WWW.MASH.DOBROTA.BIZ
БЕСПЛАТНАЯ  ИНТЕРНЕТ  БИБЛИОТЕКА - онлайн публикации
 

«методические материалы проекта Математическая вертикаль ГЕОМЕТРИЯ: 7 класс параграф № 11 Признаки равенства треугольников. автор: М.А. Волчкевич 2018 г. Аннотация: Данный материал представляет ...»

ЦЕНТР ПЕДАГОГИЧЕСКОГО МАСТЕРСТВА .

методические материалы проекта "Математическая вертикаль"

ГЕОМЕТРИЯ: 7 класс

параграф № 11

Признаки равенства треугольников .

автор: М.А. Волчкевич

2018 г .

Аннотация: Данный материал представляет собой одиннадцатый

параграф курса геометрии 7 класса для школ участников проекта

"Математическая вертикаль". Он содержит первый и второй

признаки равенства треугольников, а также признак равенства многоугольников. Материал рассчитан 4-5 уроков в зависимости от начального уровня школьников .

ПРИЗНАКИ РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ

_______________________________________________________________________________

Что такое признаки равенства? В предыдущем параграфе мы с вами говорили о равенстве геометрических фигур. Давайте вспомним, что геометрические фигуры равны, если можно движением одну из них полностью совместить с другой. Но как применять это правило на практике? Неужели каждый раз придется их накладывать друг на друга и пытаться физически совмещать! Хорошо еще, если фигуры можно вырезать из бумаги, а как быть, если они нарисованы на стене или просто очень больших размеров?

Посмотрите на футбольное поле: две его половины должны быть абсолютно одинаковыми, но как бы вы их совместили?

Сделать это можно только мысленно, проведя рассуждение или доказательство .

Возьмем другой пример .



Перед тем, как поставить в доме новую дверь, замерщик всегда снимает высоту и ширину дверного проема, потом по ним на заводе изготавливают нужную дверь, и тогда уже ее ставят на свое место. То есть на практике всегда берут какие-то характеристики предмета, по которым однозначно определяют его размеры и форму. Набор таких параметров в геометрии называется признаком фигуры .

Впрочем, признаки есть не только в геометрии. В биологии существуют признаки растений и животных, в медицине – признаки заболеваний. Под признаком в биологии всегда понимают набор каких-то качеств или свойств, по которым однозначно можно определить конкретный вид живых организмов. Подумайте, как бы вы сформулировали, например, признаки слона? А знаете ли вы самый известный признак класса насекомых? Как бы вы его сформулировали, глядя на приведенный рисунок? Какие вы знаете признаки простуды? Обычно их называют симптомами .

Сделайте упражнения:

–  –  –

У 2. Является ли равенство двух углов признаком того, что они вертикальные?

2 .

У 3. Назовите признаки (или приметы) грозы .

У 4. Является ли равенство длин всех сторон у двух многоугольников признаком равенства этих многоугольников?

Равенство двух многоугольников. Вернемся к признакам равенства фигур в геометрии. В общем случае сформулировать их довольно сложно. Однако для многоугольников можно сформулировать следующее простое правило, которое мы примем пока без доказательства .

–  –  –

С помощью данного правила легко проверить равенство синих или равенство зеленых фигур на рисунке 1. В самом деле, на клетчатой бумаге без линейки и транспортира можно найти у каждой пары этих фигур все их равные соответствующие стороны, а также убедиться в равенстве углов между этими сторонами (сделайте это!). В тоже время для проверки равенства красных треугольников по нашему правилу на том же рисунке не хватает данных .



Без измерительных инструментов на нем мы не можем точно утверждать, что у красных треугольников равны их острые углы и стороны, соединяющие вершины этих углов. Если бы мы могли вырезать красные треугольники из бумаги и рис. 1 совместить, мы убедились бы в их равенстве. Но делать это не обязательно. Оказывается, достаточно проверить равенство лишь некоторых элементов у двух треугольников, и тогда остальные их элементы тоже будут равны. Для этой цели нам и понадобятся признаки равенства треугольников, которые мы сформулируем ниже .

–  –  –

Также можно легко показать, что только два угла не могут однозначно определить треугольник. В самом деле, если задать два его угла и начать менять сторону между их вершинами (рис. 4), то получится снова сколько угодно разных треугольников .

Аналогично легко проверить, что только одна сторона треугольника и один лежащий против нее угол не могут однозначно определить треугольник .

–  –  –

Итак, только двух элементов недостаточно для определения треугольника. Возьмем теперь три его элемента. Пусть это будут две стороны и один угол треугольника, противоположный одной из этих сторон (рис. 6). Оказывается, набор таких элементов опять не может однозначно определить треугольник. Посмотрите на 7 на нем показаны различные треугольники АВС1 и АВС2, у которых совпадает сторона АВ, есть один и тот же угол А, который лежит против равных сторон ВС1 и ВС2 .

В

–  –  –

Первый признак равенства треугольников. Зафиксируем теперь две стороны треугольника и угол между ними. Интуитивно такая конструкция сразу становится «жесткой», то есть уже не может менять свою форму. Что это значит? Как раз то, что больше нет двух разных треугольников с данными элементами. То есть такой набор равных элементов однозначно определяет треугольник, а поэтому является признаком их равенства!

Правда, данное рассуждение еще не является доказательством. Чтобы оно им стало, нужно строго показать, что два треугольника с таким набором фиксируем две стороны и одинаковых элементов можно совместить движением. угол между ними Итак, мы готовы сформулировать первый признак равенства треугольников .

ПЕРВЫЙ ПРИЗНАК равенства треугольников:

Если две стороны и угол между ними в одном треугольнике соответственно равны двум сторонам и углу между ними в другом треугольнике, то такие треугольники равны треугольники равны по первому признаку Теперь мы с вами уже безо всяких измерительных инструментов можем утверждать, что у красных треугольников на клетчатой бумаге (рис. 1) равны все соответствующие элементы .

Ведь такие треугольники равны по первому признаку равенства треугольников .

Как же доказать первый признак равенства треугольников? Очевидно, необходимо провести общее рассуждение и строго показать, что треугольники с двумя равными сторонами и углом между ними можно всегда совместить. Давайте вспомним, что геометрические фигуры считаются равными, если существует движение плоскости, которое переводит одну из них в другую. Движение сохраняет расстояния между всеми точками фигуры, а сама фигура при этом перемещается как единое целое .





Из опыта мы знаем, что треугольник можно перемещать на плоскости как угодно, можно даже перевернуть его «другой стороной», как будто он вырезан из бумаги. Это очевидно, но все-таки как это доказать? Оказывается – никак не докажешь. Это еще одна аксиома, которую называют аксиомой движения плоскости.

Обычно ее формулируют так:

–  –  –

Второй признак равенства треугольников Давайте зафиксируем одну сторону треугольника и два его угла, прилегающих к этой стороне (рис. 11). Попробуем теперь начертить треугольник с такими элементами .

–  –  –

Возьмем данную нам сторону треугольника и транспортиром из ее концов в одну полуплоскость проведем два луча так, чтобы они образовывали с этой стороной нужные нам углы (рис. 12). Полученные лучи пересекутся в единственной точке. Это и будет третья вершина треугольника. То есть треугольник можно однозначно определить по этим трем его элементам. Это дает нам

ВТОРОЙ ПРИЗНАК равенства треугольников:

Если сторона и два прилежащих к ней угла в одном треугольнике соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам в другом треугольнике, то такие треугольники равны по треугольники равны второму признаку

–  –  –

Указание: у двух треугольников на приведенных рисунках может быть общая сторона или же общий угол. В этих случаях логично считают, что у таких треугольников совпадающие стороны (или углы) одинаковы, так как каждый отрезок или каждый угол равен сам себе .

Общая сторона у двух треугольников обозначается значком ~ .

Давайте теперь разберем несколько задач. Обратите внимание на то, как нужно записывать условие задачи и как оформлять ее решение .

_____________________________________________________________________________

–  –  –

Ответьте на вопросы:

1. Какой вы знаете признак равенства многоугольников?

2. Какие вы знаете признаки в биологии и медицине?

3. Обязаны ли равняться треугольники, если у них есть два равных угла?

4. Две стороны одного треугольника равны двум сторонам другого. Можно ли утверждать, что такие треугольники равны?

5. Как построить треугольник по двум его сторонам и углу между ними? Сколько разных треугольников можно построить с этими элементами?

6. Как построить треугольник по двум его сторонам и углу, лежащему против одной из них? Сколько разных треугольников можно построить с этими элементами?

7. Две стороны и угол между ними в одном треугольнике соответственно равны двум сторонам и углу между ними в другом. Верно ли, что у этих треугольников равны и другие углы?

8. Два угла и одна сторона в одном треугольнике равны двум углам и одной стороне другого. Верно ли, что такие треугольники обязательно равны?

Решите задачи:

1. Найдите пары равных треугольников на рисунке. По какому признаку можно утверждать, что они равны?

В

–  –  –

А

5. Все стороны и все углы пятиугольника равны .

Докажите, что равны все его диагонали .

В

–  –  –

С А

–  –  –

В В А

–  –  –

С В

10. Докажите, что угол АВС на клетчатой бумаге равен 900 А

11. Разрежьте квадрат на две неравные части, из которых можно потом сложить треугольник .

12. а) Докажите, что расстояние между концами часовой и минутной стрелок на механических часах в16:00 и 20:00 одинаковы;

б) В какой первый момент времени после 16:00 расстояние между концами стрелок будет таким же?

13. У двух четырехугольников соответственно равны три стороны и два угла между этими сторонами. Докажите, что у них равны и четвертые стороны .

ДЛЯ ТЕХ, КТО ХОЧЕТ ЗНАТЬ БОЛЬШЕ ___________________________________________

–  –  –






Похожие работы:

«I (e 4 Sn 3 7 Sl ) N :0 o 29 i n4 7 П сихология СО ВРЕМ ЕН Н А Я ЗА РУ БЕЖ Н А Я J a dr Po o f eey y u M i sl r n oo c l or go nn g F h 0.2 1№. Том 2o . 0l n 7, 2. o V СОВРЕМЕННАЯ ЗАРУБЕЖНАЯ ПСИХОЛОГИЯ Т. 6, № 2 / 2017 Тема номера...»

«Муниципальное бюджетное дошкольное образовательное учреждени е детский сад № 7 "Жар -птица" РАБОЧАЯ ПРОГРАММА воспитателей группы общеразвивающей направленности детей от 5 до 6 лет Натальи Викторовны Невзоровой, Айгули Филарисовны Шаймардановой г. Нижневартовск, 2017 УТВ...»

«ИНСТРУКЦИЯ по калибровке и тарировке датчиков ДУТ-КВ-Р01, ДУТ-КВ-РВ03 и ДУТ-КВ-02 ВНИМАНИЕ! Все Датчики, выпущенные после 01 мая 2015 года, откалиброваны на заводе изготовителя. Если Вас устраивает разрешение измерения уровня топлива, приведенные в таблице ниже то, никаких дополнительных действий по калибровке...»

«Лапшина В.А. "Праздник наших милых мам!" Цель: развитие творческих и актерских способностей детей; воспитание любви и чувства благодарности к маме. Музыкальное вступление (показ презентации) Вед.1: В школе с утра суматоха и шум. 1уч. Скоро начнется! 2 уч. Где м...»

«Глава 1. Внутренний диалог Научитесь подавлять негативные мысли http://www.mann-ivanov-ferber.ru/books/paperbook/self-promotion_for_introverts/ Д о чего же хорошо, что мы не можем читать мысли друг друга! Окружающие слышат лишь то, что вы сами им сообщаете — вербальным или невербальным способом. Прежде чем пытаться...»

«Аннотация к рабочей программе инструктора по физической культуре старшей группы №1 "Карапузики" Настоящая рабочая программа разработана на основе Основной образовательной программы дошкольного образования ГБДОУ детский сад №27 Приморского...»

«Е. Г. Лопес Российский государственный профессионально-педагогический университет, Екатеринбург Н. В. Филиппова Российский государственный профессионально-педагогический университет, Екатеринбург E....»

«А.Р. Лурия и психология ХХI века. Доклады второй международной конференции, посвященной 100-летию со дня рождения А.Р.Лурия под редакцией Т.В.Ахутиной и Ж.М.Глозман Москва, Смысл 2003, с.189-194...»




 
2019 www.mash.dobrota.biz - «Бесплатная электронная библиотека - онлайн публикации»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.