WWW.MASH.DOBROTA.BIZ
БЕСПЛАТНАЯ  ИНТЕРНЕТ  БИБЛИОТЕКА - онлайн публикации
 

«ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ ДЛЯ ВЫ РОЖ ДАЮ Щ ИХСЯ М НОГОМ ЕРНЫ Х ГИПЕРБОЛО-ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ DIRICHLET PROBLEM FOR DEGENERATE M ULTI-DIM ENSIONAL H YPERBOLIC-PARABOLIC EQUATIONS C.A. ...»

16 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ | ': | Серия Математика. Физика. 2016 № 27 (248). Выпуск 45

УДК 517.952

ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ ДЛЯ ВЫ РОЖ ДАЮ Щ ИХСЯ М НОГОМ ЕРНЫ Х

ГИПЕРБОЛО-ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

DIRICHLET PROBLEM FOR DEGENERATE M ULTI-DIM ENSIONAL

H YPERBOLIC-PARABOLIC EQUATIONS

C.A. Алдашев S.A. Aldashev Казахский национальный педагогический университ ет им. Абая, Казахст ан Kazakh N ational Pedagogical University nam ed after Abai, Alm aty, Kazakhstan E-mail: Aldash5i@ m ail.n1 Аннот ация. Адамаром показоно, что одна из фундаментальных задач математической физики - и зу­ чение поведения колебающ ейся струны - некорректна, когда краевые условия заданы на всей границе обла­ сти. Как заметили А.В. Бицадзе, А.М. Нахушев задача Дирихле некорректна не только для волнового уравне­ ния, но и для общ их гиперболических уравнений. Автором ранее изучена задача Дирихле для многомерных гиперболических уравнений, где показана корректность этой задачи, сущ ественно зависящ ия от высоты рас­ сматриваемой цилиндрической области. В работе используется метод, предложенный в работах автора, пока­ зана однозначная разрешимость и получен явный вид классического реш ения задачи Дирихле в цилиндри­ ческой области для вырож дающ ихся многомерны х гиперболо-параболических уравнений .

Resume. It has b een shown b y Hadam ard that one o f the fundam entalproblem s o f m athem aticalphysics the analysis o f the behavior o f oscillating string - is an ill-posedproblem when the boundary-value conditions are im ­ posed on the entireboudary o f the domain .

As noted b y A.V. Bitsadze and A.M. Nakhushev, the Dirichlet problem isillposed not only for the waveequation bu t for hyperbolicPDEs in general. This author has earlierstudied the Dirichlet problem for m ulti-dim ensionalhyperbolicPDEs, wherehe has shownthat the well-posedness o f thisproblem cruciallydepends on the height o f the analyzedcylindricdom ain. This paper, using the m ethoddeveloped in the authorspreviouspapers, shows the unique solvability (and obtains an explicit form o f the classical solution) o f the Dirichlet prob­ lem in the cylindricdom ain for degeneraLemulli-dimensio 11alhyperbolic-parabolicequalions .

Ключевые слова: корректность, задачи Дирихле, вырождающ ихся уравнения, критерия, функция Бесселя .

Key words: well-posedness, Dirichlet problem s, degenerateequations, Bessel function .

1. Постановка задачи и результат Теория краевых задач для вырождающихся гиперболо-параболических уравнений хорошо изучена ([l]). Их многомерные аналоги в обобщенных пространствах исследо­ ваны в ([2,3]) .

Задача Дирихле для многомерных гиперболо-параболических уравнений изучена в ([4,5]) .

В данной работе для вырождающихся многомерных гиперболо-параболических уравнений доказано, однозначная разрешимость и получен явный вид классического решения задача Дирих­ ле в цилиндрической области. В работе используется метод, предложенный в работах ([6,7]) .

–  –  –

а также ряды, полученные из него дифференцированием р 1 —т + 1, сходятся абсолютно и рав­ номерно .

Лемма 2. Для того, чтобы _/"(/%О) е ((S'), необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты ряда (4) удовлетворяли неравенствам 18 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ | ' ' | Серия Математика .





Физика. 2016 № 27 (248). Выпуск 45

–  –  –

где г/* (/',/) —функции, подлежащие определению .

Подставляя (7) в (6), умножив полученное выражение на р (0 ) ^ 0 и проинтегрировав по сфереН длям* получим ([6,7])

–  –  –

а также леммы, ограничения на коэффициенты уравнения (l) и на заданные функции ///., (/, б \ (р0(/, #), как в [4,5], можно доказать, что полученное решение (з8)принадлежит классу

–  –  –

Далее, используя теорему 2 приходим разрешимости задачи 1 .

В [6] приводится явный вид решения задачи (41),(42) поэтому можно записать представле­ ния решения и для задачи 1 .

–  –  –

жество G плотно всюду в L 2((0,l)) [и ]. Решение задачи (6s), (43) будем искать в виде (7), где функ­ ции о * (г, /) будут определены ниже. Тогда, аналогично п.2, функции Пк (г, /) удовлетворяют си

–  –  –

Поскольку линейная оболочка системы функций \гк{f)Ykm(0 )} плотна Л2(Л’)([п]),то из (49) заключаем, что г/(г,O f i)d s = 0, V ( r, S. Стало быть, по принцип экстремума для параболиче­ ского уравнения (6) [14] и = 0 в Q /; .

Далее, используя теорему 2 получим единственность решения задачи 1 .

НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ | : | Серия Математика. Физика. 2016. № 27 (248). Выпуск 45 Отметим, что доказанная теорема для модельного многомерного вырождающегося гиперболо-параболического уравнения получена в [15] .

Список литературы

1. Нахуш ев А. М. 2006. Задачи со смещ ением для уравнения в частны х производных. М.: Наука: 287 .

Nakhushev, А.М. 2006. Problem s w ith a Shift for Partial Differential Equations. Moscow: Nauka (in Russian) .

2. Врагов В. H. 1983. Краевые задачи для неклассических уравнений математической физики, Н овоси­ бирск, НГУ: 84 .

Vragov, V.N. 1983- Boundary Value Problem s for N on-classical Equations o f M athem atical Physics. N ovosi­ birsk, NGU (in Russian): 84 .

3. Каратопраклиев Г. Д. 1983. Краевые задачи для уравнения смеш анного типа в многомерных обла­ стях. Partial Diffential Equations Banach center publications, 10: 261-269 .

Karatoprakliev G.D. 1983. Boundary Value Problem s for M ixed Type Equations in M ulti-dim ensional D o­ mains. Partial Differential Equations Banach Center Publications, 10: 261-269 (hi Russian) .

4. Алдаш ев С. A. 2013. Корректность задачи Дирихле для одного класса многомерных гиперболо­ параболических уравнений, Укр. матем. Вестник, 10: 147-157 .

Aldashev, S.A. 2013. W ell-posedness o f Dirichlet problem for one class o f m ulti-dim ensional hyperbolicparabolic equations. Ukrainskii M atem aticheskii Vestnik, 10(2): 147-157 (in Russian) .

5. Aldashev S. A. 2013. Correctntss o f the Dirichlet problem for a class o f m ultidim ensional hyperbolicparabolic equations. Journal o f M athem atical Sciences, 194 (5): 491-498 .

Aldashev S A. 2013. Correctness o f the Dirichlet Problem for a Class o f M ultidim ensional Hyperbolic-Parabolic Equations. Journal o f M athem atical Sciences, 194(5): 491-498 .

6. Алдаш ев С. A. 2012. Корректность задачи Дирихле и Пуанкаре в цилиндрической области для вы ­ рождающ ихся многомерных гиперболических уравнений с оператором Чаплыгина, Научные ведомости БелГУ, М атематика, физика, вып. 6. № 5(124): 12-25 .

Aldashev S. A. 2012. Correctness o f Dirichlet’s and Poincare’s problem s’ in cylindrical dom ain for degenerated m ultidim ensional hyperbolic equations w ith CH apligin’s operator. Belgorod State University Scientific bulletin M ath­ ematics & Physics, vol. 6. № 5(124): l2-25(in Russian) .

7. Алдаш ев С. A. 2013. Корректность задач Дирихле и Пуанкаре в цилиндрической области для много­ мерного уравнения Чаплыгина. Владикавказский матем. журнал, т 15, вып.2 : 3-10 .

Aldashev S.A. 2013. The well-posedness o f the Dirichlet and Poincare problem s in a cylindric dom ain for the m ulti-dem ensional CHapligin. Vladikavkaz M athem atical Journal, vol. 15( 2) : 3-10 (in Russian) .

8. М ихлин С. Г. 1962. М ногомерные сингулярные интегралы и интегральные уравнения, М.:

Физматгиз: 254 .

M ikhlin, S.G. 1962. M ulti-dim ensional Singular Integrals and Integral Equations. Moscow: Fizm atgiz (in Russian) .

9. Камке Э. 1965. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям, М.: Наука: 703 .

Kamke Е. 1965. Handbook o f O rdinary Differential Equations. Moscow: Nauka (Russian translation) .

10. Бейтмен Г., Эрдейи A. 1974. Высш ие трансцендентные функции, т.2, М.: Наука: 297 .

Batem an Н., Erdelyi A. 1974- H igher Transcendental Functions, Vol. 2. Moscow: N auka (Russian translation) .

11. Колмогоров А. H., Фомин С.В. 1976- Элементы теории функций и функционального анализа, М.:

Наука: 543 Kolm ogorov A.N., Fom in S.V. 1976- Elem ents o f the Theory o f Functions and Functional Analysis. Moscow:

Nauka (in Russian) .

12. Тихонов А. H., Самарский А.А. 1966. Уравнения математической физики, М.: Наука: 724 .

Tikhonov A.N., Sam arskii А.А. 1977- Equations o f M athem atical Physics. Moscow: Nauka (in Russian) .

13. Смирнов В. И. 1981. Курс высшей математики, Т.4, N.2, М.: Наука: 550 .

Sm irnov V.1. 1981. A Course o f Higher M athem atics, Vol. 4, part 2. Moscow: N auka (in Russian) .

14. Фридман А. 1968. Уравнения с частными производными параболического типа, М.: Мир: 527 .

Fridm an А. 1968. Hyperbolic Partial Differential Equations. Moscow: M ir (in Russian) .

15. Алдаш ев C.A. 2014. Корректность задачи Дирихле для вырож дающ ихся многомерных гиперболо­ параболических уравнений. Владикавказский матем. журнал, т 16, вып.4: 3-8 .

Aldashev S.A. 2014. W ell-posedness o f the Dirichlet problem for the degenerate m ultidim ensional hyperbolicparabolic equations. Vladikavkaz M athem atical Journal, vol. 16(42): 3-8 (in Russian) .





Похожие работы:

«ЮРИЙ КРАСНОВ САМОУЧИТЕЛЬ ДЛЯ ПЕРВОНАЧАЛЬНОГО ОБУЧЕНИЯ УПРАВЛЕНИЮ ЛЕГКОВЫМ АВТОМОБИЛЕМ МИНСК 2010 ВВЕДЕНИЕ З д р а в с т ву й т е, буд у щ и й б е з о п а с н ы й в од и т е л ь и буд у щ и й профессиональный консультант по обучению управлению автомобилем! Данная кн...»

«Ремни безопасности и детские удерживающие устройства Ремни безопасности и детские удерживающие устройства Руководство по безопасности дорожного движения для руководителей и специалистов Ремни безопасности и детские удерживающие устройства: руководство по безопасно...»

«Сод держание Введение......3 Глава 1. Теоретико-методологические основы социальнопедагогической коррекции гиперактивного поведения детей дошкольного возраста методом арт-терапии.7 1.1. Гиперактивность детей дошкольного возраста как психологопедагогическое явление..7 1.2. Психолого-педагогические особенности раз...»

«Организация воспитательно-образовательного процесса в ДОУ Петрова Татьяна Георгиевна учитель–логопед МАДОУ "Детский сад №317 комбинированного вида" г. Казань, Республика Татарстан РАЗВИТИЕ И КОРРЕКЦИЯ РЕЧЕМЫСЛИТЕЛЬНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ У СТАРШИХ ДОШКОЛЬНИКОВ Аннотация: в статье ра...»

«С.Г. Николаева студентка 4 курса факультета иностранных языков Курского государственного университета (г. Курск). e-mail: vekinis@mail.ru научный руководитель – Тынник Г.Н., к.п.н. доцент кафедры перевода и межкультурной коммуникации Курского государственного университета ВИДЫ ТРАНСФОРМАЦИЙ ПРИ ПЕРЕВО...»

«Харченко Вера Сергеевна ФРИЛАНС КАК СТИЛЬ ЖИЗНИ В СОВРЕМЕННОМ РОССИЙСКОМ ОБЩЕСТВЕ Специальность 22.00.06 Социология культуры АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата социологических наук 12 ДЕК т Екатеринбург 2013 ООбЬ^-з^' Работа выполнена на кафедре теоретической и прикл...»

«Л. А.Черных ПСИХОЛОГИЯ ОБЩЕНИЯ ПСИХОЛОГИЯ ОБЩЕНИЯ учебное пособие Л. А.Черных Луганск 2017 Министерство образования и науки Луганской Народной Республики Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образован...»







 
2019 www.mash.dobrota.biz - «Бесплатная электронная библиотека - онлайн публикации»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.