WWW.MASH.DOBROTA.BIZ
БЕСПЛАТНАЯ  ИНТЕРНЕТ  БИБЛИОТЕКА - онлайн публикации
 

«ГЕОМЕТРИЯ и ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Допущено М инишерством просвсщения С С С Р в качестве учебного пособия для студентов педагогических и н с т и т у т а ! по специальности Л 2105 1‘ ...»

И. Я. Б А К Е Л Ь М А Н

АНАЛИТИЧЕСКАЯ

ГЕОМЕТРИЯ

и

ЛИНЕЙНАЯ

АЛГЕБРА

Допущено М инишерством просвсщения

С С С Р в качестве учебного пособия

для студентов педагогических и н с т и т у т а !

по специальности Л 2105

1‘ ;Физика»

-1 0 М О С К В А « П Р О С В Е Щ Е Н И Е » 1976

517.3

Б19

Бакельман II. Я .

Аналитическая геометрия и линейная алгебра. Учеб .

Б19 пособие для студентов пед. нн-товпо специальности №2105 «Физика». М., «Просвещение», 1976 288 с. с ил .

В первую часть пособия включены основные сведения из аналитической гсо* метрнн — уравнения прямых и плоскостей, кривые и поверхности второго порядка, элементы векторной алгебры. Вторая часть охватывает традиционные вопросы ли* пенной алгебры — матернцм и определители, линейные пространства (действитель»

яые и комплексные), линейные операторы, билинейные формы и т. д .

60602 — 518 Б --- ------- 30 — 76 517.3 103 (03) — 76 © Издательство «Просвещение» 1976 г .

ПРЕДИСЛОВИ Е

Настоящая книга написана в соответствии с действующей про­ граммой раздела «Аналитическая геометрия с элементами линейной алгебры» курса высшей математики для физических специальностей педагогических институтов .


Книга состоит из двух частей: часть I — «Аналитическая геометрия» и часть II — «Основы линейной ал­ гебры». Как известно, линейная алгебра представляет собой ши­ рокое и разнообразное обобщение аналитической геометрии трех­ мерного евклидова пространства иа многомерные линейные вектор­ ные пространства. Поэтому части I и II написаны так, что вторая часть в надлежащих понятиях и построениях обобщает и развивает в более сложной и абстрактной обстановке материал части I. Между обеими частями существует ряд глубоких взаимосвязей. Это преж­ де всего относится к характеру изложения, принятого в части II книги, которое строится н геометрически инвариантном (не зави­ сящем от выбора базиса) языке с помощью понятия прямого произ­ ведения множеств, наделенных линейном структурой, и отобра­ жений, сохраняющих эту структуру .

Учитывая специфику преподавания математики для физических специальностей, изложение материала в части II книги проводится в два этапа по мере введения соответствующих понятий абстракт­ ного характера .

Первый этап (глава IV) посвящен основам теории матриц, определителей п систем линейных уравнении. Он строится с помощью конкретных линейных пространств R", элементами которых являются упорядоченные наборы из п вещественных чи­ сел, и линейных отображен иіі прямых произведений этих про­ странств .

Второй этап (главы V, V I, V II) посвящен взаимосвязи основ­ ных объектов линейной алгебры (координат векторов, матриц линейных отображений и билинейных форм и т. п.) при переходе от одного базиса к другому, теории евклидовых пространств и специальным классам линейных операторов в этих пространствах, играющих важную роль для многих разделов математики и физики .

Здесь рассмотрение вопросов целесообразно вести (что и делается в книге) уже в общих линейных и евклидовых пространствах .

Характер изложения в главах V и V I построен так, что понятие общего линейного и абстрактного евклидова пространства всюду может быть заменено понятием пространства R " с канонической в R !l евклидовой- метрикой. Это позволит дать известное сокращение времени при преподавании рассматриваемого курса. Правда, при этом несколько- проигрывает общность рассматриваемых вопросов .



При рассмотрении аналитической геометрии на плоскости и в трехмерном пространстве основное внимание обращалось на то, чтобы понятия, способы доказательств и характер изложения были бы тесно связаны с материалом части II книги .

Автор стремился дать в этой книге, во-первых, возможно большее количество сведений по аналитической геометрии и ли­ нейной алгебре, необходимых для физиков, и, во-вторых, построить Компактное изложение рассматриваемых вопросов. В книгу вклю­ чен ряд примеров и иллюстраций из физики. К главам по линейной алгебре составлены задачи и упражнения, поскольку нет соответ­ ствующей литературы для физических специальностей пединсти­ тутов .

Хотя книга написана для преподавания аналитической геомет­ рии и линейной алгебры для физиков, ее также можно использо­ вать при изучении ряда тем курсов алгебры и геометрии для ма­ тематиков .

Автор приносит благодарность Б. И. Аргунову, А. М. Березману, внимательно прочитавшим рукопись книги и сделавшим ряд полезных советов и замечаний .

ЧАСТЬ I

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

–  –  –

В основе аналитической геометрии лежит метод координат, позволяющий решать геометрические задачи средствами алгебры .

Этот метод был впервые сформулирован и систематически приме­ нен в геометрии Р. Декартом — известным французским математи­ ком X V II века. Суть его состоит в том, что иа плоскости или в пространстве фиксируется вспомогательная геометрическая фигу­ ра, позволяющая любой точке сопоставить некоторую систему чи­ сел. Эти числа называются координатами точки. В большинстве случаев исходная вспомогательная фигура представляет собой одну или несколько осей (осыо называют прямую, на которой выбрано определенное направление). Такие оси называют координатными осями. Под системой координат понимают обычно отображение, которое точкам плоскости или пространства с помощью выделенной вспомогательной фигуры ставит в соответствие системы чисел, однозначно определяющие положение точки относительно этой фи­ гуры. Наиболее важные системы координат описаны в § 3, 4 .

Любая геометрическая фигура всегда рассматривается как мно­ жество точек, обладающих определенным свойством, присущим толь­ ко точкам этой фигуры и никаким другим.

Это накладывает опре­ деленные ограничения на координаты точек, принадлежащих гео­ метрической фигуре Ф, что выражается на языке алгебры так:

координаты точек Ф удовлетворяют некоторому вполне определен­ ному уравнению пли системе уравнений .

Таким образом, если на плоскости или в пространстве фиксиро­ вана некоторая система координат, то точке отвечает набор чисел — ее координаты, а линиям и поверхностям — уравнения или систе­ мы уравнений, которым удовлетворяют координаты точек этих геометрических фигур .





В настоящее время наряду с методом координат в аналитиче­ ской геометрии существенную роль играют методы векторной ал­ гебры. Развитие векторной алгебры и несколько позже векторного и тензорного анализа было вызвано потребностями механики и физики. Многие важные понятия (такие, как скорость, ускорение, сила) не могут быть описаны с помощью лишь одной численной величины. Для этого потребовалось ввести понятие вектора (направленного отрезка) и изучить целый ряд операций над вектора­ ми. Определения операций над векторами были сформулированы на основе обобщения физических закономерностей. Например, сложение скоростей и сил по правилу параллелограмма привело к определению суммы вектора как диагонали параллелограмма, построенного па этих векторах, а понятие скалярного произведе­ ния векторов является естественным обобщением понятия работы .

Аналитическая геометрия органически объединила геометрию с алгеброй и математическим анализом, что впоследствии привело к большому прогрессу в развитии математики и ее приложений к естественным наукам .

Ниже при изложении аналитической геометрии мы опираемся на курс геометрии средней школы .

§ 2. Векторы. Операции над векторами

2.1. Основные понятия. О п р е д е л е н и е. Вектором назы­ вается направленный отрезок, т. е. отрезок, у которого ограничи­ вающие его точки берутся в определенном порядке; при этом первая точка обычно называется началом вектора, а вторая — его концом .

Если начало вектора находится в точке А, а конец в точке В, то он обозначается А В (буква А — начало вектора — всегда пи­ шется первой). На чертежах (рис. 1) векторы изображаются стрел­ ками. Векторы также часто удобно обозначать одной буквой, на­ пример а, Ь,.... Пару совпадающих точек называют нулевым век­ тором и обозначают знаком 0. В этом случае начало и конец век­ тора совпадают. Очевидно, что для нулевого вектора понятие на­ правления не имеет смысла .

--Длиной вектора А В называется длина отрезка А В или рассто­ яние между точками А и В. Длина вектора обозначается так:

\АВ\, или |й|. Очевидно, |0| = 0 .

О п р е д е л е н и е. Два вектора называются равными, если один из них может быть получен параллельным переносом из дру­ гого .

Рис. 2 Рис. 1 Очевидно, что если векторы А В и CD равны и не лежат па одной прямой, то четырехугольник ABD C является параллелограммом (рис. 2, а). На рисунке 2, б показаны случаи расположения равных векторов А В и CD, лежащих на одной прямой .

Непосредственно из определения равенства векторов вытекают следующие предложения:

1 Если А ' — произвольная точка и А В — данный вектор, то .

существует и притом единственный вектор А 'В ', равный вектору А В .

Другими словами, всегда можно построить единственный вектор А 'В ' с началом в произвольной точке /Г, равный заданному вектору А В .

2. Если а = Ь, то Ь — а .

3. Если а — Ь, Ь — с, то а = с .

О и р е д е л е и и я. Векторы, расположенные на параллель­ ных прямых или на одной прямой, называются коллинеарными .

Векторы, расположенные на прямых, параллельных одной и той 0 плоскости.или леохащие в этой плоскости, называются компла­ !се нарными .

Два ненулевых вектора называются одинаково (противоположно) направленными, если они кол.шнеарпы и у равных им векторов, имею­ щих общее начало, концы располагаются по одну (по разные) стороны от начала .

Условимся считать, что: а) нулевой вектор коллинеарен любому вектору; б) нулевой вектор и любые два других вектора компла­ нарны; в) нулевой вектор одновременно считается одинаково и про­ тивоположно направленным любому другому вектору .

2.2. Сложение векторов. Суммой двух векторов а н Ь называ­ ется вектор с, который строится следующим образом: от произволь­ ной точки М откладываем вектор /VI/V, равный а (рис. 3), и затем

-- строим вектор N P, равный Ь. По­ лагаем с = МР\ вектор с обычно обозначается а - Ь. Легко дока­ |зывается, что сумма векторов не зависит от выбора точки /VI, т. е .

если в качестве начальной точки взять любую другую точку М ' и построить сумму векторов а и Ь, то получим вектор М 'Р ', равный а вектору М Р. Рис.з Из определения суммы векторов следует, что для любого век­ тора а: а + 0 = а .

Условимся обозначать далее одной и той же буквой равные меж­ ду собой векторы, начала которых могут быть и различны. Пусть а, b — произвольные неколЛинеарные векторы и М — произвольная точка. Тогда а b = М Р, где М Р — диагональ параллелограм­ ма, «сторонами» которого являются векторы а и Ь, отложенные от точки М (рис. 4). Эго геометрическое построение суммы векторов обычно называют правилом параллелограмма .

Если а и b — коллинеарные векторы, то вектор а + b колли­ неарен а п Ь, причем он одинаково направлен с большим по длине вектором. Длина вектора а + b равна \ \ + \Ь\, если а и Ь одина­ а ково направлены, или )|а| — |6 ||, если а и b противоположно на­ правлены .

Т е о р е м а 1 Для любых векторов а, Ь, с справедливы соотно­ .

шения:

–  –  –

Если векторы а и b имеют общее начало, то вектор b — а соеди­ няет концы а и b и направлен от конца а к концу Ь (рнс. 6). Легко видеть, что а - (Ь — а) = Ь .

fТак как сумма длин двух сторон треугольника меньше длины его третьей стороны, то для любых двух векторов а и Ь (рис, 7, а) справедливо неравенство

–  –  –

имеет ранг г. Как мы знаем, г ^ п. Если г = п, то однородная си­ стема имеет лишь пулевое решение. Если г п, то эта система име­ ет ненулевые решения и для их разыскания применяется тот же прием, какой был указан в доказательстве теоремы 9 .

Остановимся специально па однородной системе из п уравнений с п неизвестными. В этом случае неравенство г а равносильно условию обращения в пуль определителя системы. Поэтому при т — п система (33.35) имеет ненулевые решения тогда и только тогда, когда определитель системы равен нулю .

Наконец, если т //, т. е. и (33.35) уравнений меньше, чем неизвестных, то г ^ т п и система (33.35) заведомо имеет нену­ левые решения .

33.6. Геометрическое описание множества решений системы линейных уравнений. Пусть дана неоднородная система уравнений:

–  –  –

мы получим единственное решение этой системы: х%,,,, х°п поскольку определитель 6 системы (33.43) отличен от нуля .

В теореме 9 доказано, что система чисел*®, Л'°,.. х°г, х°+1,, .

*° есть решение исходной системы (33.40). Вектор

–  –  –

, формул Крамера. Кроме того, оно биективно, так как в теореме 9 доказано, что f (R n~ r) — Р и векторам Ф с2 из R n~ r отвечают век­ торы / (су) Ф f (Со). Поэтому линейно независимые векторы из R n~^r переходят в линейно независимые векторы в Р и, следовательно, базис в R'l~r переходит в базис Р. Отсюда следует, что размерность Р равна п — г .

Теорема доказана .

С л е д с т в и е 1. П уст ь дан а однородная сист ема (33.40) и пуст ь р а н г м ат рицы ее коэффициентов равен г.

Т огда общее реш ение системы (33.40) имеет ви д :

х = ХхХх ~|- Х2х 2 + + Кп_ гх п_п где х и Хо,..., х п_ г —- любая сист ем а линейно независимых вект оров из R n, являющихся реш ениями системы (33.40) .

Систему*!, л ' о,..., х п_ г часто называют ф ундам ент альной систе­ мой решений однородной системы (33.40) .

С л е д с т в и е 2. П уст ь дан а неоднородная сист ема ур а вн е­ ний (33.36).

Т огда общее реш ение этой системы имеет ви д :

–  –  –

В этом параграфе будет продолжено изучение общих свойств ли­ нейных отображении R '1 в R'1. Будет проведено более подробное изучение области значении линейного отображения и даны необхо­ димые и достаточные условия ипъектнвиости, сюръектпвпости и биектнвностн линейных отображении в зависимости от своііств чи­ сел п и т и размерности области значений линейного отображения .

При изучении этих вопросов существенную роль играют резуль­ таты § 33 .

34.1. Строение области значений линейного отображения .

Т е о р е м а 1. П уст ь / : R 1 - у R 7 — линейное от ображ ение .

Т о гда f (R") будет подпрост ранст вом R n и разм ерн ост ь j (R n) р авна р а н гу м ат риц ы A f, где /1 ; — м а т ри ц а линейного от ображ е­ ния f (см. п. 3 0.2 ). В част ност и, если р а н г Л f равен т или нулю, то f ( R n) совпадает соответственно с R :n или нулевым, п одпрост ран­ ством R"1 .

Доказательство. Пусть х и у' — произвольные век­ торы из / (R "), а X и [I — произвольные вещественные числа. Для того чтобы доказать, что / (R ;) — подпространство, достаточно установить принадлежность Хх - f jty' множеству f ( R n).

Поскольку х, у ’ / (R ’1 то существуют векторы х и у R :i такие, что / (х) = ), = х ', f (у) = У'• Д алее, дх -|- и у R n, и, следовательно, / (Хх + + |іу) / (#")• П ользуясь липеііпостью отображения /, имеем:

–  –  –

Отсюда Хх -|- f.iy' 6 / (R")- Итак, / (R") — подпространство R m .

Выясним, какова размерность этого подпространства.

Матрица линейного отображения / имеет вид:

–  –  –

Если g,. — 0, то из (40.17) следует, что векторы ех, е 2,.. еи ли­ нейно зависимы, что невозможно, так как по условию векторы сх, е.,,.. с,,,.. е п образую т базис в Е. Итак, g h= 0 и ортогона­ лен ко всем векторам g x, g 2l..., g h^ x. И ндукционное предположение доказано. Так как при k — 2 утверждение о построении пары нену­ левых ортогональных векторов доказано, то тем самым установле­ но, что в Е% имеется ортогональный базис g Xl g.lt, * g n. Если векторы g i (i — 1,.,,, п) заменить векторами

–  –  –

41.1. Самосопряженные операторы в E r. Линейный оператор / в /і-мерном вещественном евклидовом пространстве E r называется самосопряоненным, если для любых векторов х, у из E r выполнено равенство

–  –  –

Доказательство. Пусть ех,..., еп — произвольный ортонормированный базис в $. Тогда билинейная форма / имеет в этом базисе представление

–  –  –

и, следовательно, / (х) 6 Р. Итак, Р — инвариантное подпростран­ ство оператора / .

Поэтому в Р, согласно теореме 3, имеется хотя бы одно вещест­ венное собственное значение оператора /, которому отвечает собст­ венный вектор е2, имеющий единичную длину. Продолжая это по­ строение, мы получим п собственных векторов elt е 2,., еп, обра­ зующих ортонормированный базнс. Так как

–  –  –

(*, У) = /а (X, У) и получаем тем самым «-мерное евклидово вещественное простран­ ство E r. Согласно теореме 5 п. 41.2, в Е'к сущ ествует ортонор­ мированный б а з и с у,.. в котором форма Фі приведена к кано­ ническому виду:

–  –  –

Но тогда det А = 1 и f — собственный ортогональный onejpaTop, что противоречит исходному предположению .

Докажем, что вектор ех = А х + х будет собственным для опера­ тора / и он будет соответствовать собственному значению 1. Д ейст­ вительно,

–  –  –

/I Qi • Qi ~ Qi ортогональный. Применяем к этому оператору те ж е построения, что и к оператору /, и т. д. Повторяя конечное число раз указанный процесс (здесь существенно используется, что dim — т. е .

что число элементов любого базиса Е% равно п и, следовательно, конечно), получим п попарно ортогональных векторов длины еди­ ница. Примем их за базис в Е%. Тогда матрица / в этом базисе, очевидно, будет иметь вид:

І —

–  –  –

/1 1 3\ / 1 = 0 5 —1 .

\2 7 —3 /

–  –  –

9) Для ортогонального оператора ср: Е% - у Е%, который в некотором ортонормировапном базисе задан матрицей А, найти ортонормированный базнс, в котором матрица В этого оператора имеет канонический вид:

В) Глава VII. КОМПЛЕКСНЫЕ ЕВКЛИДОВЫ (УНИТАРНЫ Е)

« М Е Р Н Ы Е ПРОСТРАНСТВА .

§ 43. Формы в линейном комплексном пространстве L c .

43.1. Вспомогательные сведения из теории комплексных чисел и полиномов. Мы предполагаем, что определение и арифметичес­ кие действия с комплексными числами известны из курса математи­ ки средней школы. Напомним ряд понятий, относящихся к комп­ лексным числам, которые ниже будут систематически использоваться .

Если z = а + bi — произвольное комплексное число, то веще­ ственные числа р и (р, определяемые равенствами р = ] / сг-\- b2 (43.1) и

–  –  –

Функция f : L c - + C называется ант илинейной, ф орм ой, если для любых векторов х, у L'c и любого комплексного числа X выпол­ няются соотношения

–  –  –

Поэтому если f (х, х) — вещественное число для любого х L'c, то числа f{x + у, л:

-)- у ), f (х ± iy, х ± iy ), f ( x — y, х — у) вещественны и из (43.21) и (43.22) следует, что

–  –  –

Еслн теперь форма / эрмитова, то f(x, y ) —f ( y, я). Положим, у = х .

Тогда f (х, х) — f (х, х) и, следовательно, / (х, х ) — вещественное число .

Теорема доказана .

Из этой теоремы непосредственно вытекает, что квадратичная форма в Lc принимает только вещественные значения в том и толь­ ко в том случае, когда она эрмитова. Поэтому для введения поня­ тия скалярного произведения в L'c нужно пользоваться эрмито­ выми формами .

–  –  –

44.1 Основные определения и понятия. Э рм и т ова квадрат ичная ф орм а f называется полож ительно определенной, если для любого х 6 L'c и х ф 0 справедливо неравенство

–  –  –

4) (а, а) для любого х Lc есть вещественное неот ри цат ельное число, обращ ающ ееся о нуль лиш ь п ри х — 0 .

Непосредственно проверяется, что свойства 1—4, предъявляе­ мые к функции / : L'c X L'c -- С, приводят к тому, что / является скалярным произведением в L'c. Очень часто скалярное произве­ дение в L'c определяют как функцию пары векторов L'c, удовлет­ воряющих свойствам 1—4 как аксиомам .

Из сказанного выше следует, что оба определения скалярного произведения в L'c эквивалентны .

Ком плексным евклидовым (унит арны м ) п-м ерны м п ро ст р а н ст ­ вом называется прост ранст во L'c, в котором ф иксировано некот о­ рое скалярное произведение .

Например, комплексное линейное пространство О 1 становится ун и т ар н ы м, есл и в нем с к а л я р н о е п р о и з в е д е н и е (а, у ) в в ести ф о р м у ­ л ой (а, у) = + ciojL +... + а „ р п, (44.3)

–  –  –

и при этом в произвольном ортонормировапном базисе ех, е2,..., еп матрица оператора ср получается из матрицы А полуторалинейной формы / транспонированием .

Непосредственной проверкой убеждаемся, что функция

–  –  –

а тогда из свойства 4 скалярного произведения следует, что Ф (*) = У (х), что и доказывает наше утверждение .

Итак, ф орм ула (45.3) уст анавливает биект ивност ь от ображ ения множ ества п олут оралинейны х форм на множ ество линейны х оп ера­ т оров п рост ранст ва Е'с .

Связь между полуторалииейпымп формами в Е'с и линейными операторами в Е'с может быть установлена и другим способом .

Для этого в формуле

–  –  –

Отсюда следует справедливость теоремы 1 .

Отметим, что из п. 45.1 следует, что матрица сопряженного оператора ср* в любом ортонормировапном базисе получается транс­ понированием и комплексным сопряжением матрицы оператора ср в том ж е базисе .

Т е о р е м а 2.

Сопряж енные операт оры обладаю т следую щ им и свойст вами:

–  –  –

46.1. Самосопряженные операторы н нх свойства. Линейный оператор ср в Е с называется самосопряж енным или эрмит овы м, если ср* = ср .

Т е о р е м а 1. Д л я т ого чтобы линейны й оп ерат ор ср был сам о­ сопряж енный, необходимо и дост ат очно, чтобы п олут оралин ей ная ф орм а [ = (ср (а), у) бы ла эрмит овой .

Доказательство. Эрмитовость формы / означает, что

–  –  –

сущ ествует хотя бы один собственный вектор ех оператора ф .

Пусть Я.! — собственное значение оператора ф, отвечающее век­ тору et. Обозначим через Q1 совокупность векторов, ортогональных к вектору ех. Точно так ж е, как и в лемме п. 42.3, доказывается, что Q1 есть (п — 1)-мерное подпространство L'c (напомним, что для этого нужно взять ортонормированный базис в L'c, первый вектор которого пропорционален ех). Докажем, что Q1— инвариант­ ное подпространство ф. Пусть х d Q1. Тогда (х, ех) — 0.

Д алее имеем:

(Ф (х), ег) = (х, ф* (е} )) = (х, ф (с,)) = (х, V i ) = (*, ех) = 0 .

Отсюда следует, что ф (х) 6 Q1. Итак, Q1 — инвариантное подпро­ странство ф .

Рассмотрим теперь в Q1 оператор cp|Q Очевидно, что ф |qi (Q1) ^ 1 .

c Q 1 и ф |Q есть самосопряженный оператор в Q1. В Q1, согласно теореме 7 п. 38.3, есть собственный вектор е2. Д алее выделяем в Q1 подпространство Q2 размерности п — 2, ортогональное к Q1, в нем находим собственный вектор es и т. д .

В результате получаем п собственных попарно ортогональных векторов elt..., еп оператора ср .

Теорема доказана .

Т е о р е м а 4. П уст ь ср — самосопряж енный операт ор в у н и ­ т арн ом прост ранст ве Е'с .

Т огда сущ ест вует орт он о р м и р о ва н ­ ный б а зи с, в кот ором м ат ри ц а оп ерат ора ср ди агон альн а и вещ ест ­ венна. Справедливо такж е и обрат ное ут верж дение .



Доказательство. Как следует из теоремы 3, опера­ тор ср имеет в пространстве Е'с п попарно ортогональных собствен­ ных векторов еи..., еп. Не нарушая общности, можно считать, что длины этих ве кто р о в равны единице; в п р о т и в н о м случае заменим

–  –  –

о о У.Х Из теоремы 2 следует, что числа А*...., ХпУ а потому и матрица (46.3) вещественны .

Итак, первое утверждение теоремы 4 доказано. Д окажем теперь второе утверждение. Пусть матрица оператора ср в некотором ортонормнрованном базисе ех, е »,..., еп имеет вид (46.3), где числа Alt А..., А вещественны. Тогда матрица сопряженного к ср оператора,а,,(1 ср* в базисе elt.,., еп получается транспонированием и комплексным сопряжением матрицы (46.3). Так как матрица (46.3) диагональпа и вещественна, то эти операции над матрицей (46.3) ее не изменяют .

Следовательно, операторам ср и ср* в ортонормировапном базисе еъ..., с,, соответствует одна и та же матрица. А это означает, что ср = ср* .

Теорема полностью доказана .

Из теоремы 4 получаем следующ ую геометрическую интерпрета­ цию самосопряженного оператора. Пусть ср — самосопряженный оператор в унитарном пространстве Е'с- Тогда в пространстве Е'с выделяется п попарно ортогональных собственных единичных век­ торов, которые определяют в Е'с п попарно ортогональных направле­ ний. Каждому из таких направлений ставится в соответствие ве­ щественное число А (собственное значение ср), и по каждому из этих,;

направлений совершается сжатие или растяжение в | \ | раз и, кро­ ме того, отражение в (п — 1)-мерном подпространстве, ортогональ­ ном к этому направлению, если соответствующее значение 'К отри­ і цательно .

Совершенно аналогичная интерпретация имеет место для само­ сопряженного оператора ср в вещественном евклидовом простран­ стве E r.. Э т о следует из теоремы 4 п. 41.1 .

46.2. Приведение эрмитовых квадратичных форм к канониче­ скому виду .

Т е о р е м а 5. П уст ь в ун и т арн ом прост ранст ве Е'с рассм ат ­ ривает ся эрм и т ова п олут оралин ей ная ф орм а /: Е'с X Е с —- С .

Т о гд а в Е'с сущ ест вует орт онорм ированны й б а зи с, в кот ором со­ от вет ст вую щ ая / эрм ит ова квадрат ичн ая ф орм а ср = / | п имеет ис вид:

ср (.х, л-) = Ях | а іІ2 + Ь | а 2|2 -Ь Кп | а„ |2, (46.4) А — вещественные числа, а а ( — ком понент ы,2 где произвольного вект ора х 6 Е с от носит ельно рассм ат риваем ого бази са .

Доказательство. Согласно п. 46.1, для эрмитовой полуторалинейной формы / существует самосопряженный опера­ тор ф в Е'с такой, что f (*, у) = (Ф (*), у) .

В Е с в качестве ортонормнрованного базиса выберем систему попарно ортогональных собственных векторов оператора ф, имею­ щих единичную длину. Это возможно сделать в силу теоремы 3 п. 46.2. Тогда

–  –  –

Теорема доказана .

Предлагаем теперь самостоятельно доказать теорему, являющу­ юся обобщением теоремы 6 п. 41.2 .

Т е о р е м а 6. П уст ь в комплексном линейном прост ранст ве рассм ат риваю т ся две эрмит овы полут оралинейны е ф ормы / и g, причем Ф г = f\ Dn — полож ительно определенная квадрат и чн ая А (Іюрма .

Т огда сущ ест вует базис, в котором обе эт и ф ормы п ри во­ дят ся к каноническом у виду .

Замечание. Требование положительной определенности одной из форм в теореме 6 существенно. Мы предлагаем доказать, что для квадратичных форм | ctj |2 — Iсхо |2 и а ^ п 4“ « 2а і в пространстве С2 теорема 6 не верна .

В заключение этого параграфа отметим, что для эрмитовых квадратичных форм справедлив закон инерции, т, е, имеет место Т е о р е м а 7. Е сли эрм ит ова квадрат и чн ая ф орм а в L c имеет в двух базисах канонический ви д, то число полож ит ельны х, о т р и ­ цат ельных и нулевых коэфф ициент ов в обоих случаях одно и т о же .

Доказательство этой теоремы проводится аналогично доказа­ тельству соответствующей теоремы для квадратичных форм в ве­ щественном линейном пространстве. Поэтому мы его опускаем .

–  –  –

О тсю даXX = 1, поскольку (а, а ) ф 0, т. е. |л | = 1 .

Теорема доказана .

Т е о р е м а 4. П уст ь ф — ун и т арн ы й оп ерат ор в Е'с .

Т огда сущ ест вует п попарно орт огональны х собст венных вект оров оп ера­ т ора ф. Соот вет ст вующ ие им собственные значения по м одулю равны единице .

Д о к а з а т е л ь с т в о. В силу теоремы 7 п. 38.3 оператор ф, как всякий линейный оператор в Е 'с, имеет по крайней мере один собственный вектор е1 Ф 0. Не нарушая общности, можно считать, что \ву | = 1. Обозначим через Q1 совокупность векторов Е 'с, орто­ гональных к ех. Как мы знаем (см. п. 46, теорема 4), множество Q1 представляет собой (п — 1)-мерпое подпространство Е'с. Д ок а­ жем, что Q1 — инвариантное подпространство Е ’. Пусть х— с произвольный вектор из Q1. Тогда

–  –  –

§ 14. Скалярное произведение векторов

§ 15. Определители второго и третьего порядков

§ 16. Векторное п рои зв ед ен и е

§ 17. Смешанное и двойное векторное п р о и зв ед ен и е

§ 18. Прямая на плоскости

§ 19. Плоскость в пространстве § 20. Прямая в пространстве

§ 21. Плоскость н прямая в п р о ст р а н ст в е

Глава III. Поверхности второго п о р я д к а

§ 22. Понятие поверхности второгопорядка. Цилиндрические поверхности и поверхности вращении

§ 23. Эллипсоид

§ 24. Гиперболоиды

§ 25. Параболоиды

§ 26. Конус второго порядка

§ 27. Прямолинейные образующие поверхностей второгопорядка.. ПО

–  –  –

Глава IV. Пространство R '1 матрицы, определители, системы линей­, ных уравнений

Пространство R n § 28.

§ 29. Некоторые сведения из теории м н о ж е с т в

Матрицы и действия над ними.Линейные отображения R n в R':i,. 128 § 30 .

§ 3 1. Полилинейные формы

§ 32. Определители п - г о порядка

§ 33. Системы линейных уравнений. Обратный оператор и обратная матрица

§ 34. Об общих свойствах линейных отображений R n в R, n..................187

Глава V. Линейные пространства и линейные операторы

§ 35. Группа

§ 36. Линейное пространство

§ 37. Линейные операторы в линейных пр остр ан ствах

§ 38. Инвариантные подпространства, собственные векторы и соб­ ственные значения линейного оператора

Глава VI. Вещественные евклидовы пространства E R. Самосопряжен­ ные и ортогональные о п е р а т о р ы

§ 39. Билинейные и квадратичные формы в вещественном «-мерном линейном пространстве

§ 40. Евклидово вещественное пространство E R

§ 4 1. Самосопряженные операторы. Приведение квадратичных форм к каноническому виду

§ 42. Ортогональные операторы. Евклидова г е о м е т р и я

Глава VII. Комплексные евклидовы (унитарные) я-мерные простран­ ства

Формы в линейном комплексном «-мерном пространстве Lq.. — § 43 .

§ 44.Комплексные евклидовы (унитарные) я-мерные пространства.. 273 § 45.Оператор, сопряженный к данному линейному оператору.... 275 § 46.Самосопряженные операторы. Приведение квадратичных форм к каноническому виду

§ 47. Унитарные операторы

–  –  –






Похожие работы:

«ЧЕРНЫШОВ Сергей Викторович ЭМОТИВНО-КОНЦЕПТНАЯ МОДЕЛЬ ОБУЧЕНИЯ ИНОСТРАННЫМ ЯЗЫКАМ В ЛИНГВИСТИЧЕСКОМ ВУЗЕ 13.00.02 – Теория и методика обучения и воспитания (иностранные языки, уровень профессионального образования) АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степе...»

«1 ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ "БЕЛГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ" (НИУ "БелГУ") ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ ФАКУЛЬТЕТ ИНОСТРАННЫХ ЯЗЫКОВ Кафедра немецкого и французского языков НЕО...»

«Л. Ю. КЛЕВЦОВА Л. В. ШУБУКИНА РАБОТАЕМ С ТЕКСТОМ НА УРОКЕ И ДОМА Рабочая тетрадь по русскому языку 7 класс МОСКВА • "ВАКО" • 2017 УДК 372.881.161.1 6+ ББК 74.268.1Рус К48 Издание допущено к испо...»

«Вы все можете одержать победу в этой жизни, если только у вас нет неоплаченных долгов, оставшихся с прошлой жизни, из-за которых вам требуется перевоплотиться. Поэтому я молюсь, чтобы вы тщательно продумывали, к...»

«Слепченкова С.В. ОРГАНИЗАЦИОННО-ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ УСЛОВИЯ РАЗВИТИЯ СОЦИОКУЛЬТУРНОЙ МОБИЛЬНОСТИ УЧАСТНИКОВ ОБЩЕСТВЕННЫХ ОРГАНИЗАЦИЙ: ЛИЧНОСТНО-ДЕЯТЕЛЬНОСТНЫЙ ПОДХОД В статье рассмотрен комплекс организационно-педагогических условий развития социокультурной мобильности участников общест...»

«Малыгина М. В., Екатеринбург (науч. рук. – Гутрина Л. В.) Жанровые традиции в "Скрипке неизвестного мастера" Нины Дашевской Malygina M. V. Features of narrative in the modern teenage story (on the example of Nina Dashevskaya's story The Violin of an Unknown Master...»

«КАРТОТЕКА ПОДВИЖНЫХ ДВОРОВЫХ ИГР для детей старшего дошкольного возраста Время года:ВЕСНА ЗАЗЫВАЛКА Таю, таю, налетаю Вас в игру всех приглашаю Мы собрались поиграть Ну, кому же начинать? Раз, два, триНачинаешь водить ты! Народные игры 1. "Бояре" (командная) Цель:развивает умение быть...»




 
2019 www.mash.dobrota.biz - «Бесплатная электронная библиотека - онлайн публикации»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.