WWW.MASH.DOBROTA.BIZ
БЕСПЛАТНАЯ  ИНТЕРНЕТ  БИБЛИОТЕКА - онлайн публикации
 

Pages:     | 1 ||

«МОДЕЛИРОВАНИЕ И АНАЛИЗ ДАННЫХ MODELLING AND DATA ANALYSIS РЕДАКЦИОННАЯ КОЛЛЕГИЯ Главный редактор – Л.С. Куравский Члены редакционной коллегии – В.И. Алхимов, С.Л. Артменков, ...»

-- [ Страница 2 ] --

фигур, может рассматриваться, как некое геометрическое исследование. Например, в модели Пуанкаре необходимо показать, что прямые являются дугами окружностей, ортогональных к абсолюту, а окружности – окружностями, лежащими внутри абсолюта. В этой части геометрия Лобачевского может рассматриваться как поиск инвариантов фундаментальной группы .

Но как только мы перейдм к геометрии треугольника на плоскости Лобачевского, ситуация изменится, поскольку не все треугольники равны друг другу. В этом смысле мы видим, что определение Клейна сужает реальное содержание, по крайней мере, таких геометрических теорий как геометрия Евклида и геометрия Лобачевского. Тут уместно вспомнить слова Гте: «Суха, мой друг, теория везде, а древо жизни пышно зеленеет» .

Видимо, теперь можно назвать ещ одну причину неправильной трактовки геометрии Евклида. Она состоит в некотором пренебрежении (в чм-то вполне естественном) к многообразию простых и достаточно конкретных фактов .

В заключение этого раздела отметим, что можно рассматривать геометрические пространства преимущественно с алгебраических позиций. Такую возможность предоставляет использование координат. Например, Кэли разрабатывал проективную геометрию аналитически [18] .

В этом случае возникает несколько иной подход к поиску инвариантов, основанный не столько на выявлении свойств тех или иных образов в духе Штейнера, сколько на выявление числовых инвариантов. Элементарным примером является теория инвариантов, связанная с одним из разделов аналитической геометрии на плоскости, а именно с общей теорией линий второго порядка [27] .



Обсуждение вычислительной линии можно было бы продолжить, упомянув тензорный анализ или теорию инвариантов, но мы ограничимся цитатой, взятой из статьи Эли Картана «Роль Франции в развитии математики» [28]. В ней хорошо показана важность сохранения в математике традиционного геометрического содержания, сохраняющего эту науку живой .

«Гастон Дарбу (1847 – 1917) был одновременно специалистом по анализу и геометрии. Я оставлю в стороне его исследования по анализу, несмотря на их большое значение, и на то, что в некоторых из них он был предшественником важных открытий. Своей славой Дарбу обязан, прежде всего, своим трудам по геометрии. Дарбу не относился ни к тем геометрам, которые отказываются от чистой красоты геометрии для того, чтобы заменить ее аналитическими выкладками, ни к тем специалистам по анализу, которые сводят геометрию к последовательности вычислений и которыене интересуются их геометрическим смыслом. В этом смысле он был продолжателем Монжа, соединявшего очень умелое использование анализа с очень тонкой и очень развитой геометрической интуицией. Его методы всегда отличались редким изяществом и совершенным образом сочетались с особенностями рассматриваемых случаев» .

В частности живая математика (таково название одной из книг Я. И. Перельмана) должна быть связана со всем родом человеческим, должна служить ему, в том числе и обогащая знаниями, делая всех умнее. Пусть для этого понадобится всего-навсего теорема о средней линии треугольника. При этом сообщество математиков-профессионалов не должно превращаться в секту высокомерных и презирающих вс и вся сектантов, служителей искусству для искусства .

Увы, такая тенденция есть. Высказывание Манина, открывающее нашу статью, хотя бы частично подтверждает это. Для ознакомления с экстремистскими взглядами (уже в значительной степени обрушившими математическое образование, и не только во Франции) предлагаем читателю прочитать введение к книге [29] .



Мы же переходим к рассмотрению «архаичных» вопросов, связанных с геометрией треугольника. Начинаем при этом с изложения элементарной, но наш взгляд весьма красивой теории циклоидальных кривых. При этом, хотя нам не понадобится весь арсенал теорем, изЭрлангенская программа Клейна и геометрия треугольника,2015, №1, с.100-135 ложенныйдалее, мы излагаем эти вопросы подробно, считая их достаточно интересными сами по себе. Далее будут доказаны некоторые теоремы геометрии треугольника, после чего будет построена группа, преобразующая произвольные треугольники друг в друга .

–  –  –

Эрлангенская программа Клейна и геометрия треугольника,2015, №1, с.100-135 Теорема 1. Пусть точки В и D движутся по окружности радиуса 3r с постоянными скоростями, причм скорость точки D в два раза больше скорости точки В. Точка М,которая отсекает треть хорды ВD (ВМ = ВD) описывает кардиоиду, а любая хорда ВD является касательной к этой кардиоиде .

Доказательство. Кардиоида построена с помощью неподвижной окружности радиуса r с центром О и катящейся окружности радиуса r с центром С. Пусть ВОХ = u. Выберем точку D так, чтобы ВОD = u Соприкоснувшиеся при качении дуги обеих окружностей имеют длину r·u. Из исходного положения Х перо переместилось в точку М. При этом горизонтальная линия ОХ перешла в линию ОВ, а перо же за счт качения отклонилось от этой линии на угол u, то есть ВСМ = u. Треугольники ОВD и СВМ являются равнобедренными и имеют углы при вершинах равные u. Значит у них равны u и углы при основании, то есть СВМ = ОВD =. Из этого следует, что точка М лежит на хорде ВD. Из подобия названных треугольников следует, что ВМ = ВD .

Далее ВАМ = u/2, как вписанный в окружность и опирающийся на дугу, соответствующую центральному углу u. Таким образом, треугольник МАВ является прямоугольным, то есть хорда ВD перпендикулярна отрезку АМ, исходящему из неподвижный в данный момент точки А. Как указано выше, это означает, что хорда ВD является касательной к этой кардиоиде в точке М. Теорема доказана .

Теорема позволяет без всяких проблем получить параметрические уравнения кардиоиды .

Точка В имеет координаты (3r·cosu; 3r·sinu), а точка D – координаты (3r·cos 2u; 3r·sin 2u). Из теоремы следует, что отрезки с концами, имеющими соответствующие координаты, являются огибающими кардиоиды.

Координаты точки М вычисляются по формулам, которые и являются нужными уравнениями:

хм = 3·r·cos u + 3·r·(cos 2u – cos u) = r·(2·cos u + cos 2u);

ум = 3·r·sin u + 3·r·(sin 2u – sin u) = r·(2·sin u + sin 2u) .

Приведм простую компьютерную программу на языке SmallBasic, которая иллюстрирует правильность наших результатов и строит на экране и кардиоиду и е огибающие .

pi = Math.Pi x0 = 320 y0 = 220 r = 70 'Огибающие For u = 0 To 2*pi Step pi/100 xb = x0 + 3*r*Math.Cos(u) yb = y0 – 3*r*Math.Sin(u) xd = x0 + 3*r*Math.Cos(2*u) yd = y0 – 3*r*Math.Sin(2*u) GraphicsWindow.DrawLine(xb,yb,xd,yd) EndFor М.Е. Степанов

–  –  –





лельный прямой WM. Он будет перпендикулярен прямой QР, а поскольку РМ = QK = 2r, четырхугольник QРМK является прямоугольником. Прямая МК перпендикулярна радиусу QK, а, значит, является касательной к окружности с центром в точке Q и радиусом 2r .

Итак, точка кардиоиды М является основанием перпендикуляра, опущенного из точки возврата W на касательную МК к соответствующей окружности. Теорема доказана .

Попутно нами получен ещ один результат, который просто нужно заметить .

Теорема 3. Кардиоида является огибающей окружностей, центры которых лежат на неподвижной окружности, а сами они проходят через точку возврата .

Доказательство. Из равенства треугольников АОW и АСМ следует, что АW = АМ. Кроме того, отрезок АМ перпендикулярен касательной к кардиоиде ВD. Теорема доказана .

Используя эту теорему, приведм программу на языке SmallBasic, которая строит на экране и кардиоиду как огибающую соответствующих окружностей .

pi = Math.Pi x0 = 320 y0 = 220 r = 70 For u = 0 To 2*pi Step pi/30 xx = x0 + r* Math.Cos(u) yy = y0 – r* Math.Sin(u) rr=Math.SquareRoot(Math.Power(x0–r–xx,2)+Math.Power(y0–yy,2)) GraphicsWindow.DrawEllipse(xx – rr,yy – rr, 2*rr, 2*rr) EndFor

–  –  –

Сделаем ещ несколько замечаний, которые связаны со стандартными формами описания кривых, принятыми в дифференциальной геометрии .

Используя тот факт, что кардиоида является конхоидой неподвижной окружности, выведем е уравнение в полярных координатах. За полюс полярной системы координат примем точку возврата кардиоиды W. Поскольку угол MWT равен u, длина отрезка WP очевидно равна 2·r·cosu. Длина же отрезка WM, являющаяся расстоянием от полюса W до точки М, лежащей на кардиоиде, равна 2·r·(1 + cosu). Таким образом, уравнение кардиоиды в полярных координатах имеет вид = 2·r·(1 + cosu) .

Перейдем от полярных координат к декартовым, имея ввиду, что x2 y2 и x

cos u. В результате получим, что уравнение кардиоиды имеет вид:

x2 y2 ( x 2 y 2 2rx ) 2 4r 2 ( x 2 y 2 ) 0 .

Значит, кардиоида является кривой четвртого порядка, то есть, кроме всего прочего, она принадлежит к классу алгебраических кривых .

Практически все наши результаты, полученные для кардиоиды, без труда переносятся на улитки Паскаля .

Однако прежде, чем переходить к изучению улиток Паскаля, рассмотрим два важных и взаимосвязанных понятия дифференциальной геометрии. Речь идт об эволютах и эвольвентах. Разъясним, что представляет собой эвольвента. При этом мы используем механический образ, избегая точных математических определений. Нам понадобятся белая бумага, карандаш, нитка, чайная чашка и фотоаппарат .

Для того, чтобы объяснить, что изображает фотография, процитируем книгу [19]: «Эвольвенту заданной кривой можно вычертить непрерывным движением. Для этой цели изготовляется шаблон заданной кривой. В какой-либо точке е закрепляется конец нерастяжимой нити, которую обвртывают вокруг кривой, а на другом е конце закрепляют чертящее остри. Если теперь развртывать нить, оставляя е всегда в натянутом состоянии, то острие вычертит эвольвенту». На фотографии строится эвольвента окружности .

Рассмотрим процесс построения эвольвенты более внимательно. При е построении нить «стекает» с абриса кривой. Предположим, что в одной из точек она может зацепиться за гвоздик, а может и не зацепиться. Как мы узнаем о том, что произошло с нитью? Мы будем следить за движением карандаша, который либо продолжит вычерчивать эвольвенту (нить не зацепилась), либо начнт вычерчивать окружность (нить зацепилась). Но на фиксацию данного факта нужно время. Непосредственно же в момент осуществления того или другого варианта невозможно узнать, что произошло. Таким образом, движение карандаша по эвольвенте и по окружности неразличимы в течение очень короткого промежутка времени .

Если вдуматься в ситуацию, получается, что эвольвента и соответствующая окружность соприкасаются. Значит, у них общая касательная .

А, кроме того, на малом участке дуга эвольвенты мало отличается от дуги окружности. Окружность как бы моделирует изгиб кривой. По этой причиЭрлангенская программа Клейна и геометрия треугольника,2015, №1, с.100-135 не радиус окружности называется радиусом кривизны кривой .

И ещ очень важно то, что касательная к окружности (а, значит, и касательная к эвольвенте) перпендикулярна радиусу, то есть перпендикулярна к нити. А поскольку наши рассуждения применимы к любой точке эвольвенты, мы можем утверждать, что нить при вычерчивании эвольвенты, является нормалью к ней. Таким образом, касательные к исходной кривой являются нормалями к эвольвенте. Это означает, что зная эвольвенту, можно восстановить исходную кривую. Е принято называть эволютой. По заданной эвольвенте можно построить эволюту как огибающую нормалей .

Отметим ещ и следующий факт. Центры окружностей, моделирующих изгибы эвольвенты в каждой е точке, лежат на эволюте и полностью е заметают. Каждый из этих центров называется центром кривизны соответствующей кривой в определнной точке .

Таким образом, эволюта кривой является множествомили, как говорили когда-то, геометрическим местом центров е (то есть исходной кривой) кривизны .

Теперь обратимся к задаче о построении эволюты кардиоиды, то есть к построению огибающей нормалей кардиоиды .

Теорема 6. Эволютой кардиоиды является также кардиоида, гомотетичная исходной относительно центра неподвижной окружности с коэффициентом, равным –1/3 .

Доказательство. Дополним чертж, использованный при доказательстве теоремы 1. Пусть, как и прежде, углы ХОВ и ВСМ равны u. Тогда, как мы уже знаем, угол ХОD равен 2u, а отрезок АМ перпендикулярен хорде ВD. Наконец, угол МСА равен – u .

Продлим отрезок МА до второй точки пересечения с неподвижной окружностью. Обозначим е через D1. Поскольку подвижная и неподвижная окружности равны, легко понять, что угол АОD1 равен углу МСА, то есть равен – u. Но и угол WОА также равен – u .

Таким образом, нормаль к исходной кардиоиде отсекает от неподвижной окружности дугу АD1. Концы этой дуги определяются углами – u и 2·( – u), если вести отсчт от точки W .

Но согласно теореме 1 хорды, стягивающие такие дуги, являются касательными к некой кардиоиде .

Очевидно, что размеры этой кардиоиды в три раза меньше чем у исходной, поскольку исходная кардиоида огибается хордами окружности с радиусом в три раза большим, чем у неподвижной. Расположение малой кардиоиды, которая является эволютой исходной кардиоиды таково, что можно установить гомотетию относительно центра неподвижной окружности. Именно об этой гомотетии и говорится в условии доказываемой теоремы. Теорема доказана .

Естественно, что малая кардиоида может быть построена с помощью качения одной окружности по другой. Их радиус в три раза меньше, чем в исходной процедуре. Это обстоятельство показано на чертеже. Но следует иметь ввиду, что соответствие точек М и М 1 не является гомотетией. Кроме того, большая кардиоида возникает при качении большой окружности против часовой стрелки, а малая – при качении малой окружности по часовой стрелке .

Таким образом, на чертеже поймано только мгновение, после которого окружности с центрами С и С1 покатятся в разные стороны. Тем не менее, наша конструкция позволяет доказать теорему .

М.Е. Степанов

5. УЛИТКИ ПАСКАЛЯ Прежде всего, отметим, что улитки Паскаля названы не в честь знаменитого Блеза, а в честь его отца Этьена. Они, как и кардиоида, возникают в результате качения по неподвижной окружности равной ей подвижной окружности. Однако перо при этом не обязательно расположено на ободе. Оно может быть прикреплено к внутренней части спицы катящегося колеса, а также и к удлиненной спице, выходящей за пределы колеса .

Чтобы наглядно показать эти возможности опять ненадолго обратимся к процедуре построения циклоиды .

–  –  –

pi = Math.Pi x0 = 320 y0 = 220 r = 200 GraphicsWindow.DrawEllipse(x0–r,y0–r,2*r,2*r) t =.5 For u = 0 To 2*pi Step pi/1000 xb = x0 + r* Math.Cos(u) yb = y0 – r* Math.Sin(u) xd = x0 + r* Math.Cos(2*u) yd = y0 – r* Math.Sin(2*u) xm = xb + t*(xd – xb) ym = yb + t*(yd – yb) GraphicsWindow.FillEllipse(xm–1,ym–1,2,2) EndFor Улитка Паскаля может иметь узловую точку (то есть точку самопересечения), а может е и не иметь. Своеобразной границей между двумя типами улиток является кардиоида, у которой узел вырождается в точку возврата .

Теперь мы можем описать улитки Паскаля как нечто единое с новой точки зрения, но для этого нам придтся стрелять из пушки по воробьям, поскольку мы для геометрических целей используем одно из важных понятий топологии – гомотопию .

Согласно [20] гомотопией называется семейство отображений ht : X Y, индексированных действительными числами t из единичного отрезка I, если непрерывно отображение H ( x, t ) ht ( x). Отображения h0 и h1 называются начальным и конечным отображениями гомотопии. Если пространство Х является подпространством пространства Y, то гомотопия осуществляет деформацию пространства Х в пространстве Y .

В нашем случае параметрические формулы улиток Паскаля осуществляют вложение окружности в плоскость, а вся совокупность таких вложений (то есть гомотопия) является деформацией окружности в плоскости. Начальным отображением гомотопии, как легко видеть, является недеформированная окружность, конечным окружность, уложенная в виде двойной петли. Таким образом, улитки Паскаля можно рассматривать как фазы деформации окружности в двойную петлю .

Поскольку речь идт не о каких-либо абстрактных пространствах, а об объектах имеющих аналоги в быту, каждый может провести эксперимент, реализующий данную деформацию. При этом ему невольно придтся сдвинуться из сферы геометрии в область топологии, так как окружность утеряет свои правильные геометрические формы .

Эрлангенская программа Клейна и геометрия треугольника,2015, №1, с.100-135

–  –  –

pi = Math.Pi x0 = 320 y0 = 220 r = 30 k=3.5 r1 = k*r GraphicsWindow.FillEllipse(x0–r1–5,y0–5,10,10) For u = 0 To 2*pi Step pi/20 xa = x0+r* Math.Cos(u) ya = y0–r* Math.Sin(u) ra=Math.SquareRoot((x0–r1–xa)*(x0–r1–xa)+(y0–ya)*(y0–ya)) GraphicsWindow.DrawEllipse(xa–ra,ya–ra,2*ra,2*ra) EndFor For u=0 To 2*pi Step pi/1000 xc = x0 + 2*r* Math.Cos(u) yc = y0 – 2*r* Math.Sin(u) x = xc + r1* Math.Cos(2*u) y = yc – r1* Math.Sin(2*u) GraphicsWindow.FillEllipse(x–2,y–2,4,4) EndFor Вторая программа строит только семейства окружностей для трх случаев: точка на границе, точка вне неподвижной окружности, точка внутри .

r = 40 x0 = 150 ug = 1 r1 = r Окружности() x0 = 320 ug = –1 r1 = r+20 Окружности() x0 = 500 ug = 4 r1 = r – 20 Окружности() Sub Окружности xu = x0 + r1*Math.Cos(ug) yu = y0 – r1*Math.Sin(ug) For u=0 To 2* Math.Pi Step Math.Pi/20 xx = x0 + r*Math.Cos(u) yy = y0 – r*Math.Sin(u) rr = Math.SquareRoot((xu – xx)*(xu – xx)+(yu – yy)*(yu – yy)) GraphicsWindow.DrawEllipse(xx – rr,yy – rr,2*rr,2*rr) EndFor EndSub Поскольку к данному моменту уже становится очевидным то обстоятельство, что теория улиток Паскаля обобщает теоремы о кардиоиде, сделаем одно замечание. Оно связано с нашим, во всех отношениях несовременным, стилем изложения. Если кардиоида является одной из улиток Паскаля, нужно ли предварять разговор о более общем понятии разбором чего-то частного? Ответим на этот вопрос так – это дело вкуса и во многом связано с отноЭрлангенская программа Клейна и геометрия треугольника,2015, №1, с.100-135

–  –  –

Между прочим, отметим, что, как и в случае кардиоиды, точки D и D1 совпадают, но взаимно перпендикулярные хорды описанной окружности BD и B1D уже не являются касательными к улитке Паскаля .

Теорема 11. Улитка Паскаля является подэрой относительно вписанной окружности и особой точки .

Доказательство. Построим вписанную окружность и проведм е радиус WP, наклоннный под углом u к горизонтали. Будем иметь ввиду, что прямые UМ, ОВ и WР параллельны .

Поскольку по построению СО = WР = 2r, четырхугольник СОWР является параллелограммом. Значит, СР = ОW = OR – WR = 2r + r1 – 2r = r1. Соединим точки М и Р. Треугольники МСS и РСS равны, поскольку у них есть общая сторона СS, CМ = CР = r1 и МСS = РСS = u. Из этого следует, что МSС = РSС = 90, то есть отрезки МР и ОВ перпендикулярны .

Но тогда отрезок МР перпендикулярен и WР, то есть прямая МР касается вписанной окружности. Прямая МР перпендикулярна и к отрезку UМ, то есть точка М является основанием перпендикуляра, опущенного на касательную к вписанной окружности из особой точки. Теорема доказана .

Уравнение улитки Паскаля в полярных координатах выводится с помощью теоремы 10, абсолютно аналогично случаю кардиоиды. Естественно, за полюс полярной системы координат в этом случае мы принимаем особую точку улитки Паскаля. Не вдаваясь в подробности, получаем, что уравнение улитки Паскаля в полярных координатах имеет вид = 2·r·(k r1 + cosu), где в наших привычных обозначениях k .

r И снова по аналогии с кардиоидой без введения каких-либо новых соображений, переходя от полярных координат к декартовым, получаем, что улитка Паскаля является алгебраической кривой четвртого порядка .

6. ЭПИЦИКЛОИДЫ Улитки Паскаля являются частным видом, так называемых циклоидальные кривых. Циклоидальные кривые образуются при качении без скольжения одного круга по другому, в том числе и по внутреннему ободу. При этом круги могут иметь разный диаметр. Если вычерчивающее перо находится на ободе катящегося круга, то в случае внешнего соприкосновения кругов кривая называется эпициклоидой, а в случае внутреннего соприкосновения – гипоциклоидой. По аналогии с циклоидой могут рассматриваться удлиннные и укороченные эпициклоиды и гипоциклоиды. Они, в свою очередь называются трохоидами. При этом используются термины – эпитрохоиды и гипотрохоиды .

Кардиоида является эпициклоидой (перо на ободе) в случае, когда неподвижная и катящаяся окружности равны. Улитки Паскаля также были определены нами, как эпитрохоиды, когда неподвижная и катящаяся окружности равны. Неудивительно, что теория циклоидальных кривых строится во многом по аналогии с теорией улиток Паскаля .

Начнм с эпициклоид (ещ раз подчеркнм, что при их вычерчивании перо находится на ободе катящегося круга). Важнейшим параметром, определяющим их форму, является отношение радиусов неподвижного и катящегося круга. Обозначим эти радиусы как r0 и r1, а r отношение 1 через k1. Это число будет принимать у нас любые положительные действиr0 Эрлангенская программа Клейна и геометрия треугольника,2015, №1, с.100-135

–  –  –

Продемонстрируем несколько эпициклоид, сопроводив их изображения комментариями. Но предварительно докажем теорему, которая является прямым обобщением теоремы 1. Она, кроме всего прочего, поможет лучше понять нашу программу .

Теорема 12. Пусть точки В и D движутся по окружности радиуса r0 +2r1 с постоянными скоростями, причм скорость точки D в 1 + 1/k1 раз больше скорости точки В. Точка М, определяемая услоk1 вием ВМ = ВD, описывает эпициклоиду, а любая хорда 1 2 k1 ВD является касательной к этой эпициклоиде .

Доказательство. Эпициклоида строится с помощью неподвижной окружности радиуса r0 с центром О и катящейся окружности радиуса r1 с центром С (r1 = k1·r0). Пусть ВОХ = u. Тогда длина дуги неподвижной окружности, по которой прокатиМ.Е. Степанов лась подвижная окружность, равна r0·u. Такова же и длина дуги подвижной окружности, пришедшей в соприкосновение с неподвижной. Центральный угол, опирающийся на эту дуu r0. Выберем точку D так, чтобы ВОD = u1 .

гу, равен u1 = r1 Итак, соприкоснувшиеся при качении дуги обеих окружностей имеют длину r0·u. Из исходного положения Х перо переместилось в точку М. При этом горизонтальная линия ОХ перешла в линию ОВ, а перо же за счт качения отклонилось от этой линии на угол u1, то есть ВСМ = u1. Треугольники ОВD и СВМ являются равнобедренными и имеют углы при вершинах равные u1. Значит у них равны и углы при основании, то есть СВМ = ОВD = u1. Из этого следует, что точка М лежит на хорде ВD. Из подобия названных треугольk1 ников следует, что ВМ = ВD .

1 2 k1 Далее АМВ является прямым, так как вписан в катящуюся окружность и опирается на е диаметр. Таким образом, треугольник МАВ является прямоугольным, то есть хорда ВD перпендикулярна отрезку АМ, исходящему из неподвижный в данный момент точки А. Это означает, что хорда ВD является касательной к этой эпициклоиде в точке М. Теорема доказана .

Теперь вернмся к изучению внешнего вида эпициклоид и их сопоставлению с положительными действительными числами. При этом будет уместно вспомнить о существовании такого древнего феномена, как узелковая письменность. В наше время узелковая письменность продолжает привлекать внимание, возможно, в несколько экзотической форме. Например, можно сослаться на эзотерический язык программирования Quipu, созданный на основе узелковой письменности Инков. Для нас важно, что узелки позволяют очень естественно фиксировать натуральные числа. Если кроме вервки использовать стержень, то числу n будет соответствовать узел, n раз обрнутый вокруг стержня .

Рассмотрим эпициклоиду, соответствующую k1 = n. Для того чтобы перо, изначально максимально удалнное от неподвижной окружности, подвижная окружность должна сделать полный оборот. При этом она n раз обогнт неподвижную окружность, то есть опишет узелковую петлю, соответствующую числу n. При этом перо только однажды коснтся неподвижной окружности. Можно сказать, что вокруг неподвижной окружности n раз обогнтся одна единственная арка циклоиды, основания которой сойдутся в одной точке. В частности кардиоида, соответствующая числу 1, представляет собой одинарную арку .

Узел в один оборот – Натуральное число 3 –три оборота и Дробь 5/2 – пять оборотов, два аликвотная дробь единственное соприкосновение с соприкосновения с неподвижной (числитель равен 1) неподвижной окружностью окружностью Эрлангенская программа Клейна и геометрия треугольника,2015, №1, с.100-135

–  –  –



стью во второй точке D1. Тогда, используя сказанное выше, мы получим, что отрезок ОD1 параллелен отрезку СМ, а, значит, и отрезку ОD. Таким образом, точки D, О и D1 лежат на одной прямой. Из этого следует, что при кинематической интерпретации построения эпициклоиды (точка В движется с единичной скоростью, точка D движется со скоростью q) точки D и D1 имеют одинаковую угловую скорость. То же самое можно сказать и об угловых скоростях точек А и В .

Это означает, что точка М1 на хорде АD1 (АМ1 = АD1) по теореме 13 вычерчиq вает эпициклоиду, вписанную в неподвижную окружность. Очевидно, что коэффициент поr r0 1 добия малой и большой эпициклоид равен отношению 0 .

r0 2 r1 1 2 k1 r Взаимное расположение этих эпициклоид, можно установить с помощью следующих соображений. До этого мы рассматривали процесс движения точек В и D, начиная с момента их совмещения. Теперь же мы установили факт движения точек с нужными угловыми скоростями, но в момент, когда они находятся на некотором расстоянии друг от друга. Никакой проблемы здесь нет. Поскольку точки движутся по кругу в одном направлении с разными скоростями, более быстрая точка D1 догонит точку А. С этого момента мы попадаем в знакомую нам ситуацию .

Вопрос в том, когда точки А и D1 совместятся. Решение его достаточно просто. Соответствующие точки совместятся, когда эпициклоида коснтся неподвижной окружности, то есть в верхней точке арки. Но поскольку точка М1, вычерчивающая малую эпициклоиду гомотетична точке М относительно точки А, Точка М1 попадт на неподвижную окружность одновременно с точкой М, вычерчивающей исходную эпициклоиду, то есть в опорной точке арки этой кривой. Таким образом, вершины арок эволюты совпадают с точками излома исходной эпициклоиды. Теорема доказана .

7. ЭПИТРОХОИДЫ В отношении к эпициклоидам эпитрохоиды занимают то же место, которое улитки Паскаля занимают в отношении кардиоиды .

Теорема 15. Пусть точки В и D движутся по окружности радиуса r0 + r1 +r2 с постоянными скоростями (r1 = k1·r0, r2 = k2·r1). Если скорость точки D в q=1+1/k1 раз больше скорости точки В, то точка М, которая отсекает r2 постоянную часть хорды ВD (ВМ = ВD) r0 r1 r2 описывает эпитрохоиду .

Доказательство. Будем использовать неподвижную окружность с радиусом r0 и подвижную окружность с радиусом r1, причм перо отстоит от е центра на расстояние r2. Очевидно, что возникающая кривая вписана в окружность радиуса r = r0 + r1 +r2, а сам процесс качения такой же как и при построении эпициклоиды .

Отличие только в том, отрезки СВ, СМ и ОD либо длиннее, либо короче, чем радиус подвижной окружности. Однако подобие треугольников ВОD и ВСМ имеет место и в этом случае, что и доказывает теорему .

r2 Величина при изменении r2 от нуля до бесконечности меняется от нуля до едиr0 r1 r2 ницы .

М.Е. Степанов

–  –  –

Продолжение данной статьи будет начато с изучения гипоциклоид, среди которых важнейшее значение для нас будет играть кривая Штейнера. Как известно, эта кривая является важным объектом в геометрии треугольника – она является огибающей прямых Симсона. С е помощью и будет строиться группа преобразований, элементы которой позволяют переводить произвольный треугольник в любой другой .

Эрлангенская программа Клейна и геометрия треугольника,2015, №1, с.100-135

ЛИТЕРАТУРА

В.И. Арнольд. Что такое математика? М., Изд. МЦНМО. 2004 .

1 .

В.И. Арнольд. Экспериментальная математика? М., Фазис. 2005 .

2 .

В.И. Ленин. Материализм и эмпириокритицизм. М., Госполитиздат. 1950 .

3 .

Ф.Клейн. Лекции об икосаэдре и решении уравнений пятой степени. М., Наука, 1989 .

4 .

А.Н. Колмогоров. Математика в е историческом развитии. М., Изд. ЛКИ. 2007 .

5 .

Г.С. М. Кокстер. Введение в геометрию. М., Наука, 1966 .

6 .

В.И. Арнольд. Астроидальная геометрия гипоциклоид и гессианова топология гиперболических многочленов. М., Изд. МЦНМО. 2001 .

Ф. Клейн. Высшая геометрия. М. – Л. Гос. объединенное научно-техническое изд. 1939 .

8 .

История отечественной математики. Том 3. Киев, Наукова думка. 1968 .

9 .

С. И. Зетель. Новая геометрия треугольника. М., Учпедгиз. 1962 .

10 .

Математическая энциклопедия. Том 5. М., Советская энциклопедия. 1985 .

11 .

И.М. Яглом. Геометрические преобразования. Том 1. М., Гос. изд. техникотеоретической лит. 1955 .

И.М. Яглом, В. Г. Ашкинузе. Идеи и методы аффинной и проективной геометрии. Часть 13 .

1. М., Гос. уч.-пед. изд. Министерства просвещения РСФСР. 1962 .

В.Ю. Овсиенко, С. Л. Табачников. Проективная дифференциальная геометрия. М., Изд .

14 .

МЦНМО. 2008 .

И.М. Яглом. Геометрические преобразования. Том 2. М., Гос. изд. техникотеоретической лит. 1956 .

Б.А. Розенфельд. Аполлоний Пергский. М., Изд. МЦНМО. 2004 .

16 .

В.В. Прасолов. Геометрия Лобачевского. М., Изд. МЦНМО. 2004 .

17 .

Математика XIX века: Геометрия. Теория аналитических функций. М., Наука, 1981 .

18 .

А.А. Савлов. Плоские кривые: Систематика, свойства, применения. М., Книжный дом 19 .

«Либроком», 2010 .

Ху Сы-Цзян. Теория гомотопий. М., Едиториал УРСС, 2004 .

20 .

М.Я. Выготский. Справочник по высшей математике. М., Гос. изд. физ.-мат. лит. 1962 .

21 .

А.П. Доморяд. Математические игры и развлечения. М., Гос. изд. физ.-мат. лит. 1961 .

22 .

Ф. Клейн. Лекции о развитии математики в XIX столетии. Т. 1. М.; Наука. 1989 .

23 .

Хрестоматия по истории математики. Арифметика и алгебра. Теория чисел. Геометрия .

24 .

М., Просвещение, 1976 .

В. Ф. Каган. Лобачевский. М. – Л., Изд. АН СССР, 1944 .

25 .

Об основаниях геометрии. Сборник классических работ по геометрии Лобачевского и 26 .

развитию его идей. М., Гос. изд. технико-теоретической литературы, 1956 .

С. В. Бахвалов, Л. И. Бабушкин, В. П. Иваницкая. Аналитическая геометрия. М., Учпедгиз, 1962 .

М.А. Акивис, Б. А. Розенфельд. Эли Картан. М., Изд. МЦНМО. 2007 .

28 .

Ж. Дьедонне. Линейная алгебра и элементарная геометрия. М., Наука, 1972 .

29 .

Работа поступила 25.11.2015

–  –  –

Моделирование и анализ данных: научный журнал, 2015, №1. – Москва, 2015. – 138 с .

Подписано в печать 28.12.2015 Формат 70x100/16. Тираж 500 экз .

Усл. печ. л. 8,6 .

Отпечатано с оригинал-макета в отделе оперативной полиграфии МГППУ 127051 Москва, ул. Сретенка, 29 .



Pages:     | 1 ||



Похожие работы:

«Пугач Ольга Исааковна ФОРМИРОВАНИЕ ИНФОРМАЦИОННОЙ КУЛЬТУРЫ УЧАЩИХСЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНЫХ ШКОЛ КАК ФАКТОР ГУМАНИЗАЦИИ ОБРАЗОВАНИЯ 13.00.01 -общая педагогика Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук Самара 2000 г. Работа выполнена...»

«сердце отдаю детям 2012 Управление Алтайского края по образованию и делам молодёжи КГБОУ ДОД "Алтайский краевой дворец творчества детей и молодёжи" Краевой конкурс педагогов дополнительного образования "Сердце отдаю детям 2012" Сборник информационных материалов Барнаул 2012 сердце отдаю детям 2012 Л.Н...»

«Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение "Средняя общеобразовательная школа N21" Принято на Педагогическом совете.В.Рыженкова ''~:z7)~u от _ протокол N2 1.:;ч-~~~:.=.,.~~-!-20 г. Рабочая про грамма курса...»

«Краткосрочный исследовательснотворческий проект в первой младшей группе "Удивляемся всему: Как? Зачем? И почему? Проект подготовлен группой "Смешарики" Паспорт проекта 1. Вид проекта: исследовательско – творческий.2. Продолжительность: краткосрочный, 1 недели (16 – 20 января).3. Ав...»

«БЮДЖЕТНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ОРЛОВСКОЙ ОБЛАСТИ ДОПОЛНИТЕЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННАЯ ДЕТСКО-ЮНОШЕСКАЯ СПОРТИВНАЯ ШКОЛА ОЛИМПИЙСКОГО РЕЗЕРВА № 3 302026, г.Орел, Щепная площадь, 10 Тел., факс 8 (486 2) 59-01-80,55-39-04, 59-05-92, E-mail: or...»

«С.В. ТИТОВ, Д.Г. СМИРНОВ, Н.М. КУРМАЕВА ПОСОБИЕ ПО АНАТОМИИ ПОЗВОНОЧНЫХ ЖИВОТНЫХ Часть 1. СКЕЛЕТ Пенза 2011 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ В. Г. БЕЛИНСКОГО УДК 591...»

«Методическая разработка Учитель географии Гдалина Мария Андреевна ГБОУ гимназия № 171 Санкт-Петербург Урок подготовлен на основе программы: ФГОС Инновационная школа С.В. Банников, Н.В. Болотникова Рабочая программа по географии к учебнику Е.М. Домогацких, Э.Л. Введенского, А....»




 
2019 www.mash.dobrota.biz - «Бесплатная электронная библиотека - онлайн публикации»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.