««Московский институт электронной техники» Зеленоград 6 января 2018 Рекомендации по подготовке к выполнению ЗАДАНИЯ №16 (планиметрия) ЕГЭ профильного уровня Прокофьев Александр Александрович, ...»

НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

«Московский институт электронной техники»

Зеленоград 6 января 2018

Рекомендации по подготовке к выполнению

ЗАДАНИЯ №16

(планиметрия) ЕГЭ профильного уровня

Прокофьев Александр Александрович,

Зав.каф. «Высшей математики – 1», НИУ МИЭТ,

учитель математики ГБОУ г. Москвы «Школа №1298»

Сравнение процентов решаемости заданий

в ЕГЭ 2016 и 2017 гг .

Примеры заданий С4 (№16 с 2015 г.) в ЕГЭ 2010-2012 гг .

ЕГЭ 2010. В параллелограмме ABCD биссектрисы углов при стороне AD делят сторону BC точками M и N так, что DM : MN = 1 : 5. Найдите Сторону BC, если AB = 3 .

ЕГЭ 2011. Окружность, вписанная в треугольник ABC, площадь которого равна 36, касается Средней линии, параллельной стороне BC .

Известно, что BC=9. Найдите сторону AB .

ЕГЭ 2012. Дан треугольник с боковой стороной 4 и углом 120о. Внутри него расположены две касающиеся окружности, каждая из которых касается двух сторон треугольника .

Найдите радиусы окружностей .

Примеры заданий С4 (№16 с 2015 г.) в ЕГЭ 2013-2014 гг .

ЕГЭ ЕГЭ Примеры заданий С4 (№15 с 2015 г.) в ЕГЭ 2015-2016 гг .

ЕГЭ 2015. Две окружности касаются внутренним образом в точке A, причём меньшая проходит через центр большей. Хорда BC большей окружности касается меньшей в точке P. Хорды AB и AC пересекают меньшую окружность в точках K и M соответственно .

а) Докажите, что прямые KM и BC параллельны .

б) пусть L – точка пересечения отрезков KM и AP .

Найдите AL, если радиус большей окружности равен 10, а BC = 16 .

Процент решаемости 0,8% Процент решаемости 0,…% Примеры заданий С4 (№15 с 2015 г.) в ЕГЭ 2016-2017 гг .

Процент решаемости 0,7% ЕГЭ Процент решаемости 8,6% Процент решаемости 4,9% 6 Пример решения задания 16 из демоверсии ЕГЭ 2018 (профильный уровень)

а) По свойству касательных, проведённых из одной точки, AM = KM и KM = BM .

В треугольнике AKB медиана KM = 0,5АВ. Значит, он прямоугольный .

Вписанный угол AKD прямой, поэтому он опирается на диаметр AD. Значит, AD AB. Аналогично, BC AB. Следовательно, прямые AD и BC параллельны .

б) AB 2 r r2 4 (опорная задача) .

SADB = 0,5 · AD · AB = 16 .

DB2 = AD2 + AB2 = 80 (теорема Пифагора для треугольника ADB) .

SAKB : SADB = (AB : DB)2 = 16 : 80 = 1 : 5 .

SAKB = 3,2 .

Критерии проверки задания 16 Содержание критерия Баллы Имеется верное доказательство утверждения пункта а, и обоснованно получен верный ответ в пункте б Получен обоснованный ответ в пункте б, ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а, и при 2 обоснованном решении пункта б получен неверный ответ изза арифметической ошибки Имеется верное доказательство утверждения пункта а, ИЛИ при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, 1 ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б с использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше Создано разработчиками ЕГЭ Тест на эрудицию. Вопрос: что означает последовательность чисел 14 – 20 – 36 – 50?

Пособие Прокофьева А.А. и Корянова А.Г. по заданию 16 издательства Легион Оглавление § 1. Основные определения и теоремы планиметрии........... 6 (1) Треугольник;

(2) окружность и круг;

(3) многоугольники .

§ 2. Многовариантность задачи как результат неоднозначности в задании взаимного расположения элементов фигуры........ 68 § 3. Многовариантность задачи как результат неоднозначности в задании взаимного расположения фигур................... 99 § 4. Задачи на доказательство и вычисления.......................... 124 Пособие Прокофьева А.А. и Корянова А.Г. на сайте http://alexlarin.net/

Типичные ошибки в решениях задания 16 Типичные ошибки участников экзамена связаны в первую очередь с неверным пониманием логики построения доказательства.

Например, доказательство пункта а задания 16 часто начинается так:

«Пусть точка О является серединой отрезка СК…» – в случае, когда нужно доказать, что точка делит отрезок пополам;

«Предположим, что треугольник прямоугольный, тогда …» – в случае, когда нужно доказать, что треугольник прямоугольный. И т. д .

При выполнении второго пункта участники:

– допускают ошибки в геометрических формулах (например, в отношении площадей подобных фигур);

– не различают свойства и признаки геометрических фигур (признак прямоугольного треугольника, признаки и свойства ромба, и т. д.);

– не считают нужным доказывать неочевидные геометрические утверждения, используемые в решение .

Кроме этого участники экзамена допускают большое количество ошибок при построении чертежа .

Прокофьев А.А., Корянов А.Г. Материалы курса «Готовим к ЕГЭ хорошистов и отличников» лекции 5-8. М.: Педагогический университет «Первое сентября». – 2014. – 100 с. 13 Особенности первого пункта задания 16

1. В случае, если заданная конфигурация не является однозначной, должны быть рассмотрены все ее реализации и должно быть доказано, что в каждой из них выполняется указанное свойство .

2. Возможны две ситуации в условии, описывающем геометрическую конфигурацию до формулировки пункта а. Условие до пункта а задания:

– не содержит числовых данных (в этом случае свойство, которое нужно доказать в пункте а, является общим и выполняется для всех конфигураций описанных в условии);

ЕГЭ

– содержит числовые данные (в этом случае доказываемое свойство обычно является частным и выполняется только для приведенного в условии набора числовых данных и доказательство основывается на вычислениях, то есть сводится к проверке указанного свойства) .

ЕГЭ 2017 Особенности первого пункта задания 16

3. В большинстве заданий решение пункта а сводится к доказательству одного из следующих свойств приведенной в условии геометрической конфигурации:

а) подобия указанных треугольников;

б) параллельность или перпендикулярность указанных прямых;

в) равенство указанных углов, отрезков, площадей или их заданное отношение;

г) принадлежность указанной фигуры к определенному типу:

треугольник является прямоугольным, равнобедренным и т.д.;

четырехугольник является описанным (четыре точки лежат на одной окружности) или вписанным;

четырехугольник обладает признаками параллелограмма, ромба, трапеции и т.д.;

точка равноудалена от вершин или сторон многоугольника, то есть является центром вписанной или описанной окружностей;

прямая содержит указанные точку или отрезок .

Особенности второго пункта задания 16

1. Для выполнения второго пункта задачи на нахождение требуемых величин в заданной геометрической фигурации нужно помнить основные формулы для вычисления соответствующих элементов:

а) для линейных – это теоремы: Пифагора, косинусов, синусов, о секущих и касательных, о хордах; формулы: длины медианы, биссектрисы и т.д.;

б) для угловых – это теоремы: косинусов, синусов, об измерении углов, связанных с окружностью (центральных, вписанных, не вписанных, между хордой и касательной) и т.д.;

в) для площадей – это теоремы: об отношении площадей: – подобных фигур; – фигур, имеющих равные элементы; формулы вычисления площадей треугольника и многоугольников, круга и его частей и т.д .

г) отношений отрезков или площадей фигур – это теоремы: Фалеса, о пропорциональных отрезках, о метрических соотношениях в треугольнике и круге, об отношении соответствующих элементов подобных фигур и т.д .

2. Может оказаться, что пункт б задания 16 может быть выполнен без использования свойства, сформулированного в пункте а .

Нюансы начальной подготовки к овладению методами решения задания 16 Для успешного решения заданий 16 необходимо знать и правильно использовать:

признаки равенства и подобия треугольников;

свойства медианы и высоты прямоугольного треугольника;

формулы вычисления площади треугольника;

свойство биссектрисы угла в треугольнике;

теорему синусов и теорему косинусов для треугольника;

теоремы: – об отрезках касательных, проведенных к окружности из одной точки; – о касательной и секущей; – о секущих, проведенных из одной точки; о хордах;

теоремы о нахождении углов, связанных с окружностью: о нахождении вписанного угла; угла с вершиной внутри круга и вне круга; угла между касательной и хордой;

утверждения об отношении площадей двух треугольников: – имеющих общее основание: – имеющих равный угол; – на которые разбивает исходный треугольник биссектриса угла;

теорему об отношении площадей подобных фигур;

теоремы и факты, связанные с трапецией .

1. ТРЕУГОЛЬНИКИ и связанные с ними окружности Важно знать (основные теоремы и формулы)

Теорема. Во всяком треугольнике:

1) против равных сторон лежат равные углы (и наоборот);

2) против большей стороны лежит больший угол (и наоборот) .

Теорема (неравенство треугольника). Для любых трех точек, расстояние между любыми двумя из этих точек не больше суммы расстояний от каждой из них до третьей точки .

Следствие. Длина любой стороны треугольника меньше суммы длин двух a b c, a c b, b c a ) .

других сторон (

Пример задания 16 и его решение ЕГЭ 2015 Пример задания 16 и его решение ЕГЭ 2016

а) Заметим, что С1H – медиана прямоугольного треугольника ABH .

С1HA1B1 – равнобедренная трапеция .

Пример заданий 16 (вид треугольника) Дан треугольник ABC со сторонами AB = 14, BC = 8 и медианой BM = 9 .

а) Докажите, что треугольник ABC равнобедренный .

б) Найдите высоту треугольника ABC, проведённую из вершины B .

Медианы AA1, BB1 и CC1 треугольника ABC пересекаются в точке M .

Известно, что AC = 3MB .

а) Докажите, что треугольник ABC прямоугольный .

б) Найдите сумму квадратов медиан AA1 и CC1, что AC = 30 .

В треугольник ABC вписана окружность радиуса R, касающаяся стороны AC в точке D, причём AD = R .

а) Доказать, что треугольник ABC прямоугольный .

б) Вписанная окружность касается сторон AB и BC в точках E и K соответственно. Найти площадь треугольника BEK, если известно, что R = 5 и CD = 15 .

Теорема Менелая.

Если в треугольнике ABC на сторонах BС, AС и AB (или их продолжениях) выбраны точки A1 BC, B1 AC, C1 AB, не совпадающие с вершинами треугольника, то точки лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда выполняется равенство:

В треугольник со сторонами a, b, c вписана окружность. Найти расстояния от вершин треугольника до точек касания .

Пусть p – полупериметр треугольника. Рассмотрим вершину A (см .

рис.). Отрезки AKc = AKb, как касательные, проведенные к окружности из одной точки. Аналогично BKc = BKa и CKa= CKb .

Заметим, что длина ломаной KcBCKb = 2BKa + 2KaC = 2a .

Тогда AKc = AKb = (2p 2a)/2 = p a .

Аналогично получаем BKc = BKa = p b, AKa = CKb = p c .

2. ОКРУЖНОСТИ и различные геометрические конфигурации, связанные с ними

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Вневписанные окружности прямоугольного треугольника .

«Потенциал». М.: МФТИ, – 2013. – №10. – С. 22-31. 28 Пример решения задачи (теорема о секущей и касательной)

Взаимное расположение окружностей (опорные задачи) Взаимное расположение окружностей можно различать по внешнему признаку (касающиеся, пересекающиеся, непересекающиеся) или по внутреннему (взаимное расположение центров окружностей относительно общей касательной, общей хорды и т.д.) .

1. Расположение центров окружностей относительно общей касательной Прокофьев А.А., Соколова Т.В. Окружность в задачах (на материалах вступительных экзаменов в МИЭТ). «Математика», – 2005. – №19. – С. 39-48 .

Прокофьев А.А., Соколова Т.В. Окружность в задачах (на материалах вступительных экзаменов в МИЭТ). «Математика», – 2005. – №24. – С. 38-40. 31

2. Расположение центров окружностей относительно их общей точки касания Две окружности касаются внутренним образом в точке А, причем меньшая проходит через центр большей. Хорда ВС большей окружности касается меньшей в точке Р. Хорды АВ и АС пересекают меньшую окружность в точках К и М соответственно .

а) Докажите, что прямые КМ и ВС параллельны .

б) Пусть точка L – точка пересечения отрезков КМ и АР. Найдите AL, если радиус большей окружности равен 10, а ВС = 16 .

ЕГЭ 2015 Пример задания 16 и его решение ЕГЭ 2013

Окружность с центром O вписана в угол, равный 60о. Окружность большего радиуса с центром O1 также вписана в этот угол и проходит через точку O .

а) Докажите, что радиус второй окружности вдвое больше радиуса первой .

б) Найдите длину общей хорды этих окружностей, если радиус первой окружности равен 2 15 .

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Вневписанные окружности прямоугольного треугольника .

«Потенциал». М.: МФТИ, – 2013. – №10. – С. 22-31. 34

4. Расположение центров окружностей относительно хорды большей окружности

Примеры задач (многовариантные задачи) 18 Две окружности радиусов R и r (R r) касаются. Найдите радиус третьей окружности, касающейся первых двух окружностей и прямой, проходящей через центры данных .

Пример решения задачи (углы, связанные с окружностью) Точка I – центр окружности S1, вписанной в треугольник ABC, точка O – центр окружности S2, описанной около треугольника BIC .

а) Докажите, что точка O лежит на окружности, описанной около треугольника ABC .

б) Найдите косинус угла BAC, если радиус описанной окружности треугольника ABC относится к радиусу окружности S2 как 3 : 4 .

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Свойства вневписанных окружностей треугольника. // «Математика в школе», М.: «Школьная пресса», – 2014. – № 8. С. 20-30; – № 9. С. 14-25. 38

3. МНОГОУГОЛЬНИКИ .

Многоугольники и связанные с ними окружности Примеры заданий 16 (вписанный четырехугольник)

Пусть AD = a, BC = b, CF : FD = x : y .

Треугольники CFN и AFD подобны, CF : FD = CN : AD. Тогда CN = ax / y .

Треугольники BCF и FDK подобны, CF : FD = BC : DK. Тогда DK = by / x .

Четырехугольник MCNA – параллелограмм, MA = CN = ax / y .

Треугольники MEA и EBC подобны, AE : EB = MA : BC = (ax / y) : b = (ax) / (by) .

Также AD : DK = a : (by / x) = (ax) / (by) .

Так как AE : EB = AD : DK = (ax) / (by), то по теореме обратной теореме Фалеса следует, что BK || ED, т.е. BF || ED .

Диагонали разбивают выпуклый четырёхугольник на треугольники с площадями S1, S2, S3 и S4 (S1 и S3 – площади треугольников, прилежащих к противоположным сторонам четырёхугольника). Докажите, что S1S3 = S2S4 .

Отношение площадей треугольников Пример задания 16 и его решение Тренировочная работа 2013 52 Пример задания 16 и его решение ЕГЭ 2017. Точка E – середина боковой стороны CD трапеции ABCD. На стороне AB взяли точку K так, что прямые CK и AE параллельны. Отрезки CK и BE пересекаются в точке O .

а) Докажите, что CO = KO .

б) Найдите отношение оснований трапеции BC и AD, если площадь треугольника BCK составляет 9/100 площади трапеции ABCD .

Подготовительные задания 16 Подготовительные задания 16 Подготовительные задания 16 Ответы к подготовительным заданиям 16 Зачетные задания 16 Зачетные задания 16 Зачетные задания 16 Ответы к зачетным заданиям 16