WWW.MASH.DOBROTA.BIZ
БЕСПЛАТНАЯ  ИНТЕРНЕТ  БИБЛИОТЕКА - онлайн публикации
 

«Московский педагогический государственный университет e-mail: davydovaoi УДК 512.541 Ключевые слова: абелева группа, факторно делимая группа, группа без кручения, ранг. ...»

Гомоморфизмы факторно делимых групп ранга 1

О. И. ДАВЫДОВА

Московский педагогический

государственный университет

e-mail: davydovaoi@yandex.ru

УДК 512.541

Ключевые слова: абелева группа, факторно делимая группа, группа без кручения,

ранг .

Аннотация

Факторно делимые группы без кручения были введены в 1961 г. Р. Бьюмонтом и

Р. Пирсом. Как обобщение факторно делимых групп без кручения и групп из класса G в 1998 г. А. А. Фомин и У. Уиклесс определили смешанные факторно делимые

группы и доказали, что категории смешанных факторно делимых групп и групп без кручения конечного ранга с квазигомоморфизмами в качестве морфизмов двойственны. В группах без кручения конечного ранга важную роль играют группы ранга 1, так как к ним сводятся многие решаемые в этом классе задачи. Данная работа посвящена изучению группы гомоморфизмов факторно делимой группы ранга 1. Основным результатом является полное её описание на языке характеристик .

Abstract O. I. Davydova, Homomorphisms of rank-1 quotient divisible groups, Fundamentalnaya i prikladnaya matematika, vol. 20 (2015), no. 5, pp. 57—60 .

Torsion-free quotient divisible groups were introduced by R. Beaumont and R. Pierce in 1961. In 1998, A. A. Fomin and W. Wickless dened quotient divisible mixed groups and proved that categories of mixed quotient divisible groups and nite-rank torsion-free groups with quasihomomorphisms as morphisms are dual. In studying nite-rank torsion-free groups, rank-1 torsion-free groups play an important role, as many problems that are being solved in this class come to them. This paper is devoted to the study of the homomorphism groups of rank-1 quotient divisible groups. The main achieved result is a full description of the homomorphism group in the language of characteristics .



Под группой в данной статье подразумевается абелева группа, записанная аддитивно. Через Z и Zp будем обозначать кольца (аддитивные группы) целых и целых p-адических чисел соответственно, Hom(A, B) — группа гомоморфизмов A в группу B. Остальные понятия и обозначения стандартны и соответствуют [2] .

Определение 1 [1]. Для элемента a из группы A и простого числа p определим mp как наименьшее целое неотрицательное число, такое что элемент pmp a делится на любую степень p в группе A. Если такого числа не существует, Фундаментальная и прикладная математика, 2015, том 20, № 5, с. 57—60 .

c 2015 Национальный Открытый

–  –  –

полагаем mp =. Характеристика (mp1, mp2,..., mpn,...) называется кохарактеристикой элемента a в группе A и обозначается cochar(a). Тип, содержащий характеристику (mp ), называется котипом элемента a и обозначается cotype(a) .

Определение 2 [4]. Группа A называется факторно делимой, если она не содержит ненулевых периодических делимых подгрупп, но содержит такую свободную подгруппу F конечного ранга, что A/F — периодическая делимая группа .

Линейно независимую систему элементов X = {x1,..., xn }, порождающую группу F, будем называть базисом факторно делимой группы A, а ранг группы F — рангом факторно делимой группы A .

Следующая теорема является вспомогательной, но с её помощью получены основные результаты .

Теорема 1 [1]. Пусть A — факторно делимая группа ранга 1 с базисным элементом x, B — произвольная факторно делимая группа и y B. Если cocharA (x) cocharB (y), то существует единственный гомоморфизм f : A B, такой что f (x) = y .



Кохарактеристика любого элемента факторно делимой группы ранга 1 не превосходит кохарактеристику её любого базисного элемента. В частности, кохарактеристики двух произвольных базисных элементов факторно делимой группы ранга 1 совпадают .

Определение 3 [1].

Кохарактеристикой факторно делимой группы A ранга 1 будем называть кохарактеристику любого её базисного элемента, обозначение:

cochar(A) .

Произвольной характеристике можно поставить в соответствие множество всех элементов a A, кохарактеристики которых удовлетворяют неравенству cochar(a). Множество A() является подгруппой группы A. Эта подгруппа вполне характеристическая, т. е. при любом эндоморфизме отображается в себя .

Имеет место следующая лемма .

Лемма 1. Пусть A — факторно делимая группа ранга 1 .

Если характеристики cochar(A) и удовлетворяют неравенству [] [cochar(A)], то A() является факторно делимой подгруппой группы A, причём cochar A() = cochar(A) .

–  –  –

Доказательство. Пусть 1 — базисный элемент группы R и неравенство [] не имеет места. Рассмотрим гомоморфизм f Hom(R, R ). Покажем, что элемент f (1) группы R является периодическим. Предположим, что f (1) не периодический элемент группы R. Значит, cochar f (1) = []. Так как кохарактеристика любого элемента факторно делимой группы ранга 1 не превосходит кохарактеристику её любого базисного элемента, то cochar(1) cochar f (1), т. е. [] []. Получили противоречие с условием. Значит, f (1) является периодическим элементом группы R. Тогда существует целое положительное число m, такое что m f (1) = 0 или mf (1) = 0. Применяя теорему 1, получаем, что mf = 0. Следовательно, Hom(R, R ) — периодическая группа .

Если для некоторого простого числа p выполняется kp = 0 или kp =, то R — группа без p-кручения. Значит, p-примарная компонента группы Hom(R, R ) равна 0. Если 0 kp для некоторого простого p, то получаем, что R = Rp Rp, где Rp — циклическая группа порядка pkp и Rp — p-делимая группа без p-кручения. Так как Rp — p-делимая группа без p-кручения, то p-примарная компонента группы Hom(R, R ) совпадает с группой Hom(R, Rp ). Так как каждый гомоморфизм f Hom(R, Rp ) однозначно определяется элементом f (1) Rp (по теореме 1), то получаем Hom(R, Rp ) T, где T — подpmp и группа циклической группы Rp. Значит, T = t, где t T, o(t) pkp. По теореме 1 существует гомоморфизм f Hom(R, Rp ), такой o(t) что pmin(mp,kp ) f = 0. Значит, o(t) = pmin(mp,kp ). Следовательно, p-примарная компонента группы Hom(R, R ) — циклическая группа порядка pmin(mp,kp ) .

Пусть имеет место неравенство [] []. Так как каждый гомоморфизм f Hom(R, R ) однозначно определяется элементом f (1) R () (по теореме 1), то Hom(R, R ) R (). По лемме 1 группа R () является факторно = делимой группой ранга 1 кохарактеристики. Следовательно, выполняется Hom(R, R ) R .

= Литература [1] Давыдова О. И. Факторно делимые группы ранга 1 // Фундамент. и прикл. матем. — 2007. — Т. 13, № 3. — С. 25—33 .

[2] Фукс Л. Бесконечные абелевы группы. Т. 1, 2. — М.: Мир, 1974; 1977 .

[3] Beaumont R., Pierce R. Torsion-free rings // Illinois J. Math. — 1961. — Vol. 5. — P. 61—98 .

[4] Fomin A. A., Wickless w. Quotient divisible Abelian groups // Proc. Amer. Math .

Soc. — 1998. — Vol. 126. — P. 45—52 .






Похожие работы:

«Анализ работы ГБОУ СПО "Кунгурский сельскохозяйственный колледж" за 2012-2013 учебный год В 2012-2013 учебном году образовательно-воспитательный процесс в ГБОУ СПО "КСХК" был направлен на выполнение требований ФГОС СПО в целом, а также на повышение качества подготовки специалистов, удовлетворение требований рынка труда. К...»

«УДК 821.161.1 А. А. Пономарева Новосибирский государственный педагогический университет ул. Вилюйская, 28, Новосибирск, 630090, Россия anastasiya.ponomareva.92@inbox.ru "СЛАБЫЙ" ГЕРОЙ В ЛИТЕРАТУРЕ И КРИТИКЕ 1850-Х ГОДОВ: НЕСОСТОЯВШИЙСЯ ГЕРОЙ ВРЕМЕНИ Изучается литературный характер слабого героя, частотный в беллетристике...»

«Пояснительная записка Дошкольное детство — время становления первооснов личности,индивидуальности,наиболее сензитивный период для развития любознательности,общих и специальных способностей. Благодаря особому процессу познания,который осуществляется эмоциона...»

«ПЕДАГОГИКА ИСКУССТВА ЭЛЕКТРОННЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ УЧРЕЖДЕНИЯ РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ ОБРАЗОВАНИЯ "ИНСТИТУТ ХУДОЖЕСТВЕННОГО ОБРАЗОВАНИЯ" http://www.art-education.ru/AE-magazine/ №4, 2011 классическое наследие Бесшапошникова Юлия Авенгеровна, аспирант Высшей школы нар...»

«М акар открыл глаза. В доме было тихо и спокойно, в кухне стукали любимые дедовы ходики, и он сам ровно, но тихо всхрапывал на своём небольшом диване. В неширокое, не задвинутое шторами окно серилась зимняя, холодная, лунная ночь, по нетоптаной целине блестя серебряным сне...»

«Республиканский фестиваль по физике, посвященный 65-летию Победы в Великой Отечественной войне Научно-практическая конференция "Наука ковала Победу" ДОКЛАД "Размагничивание кораблей в годы Великой Отечественной войны" Подготовил: ученик 9Б класса МОУ СОШ № 9 села Вольного Кошехабльского района Мелкумов В...»

«ПРАВИЛА АКЦИИ Кэшбэк до 13% на всех АЗС Для держателей карт Visa Business, выпущенных АО КБ "Модульбанк".1. Акция Кэшбэк до 13% на всех АЗС (далее – Акция) является рекламным стимулирующим мероприятием в смысле ст. 9 Федерального закона РФ от 13.03.2006 № 38ФЗ "О рекламе", не является публичным конкурсом...»




 
2019 www.mash.dobrota.biz - «Бесплатная электронная библиотека - онлайн публикации»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.