WWW.MASH.DOBROTA.BIZ
БЕСПЛАТНАЯ  ИНТЕРНЕТ  БИБЛИОТЕКА - онлайн публикации
 

«№ 6 (июнь). – ART 12065. – 0,4 п. л. – URL: – ART 12065 УДК 37.036.5:514 Гос. рег. Эл № ФС 77-46214. – ISSN 2304-120X. Горев Павел Михайлович, кандидат ...»

Горев П. М., Сорокина А. В. Признаки равенства

треугольников как задача открытого типа при изучении геометрии в основной школе // Концепт: научно-методический электронный журнал. – 2012. –

№ 6 (июнь). – ART 12065. – 0,4 п. л. – URL:

http://www.covenok.ru/koncept/2012/12065.htm. –

ART 12065 УДК 37.036.5:514 Гос. рег. Эл № ФС 77-46214. – ISSN 2304-120X .

Горев Павел Михайлович,

кандидат педагогических наук, доцент кафедры математического анализа и методики обучения математике ФГБОУ ВПО «Вятский государственный гуманитарный университет», г. Киров pavel-gorev@mail.ru Сорокина Анастасия Владимировна, студентка V курса факультета информатики, математики и физики ФГБОУ ВПО «Вятский государственный гуманитарный университет», г. Киров vesnasky@mail.ru Признаки равенства треугольников как задача открытого типа при изучении геометрии в основной школе Аннотация. В статье описывается возможность построения системы геометрических задач (а именно признаков равенства треугольников) на основе рассмотрения учебной задачи открытого типа, подводящей к творческому осмысленному восприятию материала и способствующей развитию критического мышления учащихся .

Ключевые слова: обучение геометрии, задачи открытого типа, проблемное обучение, развивающее обучение, развитие критического мышления .

Развитие личности с высоким уровнем интеллекта, мощным творческим потенциалом, способной раскрыть их в своей профессиональной деятельности – одна из наиболее важных и приоритетных задач обновляющейся школы. Математическое образование в силу специфичности своего предмета в значительной степени позволяет формировать интеллект учащихся и имеет широкий, но недостаточно большой потенциал для развития их творческих способностей [1, 2] .



Одним из направлений в решении проблемы развития научного творчества школьников при обучении математике может стать включение в изучаемый материал задач открытого типа как эффективного средства развития креативности учащихся основной и средней школы [3–5]. Такие задачи не регламентируют четких условия, рассуждений и выводов: предложенное решение либо применимо к условию и приводит к требуемому результату, либо нет. Задачи открытого типа чаще всего встречаются в практической деятельности, поэтому школьный курс математики должен целенаправленно способствовать формированию у учеников умения их решать [6] .

Именно поэтому особое значение приобретает исследовательская работа по выявлению возможностей использования таких задач в процессе изучения школьного курса математики, а также созданию систем таких задач и методики работы с ними в соответствии с действующим обновленным федеральным стандартом математическо

–  –  –

Задача, оставаясь открытой, теперь уже требует применения геометрических соображений практического (измерение длин отрезков и величин углов, сопоставление и т. п.) или теоретического (доказательство) характера. Сузим требования задачи до простейших геометрических фигур – треугольников .

Задача 3. Как убедится, не прибегая к практическим действиям, что два треугольника равны?

Эта задача открытого типа уже может быть включена в процесс изучения темы «Признаки равенства треугольников» в 7 классе основной школы и, после соответствующей переформулировки, следующей далее, может использоваться при изучении трех наиболее известных (основных) признаков равенства треугольников [8] .

Задача 4. Укажите и докажите возможные признаки равенства треугольников .



Это учебная задача, носящая признаки открытости. Так, отрытым является условие задачи – неясно, какие элементы можно использовать; ее решение тоже может быть осуществлено разными способами; да и выводы могут быть разнообразны .

Обсудим более подробно открытость условия задачи .

Условимся для начала называть элементами треугольника его стороны и углы .

Каждый из трех основных признаков равенства треугольников позволяет сделать вывод о равенстве двух треугольников, если установлено, что три элемента одного треугольника (хотя бы один из которых – линейный) соответственно равны трем элементам другого треугольника. В первом признаке такими элементами являются две стороны и угол между ними, во втором – сторона и два прилежащих к ней угла, в третьем – три стороны. Возникает естественный вопрос: а будут ли равны два треугольника, если какие-то иные три элемента одного из них равны соответствующим элементам другого? Иначе говоря, есть ли другие признаки равенства двух треугольников по трем элементам?

Сначала перечислим, какие еще есть возможности. Если взять в качестве исследуемых элементов одну сторону и два угла, то они оба могут быть прилежащими к этой стороне (такой случай рассматривается во втором признаке равенства треугольников), а может быть и другой вариант: один из углов является прилежащим, а другой – противолежащим. Таким образом, возможен признак равенства треугольников по стороне и двум углам, один из которых является прилежащим, а другой – противолежащим для этой стороны. Далее, если рассматривать две стороны и угол, то он может быть заключен между этими сторонами (такой случай рассматривается в первом признаке равенства треугольников), а может быть противолежащим одной из сторон. Тем самым, возникает вопрос о признаке равенства треугольников по двум сторонам и углу, противолежащему одной из них. И, наконец, в качестве трех элементов треугольника можно взять три угла и рассмотреть вопрос о признаке равенства треугольников по трем углам. Напомним, что рассмотрение в качестве элементов трех сторон составляют третий из основных признаков равенства треугольников .

Итак, есть три возможности. Осталось выяснить какие из них, являясь верными фактами, дают «новые» признаки равенства треугольников .

Гипотеза 1. Если сторона и два угла (прилежащий и противолежащий для этой стороны) одного треугольника соответственно равны стороне и двум углам (прилежащему и противолежащему для этой стороны) другого треугольника, то такие треугольники равны .

Попробуем доказать, что эта гипотеза верна, попутно показав два из многих возможных вариантов доказательства, что дает представление об открытости процесса решения задачи .

~2~ Горев П. М., Сорокина А. В. Признаки равенства треугольников как задача открытого типа при изучении геометрии в основной школе // Концепт: научно-методический электронный журнал. – 2012. – № 6 (июнь). – ART 12065. – 0,4 п. л. – URL:





http://www.covenok.ru/koncept/2012/12065.htm. – ART 12065 УДК 37.036.5:514 Гос. рег. Эл № ФС 77-46214. – ISSN 2304-120X .

Доказательство 1. Рассмотрим треугольники АВС и А1В1С1, у которых АВ = А1В1, А = А1, С = С1. Мы хотим доказать, что эти треугольники равны .

Мысленно наложим треугольник АВС на треугольник А1В1С1 так, чтобы вершина А совместилась с вершиной А1, а стороны АВ и АС наложились на лучи А1В1 и А1С1 .

Это можно сделать, т. к. А = А1. Поскольку АВ = А1В1, то сторона АВ совместится со стороной А1В1, в частности, совместятся вершины В и В1. Остается доказать, что вершины С и С1 так же совместятся. Если предположить, что вершина С совместится не с точкой С1, а с какой-то другой точкой С2 на луче А1С1, то получится треугольник В1С1С2, у которого внешний угол при равен углу треугольника, не смежному с этим внешним углом. Но этого не может быть (точнее может быть лишь в случае, если угол В1 этого треугольника нулевой), поэтому вершина С совместится с вершиной С1. Следовательно, совместятся и стороны ВС и В1С1. Итак, треугольники АВС и А1В1С1 полностью совместятся, а значит, они равны .

Доказательство 2 будем основывать на уже известном втором признаке равенства треугольников. Пусть вновь даны треугольники АВС и А1В1С1, у которых АВ = А1В1, А = А1, С = С1. В силу того, что сумма углов треугольника неизменна и равна 180° и у треугольников есть две пары равных углов, то и третья пара составит равные углы ( В = В1). Следовательно, в каждом треугольнике есть по стороне и паре прилежащих к ней углов находящихся в соответственном равенстве (АВ = А1В1, А = А1, В = В1), что доказывает равенство самих треугольников .

Таким образом, наша гипотеза оказалась верной и имеет место еще один признак равенства треугольников .

Четвертый1 признак равенства треугольников. Если сторона и два угла (прилежащий и противолежащий для этой стороны) одного треугольника соответственно равны стороне и двум углам (прилежащему и противолежащему для этой стороны) другого треугольника, то такие треугольники равны .

Заметим, что признаки треугольников, обозначенные у нас под номерами два и четыре можно объединить и рассматривать обобщенный признак .

Теорема (признак равенства треугольников). Если сторона и два угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум углам другого треугольника, то такие треугольники равны .

Однако вернемся к рассмотрению заявленных возможностей равенства элементов двух треугольников .

Гипотеза 2. Если две стороны и угол, противолежащий одной из этих сторон, одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу другого треугольника, то такие треугольники равны .

Доказательство. Рассмотрим треугольники АВС и А1В1С1, у которых АВ = А1В1, АС = А1С1, С = С1. Мысленно наложим треугольник АВС на треугольник А1В1С1 так, чтобы вершина С совместилась с вершиной С1, а стороны ВС и АС наложились на лучи В1С1 и А1С1 соответственно. Это можно сделать, т. к. С = С1. Поскольку АС = А1С1, то сторона АС совместится со стороной А1С1, в частности, совместятся вершины А и А1. Остается доказать, что вершины В и В1 также совместятся. Но так ли это? Допустим, что точка В совместилась не с точкой В1, а с какой-то другой точкой В2 на луче С1В1. Тогда треугольник А1В1В2 – равнобедренный (А1В1 = А1В2) .

Поскольку углы при основании равнобедренного треугольника – острые, то смежные с ними углы – тупые. Поэтому либо угол В1 треугольника А1В1С1 тупой (если Нумерация признаков здесь и далее – условная .

~3~ Горев П. М., Сорокина А. В. Признаки равенства треугольников как задача открытого типа при изучении геометрии в основной школе // Концепт: научно-методический электронный журнал. – 2012. – № 6 (июнь). – ART 12065. – 0,4 п. л. – URL:

http://www.covenok.ru/koncept/2012/12065.htm. – ART 12065 УДК 37.036.5:514 Гос. рег. Эл № ФС 77-46214. – ISSN 2304-120X .

В1 лежит между С1 и В2), либо угол В2 треугольника А1В2С1 тупой (если В2 лежит между С1 и В1). Принимая во внимание соотношение между сторонами и углами треугольника, и в том, и в другом случае получаем: А1В1 = А1В2 А1С1. Следовательно, если А1В1 А1С1, то точки В и В1 должны совместиться. Таким образом, треугольники АВС и А1В1С1 полностью совместятся, а значит, они равны .

Если же А1В1 А1С1 (и, следовательно, АВ АС), то никакого противоречия нет .

И в этом случае наша гипотеза не верна .

Таким образом, гипотеза в том виде, в котором мы ее сформулировали, не верна. Однако признак равенства треугольников по двум сторонам и углу, противолежащему одной из них, имеет место в том случае, когда сторона, противолежащая этому углу, не меньше второй из данных сторон .

Здесь нужно остановиться и заметить, что многовариантность возможных ответов задачи в зависимости от условий, дает повод говорить об определенной доле открытости результатов решения задачи 4 .

Итак, нами сформулирован еще один признак равенства треугольников .

Пятый признак равенства треугольников. Если две стороны и угол, противолежащий одной из этих сторон, одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу другого треугольника, при этом сторона, противолежащая углу, не меньше второй из данных сторон, то такие треугольники равны .

Возвращаясь к рассмотрению заявленных выше случаем, замечаем, что осталось выяснить, имеет ли место признак равенства треугольников по трем углам .

Гипотеза 3. Если три угла одного треугольника соответственно равны трем углам другого треугольника, то такие треугольники равны .

Доказательство. Уже на первый взгляд гипотеза кажется неверной. На самом деле, рассмотрим два неравных квадрата АВСD и А1В1С1D1. Проведем диагонали АС и А1С1 и рассмотрим треугольники АВС и А1В1С1. Углы этих треугольников соответственно равны: в каждом треугольнике один угол прямой, а два другие по 45. Но сами треугольники, очевидно, не равны .

Количество признаков равенства треугольников возрастает, если наряду с элементами треугольника рассматривать медианы, биссектрисы и высоты .

Разберем некоторые из них .

Гипотеза 4. Если две стороны и медиана, проведенная из общей вершины этих сторон, одного треугольника соответственно равны двум сторонам и медиане, проведенной из общей вершины этих сторон, другого треугольника, то такие треугольники равны .

Доказательство. Рассмотрим треугольники АВС и А1В1С1, у которых АВ = А1В1, АС = А1С1, АМ = А1М1. Где АМ и А1М1 – медианы треугольников. Докажем, что эти треугольники равны .

Рис. 1

На продолжениях медиан АМ и А1М1 отметим точки D и D1 так, что DM = AM = A1M1 = D1M1 (рис. 1). Треугольники АВМ и СDM равны по двум сторонам и углу между ними. Поэтому АВ = CD. Аналогично, из равенства треугольников А1В1М1 и С1D1M1 следует, что А1В1= С1D1, а т. к. АВ = А1В1, то CD = С1D1 .

~4~ Горев П. М., Сорокина А. В. Признаки равенства треугольников как задача открытого типа при изучении геометрии в основной школе // Концепт: научно-методический электронный журнал. – 2012. – № 6 (июнь). – ART 12065. – 0,4 п. л. – URL:

http://www.covenok.ru/koncept/2012/12065.htm. – ART 12065 УДК 37.036.5:514 Гос. рег. Эл № ФС 77-46214. – ISSN 2304-120X .

Треугольники АСD и А1С1D1 равны по трем сторонам. Поэтому CAD = C1A1D1.Следовательно, треугольники САМ и С1А1М1 равны по двум сторонам и углу между ними, а значит, СМ = С1М1. Из этого следует, что ВС = 2СМ = 2С1М1 = В1С1 .

Итак, в треугольниках АВС и А1В1С1 имеем АВ = А1В1, АС = А1С1, ВС = В1С1 .

Следовательно, треугольники равны по трем сторонам .

Мы установили, что имеет место еще один признак равенства треугольников .

Шестой признак равенства треугольников. Если две стороны и медиана, проведенная из общей вершины этих сторон, одного треугольника соответственно равны двум сторонам и медиане, проведенной из общей вершины этих сторон, другого треугольника, то такие треугольники равны .

Возникает вопрос: а что, если медиану заменить на биссектрису или высоту?

Сохранится ли признак равенства треугольников?

Гипотеза 5. Если две стороны и биссектриса, проведенная из общей вершины этих сторон, одного треугольника соответственно равны двум сторонам и биссектрисе, проведенной из общей вершины этих сторон, другого треугольника, то такие треугольники равны .

Доказательство. Рассмотрим треугольники АВС и А1В1С1, у которых АВ = А1В1, АС = А1С1, АМ = А1М1. Где АМ и А1М1 – биссектрисы треугольников. Докажем, что эти треугольники равны. Докажем, что если А = А1, то треугольники будут равны по первому признаку равенства треугольников. Допустим, что это не так. Пусть для определенности А А1. Мысленно наложим треугольник АВС на треугольник А1В1С1 так, чтобы луч АМ наложился на луч А1М1, а вершина В и В1 оказались по одну сторону от АМ. Обозначим буквами P и Q точки пересечения отрезка В1С1 с лучами АВ и АС. В треугольнике АРQ хотя бы один из углов Р, Q – острый. Если угол Р – острый, то смежный с ним угол АРВ1 – тупой. Поэтому сторона АВ1 треугольника АРВ1 больше, чем АР. Но АВ1 = АВ. Следовательно, АВ АР, а значит точка Р лежит на отрезке АВ. Если угол Q треугольника АРQ – острый, то точка Q лежит на отрезке АС (аналогично предыдущему рассуждению). В этом случае, точки P и Q лежат по одну сторону от прямой ВС. Поэтому точка М1 пересечения отрезка В1С1 с лучом АМ является внутренней точкой отрезка АМ, т. е. АМ АМ1. Что и требовалось доказать, значит, наша гипотеза верна .

Седьмой признак равенства треугольников. Если две стороны и биссектриса, проведенная из общей вершины этих сторон, одного треугольника соответственно равны двум сторонам и биссектрисе, проведенной из общей вершины этих сторон, другого треугольника, то такие треугольники равны .

Гипотеза 6. Если две стороны и высота, проведенная из общей вершины этих сторон, одного треугольника соответственно равны двум сторонам и высоте, проведенной из общей вершины этих сторон, другого треугольника, то такие треугольники равны .

Доказательство. Рассмотрим треугольники АВС и А1В1С1, у которых АВ = А1В1, АС = А1С1, АН = А1Н1. Где АН и А1Н1 – высоты треугольников. Докажем, что если А = А1, то треугольники будут равны по первому признаку .

Прямоугольные треугольники АВН и А1В1Н1 равны по доказанному нами ранее признаку по двум сторонам и углу, противолежащему одной из них. Следовательно, ВАН = В1А1Н1. Аналогично САН = С1А1Н1. Тогда, А = ВАН + САН = = В1А1Н1 + С1А1Н1 = А1. А если А = ВАН + САН, а А1 = В1А1Н1 –

– С1А1Н1, тогда треугольники не будут равны. Контрпримером может служить равнобедренный треугольник АВС, где АВ = АС, АН – высота. Если на продолжении стороны ~5~ Горев П. М., Сорокина А. В. Признаки равенства треугольников как задача открытого типа при изучении геометрии в основной школе // Концепт: научно-методический электронный журнал. – 2012. – № 6 (июнь). – ART 12065. – 0,4 п. л. – URL:

http://www.covenok.ru/koncept/2012/12065.htm. – ART 12065 УДК 37.036.5:514 Гос. рег. Эл № ФС 77-46214. – ISSN 2304-120X .

ВС отметить точку D, то треугольники ABD и ACD будут удовлетворять условиям гипотезы. Таким образом, наша гипотеза не верна .

Гипотеза 7. Если сторона, прилежащий к ней угол и высота, проведенная к этой стороне, одного треугольника соответственно равны стороне, прилежащему к ней углу и высоте, проведенной к этой стороне, другого треугольника, то такие треугольники равны .

Доказательство. Рассмотрим треугольники АВС и А1В1С1, у которых ВН = В1Н1, АС = А1С1, А = А1. Где ВН и В1Н1 – высоты треугольников. Докажем, что эти треугольники равны. Рассмотрим три случая. Первый случай: углы А и А1 – острые .

В этом случае треугольники АВН и А1В1Н1 равны по доказанному нами признаку равенства треугольников по стороне и двум углам, один из которых противолежащий, другой прилежащий к этой стороне. Тогда АВ = А1В1. Т. к. АС = А1С1, А = А1, АВ =А1В1, то треугольники равны по двум сторонам и углу между ними. Второй случай: углы А и А1 – тупые, доказывается аналогично предыдущему. Если же А и А1 – прямые, то высота ВН совпадет со стороной АВ треугольника АВС, т. е. совпадают точки А и Н, высота В1Н1 совпадет со стороной А1В1 треугольника А1В1Н1. Тогда треугольники равны по двум сторонам и углу между ними .

Восьмой признак равенства треугольников. Если сторона, прилежащий к ней угол и высота, проведенная к этой стороне, одного треугольника соответственно равны стороне, прилежащему к ней углу и высоте, проведенной к этой стороне, другого треугольника, то такие треугольники равны .

Очевидно, список признаков можно продолжать и далее, включая в рассмотрение другие элементы треугольника: радиусы вписанной, описанной, вневписанных окружностей, внешние углы, проекции двух сторон на третью, отрезки, на которые разбивает сторону биссектриса и т. д .

Таким образом, учебная открытая задача позволила перейти к творческому осмыслению материала, связанного с признаками равенства треугольников и пополнить как фактологическую, так и доказательную базу семиклассников .

Ссылки на источники Горев П. М. Формирование творческой деятельности школьников в дополнительном математическом 1 .

образовании: дисс. … канд. пед. наук. – Киров: ВятГГУ, 2006. – 158 с .

Горев П. М. Приобщение к математическому творчеству: Дополнительное математическое образование: монография. – Saarbrucken: LAP LAMBERT Academic Publishing GmbH & Co. KG (Germany), 2012. – 156 с .

Утмов В. В. Задачи открытого типа как средство развития креативности учащихся средней школы // 3 .

Концепт: научно-методический электронный журнал официального сайта эвристических олимпиад «Совнок» и «Прорыв». – Декабрь 2011, ART 1102. – Киров, 2011 г.

– URL:

http://www.covenok.ru/koncept/2011/1102.htm .

Утмов В. В. Развитие креативности учащихся основной школы: Решая задачи открытого типа: монография. – Saarbrucken: LAP LAMBERT Academic Publishing GmbH & Co. KG (Germany), 2012. – 186 с .

Горев П. М., Утмов В. В. Формула творчества: Решаем открытые задачи. Материалы эвристической олимпиады «Совнок»: учебно-методическое пособие. – Киров: Изд-во ВятГГУ, 2011. – 288 с .

Горев П. М., Утмов В. В. Развитие креативности через использование ситуаций в обучении математике // Лаборатория образовательных технологий «Образование для Новой Эры», 2011. – URL:

http://www.trizway.com/art/secondary/305.html .

Утмов В. В. Учебные задачи открытого типа // Концепт: научно-методический электронный журнал 7 .

официального сайта эвристических олимпиад «Совенок» и «Прорыв». – Май 2012, ART 1257. – Киров, 2012 г. – URL: http://www.covenok.ru/koncept/2012/1257.htm .

Геометрия 7–9: учеб. для общеобразоват. учреждений / Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др. – М.: Просвещение, 2008. – 384 с .

–  –  –

~7~






Похожие работы:

«Электронный журнал "Психологическая наука и образование" www.psyedu.ru / ISSN: 2074-5885 / E-mail: psyedu@mgppu.ru 2012, №4 Условия развития целеполагания у старших подростков (на примере школы мыследеятельностной педагогики) А.В. Жилинская, младший научный сотр...»

«УДК 378.147:796 АДАПТАЦИЯ СТУДЕНТОВ К УЧЕБНОМУ ПРОЦЕССУ СРЕДСТВАМИ ФИЗИЧЕСКОГО ВОСПИТАНИЯ Горбунова Н.А. – старший преподаватель центра физической и спортивной подготовки, Костанайский государственный университет имени А.Байтурсынова Гальвина Н.П. – старший преподаватель центра физической и спортивной подготовки, Костанай...»

«Ученые записки университета имени П.Ф. Лесгафта – 2016. – № 5 (135). ЛИТЕРАТУРА 1. Астахов, В.И. Педагогический контроль за специальной подготовленностью гребцов на байдарках и каноэ / В.И. Астахов, Я.С. Вайнбаум, Ю.А. Желдыбин // Теория и практика физической культуры. – 1986. – №11. – С. 17-19.2. Емчук, И.Ф. Управл...»

«МУНИЦИПАЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА № 13 ГОРОДА СТАВРОПОЛЯ "Утверждаю" "Согласовано" Рассмотрено на МО учителей _ Директор МБОУ СОШ №13 Заместитель директора по УВР/_/ _ _/А.В.Кикоть/ ""20_г. протокол № от ""20г. "_"20г. Руководитель М...»

«Конспект урока по предмету " Окружающий мир" 1 класс Сорокина Елена Борисовна учитель начальных классов муниципальное бюджетное учреждение средняя общеобразовательная школа № 49 го...»

«"Утверждаю" Директор МОУ ДО "ДТЦ" Е.П. Солнцева "26" января 2016 г. ПОЛОЖЕНИЕ о Детском совете в МОУ ДО "Детский театральный центр"1. Общие положения 1.1. Настоящее Положение о Детском совете (далее Положение) Муниципального бюджетного образовательного учреждения дополнительного образования Петрозаводского городс...»

«КЛИНИЧЕСКАЯ ГЕНЕТИКА В ДЕТСКОЙ КАРДИОЛОГИИ © Коллектив авторов, 2010 С.В. Кузьмина1, О.А. Мутафьян1, В.И. Ларионова2 ПОЛИМОРФИЗМ ГЕНОВ РЕНИН–АНГИОТЕНЗИН–АЛЬДОСТЕРОНОВОЙ СИСТЕМЫ И ОСОБЕННОСТИ СОСТОЯНИЯ ВЕГЕТАТИВНОЙ НЕРВНОЙ СИСТЕМЫ У ДЕТЕЙ И ПОДРОСТКОВ С АРТЕРИАЛЬНОЙ ГИПЕРТЕНЗИЕЙ 1ГОУ ДПО СПбМАПО Росздрава, 2...»

«СПИСОК внешних совместителей и представители работодателей, участвующие в учебном процессе ФИО ученая степень, Преподаваемые дисциплины Основное место работы ученое звание Алякринская Ольга Цветоведение и колористика Преподаватель детской художественной школы Сергеевна им. И.С. Куликова Артеева Анна Але...»




 
2019 www.mash.dobrota.biz - «Бесплатная электронная библиотека - онлайн публикации»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.