или более выходных оценок у, (см. Н.2, Н.З и Н.4), то в дополнение к значениям у,- и uc(yj) следует указывать элементы ковариационной матрицы ис(у/; yj) или элементы r(y/; yj) матрицы коэффициентов корреляции (С.3.6, примечание 2) (или предпочтительно и те, и другие) .

7.2.6 Оценки у и стандартной неопределенности ис(у) или расширенной неопределенности U не следует приводить с избыточной точностью. Обычно для ис(у) и U, а также для стандартных неопреде­ ленностей uc(xj) входных оценок х,- достаточно указывать две значащие цифры, хотя в некоторых слу­ чаях может оказаться необходимым сохранить больше значащих цифр, чтобы избежать погрешностей округления в последующих расчетах .

При сообщении окончательных результатов иногда может быть уместным округление к боль­ шему. Например, ис(у) = 10,47 мОм можно округлить до 11 мОм. Однако и здесь следует руковод­ ствоваться в первую очередь здравым смыслом. Так, в случае расчетного значения u(xj) = 28,05 кГц следует указывать uc(xj) = 28 кГц. Входные и выходные оценки следует округлять таким образом, чтобы они соответствовали представлениям соответствующих неопределенностей. Например, если у = 10,05762 Ом и ис(у) = 27 мОм, то результат измерения у следует указывать как 10,058 Ом. При представлении коэффициента корреляции, близкого по абсолютному значению к единице, следует указывать три значащие цифры .

7.2.7 При подробном описании того, как были получены результат измерения и его неопределен­ ность, необходимо следовать рекомендациям 7.1.4, т. е. указывать:

a) значение каждой входной оценки х( и ее стандартной неопределенности и(х(), а также то, как они были получены;

b) оценки ковариаций или коэффициентов корреляции (лучше и те, и другие) для всех коррелиро­ ванных входных величин, а также методы, использованные для получения этих оценок;

c) число степеней свободы для стандартной неопределенности каждой входной оценки, а также то, как это число степеней свободы было определено;

d) функциональную зависимость У = f(XbX2,..., XN). При необходимости могут быть приведены частные производные (коэффициенты чувствительности) dfldx,. Рекомендуется всегда указывать зна­ чения коэффициентов чувствительности, полученные экспериментальным путем .

П р и м е ч а н и е — Поскольку функциональная зависимость Сможет быть весьма сложной или не допускать представления в явном виде, а только в виде расчетного алгоритма, то не всегда возможно указать вид этой за­ висимости и значения ее производных. В таких случаях функциональную зависимость f следует описать в самых общих чертах или дать ссылку на компьютерную программу, реализующую алгоритм расчета. В любом случае приводимая информация должна быть достаточной, чтобы понять, каким образом были получены оценка у изме­ ряемой величины У и ее суммарная стандартная неопределенность ис(у) .

8 Краткое описание процедуры оценивания и представления неопределенности Процедуру оценивания и представления неопределенности измерения согласно настоящему Ру­ ководству можно представить в виде последовательности следующих этапов:

1) Выражают связь между измеряемой величиной У и входными величинами Х(, от которых она зависит, в виде функциональной зависимости У = 7(Х1,Х2,..., X N). Функция f должна содержать все величины, включая поправки и поправочные коэффициенты, которые могут существенно повлиять на неопределенность результата измерения (см. 4.1.1 и 4.1.2) .

ГОСТ 34100.3—2017

2) Получают оценку х,- входной величины Xj либо на основе статистического анализа ряда наблю­ дений, либо другими способами (см. 4.1.3) .

3) Оценивают стандартную неопределенность u(xf) каждой входной оценки х(. Для входной оценки, полученной из статистического анализа ряда наблюдений, оценку стандартной неопределен­ ности получают согласно 4.2 (оценивание стандартной неопределенности типа А). Для входной оценки, полученной другими способами, оценку стандартной неопределенности получают согласно 4.3 (оцени­ вание стандартной неопределенности типа В) .

4) Если среди входных величин есть коррелированные между собой, то оценивают их ковариации (см. 5.2) .

5) Рассчитывают результат измерения, т. е. находят оценку у измеряемой величины по функцио­ нальной зависимости f, используя в качестве аргументов Xt оценки х,, полученные на этапе 2 (см. 4.1.4) .

6) Определяют суммарную стандартную неопределенность ис(у) результата измерения у по стан­ дартным неопределенностям и ковариациям входных оценок, как описано в разделе 5. Если в резуль­ тате измерения определяют оценки двух и более выходных величин, то рассчитывают их ковариации (см. 7.2.5, Н.2, Н.З и Н.4) .

7) Если требуется знать расширенную неопределенность U для определения интервала от у - U до у + U, в пределах которого предположительно находится большая часть распределения значений, которые можно с достаточным основанием приписать измеряемой величине У, то суммарную стан­ дартную неопределенность ис(у) умножают на коэффициент охвата к, обычно принимающий значения в диапазоне от 2 до 3, чтобы получить значение U по формуле U = кис(у). Значение к выбирают, исходя из желаемого уровня доверия для интервала от у - U до у + U (см. 6.2, 6.3 и особенно приложение G, где рассматривается выбор значения к, обеспечивающего уровень доверия, близкий к заданному) .

8) Представляют результат измерения у вместе с его суммарной стандартной неопределенностью ис(у) или расширенной неопределенностью (-/согласно 7.2.1 или 7.2.3 с использованием одной из форм представления согласно 7.2.2 или 7.2.4. Указывают (см. раздел 7) способ получения у и ис(у) или U .

А.1 Рекомендация INC-1 (1980) Рабочая группа по неопределенности была созвана МБМВ в октябре 1980 г. по инициативе МКМВ и подгото­ вила подробный отчет, завершающийся Рекомендацией INC-1 (1980) [2], текст которой приведен ниже .

«1) Неопределенность результата измерения обычно состоит из нескольких составляющих, которые можно сгруппировать в две категории в зависимости от способа их оценивания:

A. статистическими методами;

B. другими методами .

Не всегда возможно установить простое соответствие между категориями А и В и традиционно использовав­ шимся до этого разделением на «случайные» и «систематические» неопределенности. Термин «систематическая неопределенность» может вводить в заблуждение, и его применения следует избегать .

Любой подробный отчет о неопределенности должен содержать полный список составляющих с указанием для каждой из них метода, которым была получена оценка .

2) Составляющие, относящиеся к категории А, характеризуются выборочными дисперсиями s f (или выбо­ рочными «стандартными отклонениями» s() и числом степеней свободы V При необходимости следует указывать,- .

ковариации .

3) Составляющие, относящиеся к категории В, следует характеризовать величинами u j, которые можно рассматривать как аппроксимации дисперсий, существование которых предполагается. При обработке данных u j следует интерпретировать как дисперсии, a и-— как стандартные отклонения. Аналогичным образом при необхо­ димости рассматриваются ковариации .

4) Суммарная неопределенность должна характеризоваться числовым значением, полученным в результате обычного сложения дисперсий. Суммарная неопределенность и ее составляющие должны быть выражены в виде «стандартных отклонений» .

5) Если в особых случаях в целях получения общей неопределенности необходимо умножить суммарную неопределенность на некоторый множитель, то этот множитель должен быть указан» .

А.2 Рекомендация 1 (CI-1981) МКМВ рассмотрел отчет, представленный Рабочей группой по неопределенности и на 70-й сессии, состояв­ шейся в октябре 1981 г., принял следующую рекомендацию [3]:

«Рекомендация 1 (С И 981) Выражение экспериментальных неопределенностей Международный комитет мер и весов, учитывая

- необходимость выработки единой формы выражения неопределенности измерения в метрологии,

- усилия, прилагаемые для достижения этой цели различными организациями в течение многих лет,

- прогресс, достигнутый в поиске приемлемого решения и явившийся прямым результатом деятельности Рабочей группы по выражению неопределенностей, собранной МБМВ в 1980 г., признавая,

-что предложения Рабочей группы могли бы явиться основой для окончательного соглашения по выраже­ нию неопределенностей, рекомендует,

- чтобы предложения Рабочей группы были доведены до широких кругов заинтересованных лиц и организаций;

-чтобы МБМВ предприняло все усилия для применения принципов, заложенных в этих предложениях, к международным сличениям, которые будут проводиться при его содействии в будущем;

-чтобы другие заинтересованные организации исследовали и проверяли эти предложения и сообщали о полученных результатах в МБМВ;

-чтобы по прошествии двух или трех лет МБМВ сделало отчет по результатам применения предложений Рабочей группы» .

А.З Рекомендация 1 (С И 986) МКМВ повторно рассмотрел вопрос о неопределенности измерений на 75-й сессии, состоявшейся в октябре 1986 г., и принял следующую рекомендацию [4]:

«Рекомендация 1 (С И 986) Выражение неопределенностей в работах, проводимых под эгидой МБМВ Международный комитет мер и весов, ГОСТ 34100.3—2017 учитывая, что Рабочая группа по неопределенности приняла Рекомендацию INC-1 (1980), а МКМВ принял Рекомендацию 1 (С И 981), учитывая, что ряд членов Консультативных комитетов могут пожелать получить разъяснения по данной Ре­ комендации применительно к задачам, входящим в сферу их компетентности и особенно в целях международных сличений, признавая, что параграф 5 Рекомендации INC-1 (1980), относящийся к особым случаям, особенно имеющим промышленную значимость, в настоящее время рассматривается под эгидой ИСО объединенной рабочей группой ИСО, МОЗМ и МЭК при содействии и сотрудничестве МКМВ, рекомендует применение параграфа 4 Рекомендации INC-1 (1980) всеми участниками при оформлении ре­ зультатов международных сличений и других работ, проводимых под эгидой МКМВ и Консультативных комитетов, и чтобы суммарная неопределенность типа А и неопределенности типа В были выражены в виде стандартного отклонения» .

В.1 Использованный источник Определения основных метрологических терминов по тематике настоящего Руководства заимствованы из Международного словаря основных и общих терминов в метрологии (УМ), второе издание, 1993г.1 [6], выпущен­ ного Международной организацией по стандартизации (ИСО) от имени семи организаций, оказавших поддержку при его создании и предоставивших экспертов для его подготовки: Международного бюро мер и весов (МБМВ), Международной электротехнической комиссии (МЭК), Международной федерации клинической химии (МФКХ), ИСО, Международного союза теоретической и прикладной химии (ИЮПАК), Международного союза теоретической и прикладной физики (ИЮПАП), Международной организации законодательной метрологии (МОЗМ). VIM является основным источником, к которому рекомендуется обращаться относительно определений терминов, не включен­ ных в настоящее приложение или в текст настоящего Руководства .

П р и м е ч а н и е — Некоторые из основных статистических терминов и понятий приведены в приложении С, а такие термины, как «истинное значение», «погрешность» и «неопределенность», рассмотрены в приложении D .

В.2 Определения Как и в разделе 2 настоящего Руководства, использование в терминах скобок означает, что выделенные скобками слова могут быть опущены, если применение краткого термина не вызовет путаницы .

В некоторых примечаниях приведены дополнительные метрологические термины, выделенные полужирным шрифтом. Определения этих терминов даны в самих примечаниях — непосредственно или через соответствую­ щие ссылки (см. [6]) .

В.2.1 (измеримая) величина [(measurable) quantity]: Свойство явления, объекта или вещества, которое мо­ жет выделяться качественно и определяться количественно .

П р и м е ч а н и е 1 — Термин «величина» может обозначать величину в общем смысле (см. пример 1) или конкретную величину (см. пример 2) .

Пример 1 — Величины в общем смысле: длина, время, масса, температура, электрическое сопро­ тивление, концентрация вещества .

Пример 2 — Конкретные величины: длина данного стержня, электрическое сопротивление данно­ го образца провода, концентрация этанола в данной пробе вина .

П р и м е ч а н и е 2 — Величины, которые можно расположить по порядку значений величины друг относи­ тельно друга называются однородными величинами .

П р и м е ч а н и е З — Однородные величины могут быть сгруппированы по категориям величин, например:

- работа, теплота, энергия;

-толщина, длина окружности, длина волны .

П р и м е ч а н и е 4 — Обозначения величин приведены в ISO 31 [VIM:1993, словарная статья 1.1] .

В.2.2 значение (величины) [value (of a quantity)]: Значение конкретной величины, выражаемое, как правило, произведением единицы измерения на число .

Пример 1 — Длина стержня: 5,34 м или 534 см .

Пример 2 — Масса тела: 0,152 кг или 152 г .

Пример 3 — Количество вещества пробы воды (НгО): 0,012 моль или 12 ммоль .

П р и м е ч а н и е 1 — Значение величины может быть положительным, отрицательным или нулевым .

П р и м е ч а н и е 2 — Значение величины может быть выражено разными способами .

П р и м е ч а н и е З — Значения величин, имеющих размерность, равную 1, как правило, выражаются безраз­ мерным числом .

–  –  –

П р и м е ч а н и е 4 — Величина, которая не может быть выражена в виде произведения единицы измерения на число, может быть выражена ссылкой на принятую условную шкалу или на методику выполнения измерений, или на то и другое [VIМ: 1993, словарная статья 1.18] .

В.2.3 истинное значение (величины) [true value (of a quantity)]: Значение, соответствующее определению данной конкретной величины .

П р и м е ч а н и е 1 — Это то значение, которое могло бы быть получено при идеальном измерении .

П р и м е ч а н и е 2 — Истинное значение по своей природе неопределимо .

П р и м е ч а н и е З — В английском языке неопределенный артикль чаще, чем определенный, используется в сочетании с термином «истинное значение», т. к. может быть много значений, соответствующих определению данной конкретной величины [VIM:1993, словарная статья 1.19] .

Комментарий Руководства: В приложении D (в частности, в D.3.5) указаны причины, по которым термин «истинное значение» в настоящем Руководстве не используется и по которым термины «истинное значение из­ меряемой величины» (или «истинное значение величины») и «значение измеряемой величины» (или «значение величины») рассматриваются как эквивалентные .

В.2.4 действительное значение (величины) [conventional true value (of a quantity)]: Значение, приписы­ ваемое конкретной величине и принимаемое, часто по соглашению, как имеющее неопределенность, приемлемую для заданных целей .

Пример 1 — В некоторой области значение величины, воспроизведенное эталоном, может быть принято в качестве действительного значения .

Пример 2 — Комитет по данным для науки и техники (CODATA) в 1986 г. рекомендовал использо­ вать для постоянной Авогадро значение 6,0221367 1023 моль~1 .

П р и м е ч а н и е 1 — Действительное значение величины иногда называют приписанным значением, наи­ лучшей оценкой величины, номинальным значением или исходным значением. Однако «исходное значение» в этом смысле не следует путать с «исходным значением» в смысле, указанном в примечании к словарной статье 5.7 VIМ: 1993 .

П р и м е ч а н и е 2 — Часто для определения действительного значения используют несколько результатов измерений величины [VIM: 1993, словарная статья 1.20] .

Комментарий Руководства: См. комментарий Руководства к В.2.3 .

В.2.5 измерение (measurement): Совокупность операций, имеющих целью определение значения величины .

П р и м е ч а н и е — Операции могут выполняться автоматически [VIM: 1993, словарная статья 2.1] .

В.2.6 принцип измерения (principle of measurement): Научная основа измерения .

Пример 1 — Применение термоэлектрического эффекта для измерения температуры .

Пример 2 — Применение эффекта Джозефсона для измерения разности электрических потенциалов .

Пример 3 — Применение эффекта Доплера для измерения скорости .

Пример 4 — Применение эффекта комбинационного рассеяния света для измерения частот соб­ ственных колебаний молекул [VIM:1993, словарная статья 2.3] .

В.2.7 метод измерения (method of measurement): Логическая последовательность операций, описанная в общем виде, которая применяется при выполнении измерений .

П р и м е ч а н и е — Методы измерений могут быть отнесены к разным группам, например:

- методам измерений замещением;

-дифференциальным методам измерений;

- нулевым методам измерений .

[VIM: 1993, словарная статья 2.4] .

В.2.8 процедура измерений, методика измерений (measurement procedure): Специально описанная сово­ купность операций, используемая при выполнении конкретных измерений в соответствии сданным методом .

П р и м е ч а н и е — Методику измерений обычно излагают в документе, также иногда называемом методикой измерений. Содержащиеся в этом документе сведения обычно являются достаточными для оператора, чтобы вы­ полнить измерения без привлечения дополнительной информации [VIM: 1993, словарная статья 2.5] .

В.2.9 измеряемая величина (measurand): Конкретная величина, подлежащая измерению .

Пример — Давление пара в данной пробе воды при 20 °С .

ГОСТ 34100.3—2017 П р и м е ч а н и е — Определение измеряемой величины может потребовать задания значений таких вели­ чин, как время, температура и давление [VIM:1993, словарная статья 2.6] .

В.2.10 влияющая величина (influence quantity): Величина, которая не является измеряемой величиной, но влияет на результат измерения измеряемой величины .

Пример 1 — Температура микрометра, применяемого для измерения длины .

Пример 2 — Частота при измерении амплитуды переменного электрического напряжения .

Пример 3 — Концентрация билирубина при измерении концентрации гемоглобина в пробе плазмы крови человека [VIM:1993, словарная статья 2.7] .

Комментарий Руководства'. Определение влияющей величины подразумевает включение величин, связан­ ных с измерительными эталонами, образцовыми веществами и справочными данными, от которых может зависеть результат измерения, а также от таких явлений, как кратковременные флюктуации параметров измерительного прибора, и таких величин, как температура окружающей среды, атмосферное давление и влажность .

В.2.11 результат измерения (result of a measurement): Значение, приписываемое измеряемой величине и полученное путем измерения .

П р и м е ч а н и е 1 — При представлении результата измерения должно быть ясно, относится ли он:

- к показанию прибора;

- к неисправленному результату измерения;

- к исправленному результату измерения, а также получен ли он усреднением нескольких значений .

П р и м е ч а н и е 2 — Полное представление результата измерения включает информацию о неопределен­ ности измерения [VIM:1993, словарная статья 3.1] .

В.2.12 неисправленный результат измерения (uncorrected result): Результат измерения до введения по­ правки на систематическую погрешность [VIM:1993, словарная статья 3.3] .

В.2.13 исправленный результат измерения (corrected result): Результат измерения после введения поправ­ ки на систематическую погрешность [VIM:1993, словарная статья 3.4] .

В.2.14 точность измерения (accuracy of measurement): Близость результата измерения к истинному значе­ нию измеряемой величины .

П р и м е ч а н и е 1 — «Точность» является качественным понятием .

П р и м е ч а н и е 2 — Не следует употреблять термин прецизионность вместо термина «точность»

[VIM: 1993, словарная статья 3.5] .

Комментарий Руководства: См. комментарий Руководства к В.2.3 .

В.2.15 повторяемость (результатов измерений) [repeatability (of results of measurements)]: Близость резуль­ татов последовательных измерений одной и той же измеряемой величины, выполненных в одинаковых условиях измерений .

П р и м е ч а н и е 1 — Такие условия называют условиями повторяемости .

П р и м е ч а н и е 2 — Условия повторяемости включают в себя:

- использование одной и той же процедуры измерений;

- проведение измерений одним и тем же наблюдателем;

- использование одного и того же измерительного прибора, применяемого в одних и тех же условиях;

- проведение измерений в одном и том же месте;

- повторение измерений в течение короткого периода времени .

П р и м е ч а н и е З — Повторяемость может быть выражена количественно через характеристики разброса результатов измерений [VIM: 1993, словарная статья 3.6] .

В.2.16 воспроизводимость (результатов измерений) [reproducibility (of results of measurements)]: Бли­ зость результатов измерений одной и той же измеряемой величины при проведении измерений в изменяющихся условиях .

П р и м е ч а н и е 1 — Для обоснованного суждения о воспроизводимости следует указывать, в чем состоит изменение условий измерения .

П р и м е ч а н и е 2 — Изменения условий могут включать в себя изменения:

- принципа измерения;

- наблюдателя;

- метода измерения;

- измерительного прибора;

ГОСТ 34100.3—2017

- измерительного эталона;

- места измерения;

- условий применения результатов измерения;

-времени измерения .

П р и м е ч а н и е З — Воспроизводимость может быть выражена количественно через характеристики раз­ броса результатов измерений .

П р и м е ч а н и е 4 — В данном случае под результатами обычно понимают исправленные результаты изме­ рений [VIM:1993, словарная статья 3.7] .

В.2.17 выборочное стандартное отклонение (experiniental standard deviation): Величина s(qk) для ряда из п измерений одной и той же измеряемой величины, характеризующая разброс результатов измерений и опре­ деляемая по формуле

Е Й у-5 )

где qk — результат /с-го измерения; q — среднее арифметическое для ряда из п измерений .

П р и м е ч а н и е 1 — Если рассматривать ряд из п значений как выборку случайной переменной, то q — несмещенная оценка математического ожидания \iq, a s2(qk) — несмещенная оценка дисперсии о2 распределения этой переменной .

П р и м е ч а н и е 2 — Выражение s {qk) /'fn является оценкой стандартного отклонения распределения q и называется выборочным стандартным отклонением среднего значения .

П р и м е ч а н и е З — Выборочное стандартное отклонение среднего значения иногда ошибочно называют среднеквадратичной погрешностью среднего значения .

П р и м е ч а н и е 4 — Настоящее определение является модифицированным по отношению к словарной статье 3.8 VIM:1993 .

Комментарий Руководства: Некоторые обозначения, применяемые в VIM, были изменены с целью достиже­ ния единообразия с обозначениями, используемыми в 4.2 .

В.2.18 неопределенность (измерения) [uncertainty (of measurement)]: Параметр, относящийся к результату измерения и характеризующий разброс значений, которые могли бы быть обоснованно приписаны измеряемой величине .

П р и м е ч а н и е 1 — Параметром может быть, например, стандартное отклонение (или величина, пропор­ циональная стандартному отклонению) или полуширина интервала, которому соответствует заданный уровень доверия .

П р и м е ч а н и е 2 — Неопределенность измерения, как правило, включает в себя ряд составляющих. Не­ которые из них могут быть оценены из статистического распределения результатов ряда измерений и описываться выборочными стандартными отклонениями. Другие составляющие, которые также могут быть описаны стандарт­ ными отклонениями, оценивают из предположений о виде закона распределения, основанных на опыте или иной информации .

П р и м е ч а н и е З — Предполагается, что результат измерения является лучшей оценкой измеряемой ве­ личины, а все составляющие неопределенности, включая обусловленные систематическими эффектами (разного рода поправками, используемым эталоном сравнения), вносят вклад в разброс значений измеряемой величины [VIM: 1993, словарная статья 3.9] .

Комментарий Руководства: В VIM подчеркивается идентичность настоящего определения и примечаний к нему определению и примечаниям, данным в настоящем Руководстве (см. 2.2.3) .

В.2.19 погрешность (измерения) [error (of measurement)]: Отклонение результата измерения от истинного значения измеряемой величины .

П р и м е ч а н и е 1 — Так как истинное значение не может быть установлено точно, то на практике вместо него используют действительное значение (см. В.2.3 и В.2.4 или VIM:1993, словарные статьи соответственно 1.19 и 1.20) .

П р и м е ч а н и е 2 — Когда необходимо отличать «относительную погрешность» от «погрешности», послед­ нюю иногда называют абсолютной погрешностью измерения. Этот термин не следует путать с абсолютным значением погрешности, которое является модулем погрешности [VIM: 1993, словарная статья 3.10] .

ГОСТ 34100.3—2017 Комментарий Руководства: Если результат измерения зависит от значений еще каких-либо величин, помимо измеряемой, погрешности измерений этих величин вносят вклад в погрешность результата измерения. См. также комментарий Руководства к В.2.22 и В.2.3 .

В.2.20 относительная погрешность (relative error): Отношения погрешности измерения к истинному значе­ нию измеряемой величины .

П р и м е ч а н и е — Так как истинное значение не может быть установлено точно, то на практике вместо него используют действительное значение (см. В.2.3 и В.2.4 или VIM: 1993, словарные статьи соответственно 1.19 и 1.20) [VIM: 1993, словарная статья 3.12] .

Комментарий Руководства'. См. комментарий Руководства к В.2.3 .

В.2.21 случайная погрешность (random error): Разность результата измерения и среднего значения, кото­ рое могло бы быть получено при бесконечно большом числе повторных измерений одной и той же измеряемой величины, проводимых в условиях повторяемости .

П р и м е ч а н и е 1 — Случайная погрешность равна погрешности измерения за вычетом систематической погрешности .

П р и м е ч а н и е 2 — Так как возможное число измерений всегда ограничено, то получить можно лишь оцен­ ку случайной погрешности [VIM: 1993, словарная статья 3.13] .

Комментарий Руководства: См. комментарий Руководства к В.2.2 .

В.2.22 систематическая погрешность (systematic error): Разность между средним значением, получаемым при бесконечном числе измерений одной и той же измеряемой величины в условиях сходимости, и истинным зна­ чением измеряемой величины .

П р и м е ч а н и е 1 — Систематическая погрешность равна погрешности измерения за вычетом случайной погрешности .

П р и м е ч а н и е 2 — Как и истинное значение, систематическая погрешность и ее причины не могут быть полностью известны .

П р и м е ч а н и е З — В отношении систематической погрешности, связанной с измерительным инструмен­ том см. термин «смещение» (VIM: 1993, словарная статья 5.25) [VIM: 1993, словарная статья 3.14] .

Комментарий Руководства: Погрешность результата измерения (см. В.2.19) может часто рассматриваться как результат ряда случайных и систематических эффектов, которые вносят свои вклады в погрешность результата измерения. См. также комментарий Руководства к В.2.19 и В.2.3 .

В.2.23 поправка (correction): Значение величины, которое алгебраически суммируется с неисправленным результатом измерения для компенсации систематической погрешности .

П р и м е ч а н и е 1 — Поправка равна оценке систематической погрешности, взятой с обратным знаком .

П р и м е ч а н и е 2 — Так как систематическая погрешность не может быть известна точно, то компенсация не может быть полной [VIM:1993, словарная статья 3.15] .

В.2.24 поправочный коэффициент (correction factor): Числовой коэффициент, на который умножают неис­ правленный результат измерения для компенсации систематической погрешности .

П р и м е ч а н и е — Так как систематическая погрешность не может быть известна точно, то компенсация не может быть полной [VIM:1993, словарная статья 3.16] .

С.1 Использованный источник Определения основных статистических терминов, приведенных в настоящем приложении, заимствованы из ISO 3534-1:1993 [7]1. Данный международный стандарт является основным источником, к которому рекомендуется обращаться относительно определений терминов, не включенных в настоящее приложение. Некоторые из тер­ минов, определения которых даны в разделе С.2, и соответствующие им понятия более подробно рассмотрены в разделе С.З, в котором содержится также ряд дополнительных терминов с соответствующими определениями .

Содержащиеся в разделе С.З разъяснения даны для облегчения использования настоящего Руководства и не основаны непосредственно на ISO 3534-1:1993 .

С.2 Определения Как и в разделе 2 настоящего Руководства, использование в терминах скобок означает, что выделенные скобками слова могут быть опущены, если применение краткого термина не вызовет путаницы .

Термины С.2.1—С.2.14 определены для генеральной совокупности, а термины С.2.15—С.2.31 — для вы­ борки наблюдений .

С.2.1 вероятность (probability): Действительное число в интервале от 0 до 1, относящееся к случайному событию .

П р и м е ч а н и е — Число может отражать относительную частоту в серии наблюдений или степень уверен­ ности в том, что некоторое событие произойдет. При высокой степени уверенности вероятность близка к единице [ISO 3534-1:1993, словарная статья 1.1] .

С.2.2 случайная переменная (random variable, variate): Величина, которая может принимать любое значе­ ние из заданного множества значений и с которой связано распределение вероятностей (С.2.3) .

П р и м е ч а н и е 1 — Случайную переменную, которая может принимать только отдельные значения, назы­ вают дискретной. Случайную переменную, которая может принимать любые значения из конечного или бесконеч­ ного интервала, называют непрерывной .

П р и м е ч а н и е 2 — Вероятность события А обозначают РДА) или Р(А) .

Комментарий Руководства'. В настоящем Руководстве применяется обозначение РДА) вместо РДА), исполь­ зуемого в ISO 3534-1:1993 [ISO 3534-1:1993, словарная статья 1.2] .

С.2.3 распределение (вероятностей) (случайной переменной) [probability distribution (of a random variable)]:

Функция, определяющая вероятность того, что случайная переменная примет какое-либо заданное значение или будет принадлежать заданному множеству значений .

П р и м е ч а н и е — Вероятность того, что случайная переменная находится в области ее изменения, равна единице [ISO 3534-1:1993, словарная статья 1.3] .

С.2.4 функция распределения (distribution function): Функция, задающая для любого значения х вероят­ ность того, что случайная переменная X меньше или равна х:

Р(х) = РДХ х], [ISO 3534-1:1993, словарная статья 1.4] .

С.2.5 плотность распределения (вероятностей) [probability density function (for a continuous random variable)]: Первая производная, если она существует, функции распределения непрерывной случайной переменной:

1 Примечание к изданию 2008 г: ISO 3534-1:1993 отменен и заменен на ISO 3534-1:2006. При этом были изменены формулировки ряда терминов и определений. За более подробной информацией следует обращаться к последней редакции международного стандарта .

ГОСТ 34100.3—2017 П р и м е ч а н и е — f(x)dx называется элементом вероятности, f (x)d x = Pr [ x X x + dx], [ISO 3534-1:1993, словарная статья 1.5] .

C.2.6 дискретное распределение (вероятностей) [probability mass function]: Функция, дающая для каждого значения х,-дискретной случайной переменной X вероятность р, того, что случайная переменная равна х,-:

Р / = рг [ * = */] [ISO 3534-1:1993, словарная статья 1.6] .

С.2.7 параметр (распределения) (parameter): Величина, используемая в описании распределения вероят­ ностей некоторой случайной переменной [ISO 3534-1:1993, словарная статья 1.12] .

С.2.8 корреляция (correlation): Взаимодействие двух или нескольких случайных переменных в распределе­ нии двух или нескольких случайных переменных .

П р и м е ч а н и е — Большинство статистических мер корреляции измеряют только степень линейной зави­ симости [ISO 3534-1:1993, словарная статья 1.13] .

С.2.9 математическое ожидание (случайной переменной) [expectation (of a random variable or of a probability

distribution), expected value, mean]:

1) для дискретной случайной переменной X, принимающей значения х( с вероятностью р( математическое

- -, ожидание, если оно существует, определяют формулой

–  –  –

где суммируют все значения х( которые может принимать случайная переменная X;

-,

2) для непрерывной случайной переменной X, имеющей плотность распределения f(X), математическое ожидание, если оно существует, определяют формулой Рх = Е (X ) = J x f (x)dx, где интеграл берут по всему интервалу (интервалам) изменения X [ISO 3534-1:1993, словарная статья 1.18] .

С.2.10 центрированная случайная переменная (centred random variable): Случайная переменная, матема­ тическое ожидание которой равно нулю .

П р и м е ч а н и е — Если случайная переменная X имеет математическое ожидание р, то соответствующая центрированная случайная переменная равна X - jx [ISO 3534-1:1993, словарная статья 1.21] .

С.2.11 дисперсия (случайной переменной) [variance (of a random variable or of a probability distribution)]:

Математическое ожидание квадрата центрированной случайной переменной a2=V(X) = E [ X - E ( X ) f [ISO 3534-1:1993, словарная статья 1.22] .

С.2.12 стандартное отклонение (случайной переменной) [standard deviation (of a random variable or of a probability distribution)]: Положительный квадратный корень из значения дисперсии

–  –  –

П р и м е ч а н и е — Центральный момент второго порядка — дисперсия (С.2.11) (ISO 3534-1:1993, словар­ ная статья 1.22) случайной переменной [ISO 3534-1:1993, словарная статья 1.28] .

С.2.14 нормальное распределение; распределение (Лапласа-)Гаусса (normal distribution, Laplace-Gauss distribution): Распределение вероятностей непрерывной случайной переменной такое, что плотность распределе­ ния вероятностей при - да х + да принимает действительное значение

–  –  –

П р и м е ч а н и е — р — математическое ожидание, о — стандартное отклонение нормального распределе­ ния [ISO 3534-1:1993, словарная статья 1.37] .

С.2.15 признак (characteristic): Свойство, которое помогает идентифицировать или различать объекты дан­ ной генеральной совокупности .

П р и м е ч а н и е — Признак может быть количественным или качественным (альтернативным) [ISO 3534-1:1993, словарная статья 2.2] .

С.2.16 (генеральная) совокупность (population): Множество всех рассматриваемых объектов .

П р и м е ч а н и е — Для случайной переменной распределение вероятностей (С.2.3) (ISO 3534-1:1993, сло­ варная статья 1.3) рассматривают как определение совокупности этой случайной переменной [ISO 3534-1:1993, словарная статья 2.3] .

С.2.17 частота (frequency): Число наступлений события данного типа или число наблюдений, попавших в данный класс [ISO 3534-1:1993, словарная статья 2.11] .

С.2.18 распределение частот (frequency distribution): Эмпирическое отношение между значениями признака и его частотами или его относительными частотами .

П р и м е ч а н и е — Это распределение можно представить графически в виде гистограммы (ISO 3534-1:1993, словарная статья 2.17), столбиковой диаграммы (ISO 3534-1:1993, словарная статья 2.18), полигона кумулятивных частот (ISO 3534-1:1993, словарная статья 2.19) или как таблицу сопряженности двух признаков (ISO 3534-1:1993, словарная статья 2.22) [ISO 3534-1:1993, словарная статья 2.15] .

С.2.19 среднее арифметическое (arithmetic mean, average): Сумма значений, деленная на их число .

П р и м е ч а н и е 1 — Термин «среднее» обычно используют, когда имеют в виду параметр совокупности, а термин «среднее арифметическое» — когда имеют в виду результат вычислений по данным, полученным из выборки .

П р и м е ч а н и е 2 — Среднее арифметическое простой случайной выборки, взятой из совокупности, — это несмещенная оценка арифметического среднего генеральной совокупности. Однако другие формулы для оценки, такие как геометрическое или гармоническое среднее, медиана или мода, иногда тоже используют [ISO 3534-1:1993, словарная статья 2.26] .

С.2.20 (выборочная) дисперсия (variance): Одна из мер рассеяния, представляющая собой сумму квадратов отклонений наблюдений от их среднего арифметического, деленную на число наблюдений минус единица .

Пример — Для серии из п наблюдений Хр х2,...,х п со средним арифметическим

–  –  –

выборочная дисперсия Примечание 1 — Выборочная дисперсия представляет собой несмещенную оценку дисперсии совокупности .

П р и м е ч а н и е 2 — Выборочная дисперсия представляет собой nl(n - 1 )-кратный центральный момент вто­ рого порядка (см. примечание к словарной статье 2.39 ISO 3534-1:1993) [ISO 3534-1:1993, словарная статья 2.33] .

Комментарий Руководства: Определенную таким образом дисперсию точнее назвать выборочной оценкой дисперсии генеральной совокупности. А дисперсию выборки обычно определяют как выборочный центральный момент второго порядка (см. С.2.13 и С.2.22) .

С.2.21 (выборочное) стандартное отклонение (standard deviation): Положительный квадратный корень из выборочной дисперсии .

П р и м е ч а н и е — Выборочное стандартное отклонение представляет собой смещенную оценку стандарт­ ного отклонения совокупности [ISO 3534-1:1993, словарная статья 2.34] .

С.2.22 (выборочный) центральный момент порядка q (central moment of order q): Среднее арифметиче­ ское разностей между наблюдаемыми значениями х,- и их средним арифметическим х в степени q в распределе­ нии единственного признака п где п — число наблюдений .

ГОСТ 34100.3—2017 П р и м е ч а н и е — Выборочный центральный момент первого порядка равен нулю [ISO 3534-1:1993, сло­ варная статья 2.37] .

С.2.23 статистика (statistic): Функция от выборочных значений .

П р и м е ч а н и е — Статистика, будучи функцией значений случайной переменной, сама является случай­ ной переменной, значения которой могут изменяться от выборки к выборке. Значение статистики, как получаемое по наблюдаемым значениям, может быть использовано при проверке статистических гипотез или в качестве оцен­ ки параметра совокупности, например, среднего арифметического или стандартного отклонения [ISO 3534-1:1993, словарная статья 2.45] .

С.2.24 оценивание (параметра) (estimation): Операция определения на основе выборочных данных число­ вых значений параметров распределения, принятого в качестве статистической модели генеральной совокупно­ сти, из которой извлечена выборка .

П р и м е ч а н и е — Результат этой операции может быть выражен как одним числовым значением [то­ чечная оценка — см. ISO 3534-1:1993, словарная статья 2.51 (С.2.26)], так и доверительным интервалом [см .

ISO 3534-1:1993, словарные статьи 2.57 (С.2.27) и 2.58 (С.2.28)] [ISO 3534-1:1993, словарная статья 2.49] .

С.2.25 оценка (estimator): Статистика, используемая для оценивания параметра совокупности [ISO 3534-1:1993, словарная статья 2.50] .

С.2.26 значение оценки (estimate): Значение параметра, полученное в результате оценивания [ISO 3534-1:1993, словарная статья 2.51] .

С.2.27 двусторонний доверительный интервал (two-sided confidence interval): Интервал, определенный при заданной доверительной вероятности (1 - а) [где (1 - а) — положительная постоянная, меньшая единицы] для подлежащего оцениванию параметра совокупности 0, между двумя функциями наблкздаемых значений 71 и Т2 такими, что вероятность РД71 0 й Т2] больше или равна (1 - а) .

П р и м е ч а н и е 1 — Границы Т1 и Т2 доверительного интервала являются статистиками [см .

ISO 3534-1:1993, словарная статья 2.45 (С.2.23)], и таким образом, их значения в общем случае будут изменяться от выборки к выборке .

П р и м е ч а н и е — В длинном ряду выборок относительная частота случаев, когда доверительный интервал накрывает истинное значение параметра совокупности 0, больше или равна (1 - a) [ISO 3534-1:1993, словарная статья 2.57] .

С.2.28 односторонний доверительный интервал (one-sided confidence interval): Интервал, определенный при заданной доверительной вероятности (1 - а) [где (1 - а) — положительная постоянная, меньшая единицы] для подлежащего оцениванию параметра совокупности 0, между наименьшим возможным значением 0 и функцией на­ блюдаемых значений Т (или между Т и наибольшим возможным значением 0) такой, что вероятность РДТ., S 0] {или вероятность РД71 0]} больше или равна (1 - а) .

П р и м е ч а н и е 1 — Граница Т доверительного интервала является статистикой [см. ISO 3534-1:1993, сло­ варная статья 2.45 (С.2.23)], и таким образом, ее значения в общем случае будут изменяться от выборки к выборке .

П р и м е ч а н и е 2 — См. примечание 2 к словарной статье 2.27 [ISO 3534-1:1993, словарная статья 2.58] .

С.2.29 доверительная вероятность (confidence coefficient, confidence level): Значение (1 - а) вероятности, связанной с доверительным интервалом или толерантным интервалом [см. ISO 3534-1:1993, словарные статьи 2.57 (С.2.27), 2.58 (С.2.28) и 2.61 (С.2.30)] .

П р и м е ч а н и е — Значение (1 - а) часто выражают в процентах [ISO 3534-1:1993, словарная статья 2.59] .

С.2.30 толерантный интервал (statistical coverage interval): Интервал, для которого можно утверждать с опре­ деленной доверительной вероятностью, что он содержит долю генеральной совокупности, не меньшую заданной .

П р и м е ч а н и е — Если по выборочным данным определены обе границы интервала, то интервал двусто­ ронний. Если одна из границ лежит в бесконечности или совпадает с наименьшим (наибольшим) возможным зна­ чением случайной переменной, то интервал односторонний [ISO 3534-1:1993, словарная статья 2.61] .

С.2.31 число степеней свободы [(number of) degrees of freedom]: Число слагаемых в сумме за вычетом числа налагаемых на них ограничений [ISO 3534-1:1993, словарная статья 2.85] .

С.З Пояснения к терминам и понятиям С.3.1 Математическое ожидание Математическое ожидание функции g(z) от случайной переменной z, имеющей плотность распределения вероятностей p(z) получают по формуле

–  –  –

Математическое ожидание случайной переменной z, обозначаемое pz, которое называют также ожидаемым значением или средним значением z, получают по формуле

–  –  –

a z( элемент выборки из л независимых наблюдений z .

-— П р и м е ч а н и е 1 — Множитель (п - 1)-1 в выражении для s2(z() обусловлен корреляцией между Zj и z и отражает тот факт, что среди слагаемых (zj - z j есть только (л - 1) независимых членов .

–  –  –

Надлежащей мерой неопределенности результата измерения является не дисперсия наблюдаемой вели­ чины, а дисперсия среднего арифметического по выборке наблюдений. Необходимо четко различать дисперсию случайной переменной z и дисперсию ее среднего арифметического значения z. Дисперсия среднего арифмети­ ческого по ряду из л независимых наблюдений z(

-определяется как о2 (z) = ст2 (г( )/л, а ее оценка может быть полу­ чена на основе выборочных дисперсий по формуле

–  –  –

С.3.3 Стандартное отклонение Стандартное отклонение представляет собой положительный квадратный корень из дисперсии. В то время как оценку стандартной неопределенности по типу А получают, извлекая квадратный корень из выборочной дис­ персии, при получении оценок неопределенности по типу В зачастую удобнее сначала нестатистическими метода­ ми получить оценку стандартного отклонения, а потом оценку дисперсии, возводя оценку стандартного отклонения в квадрат .

С.3.4 Ковариация Ковариация двух случайных переменных является мерой их взаимной зависимости. Ковариацию случайных переменных у и z получают по формуле

–  –  –

cov (у, z) = cov (z, у) = JJ (у - Ну) (z - Pz ) Р (у. z)dydz = j j YZP (У,z) dYdz - HyHz, где p(y,z) — совместная функция плотности распределения вероятностей двух случайных переменных у и z .

ГОСТ 34100.3—2017 Оценка s(y,z) ковариации соv(y,z) [обозначаемой также v(y,z)] может быть получена из п независимых пар у,-, z( одновременных наблюдений у и z по формуле

–  –  –

С.3.5 Ковариационная матрица В случае многомерного распределения вероятностей матрица V, элементами которой являются дисперсии и ковариации случайных переменных, называется ковариационной матрицей. Диагональные элементы, v(z,z) = o2(z) или s(z( = s2(zf), являются дисперсиями, а недиагональные, v(y,z) или s(y,-,z(), — ковариациями .

-,z() С.3.6 Коэффициент корреляции Коэффициент корреляции является мерой относительной взаимной зависимости двух случайных перемен­ ных, равной отношению их ковариаций к положительному квадратному корню из произведения их дисперсий. Та­ ким образом

–  –  –

Это соотношение может служить основой для экспериментального оценивания коэффициента корреляции .

Оно может быть также использовано для приблизительного расчета изменения одной из входных оценок, обуслов­ ленного изменением другой, если их коэффициент корреляции известен .

С.3.7 Независимость Две случайные переменные являются статистически независимыми, если их совместное распределение ве­ роятностей является произведением одномерных распределений вероятностей этих переменных .

П р и м е ч а н и е — Если две случайные переменные независимы, то их ковариация и коэффициент корре­ ляции равны нулю, но обратное утверждение в общем случае не является справедливым .

ГОСТ 34100.3—2017

С.3.8 f-pacnределение (распределение Стьюдента) f-распределение, иначе называемое распределением Стьюдента, представляет собой распределение ве­ роятностей непрерывной случайной переменной f, для которой функция плотности распределения вероятностей имеет вид где Г(у) — гамма-функция, v 0 .

Математическое ожидание f-распределения равно нулю, а его дисперсия равна v/(v - 2) для v 2 .

При v — со f-распределение стремится к нормальному распределению с ц = 0 и о = 1 (см. С.2.14) .

Если случайная переменная z распределена по нормальному закону с математическим ожиданием pz, z и s(z,) — среднее арифметическое и выборочное стандартное отклонение соответственно по выборке из п неза­ висимых наблюдений z( -величины z, a s(z) = s(z()//n — выборочное стандартное отклонение среднего арифме­ тического z c v = n - 1 степенями свободы, то случайная переменная ( z - | r z)/s (z ) будет иметь f-распределение .

Публикации, посвященные вопросу неопределенности измерения, традиционно использовали термин ис­ тинное значение (В.2.3), который, однако, в настоящем Руководстве не применяется по причинам, изложенным в настоящем приложении. Кроме того, поскольку термины «измеряемая величина», «погрешность» и «неопределен­ ность» зачастую интерпретируются неправильно, в настоящем приложении в дополнение к сведениям, приведен­ ным в разделе 3, рассматриваются идеи, лежащие в основе соответствующих понятий. С помощью двух рисунков, приведенных в настоящем приложении, показано, почему принятое в настоящем Руководстве понятие неопреде­ ленности основано на результате измерения и оценивании его неопределенности, а не на основе непознаваемых величин: «истинного» значения и погрешности .

D.1 Измеряемая величина D.1.1 Первым шагом при проведении измерения является определение измеряемой величины, т. е. той ве­ личины, которую предстоит измерить. При этом измеряемая величина не может быть определена через некоторое значение, а только через свое описание. Однако, в принципе, полное описание измеряемой величины требует не­ ограниченного количества информации. Неполнота описания измеряемой величины оставляет пространство для того или иного истолкования и, таким образом, вносит в неопределенность результата измерения составляющую, которая может быть существенной по сравнению с требуемой точностью измерения .

D.1.2 Обычно определение измеряемой величины включает некоторые физические состояния и условия .

Пример — Скорость звука в сухом воздухе, состоящем (в молярных долях) из Ы (0,7808), 0 2 (0,2095), Аг (0,00935) и С 02 (0,00035), при температуре Т = 273,15 К и давлении р = 101325 Па .

D.2 Реализованная величина D.2.1 В идеальном случае величина, подлежащая измерению, должна полностью удовлетворять определе­ нию измеряемой величины. Однако зачастую измеряемая величина не может быть точно реализована на практике, и измерения выполняют для величины, соответствующей измеряемой величине только в некотором приближении .

D.3 «Истинное» значение и исправленное значение D.3.1 Чтобы определить, каким был бы результат измерения, если бы реализованная величина точно соот­ ветствовала определению измеряемой величины, в результат измерения реализованной величины вносят поправ­ ку на разность между ней и измеряемой величиной. Поправки в результат измерения реализованной величины вносят также на все другие известные значимые систематические эффекты. Хотя окончательный исправленный результат иногда рассматривают как наилучшую оценку «истинного» значения измеряемой величины, в действи­ тельности этот результат просто является наилучшей оценкой значения этой величины .

D.3.2 В качестве примера предположим, что измеряемой величиной является толщина данного листа мате­ риала при заданной температуре. Образец доводят до температуры, близкой к заданной, и измеряют его толщину в некотором месте с помощью микрометра. Толщина материала в этом месте, при этой температуре и при давле­ нии, вызываемом нажатием микрометра, представляет собой реализованную величину .

D.3.3 Определяют имевшие место в момент измерения значения температуры материала и приложенного микрометром давления. После этого в неисправленный результат измерения реализованной величины вносят по­ правку путем учета градуировочной характеристики микрометра, отклонения температуры образца от заданной температуры, а также небольшого сжатия образца от приложенного давления .

D.3.4 Исправленный результат может быть назван наилучшей оценкой «истинного» значения («истинного»

в том смысле, что оно является значением величины, которую принимают за полностью удовлетворяющую опре­ делению измеряемой величины), но если бы микрометр был приложен в другом месте листа, то реализованная величина была бы другой, с другим «истинным» значением. Это «истинное» значение также соответствовало бы определению измеряемой величины, так как в нем не уточняется, в каком месте должна быть определена толщина листа. Следовательно, в этом случае из-за неполного определения измеряемой величины «истинное» значение имеет неопределенность, которая может быть оценена по измерениям, выполненным в различных местах. На любом уровне детализации определения измеряемой величины последняя будет иметь такую «врожденную» не­ определенность, которую, в принципе, можно оценить тем или иным способом. Эта неопределенность характе­ ризует предельную точность, с которой может быть известна измеряемая величина, и каждое измерение, при ко­ тором достигается такая неопределенность, можно рассматривать как наилучшее возможное измерение данной ГОСТ 34100.3—2017 величины. Для получения результата измерения с меньшей неопределенностью необходимо будет определить измеряемую величину с большей полнотой .

П р и м е ч а н и е 1 — В рассмотренном примере при определении измеряемой величины оставлены без внимания многие другие параметры, которые, возможно, могли бы повлиять на толщину листа: атмосферное дав­ ление, влажность, положение листа в гравитационном поле, способ крепления и т. д .

П р и м е ч а н и е 2 — Несмотря на общую рекомендацию определять измеряемую величину с такой степе­ нью полноты, чтобы обусловленная неполнотой описания неопределенность была пренебрежимо мала по сравне­ нию с требуемой точностью измерения, следует понимать, что это не всегда реализуется на практике. Например, определение может быть неполным из-за неучета параметров, влияние которых неоправданно предполагается пренебрежимо малым, или из-за включения в определение условий, которые невозможно точно реализовать и от­ клонение от которых невозможно точно учесть. Так, в примере, приведенном в D.1.2, скорость звука неявно пред­ полагается характеристикой плоской волны малой амплитуды. В реальных условиях измерения существуют такие физические эффекты, как дифракция на препятствиях и акустическая нелинейность среды, которые необходимо учитывать в той степени, в какой они способны нарушить выполнение указанного предположения .

П р и м е ч а н и е З — Неудовлетворительное определение измеряемой величины может привести к расхож­ дению результатов измерений одной и той же величины, проводившихся разными лабораториями .

D.3.5 Термин «истинное значение измеряемой величины» или «истинное значение величины» (часто сокра­ щаемый до «истинного значения») в настоящем Руководстве не применяется, поскольку определение «истинное»

рассматривается как избыточное. Термин «измеряемая величина» (см. В.2.9) означает «конкретная величина, под­ лежащая измерению». Следовательно, термин «значение измеряемой величины» означает «значение конкретной величины, подлежащей измерению». Так как под «конкретной величиной» обычно понимают определенную или заданную величину (см. В.2.1, примечание 1), то определение «истинное» в выражении «истинное значение из­ меряемой величины» (или «истинное значение величины») не является необходимым — «истинное» значение измеряемой величины просто является значением измеряемой величины. Кроме того, как отмечалось выше, един­ ственное «истинное» значение является идеализированным понятием .

D.4 Погрешность Исправленный результат измерения не является значением измеряемой величины (т. е. в некотором смысле ошибочен) из-за несовершенного измерения реализованной величины вследствие случайных изменений в наблю­ дениях (случайные эффекты), неточного определения поправок на систематические эффекты и неполного знания некоторых физических явлений (также систематические эффекты). Ни значение реализованной величины, ни зна­ чение измеряемой величины не могут быть известны точно. Все, что может быть известно, — это их оценки. В при­ веденном выше примере измеренная толщина листа может быть ошибочной, т. е.

может отличаться от измеряемой величины (толщины листа), так как к неизвестной погрешности в результате измерения может привести каждый из следующих эффектов:

a) небольшие расхождения между показаниями микрометра при повторных измерениях одной и той же реа­ лизованной величины;

b) несовершенство градуировки микрометра;

c) несовершенство измерения температуры и приложенного давления;

d) неполнота знания о влиянии температуры, атмосферного давления и влажности на образец, на микрометр или на то и другое .

D.5 Неопределенность D.5.1 В то время как точные значения составляющих погрешности результата измерения неизвестны и не­ познаваемы, неопределенности, связанные со случайными и систематическими эффектами, которые приводят к погрешности, могут быть оценены. Но даже если оцененные неопределенности незначительны, это еще не дает гарантии, что погрешность результата измерения будет незначительной, поскольку при определении поправки или оценке неполноты знания может быть нераспознан и поэтому пропущен какой-либо значимый систематический эффект. Таким образом, неопределенность результата измерения необязательно является показателем степени близости результата измерения к значению измеряемой величины — это просто оценка степени близости к наи­ лучшему значению, которое получено на основе имеющихся в настоящий момент знаний .

D.5.2 Неопределенность измерения, следовательно, представляет собой выражение того факта, что для данной измеряемой величины и для данного результата измерения существует не одно, а бесконечное множество значений, рассеянных вокруг результата измерения, которые согласуются со всеми наблюдениями и исходными данными, а также со знанием физической картины мира и которые с разной степенью уверенности могут быть при­ писаны измеряемой величине .

D.5.3 Следует признать, что в большинстве практических измерительных ситуаций та степень детализации понятий, которая рассмотрена в настоящем приложении, не требуется. К ним можно отнести случаи, когда из­ меряемая величина достаточно хорошо определена, когда эталоны или приборы калиброваны с помощью апроГОСТ 34100.3—2017 бированных эталонов сравнения, прослеживаемых к национальным эталонам, а также когда неопределенности поправок, связанных с калибровкой или градуировочной характеристикой, незначительны по сравнению с неопре­ деленностями, обусловленными случайными изменениями показаний приборов или ограниченным числом наблю­ дений (см. Е.4.3). Тем не менее неполное знание влияющих величин и характера их влияния зачастую могут внести значительный вклад в неопределенность результата измерения .

D.6 Графические иллюстрации D.6.1 Рисунок D.1 иллюстрирует некоторые положения, рассмотренные в разделе 3 настоящего Руковод­ ства и в настоящем приложении. Из этого рисунка ясно, почему предметом рассмотрения Руководства является понятие неопределенности, а не погрешности. Точное значение погрешности результата измерения, как правило, неизвестно и непознаваемо. Единственное, что можно сделать — это оценить значения входных величин, включая поправки на известные систематические эффекты, вместе с их стандартными неопределенностями (стандарт­ ными отклонениями) либо на основе неизвестных распределений вероятностей по полученным путем повторных наблюдений выборкам, либо на основе распределений, априорных или субъективно выбранных по имеющейся информации, после чего рассчитать результат измерения по оценкам входных величин и суммарную стандартную неопределенность этого результата по стандартным неопределенностям этих оценок. И только если есть твердая уверенность, что все вышеуказанные операции выполнены правильно и все значимые систематические эффекты учтены, можно предположить, что результат измерения является надежной оценкой измеряемой величины и что его суммарная стандартная неопределенность является надежной мерой ее возможной погрешности .

П р и м е ч а н и е 1 — На рисунке D.1 а) наблюдения для большей наглядности представлены в виде гисто­ граммы [см. 4.4.3 и рисунок 1 Ь)] .

П р и м е ч а н и е 2 — Поправка на погрешность равна оценке погрешности, взятой с обратным знаком. Таким образом, на рисунках D.1 и D.2 стрелка, показывающая поправку на погрешность, равна подлине, но противопо­ ложно направлена по отношению к стрелке, которая показывала бы саму погрешность, и наоборот. В текстовых пояснениях к рисунку разъясняется, показывает ли данная стрелка саму погрешность или поправку на нее .

D.6.2 На рисунке D.2 в несколько измененном виде представлены те же понятия, что графически представ­ лены на рисунке D.1. Кроме того, на рисунке D.2 [перечисление д)] показана возможность существования многих значений измеряемой величины, если определение измеряемой величины является неполным. Неопределен­ ность, обусловленная этой неполнотой и выраженная в виде дисперсии, оценена на основе результатов измерений при множественных реализациях измеряемой величины с использованием одного и того же метода, приборов и т. д .

(см. D.3.4) .

П р и м е ч а н и е — В столбце «Дисперсия» под дисперсиями понимаются значения uf (у) согласно форму­ ле (11а) (см. 5.1.3), т. е. подлежащие простому суммированию .

ГОСТ 34100.3—2017

–  –  –

В настоящем приложении кратко изложены мотивы и статистические основы для разработки Рабочей груп­ пой по неопределенности Рекомендации INC-1 (1980), на которую опирается настоящее Руководство (см. также [1], [2], [11], [12]) .

Е.1 Понятия «безопасного», случайного и систематического Е.1.1 Настоящим Руководством установлен широко применяемый метод оценивания и представления не­ определенности результата измерения. Этот метод обеспечивает получение не «безопасных» или «консерватив­ ных» (т. е. взятых с некоторым запасом), а реалистичных границ неопределенности, основываясь на представлении, что не существует никаких принципиальных различий между составляющими неопределенности, обусловленными случайными эффектами, и составляющими, связанными с вносимыми поправками на систематические эффекты (см. 3.2.2 и 3.2.3). В этом смысле данный метод отличается от применявшихся ранее подходов, которые имели в общей основе два нижеследующих представления .

Е.1.2 Первое представление заключалось в том, что неопределенность необходимо выражать с некоторым запасом, т. е. лучше ошибиться, заявив завышенную неопределенность, чем слишком малую. На самом деле, по­ скольку в вопросе оценивания неопределенности результата измерения всегда существуют некоторые неясности, сомнения зачастую разрешались посредством преднамеренного завышения оценки .

Е.1.3 Второе представление заключалось в том, что источники, вносящие вклад в неопределенность, всегда должны подразделяться на «случайные» и «систематические», что природа этих источников различна, и поэтому их вклады в неопределенность должны объединяться по-разному и быть представлены по отдельности (а в случае необходимости представления единой оценки неопределенности — объединяться неким специальным способом) .

Зачастую способ объединения неопределенностей этих двух видов выбирался таким образом, чтобы удовлетво­ рить представление о «безопасности» .

Е.2 Обоснование реалистичного подхода к оцениванию неопределенности Е.2.1 При представлении результата измерения необходимо указывать лучшую оценку измеряемой величины и лучшую оценку неопределенности оценки измеряемой величины, поскольку если вносить в оценку неопределенности какие-либо поправки, то, как правило, невозможно указать, какие поправки (в сторону увеличения или в сторону умень­ шения) сделают оценку неопределенности более «безопасной». Занижение оценки неопределенности может привести к чрезмерному доверию к представленным результатам измерений, что иногда способно привести к нежелательным и даже к роковым последствиям. Преднамеренное завышение оценки неопределенности также может быть нежелатель­ но. Это может вынудить пользователей измерительной аппаратуры приобретать излишне дорогие приборы, привести к необоснованной отбраковке дорогостоящей продукции или к отказу от услуг калибровочной лаборатории .

Е.2.2 Сказанное не следует понимать как запрет для лиц, использующих результат измерения в конкретных целях, по собственному усмотрению выбрать множитель, позволяющий по заявленной стандартной неопределен­ ности получить расширенную неопределенность и, соответственно, интервал с заданным уровнем доверия, удов­ летворяющий указанным целям, или как отрицание того, что в определенных обстоятельствах при представлении результата измерения может быть использован заранее установленный множитель, позволяющий получить рас­ ширенную неопределенность, которая соответствует нуждам конкретного круга пользователей. Однако такой мно­ житель (который, кстати, всегда должен быть указан) следует применять только в отношении неопределенности, полученной в рамках реалистичного подхода, чтобы интервалу, определенному через расширенную неопределен­ ность, соответствовал известный уровень доверия и чтобы значение стандартной неопределенности результата измерения всегда можно было легко восстановить .

Е.2.3 При проведении измерения часто необходимо включать в анализ результаты измерений, полученные из сторонних источников, причем каждый из этих результатов будет иметь свою неопределенность. Чтобы иметь возможность на основе такого анализа построить оценку неопределенности измерения, необходимо, чтобы дан­ ные этих сторонних источников были представлены в виде наилучших, а не «безопасных» оценок. Кроме того, должен существовать логичный и простой способ объединения «заимствованных» оценок неопределенности с неопределенностями, полученными в результате собственных наблюдений. Рекомендация INC-1 (1980) указывает такой способ .

Е.З Обоснование единообразного обращения со всеми составляющими неопределенности Настоящий раздел построен на простом примере, показывающем, как согласно настоящему Руковод­ ству в целях получения оценки неопределенности результата измерения единым образом обрабатываются составляющие неопределенности, природа которых обусловлена случайными эффектами и оставшимися после внесения поправок систематическими эффектами. Тем самым иллюстрируется принятая Руководством и сфорГОСТ 34100.3—2017 мулированная в Е.1.1 точка зрения, что нет принципиальных различий в природе разных составляющих неопре­ деленности и что все эти составляющие должны обрабатываться одинаково. Отправной точкой рассмотрения бу­ дет служить упрощенный вывод математического выражения для получения неопределенности выходной оценки через неопределенности входных оценок, называемый в настоящем Руководстве законом трансформирования неопределенностей .

Е.3.1 Пусть выходная величина z = f(w^,w2,..., ww) зависит от N входных величин w^,w2,..., ww, и каждая из входных величин описывается соответствующим распределением вероятностей. Разложение функции f в точке математических ожиданий и Е(и/() = щ, в ряд Тейлора первого порядка позволяет получить выражение для малого /,-, отклонения z относительно pz через малые отклонения и/,- относительно ц, по формуле

–  –  –

П р и м е ч а н и е — Требование нормальности входных величин, при соблюдении которого формула (Е.З) может быть распространена на преобразование интервалов с заданным уровнем доверия, может быть одной из причин исторически сложившегося разделения составляющих неопределенности на те, что получены по результа­ там повторных наблюдений предположительно нормально распределенных величин, и те, оценка которых состоя­ ла в определении верхней и нижней границ возможного значения случайной переменной .

Е.З.4 Рассмотрим пример, когда z зависит только от одной входной величины w, z = f(w), где w оценивается усреднением по выборке из п значений wk случайной переменной и/, и эти п значений получены на основе п неза­ висимых повторных наблюдений qk случайной переменной q по формуле (Е.4) wk = a + p q k .

В этой формуле а представляет собой постоянное «систематическое» смещение или сдвиг, общий для каж­ дого наблюдения, а р — общий масштабный коэффициент. И смещение а, и масштабный коэффициент р, хотя и проявляют себя как постоянные значения в пределах данной серии наблюдений, предполагаются принадлежащи­ ми некоторым априорным распределениям вероятностей и являющимися наилучшими оценками математических ожиданий этих распределений .

Наилучшей оценкой для w будет среднее арифметическое w, полученное по формуле

–  –  –

Тогда оценкой значения величины z будет f(w) = a, р, qv q2.....c/n), а оценку u2(z) ее дисперсии o2(z) полу­ чают по формуле (Е.З). Если для простоты предположить z = и/так, чтобы наилучшей оценкой z была z = f(w) = w, то можно легко найти u2(z). Заметив из уравнения (Е.5), что

–  –  –

обозначив оценку дисперсий а и р соответственно через и2(а) и и2(Р) и предположив, что отдельные наблюдения некоррелированны, из формулы (Е.З) можно получить

–  –  –

где s2(qk) — выборочная дисперсия наблюдений qk, рассчитываемая по формуле (4) (см. 4.2.2), а s2 (qk)/n = s2 (q) — выборочная дисперсия среднего арифметического q [см. формулу (5) в 4.2.3] .

Е.З.5 В традиционной метрологии третье слагаемое в правой части формулы (Е.6) называют «случайным»

вкладом в оценку u2(z), поскольку оно обычно уменьшается с ростом числа наблюдений п, в то время как первые два слагаемых называют «систематическими», так как они не зависят от п .

Что еще важнее, в рамках традиционного подхода существует точка зрения, что формулой (Е.6) пользовать­ ся вообще нельзя, поскольку она не учитывает различие между неопределенностями, являющимися следствием систематических эффектов, от тех, что вызваны случайными эффектами. С этой точки зрения недопустимым яв­ ляется суммирование дисперсий, полученных из априорных распределений вероятностей, с теми, что получены экспериментальным путем, поскольку вероятность рассматривается исключительно в рамках частотного подхода, требующего наличия возможности многократного наблюдения событий в существенно одинаковых условиях. При этом вероятность р для какого-либо события (0 р 1) будет характеризовать относительную частоту его наступления .

В противовес данной «частотной» концепции существует и другая, не менее обоснованная позиция, за­ ключающаяся в том, что вероятность следует рассматривать как меру степени уверенности в том, что событие произойдет [13], [14]. Например, предположим, что некий рационально мыслящий человек собирается выиграть небольшую сумму денег D, заключив пари в отношении наступления некоторого события А.

Тогда степень уверен­ ности этого человека в наступлении события А можно описать вероятностью р = 0,5, если он не может отдать пред­ почтения ни одному из следующих сценариев:

1) получить сумму D, если событие А произойдет, но остаться ни с чем в противоположном случае;

2) получить сумму D, если событие А не произойдет, но остаться ни с чем в противоположном случае .

ГОСТ 34100.3—2017 Рекомендация INC-1 (1980), на которой основывается настоящее Руководство, подразумевает именно такой взгляд на вероятность, поскольку рассматривает формулу (Е.6) и ей подобные в качестве допустимого способа расчета суммарной стандартной неопределенности результата измерения .

Е.3.6 Можно отметить три несомненных преимущества в подходе, реализованном в настоящем Руководстве и основанном на представлении о вероятности как степени уверенности в наступлении события, получении стан­ дартных неопределенностей и применении закона трансформирования неопределенностей [формула (Е.З)] для расчета и выражения неопределенности результата измерения:

a) закон трансформирования неопределенностей позволяет простым способом включить суммарную стан­ дартную неопределенность одного измерения в оценку суммарной стандартной неопределенности другого изме­ рения, использующего результат первого измерения;

b) суммарная стандартная неопределенность может служить основой для практического способа расчета интервалов с заданным уровнем доверия;

c) отпадает необходимость в разделении составляющих на «случайные» и «систематические» (или в какойлибо иной классификации) при оценивании неопределенности измерения, поскольку все составляющие неопреде­ ленности обрабатываются единым образом .

Последний аргумент особенно важен, поскольку указанное разделение часто являлось источником недоразу­ мений. Составляющие неопределенности нельзя изначально отнести к «случайным» или «систематическим». Ее природа зависит от условий использования соответствующих величин или, более строго, от контекста, в котором данная величина входит в математическую модель, описывающую измерение. Если туж е самую величину исполь­ зовать в другом контексте, то «случайная» составляющая может превратиться в «систематическую», и наоборот .

Е.З.7 По причине, указанной в Е.3.6, перечисление с), Рекомендация INC-1 (1980) не подразделяет состав­ ляющие неопределенности на «случайные» и «систематические». В сущности, когда дело доходит до расчета суммарной стандартной неопределенности результата измерения, в таком разделении нет необходимости, и, сле­ довательно, нет необходимости в самой этой классификации.

Тем не менее, поскольку краткие обозначения могут быть удобны при обсуждении тех или иных вопросов в данной области, Рекомендация INC-1 (1980) вводит другую классификацию, основанную на двух существенно разных методах оценивания составляющих неопределенности:

А и В (см. 2.3.2 и 2.3.3) .

Разделение по методам оценивания составляющих неопределенности позволяет избежать принципиальной проблемы, связанной с классификацией самих составляющих и заключающейся в зависимости этой классификации от условий использования соответствующих величин. Однако введение классификации по методам оценивания, а не по виду составляющих, не исключает объединения составляющих, оцениваемых разными методами, в группы, исходя из практической целесообразности этого для данного конкретного измерения. Примером может служить срав­ нение расчетных и экспериментальных значений выходной величины сложной измерительной системы (см. 3.4.3) .

Е.4 Стандартное отклонение как мера неопределенности Е.4.1 Формула (Е.З) требует, чтобы независимо от способа оценивания неопределенности входной величины она была представлена в виде стандартной неопределенности, т. е. как оценка стандартного отклонения. Если в качестве характеристики неопределенности взята другая, например, «безопасная» величина, то ее нельзя ис­ пользовать в формуле (Е.З). В частности, если такой характеристикой является «верхняя граница погрешности»

(т. е. максимально возможное отклонение от предполагаемой лучшей оценки входной величины), то полученная по формуле (Е.З) оценка не будет иметь ясного физического смысла и окажется непригодной для последующего использования в расчетах неопределенности других величин, если в этом возникнет необходимость (см. Е.3.3) .

Е.4.2 Если стандартную неопределенность входной величины нельзя оценить на основе статистического анализа результатов достаточного числа повторных наблюдений, то необходимо принять предположение о виде распределения вероятностей этой величины на основе имеющейся информации, которая, как правило, гораздо более скудна, чем хотелось бы. Это, однако, не означает, что данное распределение будет «нереалистичным» или «неполноценным». Как и все распределения вероятностей, оно будет представлять собой выражение имеющихся на данный момент знаний .

Е.4.3 Оценки, полученные на основе повторных наблюдений, не обязательно будут превосходить по качеству полученные иными методами. Пусть s(q) — выборочное стандартное отклонение среднего арифметического по п независимым наблюдениям qk нормально распределенной случайной переменной д[см. формулу (5)]. Величина s(q) представляет собой статистику (см. С.2.23) для оценки о (с/) — стандартного отклонения случайной перемен­ ной q, и она совпадала бы со стандартным отклонением распределения q, если бы число наблюдений было бес­ конечным. Дисперсию cr2[s (q )] оценки стандартного отклонения s(q) можно получить по приближенной формуле

–  –  –

таблице Е.1, из которой видно, что для встречающихся на практике значений п стандартное отклонение оценки стандартного отклонения нельзя считать пренебрежимо малым. Отсюда следует вывод, что оценка стандартной неопределенности по типу А не обязательно будет более надежной, чем по типу В, и что во многих практических измерительных ситуациях, когда число наблюдений ограничено, составляющие с оценкой по типу В могут быть известны лучше, чем составляющие с оценкой по типу А .

Т а б л и ц а Е.1 — Отношение стандартного отклонения выборочного стандартного отклонения среднего арифме­ тического по п независимым наблюдениям нормально распределенной случайной переменной q к стандартному отклонению среднего арифметического, ct[ s ( ^ ) ] / ct(^) (а) (ь)

–  –  –

Математическое ожидание и дисперсия величины S имеют вид где Г(п) — гамма-функция. Следует отметить, что [S] о при п да .

Е.4.4 В качестве аргумента в пользу существования составляющих неопределенности принципиально раз­ ной природы выдвигалось соображение, что неопределенности для конкретных методов измерений являются ста­ тистическими характеристиками случайных переменных, тогда как есть примеры «чисто систематических эффек­ тов», которые должны обрабатываться иным способом. В качестве такого примера называлось неизвестное, но постоянное смещение результатов, полученных с помощью некоторого метода измерений, причиной которого мог­ ло быть несовершенство либо самого принципа измерений, либо предположений, положенных в основу метода .

Однако если возможность такого смещения подтверждена и признано, что его значение может быть значительным, то данное смещение может быть описано через вероятностное распределение, причем в основу выбора распреде­ ления должна быть положена та же информация, которая позволила прийти к заключению о существовании дан­ ного смещения и о его значительности. Поэтому, если подходить к вероятности как к степени уверенности в том, что некоторое событие произойдет, то вклад подобного систематического эффекта может быть учтен при расчете суммарной стандартной неопределенности результата измерения через оценку стандартной неопределенности априорного распределения вероятностей, связанного с этим эффектом, и, следовательно, этот вклад будет сумми­ рован единым образом со стандартными неопределенностями других входных величин .

Пример — Описание методики выполнения измерений требует, чтобы входная величина рас­ считывалась через разложение в степенной ряд, члены высшего порядка которого известны не точно .

Систематический эффект, связанный с невозможностью точно учесть члены высших порядков, приводит к неизвестному постоянному смещению, значение которого невозможно установить экс­ периментально посредством повторных измерений. Поэтому, если строго следовать «частотному»

подходу к интерпретации вероятности, неопределенность, связанную с данным эффектом, нельзя оценить и включить в неопределенность окончательного результата измерений. Вместе с тем ин­ терпретация вероятности как степени уверенности позволяет описать неопределенность, связангде ez = z —pz — погрешность, содержащаяся в выходной величине z. Если теперь взять математическое ожидание квадрата ez, то можно получить формулу, идентичную (Е.З), но в которой под = ^ ( sz) будет пониматься дис­ персия ez, под Pij = у(е(.,еу|Дст?ст? j - коэффициент корреляции г,-и 8 а под у(г,-, 8у) = Е(г,-, 8у)— ковариация е и 8 у,,- у .

Таким образом, дисперсии и коэффициенты корреляции будут связаны не с самими входными величинами, а с их погрешностями .

П р и м е ч а н и е — Здесь предполагается, что вероятность представляет собой степень уверенности в на­ ступлении того или иного события, что подразумевает возможность одинаковой интерпретации систематических и случайных погрешностей, так что е может быть погрешностью любого вида .

,Е.5.3 На практике разница в двух взглядах на неопределенность измерения не приводит к разнице в число­ вых оценках результата измерения и неопределенности, приписываемой этому результату .

Во-первых, в обоих случаях для получения наилучшей оценки z на основе функциональной зависимости f используются наилучшие оценки входных величин w Следствием этого является отсутствие различия в расчетах,- .

наилучших оценок независимо от того, связывают ли их с самими величинами или с «истинными» значениями величин .

Во-вторых, поскольку е( = w(- щ и каждое щ представляет собой единственное фиксированное значение, т. е .

не имеющее неопределенности, дисперсии и стандартные отклонения для е( и w( будут равны между собой. Это оз­

- начает, что в обоих случаях стандартные неопределенности, используемые в качестве оценок стандартных откло­ нений о( для получения суммарной стандартной неопределенности результата измерения, одинаковы и дают одно и то же числовое значение для неопределенности. И опять нет никакой разницы при расчетах, рассматривается ли стандартная неопределенность как мера рассеяния, определяемого распределением вероятностей входной величины, или как мера рассеяния, определяемого распределением вероятностей погрешности этой величины .

П р и м е ч а н и е — Если не делать допущения, указанного в примечании к Е.5.2, то приведенные в настоя­ щем подразделе рассуждения были бы несправедливы за исключением частного случая, когда неопределенности всех оценок получают на основе статистического анализа повторных наблюдений, т. е. оцениванием типа А .

Е.5.4 При том, что подход, основанный на понятиях «истинного» значения и погрешности дает те же самые числовые результаты, что и подход, применяемый в настоящем Руководстве (при условии справедливости до­ пущения, изложенного в примечании к Е.5.2), изложенная в Руководстве концепция неопределенности устраняет путаницу между понятиями погрешности и неопределенности (см. приложение D). Перенос Руководством основ­ ного внимания на наблюдаемое (оцениваемое) значение величины и наблюдаемую (оцениваемую) вариативность этой величины делает само упоминание о погрешностях излишним .

ГОСТ 34100.3—2017

–  –  –

В настоящем приложении приведены дополнительные указания по оцениванию составляющих неопределен­ ности, в основном практического характера, которые дополняют положения раздела 4 настоящего Руководства .

F.1 Оценивание составляющей неопределенности на основе повторных наблюдений (оценивание типа А) F.1.1 Случайность и повторные наблюдения F. 1.1.1 Неопределенности, полученные на основе повторных наблюдений, часто противопоставляют оцени­ ваемым другими методами как «объективные», «статистически строгие» и т. п. Такая позиция предполагает, что для получения оценок по типу А достаточно простого применения формул математической статистики без необхо­ димости содержательного анализа. Эта точка зрения лишена основания .

F.1.1.2 В первую очередь следует задаться вопросом, в полной ли мере повторные наблюдения являются результатом независимых повторений процедуры измерений. Если все наблюдения получены по единственной выборке и если взятие выборки является частью процедуры измерений (что имеет место, в частности, когда из­ меряемой величиной является характеристика самого материала, а не образца этого материала), то повторные наблюдения нельзя рассматривать как независимые. В этом случае оценку дисперсии, полученной по повторным наблюдениям для единственной выборки, следует суммировать с оценкой дисперсии, характеризующей разброс значений измеряемой величины между выборками .

Если составной частью процедуры измерений является установка нуля прибора, то эта операция должна выполняться при каждом повторном измерении, даже если дрейф нуля в течение всего времени проведения наблюдений пренебрежимо мал, поскольку данная операция потенциально может быть источником составляющей неопределенности, которую можно оценить статистическими методами .

Подобным же образом, если при измерениях контролируют показания барометра, то их, в принципе, следу­ ет считывать при каждом повторном измерении (предпочтительно, предварительно выведя прибор из состояния равновесия и дождавшись его возвращения к этому состоянию), поскольку даже при постоянстве контролируемого давления возможен разброс как в показаниях прибора, так и в считанных значениях показаний .

F. 1.1.3 Далее необходимо выяснить, являются ли все влияющие величины, предполагаемые случайными, таковыми в действительности, остаются ли соответствующие им математические ожидания и дисперсии неизмен­ ными или существует возможность их неконтролируемого дрейфа во время проведения повторных измерений. При наличии достаточного числа повторных наблюдений можно рекомендовать следующую процедуру: разбить период повторных наблюдений на две части, рассчитать средние арифметические и выборочные стандартные отклонения для каждой из этих частей, после чего сравнить два средних арифметических друг с другом и определить, является ли разность между ними статистически значимой. Это позволит ответить на вопрос о наличии или отсутствии из­ меняющейся во времени влияющей величины .

F.1.1.4 Если влияющими величинами являются параметры системы обеспечения работы лаборатории (на­ пряжение и частота электрической сети, давление и температура воды, давление в системе подачи азота и т. п.), то обычно их изменения содержат значительную неслучайную составляющую, которой нельзя пренебречь .

F.1.1.5 Если цифра младшего разряда показывающего устройства цифрового прибора непрерывно изменя­ ется вследствие «шума», то зачастую в регистрации показания сказываются субъективные предпочтения операто­ ра. В таких случаях целесообразно найти способ «заморозить» показания прибора в некоторый момент времени и зарегистрировать это «замороженное» показание .

F.1.2 Корреляции Большая часть настоящего подраздела применима также и к оцениванию стандартной неопределенности типа В .

F.

1.2.1 Ковариация оценок двух входных величин Xt и Xj может быть принята равной нулю или считаться не­ существенной, если:

a) некоррелированными являются случайные переменные Х( и Xj (но не величины, которым эти случайные переменные соответствуют — см. примечание 1 к 4.1.1), например, вследствие того, что оценки этих переменных получены по разным сериям повторных наблюдений, проведенным в разные периоды времени, или они представ­ ляют собой результаты разных независимых процедур;

b) одна из величин, X t или Xj, может рассматриваться как неизменная во время наблюдений;

c) имеющейся информации недостаточно для оценки ковариации оценокXt и Xj .

П р и м е ч а н и е 1 — С другой стороны, в определенных случаях (см. пример с эталоном сопротивления в примере к примечанию 1 в 5.2.2) очевидно, что входные величины полностью коррелированны между собой и что стандартные неопределенности их оценок подлежат простому суммированию .

ГОСТ 34100.3—2017 П р и м е ч а н и е 2 — Разные эксперименты могут и не быть независимыми, например, если в них использо­ ван один и тот же прибор (см. F. 1.2.3) .

F.1.2.2 Являются ли две входные величины, одновременно оцениваемые по результатам повторных наблю­ дений, коррелированными, можно определить с помощью формулы (17) (см. 5.2.3). Например, пусть входными величинами являются частота генератора и температура. Если в оценку частоты генератора не вносят поправку на температуру или требуемая поправка определена неточно, а оценки этих двух величин получают по результатам одних и тех же наблюдений, то корреляция между оценками может быть значительной, что можно выявить по вы­ числению ковариации для частоты генератора и температуры окружающего воздуха .

F. 1.2.3 На практике входные величины часто коррелированны между собой из-за использования при их оцен­ ке одних и тех же эталонов, измерительных приборов, справочных данных и даже методов измерений, причем каждый из перечисленных факторов может вносить существенную неопределенность. Для примера можно без потери общности предположить, что две входные величины Х 1 и Х 2 с оценками соответственно х1 и х2 зависят от нескольких некоррелированных величин Q.,, Q.,,..., QL. Таким образом, Х 1 = F(Q^,.... QL) и Х 2 = G(Q.|,..., QL), хотя влияние некоторых из этих величин может проявляться только в одной функции и не проявляться в другой .

Если u2(qj) представляет собой оценку дисперсии оценки д7 величины Q7, то оценку дисперсии для х1 можно полу­ чить по формуле (10) (см. 5.1.2)

–  –  –

Поскольку вклад в сумму вносят только те влияющие величины, для которых одновременно выполняются условия dF/dqj ± 0 и dGIdqj ± 0, то при отсутствии общих величин, входящих в выражение как для F, так и для G, ковариация будет равна нулю .

Оценку коэффициента корреляции фс,, х2) для оценок х 1 и х2 получают из u(xv х2) [формулы (F.2) и (14) с использованием формулы (F.1) для вычисления и(х^) и аналогичной ей формулы для вычисления и(х2); см. так­ же формулу (Н.9) в Н.2.3]. Возможны случаи, когда оценка ковариации для оценок двух входных величин будет включать в себя и составляющую, обусловленную статистической связью между входными оценками [см. форму­ лу (17)], и составляющую, обусловленную общими влияющими величинами, как в настоящем пункте .

Пример 1 — Эталонный резистор Rs используют для одновременного определения силы тока I и температуры t. Значение силы тока получают, измеряя цифровым вольтметром разность потенциа­ лов на клеммах эталонного резистора, а температуру — путем измерения с помощью моста Уитсто­ на и эталонного резистора сопротивления Rt(t) калиброванного резистивного датчика температуры, для которого соотношение между температурой и сопротивлением в диапазоне 1 5 ° C t 3 0 °С опре­ деляется выражением t = aRf (f) - t 0, где a и t0 — известные константы. Таким образом, значение силы тока получают по формуле I = V ^R ^ а температуры — по формуле t = ар2 (f)/?J - f0, где 0(f) — отноше­ ние Rt(t)IRs, измеренное с помощью моста Уитстона .

Поскольку для измеряемых величин I и t общей является только влияющая величина /?§, то согласно формуле (F.2) выражение для ковариации между оценками этих величин будет иметь вид [2,p 2 ( t) R s ] „ 2 ( R s ), 2 ^ ) u 2 (R s ) u ( /,f) = — — u 2 (/?s ) = ' s' к 8RS dRs RSJ (Для упрощения записи в данном примере использованы одни и те же символы для обозначения величин и их оценок.) Для получения числовой оценки ковариации в полученную формулу следует поставить значения измеряемых величин I и t и значения Rs и u(Rs), приведенные в свидетельстве о калибровке эталон­ ного резистора. Единицей измерения u(I, t) будет А °С, поскольку размерность равна единице .

Далее предположим, что некоторая величина Р связана с входными величинами I и t соотношени­ ем Р = C0I 2I( TQ+ t), где С0 и Т0 — известные константы с пренебрежимо малыми неопределенностями [т. е. и2(С0) = 0, и2(Г0) = 0]. Тогда в соответствии с формулой (13) (см. 5.2.2) дисперсия Р может быть выражена через дисперсии I и t и их ковариацию по формуле ГОСТ 34100.3—2017

Дисперсии и2{1) и u2{t) получают, применяя формулу (10) к соотношениям 1= VSIRS и t = a\S2 ( f)/? | - tQ:

–  –  –

Здесь для простоты предполагается, что неопределенностями констант tQ и а также можно пренебречь .

Полученные формулы можно рассматривать как окончательные, поскольку оценки u2(Vs) и U2(p) можно получить по результатам повторных считываний показаний вольтметра и повторных изме­ рений с помощью моста Уитстона. Разумеется, в оценки u2{Vs) и u2(|i) должны быть также включены составляющие неопределенности, связанные с измерительными приборами (вольтметр и мост Уит­ стона) и методами измерений .

Пример 2 — В примере примечания 1 к 5.2.2 предположим, что уравнение калибровки каждого рези­ стора имеет вид R/ = а Д 5, где значение коэффициента а,- и его стандартную неопределенность и(а) получают на основе повторных наблюдений. Кроме того, предположим, что а,- » 1 и что стандарт­ ная неопределенность u(uj) приблизительно одна и та же при калибровке каждого резистора, т. е .

u(Uj) = и(а). Тогда в соответствии с формулами (F.1) и (F.2) можно получить и2 (/?,) = /? |и 2( а ) + и 2(/?3 ) и u(Rj, Rj) = u2(R ^. В соответствии с формулой (14) коэффициент корреляции для любых двух резисто­ ров имеет вид Поскольку u(Rs)IRs = 10~4, то для и{и) = 100 1СГ6 получаем гу = 0,5; для и(а) = 10 • 10~6— л- = 0,990; для и(а) = 1 10~6 — г,у = 1,000. Видим, что если и(а) — 0, то г,у — и u(Rj) —u(Rs) .

П р и м е ч а н и е — В общем случае при калибровках методом сравнения, как в вышеприведенном примере, оценки параметров калибруемых объектов будут коррелированными, и степень коррелированности зависит от от­ ношения неопределенности, вносимой процедурой сравнения, к неопределенности эталона. В тех случаях, когда, как это часто случается на практике, неопределенность процедуры сравнения пренебрежимо мала по сравнению с неопределенностью эталона, коэффициенты корреляции равны единице, и неопределенность оценки параметра каждого калибруемого объекта совпадает с неопределенностью эталона .

F.1.2.4 Необходимости учитывать ковариации u(xjtxj) можно избежать, если переопределить множество входных величин Х ЬХ2,..., X N, от которых зависит измеряемая величина У [см. формулу (1)], включив в него дополнительно в качестве независимых входных величин Q, такие, которые влияют на две и более входные ве­ личины исходного множества Х 1,Х2,..., XN. (Для установления влияния Q, на X, может потребоваться проведе­ ние специальных измерений.) Тем не менее в некоторых ситуациях предпочтительнее сохранить ковариации, чем увеличивать число входных величин. Аналогичная процедура может быть применена при выявлении ковариа­ ций в процессе статистического анализа результатов одновременных повторных наблюдений входных величин [см. формулу (17) в 5.2.3], однако в данном случае дополнительно вводимая величина будет специфичной для данной измерительной ситуации и не будет иметь физической природы .

Пример — Если в примере 1 из предыдущего пункта в уравнение для Р вместо входных величин I и t подставить их зависимости от Rs, то оно примет вид

–  –  –

и корреляция входных величин I и t будет исключена за счет их замены на величины Vs, Rs и р. По­ скольку новые входные величины являются некоррелированными, то дисперсию Р можно получить по формуле (10) .

ГОСТ 34100.3—2017 F.2 Оценивание составляющей неопределенности другими средствами (оценивание типа В) F.2.1 Необходимость получения оценок по типу В Если бы измерительная лаборатория располагала неограниченным временем и ресурсами, то она могла бы провести исчерпывающие статистические исследования каждого мыслимого источника неопределенности, ис­ пользуя, например, разные модели и типы приборов, разные методы и процедуры измерений, разные аппрок­ симации теоретических моделей измерений. В этом случае неопределенности, связанные с этими источниками, могли бы быть оценены посредством статистического анализа ряда наблюдений, и для неопределенности каждого источника было бы получено выборочное стандартное отклонение. Другими словами, для всех составляющих не­ определенности были бы получены оценки по типу А. Поскольку в реальности такая ситуация неосуществима по экономическим соображениям, ряд составляющих неопределенности должен оцениваться другими, более прак­ тичными способами .

F.2.2 Точно известные распределения F.2.2.1 Разрешение цифрового прибора Одним из источников неопределенности, обусловленным применением цифрового прибора, является раз­ решение его показывающего устройства. В частности, даже если все повторно считываемые показания идентичны, неопределенность измерений, связываемая с повторяемостью, не будет равна нулю, поскольку одному и тому же показанию прибора соответствует некоторый диапазон входных сигналов прибора и некоторый интервал значений показываемой величины. Если показывающее устройство имеет разрешение 5х, то значение измеряемого пара­ метра входного сигнала, вызывающего показание прибора X, может с равной вероятностью принадлежать любой точке интервала о т Х - 5х/2 до Х + 5х/2. Указанный параметр, таким образом, может быть описан прямоугольным распределением (см. 4.3.7 и 4.4.5) ширины 5х с дисперсией и2 = (5х)2/12 и стандартной неопределенностью для любого показания и = 0,295х .

Следовательно, показание прибора для взвешивания с цифровым показывающим устройством, единица по­ следнего разряда которого соответствует 1 г, имеет дисперсию, обусловленную конечным разрешением прибора, равную и2 = 1/12 г2 и стандартную неопределенность и = 1/-/Г2 = 0,29 г .

F.2.2.2 Гистерезис Аналогичная неопределенность может быть связана с некоторыми видами гистерезиса. Так, разница (на из­ вестное фиксированное значение) в показаниях прибора может быть обусловлена единственно тем, увеличива­ ются или уменьшаются последовательные значения измеряемой величины. Добросовестный оператор примет во внимание направление изменения последовательных показаний и введет соответствующую поправку. Одна­ ко направление этих изменений не всегда наблюдаемо: могут существовать скрытые колебания сигнала внутри прибора относительно точки равновесия, поэтому результирующее показание будет зависеть оттого, в каком на­ правлении было совершено последнее колебание перед достижением равновесия. Если диапазон разброса показаний, обусловленных гистерезисом, составляет 5х, то дисперсия, как и в предыдущем случае, будет равна и2 = (5х)2/12, а стандартная неопределенность — и = 0,295х .

F.2.2.3 Вычисления с конечной точностью Источником неопределенности может также быть округление или отбрасывание младших разрядов чисел при компьютерных вычислениях. Рассмотрим, например, компьютер с длиной слова 16 битов. Если в процессе вычислений число такой длины вычитается из числа, отличающегося только младшим разрядом, то результатом вычитания будет один значащий бит. Подобные ситуации, появление которых трудно прогнозировать, могут наблю­ даться при работе алгоритмов, приводящих к решению плохо обусловленных систем. Можно получить эмпириче­ скую оценку такой неопределенности, увеличивая на малые приращения значение входной величины, в наиболь­ шей степени определяющей результат на выходе и имеющей с ним линейную связь (такая величина существует во многих практических задачах), до тех пор, пока не будет получено изменение выходной величины. Это изменение выходной величины 5х можно принять за меру неопределенности выходной величины. Соответствующая диспер­ сия будет равна и2 = (5х)2/12, а стандартная неопределенность — и = 0,295х .

П р и м е ч а н и е — Проверить полученную оценку неопределенности можно путем сравнения результата вычисления с аналогичным результатом компьютерного вычисления при существенно увеличенной длине слова .

F.2.3 Заимствованная информация о входной величине F.2.3.1 Заимствованным значением входной величины является то, которое получено не в ходе данного из­ мерения, а из другого источника как независимая оценка. Часто источник, откуда осуществляется заимствование, помимо самого значения величины содержит и информацию о ее неопределенности. Например, неопределен­ ность может быть указана в виде стандартного отклонения, как значение величины, пропорциональной стандарт­ ному отклонению или как полуширина интервала, которому соответствует некоторый уровень доверия. Могут быть указаны также верхняя и нижняя границы, в пределах которых должно находиться значение величины. Иногда источник может не содержать никакой информации относительно неопределенности. В этом случае при использо­ вании заимствованного значения входной величины необходимо применить собственные знания для оценивания ее неопределенности, исходя из физических соображений о величине, надежности источника информации, оценок неопределенности для аналогичных величин в других практических приложениях и т. д .

ГОСТ 34100.3—2017 П р и м е ч а н и е — Рассмотрение неопределенности заимствованного значения включено в раздел, где рас­ сматривается оценивание типа В, только по соображениям удобства. Сообщаемая сторонним источником неопре­ деленность могла включать в себя составляющие, для которых были получены оценки по типу А или оценки как по типу А, так и по типу В. Поскольку для расчета суммарной стандартной неопределенности непринципиально, как были получены оценки ее составляющих, то и информация о способах получения оценки неопределенности заимствованного значения не является существенной .

F.2.3.2 Некоторые калибровочные лаборатории приняли практику выражения «неопределенности» в виде нижней и верхней границ, определяющих интервал с так называемым «минимальным» уровнем доверия, напри­ мер, «не менее 95 %». Это можно рассматривать как пример представления неопределенности «с запасом»

(см. Е.1.2). Оценку неопределенности, заявленную таким образом, нельзя без дополнительной информации о спо­ собах ее вычисления преобразовать в стандартную неопределенность. Если такая информация имеется, то оцен­ ка неопределенности может быть пересчитана в соответствии с настоящим Руководством. В противном случае необходимо будет провести независимую оценку неопределенности на основе любых пригодных для данной цели сведений .

F.2.3.3 Иногда неопределенности представляют в виде максимальных границ, в пределах которых, как ут­ верждают, находятся все значения величины. В таких случаях обычно предполагают, что значения величины в пределах данных границ являются равновероятными (прямоугольное распределение вероятностей). Но данное предположение не следует использовать, если есть основания ожидать, что значения, хотя и находящиеся в пределах границ, но близкие к ним, менее вероятны, чем близкие к центру определяемого ими интервала. Пря­ моугольному распределению полуширины а соответствует дисперсия а2/3, а нормальному распределению, для которого а является половиной ширины интервала с доверительной вероятностью 99,73 %, соответствует дис­ персия а2/9. Представляется разумным выбрать компромисс между этими двумя значениями, например, сде­ лав предположение о треугольной форме распределения вероятностей, для которого дисперсия составляет а2/6 (см. 4.3.9 и 4.4.6) .

F.2.4 Измеряемые входные величины F.2.4.1 Единичное измерение калиброванным средством измерений Если оценка входной величины получена в результате единичного наблюдения с использованием средства измерения, калиброванного по эталону с малой неопределенностью, то оценка неопределенности в основном будет связана с повторяемостью результатов измерений. Оценка дисперсии для повторных измерений с помощью данного средства измерений может быть получена в ходе предшествующих наблюдений. Если результаты таких измерений отличаются от полученной оценки входной величины, но достаточно близки к ней, то указанная оценка дисперсии может быть применена к входной величине. Если сведения о предшествующих наблюдениях отсут­ ствуют, то оценку составляющей неопределенности для данной входной величины следует основывать на харак­ теристиках используемого средства измерений, на оценках дисперсии, полученных с применением аналогичных средств измерений, и тому подобной информации .

F.2.4.2 Единичное измерение поверенным средством измерений Свидетельством о калибровке или документацией с указанием реальных метрологических характеристик снабжают не все средства измерений. Однако их производят в соответствии с определенными стандартами (техни­ ческими условиями) и испытывают (изготовитель или третье лицо) на соответствие характеристик требованиям этих стандартов. Такие стандарты содержат требования к метрологическим характеристикам, часто в виде максимально допустимых отклонений этих характеристик от номинальных. Соответствие требованиям проверяют в испытаниях путем сравнения с эталонным средством измерения, для которого обычно в стандарте указывают максимально допустимую неопределенность измерения его метрологической характеристики. Эта неопределенность будет со­ ставной частью неопределенности измерения метрологической характеристики испытуемого средства измерений .

При отсутствии информации об отклонении реальной метрологической характеристики средства измерений от номинальной следует исходить из предположения, что значения этой характеристики равномерно распределе­ ны в пределах допустимого отклонения, предписанного стандартом. Однако средства измерений некоторых типов обладают такой особенностью, что эти отклонения, например, всегда положительны в одной части измерительного диапазона и всегда отрицательны в другой. В ряде случаев сведения о подобных особенностях характеристики содержатся в самом стандарте .

F.2.4.3 Контролируемые величины Как правило, при проведении измерений их условия являются заданными и должны сохраняться неизменны­ ми в процессе наблюдений. Например, измерения могут выполняться на образце, помещенном в ванну с переме­ шиваемым маслом, температура которого регулируется с помощью термостата. Температуру в ванной можно из­ мерять термометром в момент каждого измерения на образце, но если эта температура периодически изменяется со временем, то температура образца в момент измерения может не совпадать с той, что показывает термометр .

Расчет колебаний температуры образца и их дисперсии на основе теории теплопередачи выходит за рамки настоящего Руководства, но в любом случае исходными данными для такого расчета являются изменения (известные или предполагаемые) температуры в ванной. Наблюдать за этими изменениями можно при помощи чувствительного термоэлемента и устройства регистрации температуры, но если они отсутствуют, то можно получить приблизитель­ ную оценку изменений, зная принцип регулирования температуры термостатом .

ГОСТ 34100.3— 2017 F.2.4.4 Асимметричные распределения входных величин В ряде случаев для входной величины имеется только одно граничное значение, и все возможные реализа­ ции этой величины находятся от него по одну сторону. Например, при измерении некоторой постоянной высоты h (измеряемая величина) столба жидкости в манометре ось измерительного устройства может отклоняться от верти­ кали на небольшой угол р. При этом показание / измерительного устройства будет всегда больше, чем h. Никакие значения меньшие, чем h, невозможны. Это обусловлено тем, что h равно проекции / на вертикальную ось, т. е .

h = //cosp, a cosp й 1. Этот эффект, имеющий название «косинусная погрешность», может проявляться и иным об­ разом. Наблюдаемой величиной / может быть проекция измеряемой величины h', т. е. / = h'cosp, тогда результат измерения всегда будет меньше измеряемой величины .

Если ввести новую переменную 5 = 1 - cosp, то, полагая р ~ 0 или 5 « 1, как это обычно и имеет место на практике, можно получить две разные измерительные ситуации:

–  –  –

где / — наилучшая оценка/, являющаяся средним арифметическим по п независимым повторным наблюдениям/^ величины / с оценкой дисперсии и2(1) [см. формулы (3) и (5)]. Таким образом, из формул (F.3a) и (F.3b) следует, что для получения оценки h или h' необходимо знать оценку поправочного коэффициента 5, а для получения сум­ марной стандартной неопределенности оценки h или Л'необходимо знать ^ ( 5 ) — оценку дисперсии 5. Конкретнее, совместное применение формулы (10) и формул (F.3a) и (F.3b) позволяет получить следующие формулы для опре­ деления u%(h) и ы2(Л'):

–  –  –

[В формуле (F.4a) знак = означает минус для и |(/? ) и плюс для и2(Л')] .

F Чтобы получить оценки математического ожидания и дисперсии величины 5 предположим, что на положение оси устройства, используемого для измерения высоты столба жидкости в манометре, наложена механическая связь, позволяющая этой оси отклоняться от вертикали на угол Р только в некоторой фиксированной вертикаль­ ной плоскости, и что распределение значений угла наклона р относительно нулевого математического ожидания является нормальным с дисперсией о2. Хотя Р может принимать как положительные, так и отрицательные значе­ ния, величина 5 = 1 - cosp будет положительной для всех значений р. Если снять условие механической связи на положение оси прибора, то ее угол с вертикальной осью будет изменяться в пределах некоторого телесного угла, определяемого помимо отклонения оси прибора от вертикали на угол Р также изменениями ее азимутального угла, но в такой двумерной системе координат значения Р принимаются положительными .

При наличии механической связи (изменении направления оси по одной координате) элемент вероятности р(Р)с/р (см. примечание к С.2.5) пропорционален [exp(-p2 /2o2)]dp, а при ее отсутствии (изменении направления оси по двум координатам) — [exp(-p2 /2o2)]sinpdp. Чтобы вывести выражения для математического ожидания и дис­ персии 5 и использовать их в формулах (F.3) и (F.4), необходимо знание функции плотности вероятностей р(5) для двух указанных случаев. Ее легко получить, воспользовавшись тем, что угол Р мал и в разложениях 5 = 1 - cosp и sinp в ряд по р можно ограничиться только членами низшего порядка малости. Это дает 5 = Р2/2 sinp = р = /2а .

Таким образом, функции плотности вероятности будут иметь вид

–  –  –

где d представляет собой число степеней свободы движения оси средства измерения (d = 1 или d = 2), а и(Р) — стандартная неопределенность распределения угла р, представляющая собой наилучшую оценку о, полученную на основе имеющейся информации в предположении о нормальности закона распределения (оценка по типу В) .

Это пример случая, когда оценка измеряемой величины зависит от неопределенности входной величины .

Полученные формулы (F.6a)—(F.6c) справедливы для частного случая, когда распределение Р нормально, однако аналогичные формулы могут быть получены для распределений вероятностей других видов. Например, если принять для р симметричное прямоугольное распределение с верхними и нижними границами + Р0и - р0со­ ответственно в случае одномерного движения и + р0и 0 соответственно в случае двумерного движения, то можно получить ( 8) = Ро/б и va r(8)= p $/45 для одномерного движения и ( 8 = р ^/4 и v a r(8)= p $/48 для двумерного ) движения .

П р и м е ч а н и е — Рассмотренный пример относится к ситуациям, когда ограничение в разложении функ­ ции У = f(Xb Х2,.... XN) в ряд Тейлора членами первого порядка и применение формулы (10) неприменимо из-за вида нелинейности f, cosp * cosp (см. примечание к 5.1.2 и FI.2.4). Хотя весь анализ можно было полностью про­ вести для переменной Р, введение переменной 5 упростило задачу .

Другим примером, когда все возможные значения величины лежат по одну сторону от единственного гранич­ ного значения, является определение концентрации компонента в растворе методом титрования. Конечную точку титрования определяют по появлению сигнала индикатора. Количество реактива, добавленного при определении конечной точки, никогда не может быть меньше того, что необходимо для появления сигнала, а может быть только больше него. Превышение количества реактива, необходимого для достижения конечной точки, необходимо учи­ тывать при обработке данных. В этом и других подобных случаях избыточное количество реактива рассматривают как случайную переменную, которой приписывают некоторое распределение вероятностей, после чего находят ее математическое ожидание и дисперсию .

Пример — Если принять, что избыток г реактива распределен равномерно в интервале от нуля до верхней границы С0’ то его математическое ожидание будет равно CJ2, а дисперсия — /12 .

Если же принять, что функция плотности вероятностей имеет вид усеченного гауссовского распре­ деления на интервале 0 г оо, т. е. р (г ) = (ст-^я/2)" e x p (-z 2 2o2), то математическое ожидание будет / равно Oyj2/n, а дисперсия — в2(1 - 21л) .

F.2.4.5 Неопределенность, связанная с поправкой по градуировочной характеристике В примечании к 6.3.1 рассматривается случай, когда известную поправку Ь на значимый систематический эффект не вносят в заявляемый результат измерения, а вместо этого учитывают путем увеличения «неопределен­ ности», приписываемой данному результату. Например, расширенную неопределенность U заменяют на U + Ь, где U — расширенная неопределенность, полученная в предположении, что Ь = 0. Такую практику иногда применяют в случаях, когда выполнены следующие условия: измеряемая величина У определена на некотором диапазоне значений параметра t (как это имеет место для градуировочной характеристики датчика температуры); U и Ь изме­ няются с изменением (; для всех оценок у(() измеряемой величины во всем диапазоне возможных значений t тре­ буется указывать единственное значение «неопределенности». При этом результат измерения обычно приводят в виде У(() = у(() ± [Um + Ьтах], где подстрочный индекс «тах» указывает на то, что использованы максимальные ax значения U и b в диапазоне значений ( .

Хотя настоящее Руководство рекомендует для известных значимых систематических эффектов применять поправки к результатам измерений, в подобных ситуациях это не всегда выполнимо, так как связано с чрезмерны­ ми затратами на вычисление и применение своей собственной поправки, а также своей собственной неопределен­ ности для каждого результата измерения y{t) .

Сравнительно простое решение проблемы, при этом согласующееся с принципами настоящего Руковод­ ства, состоит в следующем .

Вычисляют единственную, среднюю поправку b по формуле t2 (F.7a) b = -L -tb (t)d t, f2- f1^ ГОСТ 34100.3—2017 где tf и ( определяют рассматриваемый диапазон изменения параметра (, и за наилучшую оценку Y(f) принимают y'(t) = y (t)+ b, где y(t) — наилучшая неисправленная оценка Y((). Дисперсию средней поправки Б в указанном диапазоне вычисляют по формуле

–  –  –

в которую не входит неопределенность поправки Ь((), соответствующей полученному неисправленному результату измерения y(t). Указанную неопределенность поправки b(t) учитывают в виде усредненной на интервале измене­ ния (дисперсии b(t) по формуле

–  –  –

где u2[b(t)] — дисперсия поправки b(t). Аналогичным образом усредненную на интервале изменения ( дисперсию у((), учитывающую все источники неопределенности, за исключением поправки Ь((), получают по формуле

–  –  –

где u2[y(t)] — дисперсия у((), обусловленная всеми источниками неопределенности, за исключением Ь((). Тогда единственным значением стандартной неопределенности, которое должно применяться ко всем получаемым оценкам у'(() = у (()+ Ь измеряемой величины Y(f), будет положительный квадратный корень из дисперсии ис (У') = и 2 [ У (0 ] + ц2 [ ь (0 ] + u2 (b). (F.7е) Расширенную неопределенность U можно получить путем умножения ис(у') на соответствующим об­ разом выбранный коэффициент охвата к, U = кис(у'), что позволяет представить результат измерения в виде Y(t) = y '(t)± U = y(t) + b ±U. Однако при этом необходимо указать, что в представлении результата измерений использована единая усредненная поправка для всех значений ((вместо поправки, соответствующей данному кон­ кретному значению (), и четко определить, что представляет собой расширенная неопределенность U .

F.2.5 Неопределенность, обусловленная методом измерения F.2.5.1 По-видимому, наиболее трудной для оценивания является та составляющая неопределенности, что связана с методом измерения, особенно при наличии наглядных свидетельств, что вариативность результатов измерений, получаемых с помощью данного метода, будет меньше, чем с помощью любого другого из известных .

Однако не исключено, что могут существовать другие методы, пусть пока неразработанные или по тем или иным соображениям не используемые на практике, способные давать не менее достоверные, но при этом систематиче­ ски отличающиеся результаты. Такое расхождение в результатах, получаемых разными методами, предполагает наличие некоторого априорного распределения вероятностей, но это не то распределение, для которого легко получить выборку данных, чтобы затем осуществить их статистическую обработку. Таким образом, даже если не­ определенность, обусловленная методом измерения, является доминирующей составляющей, единственной ин­ формацией, способной помочь в оценивании соответствующей стандартной неопределенности, являются наши физические представления об окружающем мире (см. также Е.4.4) .

П р и м е ч а н и е — Получение оценок одной и той же измеряемой величины разными методами либо в од­ ной, либо в разных лабораториях или одним и тем же методом в разных лабораториях позволяет собрать ценную информацию о неопределенности, приписываемой какому-либо конкретному методу. Вообще обмен эталонами или стандартными образцами между лабораториями для проведения независимых измерений является полезной практикой с точки зрения подтверждения надежности полученных оценок неопределенности и выявления ранее неизвестных систематических эффектов .

F.2.6 Неопределенность, обусловленная отбором образцов F.2.6.1 Часто измерения характеристики неизвестного объекта включают в себя сличение с эталоном с близ­ ким значением характеристики. В качестве примеров можно привести концевые меры длины, некоторые термо­ метры, наборы масс, резисторов, образцы высокочистых материалов. В большинстве случаев методы измерений обладают слабой чувствительностью к отбору образца (конкретного объекта измерения), его подготовке, воздей­ ствию окружающей среды, поскольку, как правило, и объект, и эталон реагируют на эти влияющие факторы схожим (и часто предсказуемым) образом .

ГОСТ 34100.3—2017 F.2.6.2 Однако в ряде ситуаций, встречающихся в практике измерений, отбор и подготовка образцов играют значительно более важную роль. Это часто имеет место при химическом анализе природных материалов. В отли­ чие от искусственно созданных материалов, для которых легко обеспечить их однородность даже в большей сте­ пени, чем необходимо для измерений, природные материалы часто бывают весьма неоднородны. Эта неоднород­ ность приводит к двум дополнительным составляющим неопределенности. Во-первых, необходимо определить, насколько адекватно отобранный образец представляет исходный анализируемый материал. Во-вторых, необхо­ димо определить, в какой степени второстепенные (т. е. не подвергающиеся анализу) свойства образца влияют на результат измерения и в какой степени метод измерений учитывает их существование .

F.2.6.3 В некоторых случаях хорошо спланированный эксперимент позволяет получить статистическую оцен­ ку неопределенности, обусловленную отбором образца (см. Н.5 и Н.5.3.2). Однако, как правило, особенно когда влияние внешних факторов на образец существенно, для оценивания неопределенности необходимы мастерство и знания аналитика, основанные на его предшествующем опыте работ, а также учет всей доступной информации по данному вопросу .

G.1 Введение G.1.1 В настоящем приложении рассматривается общий вопрос получения из оценки у измеряемой величи­ ны У и суммарной стандартной неопределенности ис(у) этой оценки расширенной неопределенности Up = крис(у), которая определяет интервал у - U Y y + Up, соответствующий некоторой высокой заданной вероятности охва­ та или уровню доверия р. Таким образом, задача состоит в получении значения коэффициента охвата кр, опреде­ ляющего интервал вокруг результата измерения, который предположительно охватывает большую заданную долю р распределения значений, обоснованно приписываемых измеряемой величине У (см. раздел 6) .

G.1.2 В большинстве практических измерительных ситуаций расчет интервалов с заданными уровнями до­ верия (фактически оценивание наиболее характерных составляющих неопределенности для конкретных измери­ тельных ситуаций) может быть выполнен только в некотором приближении. Так, даже выборочное стандартное от­ клонение среднего арифметического по 30 повторным наблюдениям нормально распределенной величины имеет собственную неопределенность около 13 % (см. таблицу Е.1 приложения Е) .

В большинстве случаев не имеет смысла различать интервал с уровнем доверия 95 % (один шанс из 20, что значение измеряемой величины У находится вне этого интервала) и интервал с уровнем доверия 94 или 96 % (один шанс из 17 или 25 соответственно). Особенно трудно получить обоснованные оценки интервалов с уровнями доверия 99 % (один шанс из 100) и выше (даже если допустить, что все систематические эффекты были приняты во внимание), поскольку это требует детальной информации о «хвостах» распределения входных величин, которая обычно недоступна .

G.1.3 Чтобы получить значение коэффициента охвата кр, образующего интервал с заданным уровнем дове­ рия р, необходимо иметь подробные сведения о законе распределения, характеризуемом результатом измерения и его суммарной стандартной неопределенностью. Например, для величины z, описываемой нормальным рас­ пределением с математическим ожиданием pz и стандартным отклонением о, легко можно рассчитать значение коэффициента охвата кр, который образует интервал pz ± кро, включающий долю р этого распределения и, следо­ вательно, имеющий вероятность охвата и уровень доверия р. Некоторые примеры приведены в таблице G.1 .

Т а б л и ц а G.1 — Значения коэффициента охвата кр, образующего интервал с уровнем доверия р для нормально распределенной случайной переменной

–  –  –

68,27 1 90 1,645 95 1,960 95,45 2 99 2,576 99,73 3 П р и м е ч а н и е — Для сравнения, если z описывается прямоугольным распределением вероятностей с математическим ожиданием и стандартным отклонением а = а Д /з, где а — полуширина распределения, то уро­ вень доверия р будет равен 57,74 % для кр = 1; 95 % для кр = 1,65; 99 % для кр = 1,71 и 100 % для кр /з «1,73 .

Прямоугольное распределение «уже» нормального в том смысле, что оно обладает конечной протяженностью и не имеет «хвостов» .

G.1.4 Если известны распределения вероятностей входных величин Х 1,Х 2,..., XN [их математические ожи­ дания, дисперсии, а также, если эти величины не являются нормальными, моменты высших порядков (см. С.2.13 и С.2.22)], от которых зависит измеряемая величина У, и если У является линейной функцией входных величин, У = с1 1+ с^2 + + слЛ л/’ то распределение вероятностей У может быть получено сверткой распределений ве­ Х роятностей входных величин (см. [10]). Таким образом, значения кр, образующие интервалы с заданным уровнем доверия р, могут быть рассчитаны по этой свертке .

G.1.5 Если функциональная зависимость между У и входными величинами нелинейна и ограничение члена­ ми первого порядка разложения в ряд Тейлора этой зависимости не может рассматриваться в качестве допустимо­ го приближения (см. 5.1.2 и 5.1.5), то распределение вероятностей У не является сверткой распределений входных величин. В таких случаях необходимо использовать другие аналитические или численные методы расчета .

G.1. На практике процедура свертки при расчете интервалов с заданными уровнями доверия не использует­ ся или используется крайне редко по следующим причинам: параметры распределения входной величины обычно ГОСТ 34100.3—2017 не известны точно, а являются лишь оценками; трудно ожидать, что уровень доверия для данного интервала может быть известен с высокой точностью; реализация этой процедуры сложна с математической точки зрения. Вместо этого применяют приближения, основанные на центральной предельной теореме .

G.2 Центральная предельная теорема G.2.1 Если измеряемая величина представляет собой линейную функцию входных величин, N У = с1 1+с2Х 2 +...+ c NX N = ^ C jX j, и все входные величины Х( распределены по нормальному закону, то расХ - /1 = пределение У, являющееся сверткой распределений входных величин, также будет нормальным. Однако даже если распределениях} не являются гауссовыми, распределение У все равно часто может быть аппроксимировано нормальным распределением, что следует из центральной предельной теоремы. Эта теорема гласит, что расN пределение У будет приблизительно нормальным с математическим ожиданием Е (У ) = ^ с /Е (Х / ) и дисперсией Л/ /=1 200- 1л г “ 2 ( * /) .

” если X j— независимые случайные переменные, а о2 много больше, чем вклад cfo2 (Х() (У) /1 = в общую сумму от любой случайной переменной X}, распределение которой отлично от нормального .

G.2.2 Особое значение центральной предельной теоремы обусловлено тем, что она демонстрирует очень важную роль, которую играют дисперсии распределений вероятностей входных величин по сравнению с момен­ тами более высокого порядка при формировании свертки распределений, т. е. результирующего распределения вероятностей выходной величины У. Более того, из центральной предельной теоремы следует, что свертка распре­ делений стремится к нормальному распределению при увеличении числа элементов свертки, т. е. числа входных величин, вносящих свой вклад в о2 (У); что эта сходимость будет тем быстрее, чем ближе значения сf a 2 (Х() друг к другу (на практике это означает, что все оценки х( входных величин вносят сравнимую неопределенность в неопре­ деленность оценки у измеряемой величины У); и что чем ближе распределения Х( к нормальному, тем меньшее число входных величин требуется, чтобы получить нормальное распределение для У .

Пример — Прямоугольное распределение (см. 4.3.7 и 4.4.5) является примером распределения, весьма далекого от нормального, но свертка всего трех таких распределений, имеющих одинаковую ширину, позволяет получить почти нормальное распределение. Если обозначить полуширину такого прямоугольного распределения через а так, что его дисперсия будет равна а2/3, то дисперсия свертки трех прямоугольных распределений будет иметь дисперсию в2 = а2, а границы интервалов с довери­ тельной вероятностью 95 и 99% равны 1,937с и 2,379с соответственно, в то время как для нормаль­ ного распределения с тем же стандартным отклонением в эти границы определяются как 1,960с и 2,576с (см. таблицу G.1) [10] .

П р и м е ч а н и е 1 — Для интервала с уровнем доверия р, превышающим приблизительно 91,7 %, соответ­ ствующее значение кр для нормального распределения будет больше, чем для свертки любого количества прямо­ угольных распределений произвольной ширины .

–  –  –

П р и м е ч а н и е — Строго говоря, в выражении (у - Y)luc(y) под У следует понимать Е(У). Для упрощения такая строгая запись была использована только в некоторых местах настоящего Руководства. Таким образом, в настоящем Руководстве одно и то же обозначение может использоваться для обозначения величины, для обозна­ чения случайной переменной, представляющей данную величину, и для обозначения математического ожидания этой случайной переменной .

G.3.2 Если z — нормально распределенная случайная переменная с математическим ожиданием \iz и стан­ дартным отклонением о, z - среднее арифметическое п независимых наблюдений zk величины z, a s (z ) — выбо­ рочное стандартное отклонение от z [см. формулы (3) и (5)], то случайная переменная t = ( z - p z)/s (z ) описыва­ ется ^-распределением, иначе называемым распределением Стьюдента, (С.3.8) с v = п - 1 степенями свободы .

Если рассмотреть простейший случай, когда измеряемая величина Усовпадает с нормально распределенной величиной X, У = X, в качестве оценки Xберется среднее арифметическое X по л независимым наблюдениям Хк величины Х с выборочным стандартным отклонением s ( x ), наилучшей оценкой Уявляется у = X, а выборочное стандартное отклонение этой оценки есть ис (у) = s ( x ), то величина t = (z - p z) /s (z ) = ( X - X ) / s ( x ) = (y - Y ) /u c (у) будет иметь f-распределение, и, соответственно,

–  –  –

где РД.] обозначает вероятность выполнения условия в квадратных скобках, a tp(v) — значение величины f, зави­ сящее от числа степеней свободы v (см. G.3.3), такое, что доля р распределения Стьюдента попадает в интервал от - f (v) до + f (v). Таким образом, расширенная неопределенность (G 1 d ) uP = kpuc(y) = tp (v) uc(y) определяет интервал от у - Up до у + Up, что удобно записать как У = у ± Up, предположительно охватывающий долю р распределения значений, которые можно обоснованно приписать У, а р представляет собой вероятность охвата или уровень доверия для данного интервала .

G.3.3 Если по п независимым наблюдениям получена оценка одного-единственного параметра — среднего арифметического, как это имело место в случае, рассмотренном в G.3.2, то число степеней свободы v будет равно п - 1. Если п независимых наблюдений используют для получения оценок свободного члена и коэффициента на­ клона в уравнении прямой линии методом наименьших квадратов, то число степеней свободы для определения выборочных стандартных отклонений этих оценок будет v = л - 2. При вычислении методом наименьших квадратов т параметров кривой по п экспериментальным точкам число степеней свободы для определения выборочного стандартного отклонения оценки каждого параметра составит v = п - т. (Более подробно вопрос определения числа степеней свободы рассмотрен в [15]) .

G.3.4 Некоторые значения tp(v) для разных v и разных р приведены в таблице G.2 в конце настоящего при­ ложения. По мере того как v — со, f-распределение приближается к нормальному, и fp(v) = (1 + 2N )v2kp, где кр — коэффициент охвата, позволяющий получить интервал с уровнем доверия р для переменной, распределенной по нормальному закону. Таким образом, значение f (оо) для данного р, приведенное в таблице G.2, совпадает со значением к р для того же р в таблице G.1 .

П р и м е ч а н и е — Часто f-распределение задают в виде табличных значений квантилей ^ где 1 - а представляет собой значение функции f-распределения в точке ^ т. е. квантиль ^ можно определить формулой *1-а 1- а = J f ( f,v)cff,

–  –  –

оценкой нормально распределенной входной величины Хг Однако эту случайную переменную можно приближенно описать f-распределением с некоторым числом эффективных степеней свободы veff, определяемым формулой

Уэлча-Саттертуэйта [16], [17], [18]:

–  –  –

G.4.2 На практике ис(у) зависит от стандартных неопределенностей ис(х,-) оценок входных величин, имеющих как нормальное, так и иное распределение, причем оценки з(х() получают как на основе частотной интерпретации вероятности, так и на основе априорных распределений (оценивание типа А и В соответственно). Аналогичное утверждение справедливо в отношении оценки у и входных оценок х(, от которых у зависит. Тем не менее, если функцию t = (у - Y)luc(y) можно разложить в ряд Тейлора в окрестности математического ожидания и ограни­ читься членами разложения первого порядка малости, то распределение величины t можно аппроксимировать f-распределением с использованием формулы Уэлча — Саттертуэйта, а также формул (G.2a) и (G.2b) .

При этом остается вопрос, каким образом в формуле (G.2b) для veff определить число степеней свободы для оценки стандартной неопределенности по типу В.

Поскольку определение числа степеней свободы исходит из того, что v в f-распределении выполняет функции меры неопределенности выборочной дисперсии s2(z), то для определения числа степеней свободы V,- может быть использована формула (Е.7):

ГАц(х/) u 2 (xi) (G.3) 2 2а2[и(х( )] ~ 2 L и(х/) Величина в квадратных скобках в правой части формулы (G.3) представляет собой относительную неопре­ деленность з(х,). В случае оценок стандартной неопределенности по типу В значение этой величины получают на основе субъективных суждений с использованием всей доступной информации .

Пример — Пусть имеющаяся информация о том, как были получены входные оценки х,- и их стан­ дартные неопределенности u[xj) позволяет оценить возможную неточность полученного значения u(Xj) в 25 %. Элю суждение может быть истолковано таким образом, что Au(Xj)lu(Xj) = 0,25, тогда из формулы (G.3) следует V = (0,25)~г/2 = 8. Если же возможная неточность полученного значения и(х,-) оце­,нена в 50 %, то это будет соответствовать V = 2 (см. также таблицу Е.1 приложения Е) .

,G.4.3 При рассмотрении в 4.3 и 4.4 оценок по типу В на основе априорного распределения вероятностей неявно предполагалось, что полученное значение и(х() известно точно. Например, если и(х() была получена из пря­ моугольного распределения вероятностей с полушириной а = (а+ - а_)/2, как в 4.3.7 и 4.4.5, то оценка и (х() = эД/з рассматривалась как числовое значение, не обладающее неопределенностью, поскольку именно в качестве таких же числовых значений рассматривались з+ и з_, а следовательно, и а (другая возможность интерпретации апри­ орного распределения как известного с некоторой неопределенностью рассмотрена в примечании 2 к 4.3.9). Если данную точку зрения применить к формуле (G.3), то из нее будет следовать, что V,- — оо или, что то же самое, 1Nj — 0, однако это обстоятельство не создает никаких препятствий для применения формулы (G.2b). Кроме того, предположение V,- — со нельзя считать совершенно неправдоподобным, поскольку общепринятым является такой выбор граничных значений а+ и а_, чтобы вероятность нахождения соответствующей случайной переменной за пределами этих границ была крайне мала .

G.5 Дополнительные замечания G.5.1 В литературе, посвященной вопросам оценивания неопределенности, часто можно встретить следу­ ющую математическую формулу для неопределенности, соответствующей интервалу с уровнем доверия 95 %:

–  –  –

Если при расчете по формуле (G.5) оценки всех дисперсий по типу В получены из априорных прямоуголь­ ных распределений с теми же значениями полуширины з;-, что использованы при расчете и2 по формуле (G.4), то в большинстве случаев значение U ^, полученное по формуле (G.5), будет больше значения U95, полученного по 5(vgff) в большинстве случаев будет несколько формуле (G.4). Это можно объяснить следующим образом. Хотя f9 больше, чем fg5(veff), оба эти коэффициента близки к двум, т. е. разница между ними несущественна; в то же время в формуле (G.5) и2 умножается на t 2 (veff) » 4, тогда как в формуле (G.4) эта же величина умножается на три. Если в случае и2 « s2 формулы (G.4) и (G.5) дают одинаковые значения U^ и U95 соответственно, то при выполнении условия и2 » s 2 значение U^ будет на 13 % меньше, чем U95. Таким образом, в общем случае формула (G.4) дает неопределенность, которой соответствует интервал с меньшим уровнем доверия, чем у интервала, получае­ мого на основе расширенной неопределенности по формуле (G.5) .

П р и м е ч а н и е 1 — В предельном случае u2/s2 — да и при veff — да имеем 1 / ^ - И, 732 и, тогда как 1/5 — 1,960и. То есть значение U95 обеспечивает интервал с уровнем доверия всего 91,7 %, в то время как значение 1/5— с уровнем доверия 95 %. Можно считать, что такой случай на практике имеет место, когда преоб­ ладающими и численно, и по размеру являются составляющие, рассчитанные на основе известных границ рас­ пределения, и кроме того, значения u j (у) = с?э?/3 близки друг к другу .

П р и м е ч а н и е 2 — Для нормального распределения коэффициент охвата к = /з »1,732 обеспечивает интервал с уровнем доверия р = 91,673...%. Это значение р является устойчивым в том смысле, что для него ва­ риации значения коэффициента охвата при небольших отклонениях формы распределения от гауссовой являются минимальными .

G.5.3 Возможны ситуации, когда входная величина Х( имеет асимметричное распределение, когда откло­ нения от математического ожидания в одну сторону более вероятны, чем в противоположную (см. 4.3.8). Это не влияет на расчет стандартной неопределенности и(х() оценки х,- входной величины Xt и поэтому не имеет значения при оценивании ис(у), но может повлиять на оценивание U .

Если отклонения измеряемой величины от результата измерения в ту или иную сторону имеют приблизи­ тельно одинаковую значимость, то обычно результат измерения представляют в виде симметричного интервала У = у ± U. Если асимметрия распределения Х( вызывает лишь небольшую асимметрию в распределении, харак­ теризуемом результатом измерения у и его суммарной стандартной неопределенностью ис(у), то установление симметричного интервала ведет к некоторому занижению вероятности нахождения измеряемой величины по одну сторону от у за счет некоторого завышения по другую сторону. Альтернативное решение состоит в указа­ нии интервала, симметричного по вероятности (и, таким образом, несимметричного по U), так, чтобы вероят­ ность нахождения У ниже нижней границы у - U_ была равна вероятности нахождения У выше верхней границы у + U+. Однако для установления таких несимметричных границ необходимо больше информации, чем знание только у и ис(у) [и, следовательно, больше информации, чем только оценки х( и и(х() для каждой входной вели­ чины Х(] .

G.5.4 Оценка расширенной неопределенности Up через значения ис(у), v eff и tp(veff), полученного из f-распределения, является только приближением, имеющим свои ограничения. Случайную перемен­ ную (у - Y)luc(Y) можно считать имеющей f-распределения только в том случае, если распределение У гауссово, оценки у и ис(у) получены независимо друг от друга и распределением выборочной дисперсии и2 (у) является распределение хи-квадрат. Введение числа эффективных степеней свободы veff [формула (G.2b)] позволяет ре­ шить только последнюю проблему, обеспечивая для и2 (у) распределение, близкое к распределению хи-квадрат .

Проблема же, связанная с отличием распределения У от гауссова, требует включения в рассмотрение моментов более высокого порядка, чем дисперсия .

G. Заключение G.6.1 Значение коэффициента охвата кр, обеспечивающее получение интервала с уровнем доверия р, близ­ ким к заданному, может быть известно только в том случае, если имеются подробные сведения о распределении вероятностей каждой входной величины, и если эти распределения преобразованы в распределение выходной величины. Знания одних только оценок х,- и их стандартных неопределенностей и(х() для этих целей недостаточно .

G.6.2 Поскольку надежность и количество имеющейся информации лишь в редких случаях способны оправ­ дать те громоздкие вычисления, которые необходимы для преобразования распределений входных величин в распределение выходной величины, последнюю допустимо заменить ее приближением. Исходя из центральной предельной теоремы, обычно достаточно принять, что случайная переменная (у - Y)luc(y) имеет f-распределение с числом степеней свободы, равным числу эффективных степеней свободы veff для ис(у) согласно формуле Уэл­ ча — Саттертуэйта [формула (G.2b)], и кр = fp(veff) .

G.6.3 Чтобы использовать формулу (G.2b) для получения v eff, необходимо знать число степеней свободы v, для каждой составляющей стандартной неопределенности. В случае оценивания неопределенности типа А v, определяют по числу независимых повторных наблюдений, на основе которых получена эта оценка, и числу ГОСТ 34100.3— 2017 независимых статистик, сформированных по этим наблюдениям (см. G.3.3). В случае оценивания неопределен­ ности типа В v( получают на основе суждения о надежности этой оценки [см. G.4.4 и формулу (G.3)] .

G.6.4 Таким образом, рекомендуемый метод расчета расширенной неопределенности Up = крис(у), предна­ значенной для определения интервала У = у ± U с уровнем доверия, приблизительно равным заданному р, вклю­ чает следующие этапы:

1) Согласно рекомендациям разделов 4 и 5 получают значения у и ис(у);

2) По повторяемой ниже для удобства формуле Уэлча — Саттертуэйта [формула (G.2b)] ut (у) v eff ~, 4(у) находят число эффективных степеней свободы veff. Если и(х,) получена как оценка по типу А, то V определяют со­,гласно G.3.3 veff. Если и(Х/) получена как оценка по типу В и ее можно считать известной точно, что часто бывает на практике, то V — со; в противном случае следует оценить V по формуле (G.3);

,-,По таблице G.2 находят tp(veff) для требуемого уровня доверия р. Если veff— нецелое число, то tp(veff) получают по таблице (-распределения либо интерполяцией, либо уменьшая veff до ближайшего целого числа .

4) Принимают кр = tp(veff) и вычисляют Up = крис(у) .

G.6.5 В некоторых ситуациях, которые, по-видимому, достаточно редко встречаются на практике, условия центральной предельной теоремы могут выполняться недостаточно хорошо, и подход, изложенный в G.6.4, может привести к неприемлемому результату. Например, если в ис(у) преобладающий вклад вносит составляющая не­ определенности, оцениваемая из предположения существования прямоугольного распределения с точно извест­ ными границами, то возможно [при tp (veff) /з ], что верхняя (у+ Up) и нижняя ( у - Up)) границы интервала, опре­ деляемого Up, будут лежать за пределами области распределения вероятностей выходной величины У. Каждая из подобных ситуаций должна рассматриваться особо, но зачастую в их отношении можно использовать известные 0]) .

аналитические методы (например, для получения свертки нормального распределения с прямоугольным [1 G.6 6 Часто в широком диапазоне практических приложений можно считать выполняющимися следующие .

условия:

- оценка у измеряемой величины У получена на основе оценок х,-большого числа входных величин Л), описы­ ваемых регулярными (т. е. не имеющими особенностей) распределениями вероятностей (такими как нормальное и прямоугольное);

- соответствующие входным оценкам стандартные неопределенности и(х(), которые могут быть получены либо как оценки по типу А, либо как оценки по типу В, вносят сопоставимые вклады в оценку суммарной стандарт­ ной неопределенности ис(у) результата измерения у,

-допустимо линейное приближение, предполагаемое законом трансформирования неопределенностей (см. 5.1.2 и Е.3.1);

- неопределенность оценки ис(у) достаточно мала вследствие достаточно большого числа эффективных сте­ пеней свободы veff (например, более 10) .

Это означает соблюдение условий центральной предельной теоремы, что дает основание считать распреде­ ление вероятностей, характеризуемое результатом измерения у и его суммарной стандартной неопределенностью ис(у), нормальным, и (вследствие большого значения veff) ис(у) можно рассматривать как надежную оценку стан­ дартного отклонения этого распределения.

Тогда, принимая во внимание изложенное в настоящем приложении, в частности вывод о приблизительности процедуры оценки неопределенности и практической нецелесообразности различения интервалов, чьи уровни доверия отличаются на 1 2 %, можно поступить следующим образом:

- принять к = 2 и предположить, что U = 2ис(у) определяет интервал с уровнем доверия приблизительно 95 %;

или (в более ответственных ситуациях);

- принять к = 3 и предположить, что U = 3ис(у) определяет интервал с уровнем доверия приблизительно 99 % .

Хотя указанный подход пригоден для многих измерительных ситуаций, его применимость для каждого кон­ кретного измерения будет зависеть от того, насколько близким будет соответствие между к = 2 и fgs(veff) или между к = 3 и f9 (veff). Другими словами, насколько близок будет уровень доверия для интервала, определенного через U = 2uc(y) или U =3uc(y), к95 или 99 % соответственно. Хотя, например, при veff= 11 /( = 2 будет меньше (9 (H ) всего на 10 %, а к = 3 будет меньше (9 (11) всего на 4 % (см. таблицу G.2), в ряде случаев такое расхождение может быть признано неприемлемым. Следует иметь в виду, что при veff 13 значение к = 3 дает интервал с уровнем доверия более 99 % (см. таблицу G.2, из которой также видно, что при veff — 0 0 уровни доверия интервалов, образуемых к = 2\лк = 3, равны 95,45 и 99,73 % соответственно). Таким образом, практическая применимость изложенного под­ хода определяется значением veff, а также требованиями, предъявляемыми к расширенной неопределенности .

ГОСТ 34100.3— 2017 Т а б л и ц а G.2 — Значения tp(v) f-распределения с числом степеней свободы v, определяющие интервал от

- f (v) до + f (v), в пределах которого находится доля р распределения случайной переменной

–  –  –

63,66 12,71 13,97 235,80 1,84 6,31 4,30 4,53 9,92 19,21 1,32 2,92 3,18 3,31 5,84 9,22 1,20 2,35 2,78 2,87 4,60 6,62 2,13 4 1,14 2,57 2,65 4,03 5,51 2,02 5 1,11 2,45 2,52 3,71 4,90 1,09 1,94 2,36 2,43 3,50 4,53 1,08 1,89 2,31 2,37 3,36 1,07 1,86 4,28 2,26 3,25 9 1,06 1,83 2,32 4,09 2,23 3,17 10 1,05 1,81 2,28 3,96 2,20 3,11 11 1,05 1,80 2,25 3,85 2,18 3,05 12 1,04 1,78 2,23 3,76 2,16 3,01 13 1,04 1,77 2,21 3,69 2,14 2,98 14 1,04 1,76 2,20 3,64 15 1,03 1,75 2,13 2,18 2,95 3,59 16 1,03 1,75 2,12 2,17 2,92 3,54 1,03 17 1,74 2,11 2,16 2,90 3,51 1,03 18 1,73 2,10 2,15 2,88 3,48 1,03 19 1,73 2,09 2,14 2,86 3,45 1,03 20 1,72 2,09 2,13 2,85 3,42 1,02 25 2,06 2,11 2,79 1,71 3,33 1,02 30 1,70 2,04 2,09 2,75 3,27 35 1,70 2,03 1,01 2,07 2,72 3,23 40 2,02 1,01 2,06 2,70 3,20 1,6 8 45 2,01 1,01 2,06 2,69 3,18 1,6 8 50 2,01 1,01 2,05 2,68 3,16 1,6 8 100 1,005 1,660 1,984 2,025 2,626 3,077 1,000 1,645 1,960 2,000 2,576 3,000 СО

а) Если случайная переменная z распределена по нормальному закону с математическим ожиданием ц2 и стандартным отклонением а, то интервал pz ± ко будет накрывать долю р распределения, равную 68,27, 95,45 и 99,73 % при значениях к, равных 1, 2 и 3 соответственно .

ГОСТ 34100.3— 2017

–  –  –



Pages:   || 2 |



Похожие работы:

«Руководство по CCM-SVAI Модель/Серия: CCM-SVAI РУ КО В О Д С Т В О П О Э КС П Л УАТА Ц И И 040-581 Номер: 040-581RUS эксплуатации 2011-03 Дата cоставления: 2011-03 Бесподшипниковые ротационные соединения Серия Серия CCM SIEMENS VAI Мо...»

«ТЕРМОМЕТР ЛАБОРАТОРНЫЙ ЭЛЕКТРОННЫЙ "ЛТ-300" Руководство по эксплуатации ТКЛШ 2.822.000 РЭ Перед применением прибора прочитайте данное руководство. Термометр лабораторный электронный "ЛТ-300" Руководство по эксплуатации СОДЕРЖАНИЕ 1 Описание и работа термометра...»

«115 3-5. Машина координатно-измерительная специализированная КИМ-ТВ800 для контроля деталей типа кулачковый вал КИМ-ТВ800 предназначена для определения отклонения профилей кулачков распределительных...»

«Министерство образования и науки РФ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Томский государственный архитектурно-строительный университет ДИАЛЕКТИКА И...»

«УТВЕРЖДАЮ: Врио проректора по науке и инноващ ков B.C. 05№45 ОТЗЫВ ведущей организации федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего профессионального образования "Дальневосточный федеральный униве...»

«Добро пожаловать в крупнейшей автомобильной школе Пардубицкой области. В нашей школе, одной из крупнейших школ Пардубицкой области, уже более чем 60 лет проводится обучение специалистов для услуг автомобилей и автомобильной промышленности. В дополнение к обучению студентов, мы также обеспечиваем обширную дополнител...»

«УТВЕРЖДАЮ Решение Ученого совета ДГТУ № протокол № # от "/6" хг г 2015 г. тт / " 11редсе;^гель Ученого совета, рофессор Т.А . Исмаилов ПРАВИЛА ПРИЕМА учащихся в Технический лицей филиала федерального государственно...»

«Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования "Уральский федеральный университет имени первого Президента России Б.Н. Ельцина" И...»

«МультиСофт Системз Контрольно-кассовая техника Программно-технический комплекс "MSTAR-TUP-K" Инструкция по доработке печатающего устройства серии STAR TUP до программно-технического комплекса "MSTAR-TUP-K" редакция 4.0 Москва СОДЕРЖАНИЕ 1....»

«МАРКОВ Виталий Владимирович ПОЛИТИЧЕСКИЙ ПРОЦЕСС В СОВРЕМЕННОМ ЕГИПТЕ: ОСНОВНЫЕ АКТОРЫ, ТЕНДЕНЦИИ РАЗВИТИЯ Специальность 23.00.02 – Политические институты, процессы и технологии (политические науки) Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата политических наук Пятигорск 2014 Работа в...»

«A/HRC/36/65 Организация Объединенных Наций Генеральная Ассамблея Distr.: General 17 August 2017 Russian Original: English Совет по правам человека Тридцать шестая сессия 11–29 сентября 2017 года Пункты 2 и 10 повестки дня Ежегодный доклад Верховно...»

«Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования "Владимирский государственный университет имени Александра Григорьевича и Никол...»

«РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ РАЗРАБОТКИ ПОЛЕЗНЫХ ИСКОПАЕМЫХ 2014 №4 УДК 622.7 СЕЛЕКТИВНОСТЬ ФЛОТАЦИОННОГО РАЗДЕЛЕНИЯ МИНЕРАЛОВ, ОБУСЛОВЛЕННАЯ ХИМИЧЕСКИ ЗАКРЕПИВШИМСЯ РЕАГЕНТОМ С. А. Кондратьев1, Н. П. Мошкин2 Институт горного дела им. Н. А. Чинакала СО РАН, E-mail:...»

«САХАРОВ АЛЕКСЕЙ АНАТОЛЬЕВИЧ РАЗРАБОТКА МЕТОДОВ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ ТЕПЛОВОГО СОСТОЯНИЯ СТРОИТЕЛЬНЫХ ИЗДЕЛИЙ И КОНСТРУКЦИЙ ПРИ ЭКСПЛУАТАЦИИ В УСЛОВИЯХ ИХ ПРОМЕРЗАНИЯ И ОТТАИВАНИЯ 05.23.05 Строительные материалы и изделия АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических...»

«Техническая инструкция-памятка № L – 4003 Состояние на 11 / 2016 Изоляционный лак LUCITE® IsoLack Satin Описание изделия Водорастворимый покровный лак на основе специальных связующих веществ. Превосходное блокирующее и изолирующее действие для водорастворимых компонентов древесины. Хорошие изоляционные...»

«ELEMENT 100 МАГНИТНЫЙ СВЕРЛИЛЬНЫЙ СТАНОК и станок для нарезания резьбы Модель ELEMENT 100/1Т, ELEMENT 100/3Т Настоящий станок (серийный номер ) прошёл сертификацию СЕ Великобритания 2017 г.Другая продукция компании Rotabroach: • Кольцевые сверла по металлу из быстрорежущей стали;•...»

«ОПИСАНИЕ ТИПА СРЕДСТВА ИЗМЕРЕНИЙ СОГЛАСОВАНО Руководитель Г Ц И СИ, зам ести тель Г ен ер ал ьн о го В несен в Г о суд арствен н ы й реестр Комплекс средств контроля средств и зм ер ен и й радиационной обстановки Р еги страцион ны й № CKPO-OIA В зам ен № 2 3 1 5 5 -0 2 Выпускается по техническим условиям ДЦКИ.412112.00...»

«РЕФ ЕРАТИВНЫЙ Ж У РНА Л СТРОИТЕЛЬСТВО № 1 2011 И АРХИТЕКТ УРА №1 Р Е Ф Е РАТ И В Н Ы Й Ж У Р Н А Л Компьютерная верстка Е. В. Кудрова Подп. к печати 01.02.2011 60х84/8 Офсетная печать 28.9 усл.-печ.л. 30.1 уч.-изд.л. ОАО "ВНИИНТПИ", 119331, Москва, а/я 22, просп. Вернадского, 29 те...»

«РУКОВОДСТВО ПО ЭКСПЛУАТАЦИИ НАСОСОВ-ДОЗАТОРОВ СЕРИИ TEKNA EVO АKL / AKS Содержание стр.1. Комплект поставки 3 2. Технические характеристики 3 3 . Правила монтажа и эксплуатации насоса-...»

«а р и Т Тимони Влад ин димир Владим В мирови ич ОБОС СНОВАН НИЕ ПА АРАМЕ ЕТРОВ ПОРО ОДОРАЗ ЗРУША АЮЩЕГ ИНС ГО СТРУМЕ ЕНТА И ГИД ДРАВЛ ЛИЧЕСК КОЙ УД ДАРНОЙ МАШ Й ШИНЫ Д ДЛЯ БУ УРЕНИЯ СКВА Я АЖИН В ГОРН НЫХ ПО ОРОДАХ Х Специа альность 0 05.05.06 "Г Горные ма ашины" АВТ ТОРЕФЕР РАТ диссер ртации на соискание ученой с е степени к...»

«Кластерный контроллер APOLLO ASP-4 НОВЫЙ ЭТАП РАЗВИТИЯ СИСТЕМ КОНТРОЛЯ ДОСТУПА ААМ Системз. Поставщик комплексных решений для интегрированных систем технической безопасности • В отрасли с 1994 года ААМ Системз. Пост...»

«СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК ИНСТИТУТ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ И ПРИКЛАДНОЙ МЕХАНИКИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНОСТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ (СИБСТРИН) А.В. Федоров, П.А. Фомин, В.М. Фомин, Д.А. Тропин, Дж.-Р. Чен ФИЗИКО-МАТЕМА...»

«ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ТЕХНИЧЕСКОМУ РЕГУЛИРОВАНИЮ И МЕТРОЛОГИИ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ГОСТР СТАНДАРТ 8.811— РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственная система обеспечения единства измерений ТАБЛИЦЫ ПСИХРОМЕТРИЧЕСКИЕ Построение, содержание, расчетные соотношения Издание официальное Москва Стандартинформ сертификат клапан ГОСТ Р 8.811—2012 Предислови...»




 
2019 www.mash.dobrota.biz - «Бесплатная электронная библиотека - онлайн публикации»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.