WWW.MASH.DOBROTA.BIZ
БЕСПЛАТНАЯ  ИНТЕРНЕТ  БИБЛИОТЕКА - онлайн публикации
 

«Вступление Статья предназначена для учителей и представляет собой готовый материал для классной работы или проведения кружков. Несмотря на то, что свойства ортоцентра хорошо известны и описаны ...»

Свойства ортоцентра в задачах на готовых чертежах

Н.А. Ленская, Д.В. Прокопенко, ГБОУ Физматшкола №2007, Москва

Вступление

Статья предназначена для учителей и представляет собой готовый материал для классной работы или

проведения кружков. Несмотря на то, что свойства ортоцентра хорошо известны и описаны в статьях

(см. список литературы), мы считаем полезным собрать разрозненные факты в одну таблицу .

В статье приведен подробный разбор двух занятий кружка по геометрии, который можно давать в 8-9 классе. На первом мы докажем основные свойства ортоцентра. Во второй части приведем задачи на готовых чертежах, что позволяет увеличить количество решенных задач этой части. Задачи подобраны достаточно простые, с коротким решением. которые помогают закрепить материал из первой части, многократно проговорить свойства ортоцентра. В конце списка задач есть две задачи повышенной, но вполне доступной сложности: с региональной олимпиады по математике и доказано существование прямой Эйлера. Желательно, чтобы все приведенные задачи были решены без использования подобия .

Повторение некоторых фактов и методов планиметрии В задачах на ортоцентр треугольника часто используются свойства и признаки вписанных четырехугольников, вписанные углы, прямой угол опирается на диаметр и т.д. Поэтому перед занятиями полезно провести повторение. Особенно это важно в 8 классе, когда опыта решения задач на эту тему еще немного. Предварительно полезно провести отдельный кружок на эту тему .



Свойство и признак касательной Свойство: угол между касательной и хордой равен вписанному углу, опирающемуся на дугу, заключенную между ними .

Признак: прямая, проходящая через вершину треугольника и образующая со стороной, исходящей из этой вершины, угол, равный углу треугольника, лежащему против этой стороны, является касательной к описанной окружности треугольника .

При решении задач часто приходится использовать признаки того, что четыре точки лежат на одной окружности. Перечислим те, которые нам пригодятся при изучении этой темы и некоторые полезные вспомогательные факты .

Признаки и свойства вписанного четырехугольника Признак: Если сумма противоположных углов четырехугольника равна 180°, то четырехугольник вписан в окружность. Верно и обратное .

Свойство: внешний угол вписанного четырехугольника равен противоположному внутреннему углу. Верно и обратное .

Геометрическое место точек

а) Геометрическое место точек, из которых данный отрезок виден под прямым углом, ес

–  –  –

б) Геометрическое место точек, из которых данный отрезок виден под данным углом, есть две симметричные дуги (см. рисунок), без концов отрезка .

Метод выпрямления траектории Довольно часто в задачах встречается следующая конструкция (см .

рис.). Ее можно сформулировать в физических терминах: луч света отражается от зеркала по закону угол падения равен углу отражения .

В большинстве случаев решить задачу с такой конструкцией можно, сделав простое дополнительное построение: продолжим луч AB за точку B. Другими словами, мы «выпрямляем» траекторию движения .

Этот метод так и называют «метод выпрямления траектории» .

Получаем, что 1 = 3 = 2. Следовательно, на чертеже возникает биссектриса, а вместе с ней и симметрия, свойства которых можно подключить к решению задач .

Радиус – как важное дополнительное построение .

С этой конструкцией связано еще одно дополнительное построение .



Опустим перпендикуляр на хорду AB из центра O окружности .

Получим прямоугольный треугольник, в котором MOA равен вписанному BAC. Мы воспользуемся этим дополнительным построением при доказательстве свойств ортоцентра .

Вписанный угол равен половине центрального .

–  –  –

После повторения школьникам сначала раздается таблица с чертежами, на которых отображены основные свойства ортоцентра и ортотреугольника (см. таблицу 1). Затем начинается коллективная работа с детьми. Их задача: глядя на чертеж, сформулировать соответствующее свойство .

Основные свойства ортоцентра и ортотреугольника Ортоцентром треугольника называется точка пересечения прямых, содержащих высоты треугольника. Основания являются вершинами высот треугольника ортотреугольника .

На всех чертежах будем использовать обозначения: O – центр описанной окружности треугольника ABC, H – ортоцентр .

–  –  –

Формулировки После обсуждения вариантов формулировок и корректировки их учителем, наиболее удачные записываются.

Приведем их:

Свойство 1. Точка, симметричная ортоцентру треугольника относительно его стороны, лежит на описанной около этого треугольника окружности .

Свойства 2 и 3. Точка, симметричная ортоцентру треугольника относительно середины его стороны, лежит на окружности, описанной около треугольника, и диаметрально противоположна вершине треугольника, противолежащей данной стороне .

Свойство 4. Расстояние от вершины треугольника до его ортоцентра в два раза больше расстояния от центра описанной окружности до противолежащей стороны .

Свойство 5. Угол между радиусом и стороной равен углу между высотой и стороной (все они выходят из одной вершины) .

Свойство 6. Радиусы описанной окружности, проведенные к вершинам треугольника, перпендикулярны соответствующим сторонам ортотреугольника .

Свойство 7. а) Стороны ортотреугольника образуют равные углы с соответствующими сторонами данного треугольника .

б) Ортоцентр остроугольного треугольника является точкой пересечения биссектрис ортотреугольника (центром его вписанной окружности) .

Свойство 7. Сумма квадратов расстояния от вершины треугольника до его ортоцентра и длины стороны, противолежащей этой вершине, равна квадрату диаметра описанной окружности .

Отметим, что раздавать детям готовые формулировки мы не рекомендуем, поскольку работа по самостоятельному формулированию и записи свойств положительно влияет на запоминание .

Далее занятие посвящено самостоятельному доказательству свойств. Заметим, что основные этапы доказательств были проработаны на этапе повторения, что существенно повышает процент учащихся, способных самостоятельно провести доказательство, и как следствие, запомнить свойство .

Таким образом, мы «убиваем сразу двух зайцев»: и доказываем свойства ортоцентра, и еще раз прокручиваем важные факты планиметрии .





Мы приведем некоторые соображения по поводу доказательств именно с этой целью. Если школьник приводит правильное, но не рациональное доказательство или использует совершенно другие идеи, то мы засчитываем решение, задаем наводящие вопросы и подводим его к тому способу, который нам нужен .

Доказательства свойств ортоцентра Свойства 1 и 2 – отличный повод потренироваться в применении определения равных фигур в общем виде (через движение), формулы угла между высотами, признака вписанного четырехугольника .

Свойство 1 .

Точка P симметрична точке H. Треугольники AHB и APB симметричны, следовательно, они равны, значит, APB = AHB = 180° ACB (как угол между высотами). В четырехугольнике ACBP C + P = 180°. Следовательно, он – вписанный, тогда точка P лежит на описанной окружности треугольника ABC .

На наш взгляд здесь полезно обратить внимание на треугольник AHB .

Свойство 2 .

Рассмотрим снова треугольник AHB .

Доказательство почти буквально повторяет доказательство свойства 1. Полезно заметить, что AHBQ – параллелограмм. Это нам пригодится при доказательстве свойств 3 и 8 и в решении задач .

Свойство 3 .

Из п. 2 известно, что AHBQ – параллелограмм. Значит, BQ || AH и AH BC (т.к. AH содержит высоту треугольника). Получили, что CBQ = 90°. Следовательно, CQ – диаметр .

Свойство 4 .

Совместим на одном чертеже свойства 2 и 3 (см. рис). CQ – диаметр, тогда OE – средняя линия треугольника CQH.

Здесь же в качестве подготовки решения задачи о прямой Эйлера можно продолжить работать с чертежом, используя следующие вопросы:

1. Чем являются для треугольника CQH а) отрезок CE ; б) отрезок HO ?

2. Чем является для треугольника CQH точка пересечения отрезков CE и HO ?

Свойства 5 и 8 можно доказать с помощью одного построения. Из точки O опустим перпендикуляр OM на CB (см. Повторение, п.6 «Радиус – как важное дополнительное построение») .

Свойство 5 Равенство нужных углов следует из того, что COM = CAB = .

Свойство 8 .

–  –  –

Обратим еще раз внимание, что в треугольнике COM собраны три элемента треугольника ABC – радиус описанной окружности, половина стороны и угол. Поэтому это дополнительное построение можно использовать для решения совсем других задач. С помощью треугольника COM можно доказать, например, теорему синусов для остроугольных треугольников, когда точка О лежит внутри треугольника АВС .

Способ 2: воспользуемся свойствами 2 и 3 .

AH = BQ, см. доказательство свойства 2. Из треугольника CBQ по теореме Пифагора 4 R 2 = BQ 2 + a 2 = AH 2 + a 2 .

Свойство 6 .

Вспомним «Повторение. Важная конструкция, связанная с двумя высотами». Мы доказали, что касательная в точке C параллельна стороне A1 B1 ортотреугольника. Радиус перпендикулярен касательной и, следовательно, прямой A1 B1 .

Свойство 7 .

Доказательство очевидно из рисунков 2 и 3. См. «Повторение: внешний угол вписанного четырехугольника равен противоположному внутреннему углу» .

Полезно обратить внимание, что в точках A1 и B1 можно воспользоваться методом выпрямления траектории (см. Повторение) .

Продолжим лучи C1 B1 и C1 A1. Тогда B1C и A1C – биссектрисы внешних углов треугольника A1 B1C1. Точка С – центр вневписанной окружности треугольника A1 B1C1 .

Занятие 2. Задачи на готовых чертежах На втором занятии кружка школьники получают в распечатанном виде задачи в виде таблицы (см .

Таблицу 2) с указаниями. Задачи на построение надо решать с помощью циркуля и линейки. Достаточно объяснить как построить. Само построение можно не выполнять .

Есть ограничение в задачах на построение

а) ортоцентра – не разрешается опускать перпендикуляр из вершины на прямую, содержащую противолежащую сторону;

б) центра описанной окружности – нельзя строить серединный перпендикуляр к стороне треугольника .

Будем использовать обозначения: O – центр описанной окружности, H – ортоцентр. Для решения этих задач у каждого ученика должна быть распечатанная табличка свойств ортоцентра .

Указания к решению являются частью задания и приучают школьников искать знакомые конструкции, проводить дополнительные построения, помогают закрепить материал из первой части. На наш взгляд важно не только показывать на чертеже решение, но и многократно проговорить свойства ортоцентра .

–  –  –

3. Через вершины треугольника проведите прямые, перпендикулярные сторонам ортотреугольника .

4. Постройте касательную к окружности в точке C .

Дана окружность с диаметром AB и точка C на диаметре. Постройте на окружности точки X и Y, симметричные относительно AB, для которых прямые AX и YC были бы перпендикулярны друг другу .

–  –  –

Заключение К сожалению, объем статьи не позволяет привести задачи олимпиадного уровня, которые можно достаточно просто решить с помощью изученных свойств ортоцентра и ортотреугольника. В списке литературы указаны источники, изучение которых будет полезно и, одновременно, интересно .

Список литературы

1. Егоров А., Ортоцентрический треугольник, Квант, №4, 2001 .

2. Филипповский Г.Б., О двух параллелограммах в треугольнике, Квант, №4, 2008 .

3. Филипповский Г.Б., Лемма о “дважды биссектрисе”, Математика в школе, 2008, №4 .

4. Филипповский Г.Б., "О двух точках, симметричных ортоцентру треугольника", Математика в школе, 2009, №3 .

5. geometry.ru/articles.php, статьи на сайте, посвященном геометрии .






Похожие работы:

«International Research Federation "Science Public" Global science. Development and novelty Collection of scientific papers on materials International Scientific Conference 25 December 2016 г. Part 2 Lisbon 2016 Global science. Development and novelty....»

«1. Наименование дисциплины Дисциплина "Деловой иностранный язык (английский, немецкий)" включена в базовую часть Блока 1 Дисциплины (модули) основной профессиональной образовательной программы высшего профессионального образовани...»

«ПЕДАГОГИКА ИСКУССТВА ЭЛЕКТРОННЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ УЧРЕЖДЕНИЯ РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ ОБРАЗОВАНИЯ "ИНСТИТУТ ХУДОЖЕСТВЕННОГО ОБРАЗОВАНИЯ" http://www.art-education.ru/AE-magazine/ №2, 2011 актуальные тенденции в развитии художественного образования Тагильцева Наталия Григорьевна, доктор педагогических наук...»

«0034Э0332 ГАРПУШКИН Вячеслав Ефимович ГУМАНИСТИЧЕСКИЙ УНИВЕРСАЛИЗМ КАК ПАРАДИГМА МИРОВОЗЗРЕНИЯ Специальность 09.00 11 — Социальная философия Автореферат диссертации на соискание ученой степени...»

«ВЕСТНИК ОРЕНБУРГСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ПЕДАГОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА Электронный научный журнал (Online). ISSN 2303-9922 . http://www.vestospu.ru УДК 37 В. И. Попова Гуманистическая направленност...»

«Зырянова Екатерина Алексеевна ФОРМИРОВАНИЕ УМЕНИИ РЕЧЕВОГО ЭТИКЕТА МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ 13.00.02 теория и методика обучения и воспитания (русский язык, уровень начального образования) АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук 5 №Н 20П Чел...»

«Справка подведение итогов по реализации ФГОС ООО в МБОУ СОШ п.Домново за 1-ое полугодие 2015-2016 учебного года Цель: изучить состояние деятельности учреждения по созданию условий реализации ФГОС ООО Школа вступила в период глубоких качественных изменений. В новом Стандарте изменены содержание и стр...»

«Муниципальное дошкольное образовательное учреждение детский сад №4 "Светлячок" общеразвивающего вида с приоритетным осуществлением деятельности похудожественно-эстетическому направлению развитию детей Селивановского района Владимирской области Тема педагогического оп...»




 
2019 www.mash.dobrota.biz - «Бесплатная электронная библиотека - онлайн публикации»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.