WWW.MASH.DOBROTA.BIZ
БЕСПЛАТНАЯ  ИНТЕРНЕТ  БИБЛИОТЕКА - онлайн публикации
 

«ПЛАНИМЕТРИИ Предисловие Данное пособие предназначено для учеников, познакомившихся с планиметрией, или для тех, кому кажется, что они её освоили, но у тех и у других задачи почему-то не ...»

Острогский Н.Н .

ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ

ПЛАНИМЕТРИИ

Предисловие

Данное пособие предназначено для учеников, познакомившихся с планиметрией, или для тех,

кому кажется, что они её освоили, но у тех и у других задачи почему-то не решаются. Но геометрия

в каком-то смысле специфический предмет: чтобы решать задачи, недостаточно знать

содержание теорем, необходимо увидеть и сообразить, какими именно теоремами можно

воспользоваться для решения той или иной задачи. Видимо, путь к достижению этой цели лежит, во-первых, через умение доказывать эти теоремы, так как, анализируя чертёж к задаче, можно найти общие черты с рисунком, используемым при доказательстве какой-то конкретной теоремы, а во-вторых, через практику решения большого количества задач, может быть, достаточно простых, но заставляющих отыскать у себя в памяти хотя бы пару подходящих теорем .

Как ни странно, в тексте большинства современных школьных учебников не представлены доказательства основных, с моей точки зрения, наиболее важных теорем часть из них перенесены в задачи; и если ученик по какой-то причине этих задач не решал, то совершенно очевидно, что представления об этих теоремах он не имеет .

При составлении данного пособия я воспользовался перечнем основных теорем, представленным в замечательном практикуме по элементарной математике (геометрия), написанном В.А. Гусевым, В.Н Литвиненко и А.Г. Мордковичем для студентов физико-математических специальностей педагогических институтов и учителей *М.”Просвещение”1992+. Хочу обратить особое внимание на то, что в этом учебнике разобрано множество чрезвычайно полезных задач и, кроме того, по каждой теме подобрано большое количество задач для самостоятельного решения .



Не могу не отметить нелогичность школьной программы: изучение векторной алгебры заканчивается скалярным произведением, но именно векторное произведение наиболее часто используется в физике; его отсутствие приводит к необходимости введения «правила буравчика» и прочих понятий каменного века, что создаёт сложности особенно в изучении электромагнитных явлений. Но и изучение геометрии, особенно её пространственного раздела - стереометрии, страдает от незаконченности векторной алгебры. Освоение векторного и смешанного произведений даёт возможность использовать методы аналитической геометрии при решении стереометрических задач, сравнить их с методами классической геометрии и выбрать оптимальный способ решения. В ВУЗах другая крайность: о геометрии Евклида никто не вспоминает, все задачи решаются аналитически; опять нельзя выбрать оптимальный метод решения! Кстати, все, что касается векторной алгебры и основ аналитической геометрии, доходчиво и хорошо изложено в 9 главе учебника В.С. Шипачева *13+наиболее удачного курса для знакомства с высшей математикой .

Я уж и не говорю о том, что согласно государственной программе тригонометрия изучается в 10 классе, а планиметрия заканчивается в 9ом .

В завершении хочу обратить внимание читателей на весьма полезный, интересно написанный учебник И.Ф. Шарыгина [2], с большим количеством прекрасно подобранных упражнений и задач и на классический, фундаментальный труд Ж. Адамара [16], чрезвычайно важный для учащихся, стремящихся глубоко вникнуть в суть предмета. Кроме того, полагаю, что ученикам было бы полезно познакомиться с учебными пособиями*4+,*7+и*15+, в которых подробно решено большое количество задач и разумно подобраны задачи для самостоятельного решения .



С надеждой, что пособие кому-то поможет,… Острогский Н.Н .

Оглавление Глава 0. Геометрические места точек (ГМТ) …………………………………………………………..............5 §0.1. Простейшие ГМТ

§0.2. Более сложные ГМТ

§0.3. Невырожденные линии второго порядка

Глава 1. Углы с соответственно параллельными или перпендикулярными сторонами……… .

10 §1.1.Если стороны одного угла соответственно параллельны сторонам другого угла, то такие углы или равны, или в сумме составляют 180

§1.2.Если стороны одно угла соответственно перпендикулярны сторонам другого угла, то такие углы или равны, или в сумме составляют 180:

Глава 2. Свойства средней линии треугольника и трапеции………………………………………………… .

.10 §2.1. Свойства средней линии треугольника

§2.2. Свойства средней линии трапеции

Глава 3. Четыре замечательные точки треугольника…………………………………………………………… .

.11 §3.1. Медианы треугольника

§3.2. Биссектрисы треугольника

§3.3. Высоты треугольника

§3.4. Cерединные перпендикуляры

§3.5. Прямая Эйлера

Глава 4. Свойство медианы в прямоугольном треугольнике …………………………………………………15 Глава 5 .

Свойство биссектрисы внутреннего и внешнего углов треугольника……………………….15 §5.1. Свойство биссектрисы внутреннего угла

§5.2. Свойство биссектрисы внешнего угла

Глава 6. Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике……………………………………16 §6 .

1.Соотношения между элементами прямоугольного треугольника

§6.2.Cоотношения между радиусами вписанной (r) и описанной (R) окружностей и другими элементами прямоугольного треугольника

Глава 7. Теорема косинусов………………………………………………………………………………………………………17 Глава 8 .

Теорема синусов и некоторые тригонометрические соотношени…………………………….17 §8.1.Теорема синусов……………………………………………………………………………………………………………….17 §8.2. Некоторые тригонометрические соотношения……………………………………………………………….18 Глава 9. Определение вида треугольника по его сторонам………………………………………………...…19 Глава 10. Теоремы Чевы и Менелая………………………………………………………………………………………..20 §10.1.Теорема Чевы

§10.2. Теорема Менелая

Глава 11. Метрические соотношения в параллелограмме,в трапеции и в произвольном четырёхугольнике…………………………………………………………………………………………………………………… .

20 §11.1. Метрические соотношения в параллелограмме

§11.2. Метрические соотношения в трапеции

§11.3. Метрические соотношение в произвольном треугольнике…………………………………………23 Глава 12. Свойства касательных к окружности………………………………………………………………………..25 §12.1. Радиус, проведенный в точку касания

§12.2. Две касательные, проведенные к окружности из одной точки

§12.3. Окружности и касательные

Глава 13. Измерение углов, связанных с окружность .





…………………………………………………………….27 §13.1. Центральный угол измеряется дугой, на которую он опирается

§13.2. Вписанный угол измеряется половиной дуги АДС, на которую он опирается

§13.3. Угол между касательной и хордой измеряется половиной дуги, заключенной между касательной и хордой

§13.4. Теорема, об окружности вписанной в треугольник, образованный двумя касательными,прведёнными из одной точки, и хордой,соединяющей точки касания

§13.5.Угол, образованный двумя пересекающимися хордами, вершина которого лежит внутри круга, измеряется полу суммой двух дуг

§13.6. Угол, образованный продолженными хордами, вершина которого расположена вне круга, измеряется полуразностью дуг, заключенных внутри угла

Глава 14. Теоремы об окружностях и треугольниках…………………………………………………………… .

.28 §14.1. Формулы, определяющие радиус описанной окружности (R)

§14.2. Формулы, определяющие радиус вписанной (r) и вневписанной (rc) окружностей................. 29 §14.3. Формулы, связывающие расстояния между центрами вписанной, вневписанной и описанной окружностями и их радиусами

§14.4. Докажем некоторые тригонометрические соотношения…………………………………………………….……31 Глава 15. Теоремы об окружностях и четырехугольниках……………………………………………………..32 §15.1. Соотношения между углами, сторонами и хордами вписанного четырехугольника;

зависимость радиуса описанной окружности от сторон четырехугольника

§15.2.Соотношения между элементами выпуклого описсанного четырёхугольника

Глава 16. Метрические соотношения в окружности……………………………………………………………… .

37 §16.1. Если точка пересечения (М) хорд АА1 и ВВ1 расположена внутри круга радиусa R на расстоянии а, от его центра, то АММА1=ВММВ1=R2a2.

§16.2. Если точка пересечения (М) продолжения хорд АА1 и ВВ1 расположена вне круга радиуса R на расстоянии а, от его центра, то произведение любой секущей на ее внешнюю часть равна квадрату касательной: МА1МА=МВ1МВ=М =

Глава 17.Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия… .

.38 §17.1. Площади подобных треугольников относятся как квадраты сходственных сторон.................38 §17.2. Отношение площадей подобных многоугольников равно квадрату подобия

Глава 18. Отношение площадей треугольников при условии равенства одного параметра .

.39 §18.1. Если у двух треугольников равны основания, то их площади относятся как высоты................ 39 §18.2. Если у двух треугольников равны высоты, то их площади относятся как основания............... 39 §18.3. Если две стороны одного треугольника равны соответственно двум сторонам другого треугольника,то площади этих треугольников относятся как синусы углов между этими сторонами.39 §18.4. Соотношения между площадями треугольников внутри трапеции

§18.5. Соотношения между площадями частей треугольников и четырехугольников;

соотношение между отрезками секущей внутри треугольника

Глава 19. Формулы для вычисления площади треугольника и соотношения между площадями его частей…………………………………………………………………………………………………………… .

.41 §19.1. Вывод формул для вычисления площади треугольника

§19.2. Соотношения между площадями частей треугольника, образованных при пересечении его медиан

Глава 20. Формулы для вычисления площади выпуклого четырехугольника и соотношения между площадями его частей .

……………………………………………………………………………………..…….... 42 §20.1. Вывод формул для вычисления площадей произвольного, вписанного и описанного четырехугольников

§20.2. Соотношение между площадями частей четырехугольника, образованных при пересечении его диагоналей

Глава 21.Вывод формул для вычисления площади параллелограмма(через классику и через векторную алгебру)………………………………………………… ………………

Глава 22. Формулы для вычисления площади трапеции……………………………………………………… .

.46 Глава 23. Формула для вычисления площади кругового сектора…………………………………………..46 Глава 24. Формула для вычисления площади кругового сегмента…………………………………………47 Глава 25. Правильные многоугольники……………………………………………………………………….………….47 §25.1.

Сумма углов правильного n-угольника:

§25.2 Соотношения между сторонами правильного n-угольника, радиусом вписанной и описанной окружностей и его площадь

§25.3. Соотношени между сторонами правильного n-угольника и 2n-угольника

Список использованной и рекомендуемой литературы……………………………………………………….. 49 Глава 0. Геометрические места точек (ГМТ) Напомним, что ГМТ в пространстве R2 называется множество точек плоскости (чаще всего это кривая или прямая линия), обладающих определённым свойством. Освоение большого спектра ГМТ позволяет решать не только задачи на построение, но и на доказательство и расчётные задачи .

§ 0.1. Простейшие ГМТ ГМТ, равноудалённых на расстояние R от данной точки Оокружность радиуса R с центром в точке О .

ГМТ, равноудалённых от точек А и Впрямая, проходящая через середину отрезка АВ и перпендикулярная к немусерединный перпендикуляр (Рис.0.1.). Произвольная точка М1 этой прямой равноудалена от точек А и В, т.к. АМ0М1 = ВМ0М1 (по двум катетам). Полезно обратить внимание на то, что это ГМТ позволяет найти центр окружности О, описанной вокруг АВС (Рис.0.2). Т.к. точка О, принадлежит серединному перпендикуляру С0С1, то ОА=ОВ; т.к. точка О, принадлежит серединному перпендикуляру В0В1, то ОА=ОС. А раз ОВ=ОС, то точка О должна принадлежать серединному перпендикуляру А0А1 .

Следовательно, все три серединных перпендикуляра пересекаются в одной точке О, являющейся центром описанной окружности. С ГМТ, равноудалённых от сторон угла, прямая, являющая биссектрисой этого угла (Рис.0.3.) .

Произвольная точка МВв равно удалена от сторон угла Ва и Вс, т.к. прямоугольные треугольники ВММ1 и ВММ2 равны (по общей гипотенузе ВМ и углу: = аВс), следовательно, ММ1=ММ2. Необходимо заметить, что это ГМТ позволяет определить центр окружности О, вписанный в АВС (Рис.0.4.). Т.к. точка О принадлежит биссектрисе ВВ1, то она равноудалена от сторон угла ВС и ВА, т.е. ОС0=ОА0, а т.к. точка О принадлежит биссектрисе АА1, то она равноудалена от сторон АВ и АС, т.е. ОС0=ОВ0. А т.к. ОА0=ОВ0, то точка О принадлежит биссектрисе С, т.е. прямой СС1. Следовательно, все три биссектрисы пересекаются в одной точке О, являющейся центром вписанной окружности .

ГМТ, из которых данный отрезок АВ виден под углом,две дуги Ак1В и Ак2В окружностей радиуса R=, симметрично расположенных относительно отрезка АВ (Рис.0.5.) .

Для того чтобы это объяснить, вспомним, что угол, образованный двумя пересекающимися хордами АМ2 и ВМ2, т.е. АМ2В, равен половине дуги, на которую он опирается. Проведём через середину отрезка АВ (точку Е) диаметр СD перпендикулярно АВ. Угол -центральный, поэтому равен. С другой стороны, угол внешний по отношению к О2АD. Следовательно, =1+2. Но О2АДравнобедренный, т.к. О2А=О2D=R .

Тогда: 1=2=/2=. По этой же причине СDB=. Значит, АDB=АМ2В=АМ1В=АМ3В == .

Следовательно, в самом деле все точки дуг Ак1В и Ак2В и есть ГМТ, из которых отрезок АВ виден под углом .

Отметим один важный частный случай. Хорды, образующие при пересечении прямой угол, а точка их пересечения лежит на окружности, всегда опираются на диаметр. Таким образом, ГМТ, из которых данный отрезок виден под прямым углом, окружность, построенная на этом отрезке как на диаметре. Теперь = рассмотрим АВМ3, где М3Вдиаметр; т.к. ВАМ3 опирается на диаметр,он прямой. Тогда sin =,

–  –  –

Площадь АВС= АВh. Т.к. АВМ равновелик АВС и основание АВ у них общее, то и высоты их должны быть равны. Следовательно, необходимо найти ГМТ, равноудалённых (на расстоянии h) от отрезка АВ .

Очевидно, что этим ГМТ является пара прямых ааввАВ, расположенных на расстоянии h по разные стороны от прямой АВ .

ГМ середин хорд фиксированной длины a данной окружности радиуса R(a2R)окружность радиуса r= (Рис.0.7.)

–  –  –

Тогда, построив вторую хорду А1В1, тоже проходящую через точку М, легко показать, что АМВ1А1МВ = (1=2, т.к. оба опираются на дугу АА1, 3=4, т.к. опираются на дугу ВВ1). Тогда АММВ=А1ММВ1=, т.е. все хорды, проходящие через точку М, обладают этим свойством. Следовательно, и отрезки диаметра, тоже проходящего через эту точку, подчиняются соотношению: А2ММВ2= (RОМ)(R+ОМ) = R2ОМ2= ОМ =. Как и в предыдущем пункте, и R и заданные неизменные величины, следовательно, и ОМ=const.Задача опять свелась к нахождению ГМТ, равноудалённых от точки О на расстоянии ОМ. А значит, искомое ГМТ окружность с центром в точке О радиуса r=ОМ= .

Рассмотрим второй случай, когда точка М находится вне круга и лежит на продолжении хорды (Рис.0.9.) .

–  –  –

Следствием из теоремы (*1+п.109,стр.81-82) наименьшая из интересующих нас хорд хорда С1В1ОА, а наибольшая- диаметр С2В2, проходящая через точки О и А, а значит, совпадает с прямой ОА, причём В2С2С1В1. Т.к. точка Асередина хорды С1В1, а точка О середина диаметра С2В2, то эти точки принадлежат искомому ГМТ. А теперь проведём произвольную хорду СВ, проходящую через точку А. Если точка М середина СВ, то согласно теореме (*1+п.106,стр.80) ОМСВ, т.е. АМО= о. Все хорды Сi Bi (кромеC1В1 и С2В2), проходящие через точку А, перпендикулярны ОМi, следовательно, углы Мi опираются на отрезок АО. Значит, искомое ГМТ совпадает с ГМТ, из которых отрезок ОА виден под прямым углом, а согласно п.4 §0.1. этим ГМТ является окружность, построенная на отрезке ОА как на диаметре. Следовательно, искомое О ГМТокружность с центром в точке О1, делящей отрезок АО пополам, с радиусом r = =. По мере уменьшения расстояния АО, уменьшается и радиус найденной окружности, а точка О1 приближается к центру заданной окружности. И наконец, когда точка А совпадёт с точкой О, искомое ГМТокружность радиуса r стянется в точку О .

ГМ точек М, для которых разность квадратов длин отрезков АМ и ВМ равна (где заданный отрезок АВ имеет длину )прямая, перпендикулярная отрезку АВ, пересекающая этот отрезок в точке М0, расположенной на расстоянии от середины отрезка АВ. Для доказательства этого утверждения удобно ввести систему координат с началом в середине отрезка АВ в точке О (Рис.0.11.) .

–  –  –

= а), - (как соответственные) 1=2; б)4=2 (как вертикальные) 1=4 .

= в)5+2=6+2=180:(смежные углы) 1+5=1+6=180: .

§1.2.Если стороны одного угла соответственно перпендикулярны сторонам другого угла, то такие углы или равны, или в сумме составляют 180: (Рис.1.2.) Данная теорема используется не только при решении геометрических задач, но очень часто при решении физических задач при проектировании векторов. 7=90:1; но 7=8 (как вертикальные); 8=90:4 7=90:4 90:1=90:4 1=4; 2=4 (как вертикальные); 2=1; 5+2=6+2=180:(как смежные) 1+5= 1+6=180: .

Глава 2. Свойства средней линии треугольника и трапеции (стр .

152-154 *2+; стр70,71 *1+) §2.1. Свойства средней линии треугольника. Средняя линия треугольника параллельна основанию и равна половине его длины. (Рис.2.1.) .

Пусть точка Е – середина отрезка АВ. Проведём через точку Е прямую ЕF параллельную АС; тогда, согласно теореме Фалеса, BF=FC, т.е. EF средняя линия. Проведём FD AB; т.к. точка F середина отрезка СВ, то согласно опять же теореме Фалеса, точка D делит АС пополам: AD=DC=. Но AEFD-параллелограмм (EA FD и EF AD), следовательно, EF=AD = .

§2.2. Свойства средней линии трапеции (Рис.2.2.) .

Средняя линия трапеции а) параллельна основаниям трапеции; б) равна полусумме оснований трапеции; в) делит пополам любой отрезок, заключённый между основаниями трапеции .

а) Проведём прямую CF и продолжим её до пересечения с продолжением АВ в точке К. Полученные треугольники FDC и FAK равны (1=2 как вертикальные; 3=4 как внутренние накрест лежащие; FD=FA, т.к. EFсредняя линия трапеции). Следовательно, KF=FC, отсюда вытекает, что EFсредняя линия КСВ. Тогда, согласно §2.1, EF AB, а значит и параллельна DC .

б) Из равенства треугольников FDC и FAK следует, что DC=KA; a т.к. EF средняя линия КСВ, то EF = BK = (AB+KA) = (AB+DC) .

в) Проведём произвольную прямую D1A1(D1A1 CB), заключённую между основаниями трапеции .

A1BCD1тоже трапеция, так как было доказано, что CD1 EF1BA1, то согласно теореме Фалеса точка F1середина отрезка A1D1. Если же D2A2CB, то D2CBA2парал-м (D2CA2B; D2A2CB), а значит, D2A2=CB. Но BEF2A2тоже параллелограмм, следовательно, BE=F2A2= CB= D2A2. Отсюда точка F2 делит D2A2 пополам .

Докажем, что отрезок MN средней линии трапеции EF, заключённый между пересекающимися, кроме того, ЕМ = NF= (Рис.2.3) .

диагоналями, равен полуразности оснований, то есть MN=

–  –  –

Глава 3. Четыре замечательные точки треугольника (стр .

103-104[1+; стр. 197-209*2+; стр. 85-103[12]) §3.1. Медианы треугольника .

Три медианы треугольника АВС пересекаются в одной точке О и делятся в этой точке в отношении 2:1, считая от вершины. Точка О называется центроидом и является центром тяжести треугольника АВС (Рис.3.1.)

а) Проведём какие-нибудь две медианы АА1 и ВВ1. Т.к. А1 и В1середины сторон соответственно ВС и СА, то В1А1средняя линия АВС. Тогда согласно §2.1. В1А1АВ и В1А1= АВ. Обратим внимание на то, что =, то и С1А1средняя линия АОВА1ОВ1 (1=2 и 3=4 как внутренние накрест лежащие). А т.к .

АВС, а, следовательно, ОА 1= АА1 и ОС1= СС1. Кстати, отсюда следует, что все три медианы пересекаются в одной точке О .

б) Разобьём АВС на тонкие горизонтальные полоски. Тогда центр тяжести каждой полоски принадлежит медиане СС1, а значит, если положить АВС на ребро, совпадающее с прямой СС1, то он уравновесится .

Следовательно, центр тяжести треугольника должен лежать на медиане СС1.Разбив АВС на тонкие полоски, параллельные АС, мы обнаружим, что центр тяжести лежит на медиане ВВ1. Тогда очевидно, что точка пересечения медиан и есть центр тяжести .

–  –  –

§ 3.2. Биссектрисы треугольника Из п.3 §0.1. вытекает, что все три биссектрисы (как ГМТ, равноудалённых от сторон угла) пересекаются в одной точке, и эта точка является центром вписанной окружности .

Определение длины биссектрисы (Рис.3.3.) .

–  –  –

[ ]= = = = = = = ; = = = = = = = = = = = ;

–  –  –

§3.3. Высоты треугольника .

Три высоты треугольника пересекаются в точке, которая называется ортоцентром (Рис.3.5.). Через вершины заданного АВС проведём прямые, параллельные противоположным сторонам, и получим A0B0C0. Так как АВСВ0 и AC0BCпараллелограммы (СВ B0C0; АВ B0C; АС C0B), то СВ= =АС0 =. Таким образом, точка Асередина отрезка, а АА1серединный перпендикуляр в. Рассуждая аналогичным образом, можно показать, что СС1 и ВВ1тоже серединные перпендикуляры. Следовательно, согласно п.2 §0.1. точка Н является точкой пересечения всех трёх серединных перпендикуляров и одновременно центром описанной окружности (как результат пересечения трёх ГМТ) .

Более того, не очень сложно показать, что точка Н является и центром вписанной окружность A1B1C1, образованного основаниями высот АВС (Рис.3.6.) .

–  –  –

§3.4. Cерединные перпендикуляры .

В п.2 §0.1. обсуждалась причина пересечения всех трёх серединных перпендикуляров в одной точке, причём эта точка является центром описанной окружности .

§3.5. Прямая Эйлера(Рис.3.8.) Три замечательные точки треугольника: центр описанной окружности, точка пересечения медиан и точка пересечения высот лежат на одной прямой. О – центр описанной окружности около АВС; Н – точка пересечения высот АВС; D – середина стороны ВС. В предыдущем пункте было показано, что точка пересечения высот Н является центром окружности, описанной около, а сам этот треугольник подобен данному АВС (ВС = С0В0; СА = А0С0; АВ = А0В0). Следовательно, коэффициент подобия равен 2 .

А значит, и все соответственные элементы этих треугольников также относятся между собой .

Так как точка Н – центр окружности, описанной около, а точка О-центр окружности, описанной около АВС, т.е. точке Н в соответствует точка О в АВС, то отрезку АН в соответствует DO в АВС. Отсюда =2. Соединим точки О и Н, а точку пересечения ОН с прямой АD обозначим через М .

О, а DОВС DOAH. DOМ МНА (ОDМ=МАН, как внутренние накрест АН лежащие;ОМD=AМН, как вертикальные). Но т.к. О =2, то и здесь коэффициент подобия равен 2 .

Следовательно, медиана AD точкой М тоже делится в отношении 2:1. Значит, точка М – точка пересечения медиан АВС, и все три замечательные точки АВС в самом деле лежат на одной прямой .

Глава 4. Свойство медианы в прямоугольном треугольнике(Рис .

4.1.) В прямоугольном АВС медиана, проведённая к гипотенузе АВ, равна её половине, а значит, радиусу описанной окружности: = = R. Пусть АВС – прямоугольный, с прямым углом С. Согласно п4 §0.1 .

гипотенуза прямоугольного треугольника является диаметром окружности, описанной около АВС. Тогда:

=. Докажем, что в этом R=OB=OA=OC. Пусть наоборот: дан произвольный АВС, в котором медиана случае АВС – прямоугольный, где С=90° .

Если ОС =, то ОС=ОВ=ОА, т.е. точка О равноудалена от точек А, В и С, а стало быть, является центром описанной окружности. Но т.к. точка О лежит на стороне АВ, то АВ – не что иное как диаметр. А все вписанные углы, опирающиеся на диаметр,прямые, следовательно, АВСпрямоугольный, и С=90° .

–  –  –

§8.2 Некоторые тригонометрические соотношения .

1 Докажем теорему тангенсов, заключающуюся в том, что в произвольном треугольнике разность двух сторон относится к их сумме, как тангенс полуразности противолежащих углов к тангенсу их полусуммы

–  –  –



Глава 9. Определение вида треугольника по его сторонам(Рис .

9.1.-9.3.)

Пусть а, в и сстороны АВС(Рис.9.1), причём снаибольшая сторона, тогда:

а) если с2 а2+в2, то АВСостроугольный;

б)если с2= а2+в2, то АВСпрямоугольный;

с) если с2 а2+в2, то АВСтупоугольный .

Начнём со случая б): пусть АВСпрямоугольный, т.е. С==90°, тогда, согласно теореме Пифагора, с = + .

Давайте увеличивать угол, т.е. заставим вершину В скользить влево по окружности радиуса а, и АВС становится тупоугольным.

Тогда сторона с может быть найдена согласно теореме косинусов:

с = + 2авcos, но при 90°, в соответствии с графиком у=cos (рис.9.2.), cos0. Тогда очевидно, что с +, и с продолжает расти по мере увеличения угла вплоть до 180°, при этом АВС вырождается в прямую, а с =. Все это хорошо видно на графике (рис.9.3.). Значит, и в самом деле в тупоугольном АВС с +. Теперь давайте уменьшать угол : вершина В скользит вправо по окружности радиуса а .

Тогда, используя теорему косинусов, запишем: с = + 2авсоs; в соответствии с графиком функции у=cos (рис.9.2.), во-первых, соs0, а, во-вторых, по мере уменьшения угла cos увеличивается, а стало быть, с + и продолжает уменьшаться по мере падения, что и видно из графика на( рис.9.3. )Но сторона с будет наибольшей в АВС до определённого угла =arc cos (С Аравнобедренный = ;

cos =cos = ).При такой величине угла с=в, а при дальнейшем уменьшении угла сторона в становится больше стороны с. Поэтому теперь надо исследовать сторону в. Но угол острый, поэтому (т.к. = +с 2асcos) пока остаётся острым +с. И так до тех пор, пока не станет равным =90°; в этом случае = +с, т.е. АВС станет опять прямоугольным. Далее при уменьшении, будет продолжать расти и станет больше 90°, т.е. АВС превратится тупоугольный. И следовательно, +с, и мы вернулись к предыдущему случаю. Значит, доказан и случай а), то есть, если АВС остроугольный, то с + .

–  –  –

Глава 11. Метрические соотношения в параллелограмме, в трапеции и в произвольном четырёхугольнике .

§11.1. Метрические соотношения в параллелограмме .

Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон:

=2 .

В п.2 §3.1. с помощью векторной алгебры была выведена эта формула. Приводить другие доказательства, видимо, не имеет смысла, т.к. все они значительно сложнее .

§11.2. Метрические соотношения в трапеции (Рис.11.1)

–  –  –

Рис. 11.2.г .

Как и в предыдущем случае, точки K и L делят пополам основания BC и AD. Рассмотрим прямоугольные треугольники BQC и AQD. Согласно главе 4, QK = BC =, QL = AD =. Тогд LK =QK +QL = =++ 6 Рассмотрим некоторые свойства равнобокой трапеции( Рис.11.3)

а) Опустим из вершин В и С высоты на основание АD. Так как ВСС1В1 – прямоугольник, то В1С1 = ВС =в, а из равенства прямоугольных треугольников АВВ1 и DСС1 вытекает, что АВ1=С1D =, тогда АС1= DВ1=аАС1= DВ1 = <

–  –  –

§11.3.Метрические соотношения в произвольном четырёхугольнике .

1 Теорема Эйлера. Дан четырёхугольник АВСD, стороны которого АВ=а, ВС=в; СD=с, АD =g, а диагонали АС=d1 и ВD=d2. Точки E и F- середины диагоналей АС и ВD соответственно, отрезок EF =t .

Докажем, что а2+ в2+ с2+ g2= d12+ d22+4t2 (Рис.11.4.)

–  –  –

+ 2= | |2+ | |2 + t2 - + с 2= | |2+ | |2 + t2 + + + _________________________________________________

2+ 2+ 2+ 2= | |2 +| |2+4 2 с Обратим внимание на то, что соотношение между сторонами и диагоналями параллелограмма является частным случаем теоремы Эйлера, т.к. в параллелограмме точка пересечения диагоналей делит их пополам, то t=0. И мы получаем известную формулу 2a2 +2в2= d12+ d22 .

2 Первая теорема косинусов для произвольного четырёхугольника .

Докажем, что квадрат стороны четырёхугольника равен сумме квадратов трёх других сторон без удвоенных произведений пар этих сторон и косинусов углов между ними .

AD2 = АВ2 + ВС2 + СD2 – 2АВ·ВС·cos В 2ВС · CD cоs С 2АВ·СD·cosМ( Рис.11.5.)

–  –  –

2. В параллелограмме с острым углом равным 45° квадрат произведения диагоналей равен сумме четвёртых степеней неравных сторон, то есть если = = 45°, то d1 d2 =а + в .

3. В любом выпуклом четырёхугольнике, вписанном в окружность, произведение диагоналей равно сумме произведений противоположных сторон ( теорема Птолемея, 4§ 15.1.), то есть, если + =180°, то (d1 d2)2= (ас)2+(в )2+2авс =(ас+в 2d1d2= ас+в .

4. Докажем, что если диагонали четырёхугольника взаимно перпендикулярны, то суммы квадратов его противоположных сторон равны (Рис.11.7.) 7 .

.

Пусть точка пересечения диагоналей М делит диагональ ВG = d1 на отрезки d11 и d12, а АС= d2- на отрезки d 21 и d22 .

Из прямоугольных треугольников AMG и ВСМ найдём: а2 = d221 + d212 и с2= d211 + d222 Сложим левые и правые части этих равенств: а2+с2=d211+ d212+ d221 + d222(1). Теперь из прямоугольных треугольников АМВ и СGM получим: в2= d221 + d211 и 2 = d222 + d212 ; а после сложения: в 2+ 2= d211+ d212+ d221+ d222(2) .

Сравнивая (1) и (2) равенства, обнаружим, что а2+с2 = в 2+ 2 .

Можно доказать и обратную теорему: если суммы квадратов противоположных сторон равны, то диагонали четырёхугольника взаимно перпендикулярны. Применим теорему косинусов сначала к треугольникам AMG и ВСМ: а2 = d221 + d212 –2 d21d12 соs(1) и с2 = d211+ d222 - 2 d11 d22 соs(1). Сложим полученные равенства: а2 +с2= d211+ d212 + d221 + d2222соs(1)( d11d22 + d 21 d12). Предположим, что 1 –острый, тогда 2 – тупой и соs(2) = соs (180° - 1)= соs(1). Тогда для второй пары треугольников имеем в2 + d2 = d211+ d212 + d221 + d222 +2 соs(1)( d21d11 + d12d 22 ) А так как по условию а2 +с2 = в2+ d2, то d211+ d212 + d221 + +d222 - 2 соs(1)( d11d22 + d 21 d12) = d211+ d212 + d221 + d222 +2 соs(1)( d21d11 + d12 d22) - 2 соs(1) (d11d22 + d 21d12 ) = 2 соs(1)( d 21 d11 + d12 d22 ) соs(1)( d21d11 + d12 d22 + d11d22 + d 21d12) =0. Так как выражение в скобках нулю равняться не может, то соs(1) =0, откуда 1=2=90° .

Глава 12. Свойства касательных к окружности(См .

стр. 56-72 [15]) §12.1. Радиус, проведённый в точку касания Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. (Рис.12.1.) Если MN касается окружности в точке А, то все остальные точки этой прямой находятся вне окружности, отрезки ОВ, ОС и др. больше радиуса ОА. Следовательно, этот радиус наименьший из отрезков, соединяющих точку О с любой точкой на прямой MN, поэтому ОА MN .

Если прямая MN перпендикулярна радиусу ОА в его конце (А), то она касается окружности. Точка А как конец радиуса, лежащая на окружности, принадлежит и окружности и прямой MN. Значит, эта точка – общая у окружности и у прямой. Все же остальные точки прямой MN, такие как В, С и другие, отстоят от центра О дальше, чем на радиус (ОВ, ОС как наклонные, больше перпендикуляра ОА), а потому все они лежат вне окружности. Следовательно, у прямой MN есть только одна точка А, общая с окружностью, и, значит прямая MN – касательная .

§12.2. Две касательные, проведённые к окружности из одной точки .

Две касательные, проведённые к окружности из одной точки, равны; а центр окружности лежит на биссектрисе угла между ними (Рис.12.2.) .

Согласно п.3 § 0.1. биссектриса – ГМТ, равноудалённых от сторон угла, а потому центры всех окружностей, вписанных в этот угол, лежат именно на ней. А чтобы доказать первое утверждение, рассмотрим прямоугольные треугольники АОС и АОВ. В соответствии с предыдущим параграфом, радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. Напомним, что АО биссектриса, и общая гипотенуза, следовательно, АОС=АОВ, значит, АС=АВ что и требовалось доказать .

§12.3. Окружности и касательные(Рис.12.3.) .

.К касающимся друг друга внешним образом окружностям с разными радиусами проводим две общие касательные АВ и МС (Рис.12.3.). Тогда точка (М) пересечения этих касательных, во-первых, является центром окружности, описанной вокруг прямоугольного треугольника АСВ, вершинами которого служат точки касания, и во-вторых, вершиной прямоугольного треугольника, гипотенузой которого является отрезок О О, соединяющий центры окружностей. МА=МС, т.к. это две касательные, проведённые из одной точки М к окружности радиуса r; МС=МВ как касательные, проведённые к окружности радиуса R. Тогда МА=МС=МВ .

Но МСмедиана АСВ и при этом МС= АВ. Тогда, согласно главе 4, АСВпрямоугольный; С опирается на диаметр окружности, центром которой служит точка М. Теперь докажем второе утверждение. Т.к. малая окружность вписана в АМС, то МО биссектриса этого угла, т.е. 3=4, по той же причине МО биссектриса СМВ 1=2. Но биссектрисы смежных углов перпендикулярны (3=4=; 1=2=;

2+2=180° +=90°). Следовательно, точка Мвершина прямоугольного треугольника О МО с гипотенузой О О .

.Отрезок общей касательной АВ двух касающихся окружностей с радиусами r и R является средним геометрическим между диаметрами этих окружностей (Рис.12.4.). Проведём прямую О DАВ. Получим прямоугольник АВDО и прямоугольный О DО. Причем О О =R+r; О D=Rr, тогда по теореме Пифагора:

=4Rr, но т.к. D=AB, то AB= .

= =. Дан произвольный АВС со сторонами а, в и с (Рис.12.5.). Построены вписанная и вневписанная окружности. Выразим отрезки касательных через стороны АВС. Пусть А =А =х, тогда С =С =вх; В =В =сх. Сложим: С +В =а вх+сх=а 2х=в+са=в+с+а2а=2р2а х=ра. А =А ; А +А =(в+С )+(с+В )=(в+С )+(с+В )=в+с+(С +В )=в+с+а=2р А =А =р. Далее: С =С =А АС=рв; В =В = ВСС =а(рв) =а+в+срс=2ррс=рс .

С =С =АСх=в(ра) = а+вр = а+в+срс=рс; =аС В =а(рс)(рс)= а+2с2р = =а+2савс=св; В =В =ВСС =аС =а(рс)=р+а+с+вв=2ррв=рв .

Т.к. С =В, то С =В =рв; = В+В =рв+рс = 2рвс=а+в+свс=а; =С +С = =св; =а .

=рв+рс=2рвс=а. Следовательно, =.Дан АВС с А=2 при вершине, радиус вневписанной окружности, касающейся стороны ВС, равен (Рис.12.6.). Найдём периметр АВС. Т.к. ВЕ=ВD, CE=CF и AF=AD как касательные, проведённые из одной точки, то2р=ВА+АС+СВ=ВА+АС+(CE+BE)=ВА+АС+BD+CF=(AC+CF)+(AB+BD)=2AF .

Из прямоугольного AFO имеем: ctg= AF= ctg. Следовательно, р=AF = ctg и 2р=2 ctg .

.Даны окружности радиусов r и R. Расстояние между их центрами равно а (аR+r). Рис.12.7 .

Найдём отрезки общих касательных, заключённые между точками касания. Очевидно, что общих касательных будет две: внешняя касательная и внутренняя. проведём Р. Так как Р=О О О = Р прямоугольник, Р= ; из прямоугольного Р .

Для определения опустим из точки перпендикуляр на продолжение прямой и получим =Q = = прямоугольный Q. Откуда. Следовательно, =,a = .

Глава 13. Измерение углов, связанных с окружностью §13 .

1. Центральный угол измеряется дугой, на которую он опирается Центральным углом по отношению к заданной окружности называется любой угол с вершиной в центре этой окружности. Любому центральному углу соответствует дуга окружности и наоборот. Дуги окружности, как и углы, можно измерять в градусах и в радианах. Градусная мера всей окружности равна 360°. Одному угловому градусу соответствует дуга, равная части окружности, которая называется дуговым градусом .

Радианной же мерой угла является отношение длины дуги, на которую опирается данный центральный угол, к радиусу окружности, т.е. =, что делает эту величину безразмерной, т.к. и длина дуги и радиус измеряются в одних и тех же единицах. Чтобы определить соотношение между градусной и радианной мерой, заставим радиус-вектор совершить полный оборот, тогда 360°= =2 радиан или 180°= радиан .

Следовательно, 1°= 1,745 радиан, а 1радиан= = 57°1745". Таким образом центральный угол измеряется дугой, на которую он опирается .

§13.2. Вписанный угол АВС измеряется половиной дуги АДС, на которую он опирается (Рис.13.1) .

Проведём через вершину угла В диаметр ВD. Пусть АВО=, а СВО= (+=АВС). АОВравнобедренный, так как АО=ОВ=R, а значит, А=. Но угол АОДвнешний по отношению к АОВ и, следовательно, равен 2. А так как АОДцентральный и измеряется дугой, на которую он опирается, то угол измеряется половиной дуги АmD, на которую он опирается. Аналогично можно доказать, что угол измеряется половиной дуги DnC, на которую он опирается. Отсюда и вытекает, что АВС=+ измеряется половиной дуги АDС, на которую он опирается. Полезно напомнить, что следствием этой теоремы является весьма важный факт, который обсуждался в п.4.§ 0.1, а именно: ГМТ, из которых данный отрезок АВ виден под углом,две дуги окружностей, симметрично расположенных относительно отрезка АВ .

§13.3. Угол ACD между касательной и хордой измеряется половиной дуги DmC, заключённой между касательной и хордой (Рис.13.2.) .

–  –  –

§13.5. Угол AMD, образованный двумя пересекающимися хордами AB и СD, вершина которого M лежит внутри круга, измеряется полусуммой двух дуг AmD и CnB (Рис.13.3.) .

Соединив точки С и А, получим АСМ, внешним углом по отношению к которому является АМD=1 .

Следовательно, 1=2+3. Но 2 измеряется половиной дуги AmD, a 3 половиной дуги СnB. Тогда, очевидно, АМD измеряется полусуммой дуг AmD и CnB .

–  –  –

Рис.14.3 Так как согласно §3.2, центр вписанной окружности совпадает с точкой пересечения биссектрис, проведём биссектрисы АО1 и ВО1, которые продолжим до пересечения с описанной окружностью в точке М .

Пусть О1О2=а. Забегая вперёд, воспользуемся теоремой §16.1, доказывающей, что произведение отрезков хорд(точка пересечения которых расположена внутри круга радиуса R на расстоянии а, от его центра) равно R2а2. В нашем случае: МО1О1В= R2а2(1). Рассмотрим АО1В, внешним углом которого является т к к к они о опир тс н дугу += 3=1+2= (.Заметим, чтоО1АМ= ’ =* = = = ( О1АМ= АМО1равнобедренный. Откуда следует, что МА= МО1( кстати, рассуждая аналогичным образом, можно показать, что МС= МО1). Вернёмся к соотношению (1) и заменим МО1 на АМ, то есть МА О1В = R2 а2 (2).

Теперь из прямоугольного треугольника О1NВ имеем: О1В =,а применяя теорему синусов к МАВ,получим: МА=2R, подставим оба эти выражения в соотношении (2):

= R а 2Rr =R a a = R 2RrО1О2= 2R 2 Почти аналогично выводится формула, связывающая расстояние между центрами вневписанной окружности, например Оа, и центром описанной окружности О2 с радиусами вневписанной окружности ra и описанной R: ОаО2 = (Рис.14.4). Подробно эта формула обсуждается в [19] стр. 42 и 123 .

–  –  –

Глава 15. Теоремы об окружностях и четырёхугольниках .

§15.1. Соотношения между углами, сторонами и хордами вписанного четырёхугольника; зависимость радиуса описанной окружности от сторон четырёхугольника .

Для того чтобы около выпуклого четырхугольника можно было описать окружность, необходимо и достаточно, чтобы:

1. сумма противолежащих углов четырхугольника была равна 180°;

2. АВD = АСD или ВАС=ВDC или DBC=DAC или АDB=ACB .

3. произведение отрезков хорд, пересекающихся в произвольной точке О (лежащей внутри круга), является постоянной величиной: DООВ=АООС .

а). Пусть АВСDвписанный четырёхугольник, тогда докажем, что А+С =D+B=180°(необходимое условие) (Рис.15.1.). А измеряется половиной дуги DСВ, а Споловиной дуги DAB .

Но = 360°, значит ( ) =180°. Следовательно, А+С=180°. По этой же причине D+B = 180° .

б). Пусть сумма противоположных углов четырёхугольника равна 180°, тогда докажем, что наш четырёхугольниквписанный (достаточное условие) (Рис.15.2). Пусть В+D=180°.Опишем около АВС окружность. Тогда точка D расположена по другую сторону от АС, чем В. Но для всех точек дуги АmC вписанные углы дополняют В до 180°. Следовательно, точка не может быть ни вне круга, т.к. в этом случае 180°B, ни внутри, т.к. в таком случае 180°B. Отсюда вытекает, что точка D может лежать только на окружности, описанной около АВС, а, стало быть, четырёхугольник АВСDвписанный .

Полезно обратить внимание на то, что описать окружность можно только вокруг равнобокой трапеции, так как у произвольной (неравнобокой) трапеции А+СВ+D (также как и у параллелограмма и у ромба) .

Если, деформируя параллелограмм, превратить его в прямоугольник, то его тоже можно будет вписать в окружность. Что же касается ромба, то, сжимая его вдоль большей диагонали или растягивая вдоль меньшей до тех пор, пока длины его сторон не сравняются и ромб не превратится в квадрат, что даст возможность вписать его в окружность. Но, если деформировать ромб таким образом, что одна его половина, ограниченная меньшей диагональю и двумя его сторонами остаётся неизменной, а вторая сжимается вдоль большей диагонали, оставаясь равнобедренным треугольником, опирающимся на меньшую диагональ ромба, до тех пор, пока он не превратится в два равных прямоугольных треугольника, а большая диагональ ромба в их общую гипотенузу, которая тогда и станет диаметром описанной окружности .

а). Пусть АВСDвписанный четырёхугольник (рис. 15.1.); тогда докажем, что либо 1=2, либо 3=4, либо 5=6, либо 7=8 (необходимое условие). Это очень легко доказывается, т.к. каждая пара углов опирается на свою, соответствующую этой паре дугу, например, 1 и 2 опираются на дугу СmB, a 3 и 4на дугу DnA и т.д .

б). Теперь предположим, что 1=2, тогда докажем, что вокруг четырёхугольника АВСD можно описать окружность (достаточное условие). Опишем около АВС окружность (рис. 15.3.) .

Точка D не может находиться вне круга, т.к. в этом случае согласно § 13.5. угол В C измеряется полуразностью дуг BmC и КР; таким образом В C меньше ВАС, который измеряется половиной дуги BmC. Но и внутри круга точка D находиться не может, т.к. в этом случае B C согласно § 13.4. измеряется полусуммой дуг BmC и КР, стало быть, В C больше ВАС. Следовательно, точка D лежит на окружности, описанной около АВС, а значит, четырёхугольник АВСD вписанный .

. Если АВСDвписанный четырёхугольник, то DООВ=АООС. Воспользуемся (рис. 15.1) ADO CBO О (7=8; 5=6). Тогда из подобия получим: О = AOCO=OBDO. Тот же результат мы получили бы, если бы рассмотрели подобие АВО и CDO. К свойству хорд, точка пересечения которых лежит внутри круга, мы вернёмся к главе 16, откуда будет видна достаточность этого условия .

. Теорема Птолемея: если АВСDвписанный четырёхугольник, то АВCD+BCAD=ACBD.(следствие 3 теоремы Бретшнейдера, доказанной в пункте. ) (Рис.15.4.)

–  –  –

Теорема косинусов для вписанного четырёхугольника .

Выразим диагональ d2 из ВDС и ВDА: (рис. 15. 6) d22=a2+в2-2ав соsС =g2+c2-2gc соsA, но соsС= соs (180°-А) = соsА. Тогда a2+в2+2ав соsА =с2g2 - 2gс соsА

a2+в2 =с2 + g 2 – 2(ав +сg)соsА.Рассуждая аналогично по отношению к диагонали d1, получим в результате:

в2+с2 =а2+ g 2 – 2(вс +аg) соsВ Теорема синусов для вписанного четырёхугольника(Рис.15.6) .

–  –  –

Рис. 15.6.а О центр описанной окружности, Q точка пересечения диагоналей. Пусть центральный угол АОВ равен 2 а DО =, тогда вписанный АDВ =, а D =. Из прямоугольного АDQ следует, что + =90° .

Рассмотрим прямоугольные треугольники АQВ и DQС. АQ2 + ВQ2 + СQ2 +DQ2 = АВ2 + D 2 = 1 =Rsin ;

СН2 = R sin =R sin (90 )=R cos AB=2BH1 =2Rsin ; DC=2CH2 =2R cos ] =4R2sin2 + 4R2cos2 = 4R2 .

Аналогично доказывается, что сумма квадратов другой пары противоположных сторон также равняется 4R2 .

Таким образом, получен следующий полезный результат: АQ2 + ВQ2 + СQ2 +DQ2 = АВ2 + D 2 = ВС2 +АD2=4 R2 Обратим внимание также на тот факт, что расстояние от центра описанной окружности до любой стороны четырёхугольника вдвое меньше длины противоположной стороны:ОН1 = R cos =(90 )= R sin =CH2= DC .

§15.2.Соотношения между элементами выпуклого описанного четырёхугольника .

Для того чтобы в выпуклый четырёхугольник ABCD можно было вписать окружность, необходимо и достаточно, чтобы суммы противоположных сторон были равны:

AB + DC = BC + AD .

1 а) Пусть АВСD описанный четырёхугольник (рис.15.7). Вспоминая, что касательные, проведённые из одной точки, равны, получим:

складываем между собой левые и правые части этих равенств и находим: ВС+АD=ВА+СD, т.е. необходимость доказана .

Рис.15.7

б) Теперь необходимо доказать, что, если АВ+СD=ВС+DА, то данный четырёхугольник является описанным .

Два варианта доказательства этого утверждения подробно представлены на стр. 224-225 [2] .

2 Теорема Ньютона .

Докажем, что если в четырёхугольник можно вписать окружность, то центр этой окружность лежит на прямой, соединяющей середины диагоналей четырёхугольника. (Рис.15.8.) Рис.15.8 Так как и М1 и М2-середина диагоналей, то SАМ1D = SМ1СВ (АМ1=М1С и высоты тоже равны), SСМ1D = SМ1AD(СМ1=М1А и высоты равны), SВМ2А= SМ2DА, SВМ2С = SМ2DС. Поэтому SАМ1В + SСМ1D = SАСВ + SАСD = SАВСD и SВМ2А + SМ2DС = SАВСD. Кроме того, согласно пункту 1 для того, чтобы в выпуклый четырёхугольник можно было вписать окружность, необходимо и достаточно, чтобы суммы противоположных сторон, были равны, то есть АВ +СD = АD+ ВС. Тогда SАВО + SСDО = SАВО + SСDО = АВr + СDr = ; SАDО + SВСО = АDr+ ВСr= =SАDО + SВСО = SАВСD На странице 237 - 239 подробно обсуждается вопрос о том, что все точки прямой М1М2 обладают выше описанными свойствами: SАМВ + SСМD= SАМD + SВМC + SАВСD, где М [ ] .

3 Докажем, что если в трапецию вписана окружность, то боковые стороны трапеции видны из центра окружности под прямыми углами, а радиусы среднее геометрическое отрезков, на которое точки касания делят боковые стороны (Рис. 15.8.а) Рис. 15.8.а Так как биссектриса ГМT равноудалённых от сторон угла, то центр любой окружности, вписанной в этот угол, должен лежать именно на биссектрисе. Следовательно, точка О, являющаяся центром окружности, равноудалена от всех четырёх сторон трапеции и лежит на пересечении биссектрис. Но так как =90° (как внутренние односторонние при параллельных АВ и DC и секущей СВ) и D=90°, то ОВОС и ОАОD, то есть О = ОD=90°. Следовательно, каждая боковая сторона видна из центра окружности под прямым углом. Согласно §12.1, радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, таким образом, ОКВС и ОМАD. Отсюда следует, что радиусы ОК и ОМ являются высотами, опущенными из прямых углов прямоугольных треугольников ВОС и АОD. А исходя из формулы(выведенной в главе 6), утверждающей, что высота, опущенная из прямого угла, равна среднему геометрическому отрезков гипотенузы, на которые основание высоты её делят, получим: ОК= r = и ОМ =r = .

4 Некоторые свойства описанной равнобокой трапеции .

а) Докажем, что боковые стороны трапеции равны её средней линии (рис. 15. 9). Обозначим основание трапеции АВ=а, DС=в и боковые стороны АВ=СВ=п. Так как в трапецию вписана окружность, то согласно пункту 1 этого параграфа, суммы противоположных сторон равны, то есть а+в=2п. Но средняя линия =n трапеции равна полу сумме оснований, то есть. ЕF= рис. 15. 9

б) Покажем, что диаметр окружности, вписанной в равнобокую трапецию, равен среднему геометрическому оснований трапеции (рис 15. 9). Опустим из точки D высоту на основание АВ. Тогда,DD1 = МN, где МN- диаметр вписанной окружности. Согласно свойству равнобокой трапеции, отмеченному в пункте 3 §11. 2, АD1 =, а исходя из доказательства, предоставленного в пункте а), боковые стороны равнобокой трапеции равны среднему арифметическому её оснований, то есть АD = п =. Тогда из

–  –  –

Чтобы продемонстрировать доказанное соотношение, рассмотрим два полезных примера .

2 Определим длину отрезка EF параллельного основаниям, который делит ABCD на две равновеликие трапеции AEFB и EDCF (Рис.17. 2)

–  –  –

Докажем, что = ок.(Рис. 18.5.) В § 20 будет доказано, что площади треугольников, образованных пересечением диагоналей произвольного выпуклого четырёхугольника, подчиняются следующему соотношению: =. В частном случае в трапеции ВС AD и, как было доказано в п.1, = = ок. Следовательно, = = ок .

–  –  –

= = * += = =

–  –  –

§19.2. Соотношения между площадями частей треугольника, образованных при пересечении его медиан .

Пересекающиеся медианы АВС делят его на 6 равновеликих треугольников:

= = = =. (Рис. 19.5.)

–  –  –

= (АВ СD + ВС АD) Площадь описанного четырёхугольника равна S=pr. На самом деле эта формула верна для любого описанного n-угольника, т.к. его можно разбить на n треугольников так же как и четырёхугольник ABCD на четыре треугольника AOB, BOC, COD и DOA, площади которых легко выражаются через стороны четырёхугольника и радиус вписанной окружности r. (Рис.20.3.)

–  –  –

SABCD= sin = sin = tg ет рёхугольник (§20.1) Так как вписать параллелограмм в окружность невозможно (если мы попытаемся выполнить необходимое условие для вписанного четырёхугольника A+C=B+D=180°, то наш параллелограмм превратится в прямоугольник), и вписать в него окружность тоже не удастся, пока он не станет ромбом, чтобы выполнилось необходимое условие для описанного четырёхугольника: a+c=b+d, то формулы, определяющие площади вписанных и описанных четырёхугольников, в данном случае не работают. Ну, раз ничего интересного не нашлось, давайте вспомним векторную алгебру, точнее, векторное произведение векторов: =с; по определению |с =| | sinа это как раз и есть площадь параллелограмма, натянутого на эти вектора .

Выразим вектор с через проекции векторов и.(Рис. 21.1.)

–  –  –

Проведём прямую ВК через середину стороны CD, точку F. BCF=DKF (1=2как вертикальные, 3=4как внутренние накрест лежащие, CF=FD). Тогда =. Обратим внимание на то, что DK=BC=b. Отрежем BCF и поместим его на место DKF. Мы получим АВК- равновеликий трапеции ABCD .

= AKh= (AD+DK)h= (a+b)h .

–  –  –

§25.3. Соотношении между сторонами правильного n-угольника и 2n-угольника .

В окружность радиуса Rn вписан правильный n-угольник со стороной аn. Найдём сторону а2n правильного 2nугольника, вписанного в ту же окружность.(Рис. 25.2.)

–  –  –

Список использованной и рекомендуемой литературы Киселёв А.П. Геометрия. Планиметрия. Стереометрия. Физматлит. М.2004;

1 .

Шарыгин И.Ф. Геометрия.79классы. Дрофа. М. 2004;

2 .

Шабунин М.И. Математика для поступающих в ВУЗы..Лаборатория Базовых Знаний М. 1999;

3 .

Зеленский А.С, Панфилов И.И. Геометрия в задачах. НТЦ ”Университетский”. Универ-пресс .

4 .

М. 2008;

Бесчетнов В.М. Математика. Курс лекций для учащихся 711 классов.2ойтом. Демиург. 1994;

5 .

Ткачук В.В. Математикаабитуриенту. Том I. «Теис». М. 1995;

6 .

Лурье М.В. Геометрия. Техника решения задач. УНЦ ДО. М. 2004;

7 .

Затакавай В.В, Франкфурт Б.А. Пособие по математике для поступающих в экономические 8 .

ВУЗы. М. 1998;

Шувалова Э.З, Каплун В.И. Геометрия. «Высшая школа». М. 1980;

9 .

Карп А.П. Даю уроки математики. «Просвещение». М. 1992;

10 .

Мордкович А.Г. Беседы с учителями математики. «Школапресс». М. 1995;

11 .

Составитель Никольская И.Л. Факультативный курс по математике. Учебное пособие для 79 12 .

классов. «Просвещение». М. 1991;

Шипачев В.С. Высшая математика. «Высшая школа». М. 1998;

13 .

Атанасян Л.С. и др. Факультативные курсы по математике для 1011 классов. НИИ школ МНО 14 .

РСФСР. 1989;

Гордин Р.К. ЕГЭ 2012. Математика. Задача С4. Планиметрия. МЦНМО. М. 2011 .

15 .

Адамар Ж. Элементарная геометрия. Часть I. Планиметрия. Учпедгиз. М. 1957 .

16 .

Гордин Р.К. Это должен знать каждый матшкольник.МЦНМО.М.2014 .

17 .

Шарыгин И.Ф. Геометрия. Задачник. «Дрофа».М.1996 .

18 .

Прасолов В.В. Задачи по планиметрии. МЦНМО.М.2007 .

19 .

Буду чрезвычайно благодарен всем, приславшим мне свои замечания и пожелания!

ostrogs@mail.ru в теме, просьба писать « по теме планиметрии»

С уважением Острогский Николай Николаевич .






Похожие работы:

«iconBIT DVR DUO Руководство пользователя iconBIT DVR DUO Руководство пользователя Уважаемый покупатель! Благодарим вас за приобретение видеорегистратора iconBIT DVR DUO. DVR DUO — это цифровой видеорегистратор, в котором используются самые...»

«Аннотация к рабочей программе Рабочая программа учебного предмета "Музыка" обязательной предметной области "Искусство" разработана в соответствии с пунктом 18.2.2 ФГОС ООО. Рабочая программа разработ...»

«Наиболее аварийные перекрестки Кировского района Санкт-Петербурга За 8 месяцев 2018 года По итогам анализа аварийности с 1 января 2018 года по 31 августа 2018 года на территории Кировского района Санкт-Петербурга выявлено 4 места концентрации ДТП: O Пр. Стачек – ул. Зенитчиков – 3 столкновения O Пр. Стачек – Трамвайный...»

«(ГОДЪ ТРИДЦАТЬ пятый), Выходятъ емсенедгълъно\ цгъна гоW За печатаніе объявленій ваимадовому иаданію съ пересылкою и ется плаата 10 к. аа строчку, ічитая въ строк б словъ. бевъ пересылки б руб. Д К...»

«ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ "БЕЛГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ" (НИУ "БелГУ") ФАКУЛЬТЕТ МАТЕМАТИКИ И ЕСТЕСТВЕННОНАУЧНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ПЕДАГОГ...»

«Книжный развал ИЗДАНО В ОДЕССЕ Константин А. ИЛЬНИЦКИЙ Географии разрез Одесса, 2010 Журналист, директор издательства Порты Украины, главный редактор од ноименного журнала Константин Алексее вич Ильницкий в детстве, юности, как и многие, писал стихи. Казалось бы, з...»

«СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Будущее России ответственность молодежи. Самоуправление сту­ дентов как фактор развития социальной компетентности молодежи.Всероссийская научно-практическая конференция. Пятигорск: ПГПУ, 2 0 0 6.170 с. Н.К. Чапаев (РГППУ, Екатеринбург) ФАСИЛИТАЦИОННО-АКМЕОЛОГИЧЕСКИЙ СМЫСЛ СИСТЕМЫ ПЕРСПЕКТИВ­ НЫХ ЛИНИЙ Р...»

«© Коллектив авторов, 2010 М.В. Коновалова1, А.Ю. Вашура1, Е.З. Година2, Д.В. Николаев3, С.Г. Руднев4, А.В. Третьяк2, И.А. Хомякова2, Г.Я. Цейтлин1 ОСОБЕННОСТИ КОМПОНЕНТНОГО СОСТАВА ТЕЛА У ДЕТЕЙ И ПОДРОСТКОВ С ОСТРЫМ ЛИМФОБЛАСТНЫМ ЛЕЙКОЗОМ В СОСТОЯНИИ РЕМИССИИ 1ФГУ ФНКЦ ДГОИ Росздрава; 2НИИ и Музей...»




 
2019 www.mash.dobrota.biz - «Бесплатная электронная библиотека - онлайн публикации»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.