WWW.MASH.DOBROTA.BIZ
БЕСПЛАТНАЯ  ИНТЕРНЕТ  БИБЛИОТЕКА - онлайн публикации
 

«Московский педагогический государственный университет e-mail: ptthuthuy УДК 512.541 Ключевые слова: абелева группа, кольцо на группе, аддитивные группы колец, ...»

Периодические абелевы afi-группы

ФАМ ТХИ ТХУ ТХЮИ

Московский педагогический

государственный университет

e-mail: ptthuthuy@yahoo.com

УДК 512.541

Ключевые слова: абелева группа, кольцо на группе, аддитивные группы колец,

абсолютный идеал .

Аннотация

Настоящая работа посвящена изучению абелевых afi-групп. Подгруппа A абелевой группы G называется её абсолютным идеалом, если A является идеалом в любом кольце на группе G. Назовём абелеву группу afi-группой, если любой её абсолютный идеал является вполне характеристической подгруппой. В настоящей работе описаны afi-группы в классе вполне транзитивных периодических групп (в частности, сепарабельных периодических групп) и делимых периодических групп .

Abstract Pham Thi Thu Thuy, Torsion Abelian afi-groups, Fundamentalnaya i prikladnaya matematika, vol. 17 (2011/2012), no. 8, pp. 139—145 .

This paper is devoted to the study of Abelian afi-groups. A subgroup A of an Abelian group G is called its absolute ideal if A is an ideal of any ring on G. We will call an Abelian group an afi-group if all of its absolute ideals are fully invariant subgroups. In this paper, we will describe afi-groups in the class of fully transitive torsion groups (in particular, separable torsion groups) and divisible torsion groups .

Настоящая работа посвящена изучению абсолютных идеалов абелевых групп и абелевых afi-групп. Под умножением на абелевой группе G понимается любой гомоморфизм µ : G G G .



Это умножение будем часто обозначать знаком, т. е. g1 g2 = µ(g1 g2 ). Абелева группа G с заданным на ней умножением будем называть кольцом на группе G и обозначать (G, ). Подгруппа A абелевой группы G называется её абсолютным идеалом, если A является идеалом в любом кольце на G. Так как любое умножение на группе G индуцирует некоторый эндоморфизм на ней, то всякая вполне характеристическая подгруппа группы G являются её абсолютным идеалом. Назовём группу afi-группой, если любой её абсолютный идеал является вполне характеристической подгруппой. Абсолютные идеалы изучались, например, в [1, 3, 4]. В настоящей работе описаны абсолютные идеалы периодических абелевых групп, а также afi-группы в классе вполне транзитивных периодических групп (в частности, сепарабельных периодических групп) и делимых периодических групп .

Фундаментальная и прикладная математика, 2011/2012, том 17, № 8, с. 139—145 .

c 2011/2012 Центр новых информационных технологий МГУ, Издательский дом «Открытые

–  –  –

Все рассматриваемые группы абелевы, и слово «группа» всюду в дальнейшем означает «абелева группа». Будем использовать следующие обозначения: — наименьшее бесконечное порядковое число; o(g) — порядок элемента g в группе G; hp (g) — p-высота элемента g в группе G; h (g) — обобщённая p-высота p элемента g в группе G (если из контексте будет ясно, о каком простом числе p идёт речь, то будем писать только h(g) и h (g)); G[n] = {g G | ng = 0}; g — подгруппа группы G, порождённая элементом g; g — идеал кольца (G, ), порождённый элементом g; g AI — абсолютный идеал группы (G, ), порождённый элементом g; End(G) — кольцо эндоморфизмов группы G .

Нетрудно убедиться, что любая подгруппа циклической группы является её вполне характеристической подгруппой и поэтому является также её абсолютным идеалом. Таким образом, циклические группы являются afi-группами .

Примером группы, не являющейся afi-группой, служит группа G без кручения ранга 1 неидемпотентного типа t(G) = ( 1 1...). Действительно, на ней может быть определено только нулевое умножение, поэтому любая её подгруппа является её абсолютным идеалом. Однако ясно, что никакая её циклическая подгруппа a не является вполне характеристической, так как (a) a, если / (g) = (1/p1 )g, g G .



Легко убедиться, что имеет место следующее утверждение .

Предложение 1. Сумма и пересечение абсолютных идеалов группы G также являются её абсолютными идеалами .

Наименьший абсолютный идеал группы G, содержащий элемент g, называется абсолютным идеалом, порождёнными элементом g в группе G и обозначается через g AI. Предложение 1 гарантирует существование такого наименьшего абсолютного идеала в группе G, он равен пересечению всех абсолютных идеалов группы G, содержащих элемент g .

Предложение 2. Группа G является afi-группой тогда и только тогда, когда (g) g AI для любого g G и любого End(G) .

Доказательство. Необходимость сразу вытекает из определения afi-групп .

Докажем достаточность. Пусть G — такая группа, что (g) g AI для любого g G и любого End(G), A — произвольный абсолютный идеал группы G .

Пусть g A и End(G). Тогда g AI A. Так как по условию (g) g AI, то (g) A. Таким образом, A является вполне характеристической подгруппой группы G. Так как абсолютный идеал A произволен, группа G является afi-группой .

В классе периодических групп проблема описания абсолютных идеалов и afi-групп легко сводится к случаю p-примарных групп .

Предложение 3. Пусть G — периодическая группа. Тогда

1) подгруппа A группы G является абсолютным идеалом группы G тогда и только тогда, когда каждая её p-компонента Ap является абсолютным идеалом соответствующей p-компоненты Gp группы G;

Периодические абелевы afi-группы

–  –  –

Аналогично g a A. Следовательно, A — идеал кольца (G, ). Так как кольцо (G, ) произвольно, подгруппа A является абсолютным идеалом группы G .

2. Пусть G — afi-группа, p — простое число и Ap — произвольный абсолютный идеал группы Gp. Из пункта 1 следует, что Ap — абсолютный идеал группы G. Следовательно, Ap является вполне характеристической подгруппой группы G. Пусть — произвольный эндоморфизм группы Gp. Тогда гомоморфизм = p, где p — проекция группы G на её p-компоненту Gp, является эндоморфизмом группы G и при этом (Ap ) = (Ap ). Так как Ap — вполне характеристическая подгруппа группы G, то (Ap ) Ap, что означает, что (Ap ) Ap. Следовательно, Ap — вполне характеристическая подгруппа группы Gp. Так как подгруппа Ap и эндоморфизм произвольны, группа G является afi-группой .

Пусть, наоборот, p-компонента Gp является afi-группой для каждого простого числа p. Пусть A — произвольный абсолютный идеал группы G и — произвольный эндоморфизм группы G. Так как Ap — вполне характеристические подгруппы группы A, то (A) = (Ap ) = p (Ap ), p p

–  –  –





по лемме 5. Из (4), (5) и (9) следует, что (g) g AI .

Так как элемент g и эндоморфизм произвольны, группа G является afi-группой по предложению 2 .

Следствие 8. Любая сепарабельная p-группа является afi-группой .

Литература [1] Фукс Л. Бесконечные абелевы группы. Т. 1. — М.: Мир, 1977 .

[2] Фукс Л. Бесконечные абелевы группы. Т. 2. — М.: Мир, 1977 .

[3] Чехлов А. Р. Об абелевых группах, все подгруппы которых являются идеалами // Вестн. Томск. гос. ун-та. Мат. и мех. — 2009. — № 3. — С. 64—67 .

[4] Fried E. On the subgroups of Abelian groups that are ideals in every ring // Proc .

Colloq. Abelian Groups. Budapest, 1964. — P. 51—55 .






Похожие работы:

«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИНСТИТУТ ОБРАЗОВАНИЯ Русский язык Факультативные занятия Р. С. Сидоренко ПОЭТИЧЕСКИЕ ГИМНЫ МОРФОЛОГИИ 7 класс Пособие для учителей общеобразовательных учреждений с белорусским и русским языками обучения Рекомендовано Научно-методическим учреждением "Национальный институт образования" Министерс...»

«УТВЕРЖДАЮ Президент Московской Федерации Роллер Спорта С.А.Зюльков "24"июня 2016_ г. ПОЛОЖЕНИЕ о проведении Московского первенства по спринтам г. Москва 2016 год. I. Общие положения.Цели мероприятия: популяризация и развитие роллер-спорта в городе Москва повышение имиджа города Москва как одного из благоприятных городов...»

«ДЕПАРТАМЕНТ ОБРАЗОВАНИЯ ГОРОДА МОСКВЫ Государственное автономное образовательное учреждение высшего образования города Москвы "Московский городской педагогический университет" Институт культуры и искусств Кафедра музыкального искусства ПРОГРАММА И ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ГОСУ...»

«Муниципальное бюджетное образовательное учреждение дополнительного образования детей "Центр развития творчества детей и юношества" Проект "Развитие творческих способностей детей с ограниченными возможностями на занятиях по керамике"...»

«ПЕДАГОГИКА ИСКУССТВА ЭЛЕКТРОННЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ УЧРЕЖДЕНИЯ РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ ОБРАЗОВАНИЯ "ИНСТИТУТ ХУДОЖЕСТВЕННОГО ОБРАЗОВАНИЯ" http://www.art-education.ru/AE-magazine/ №1, 2011 психолого-...»

«Школа должна учить людей мыслить теоретически. Это особенно следует иметь в виду педагогам при подлинной модернизации школьного образования. В.В. Давыдов MINISTRY OF EDUCATION AND SCIENCE OF THE RUSSIAN FEDERATION Volgograd Scientific-educational Centre of the Russian Academy of...»

«Л Ь Н Я Н Ы Е С М О Т Р И Н Ы. Сценарий праздника для старшей и подготовительной групп. Данилова Л.И., музыкальный руководитель Программное содержание: познакомить детей с праздником святой Параскевы Льняницы"Льняными смотринами". Закрепление: песни "УЖ ТЫ, ПРЯЛИЦА", игры с пл...»

«Муниципальное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа № 1 г. Егорьевск Утверждаю Директор МОУ СОШ №1 _ Аксенов Г.И. Приказ № 327 от 31.08. 2017 Рабочая программа по музыке (базовый ур...»

«Любовь Рыбалко 2014 год. Нам, Правда с Истиной, как вехи, Открыли чудный Божий Дом! Пришло время славословить, Славить Господа, хвалить! В псалтырь, в гусли с новой силой Мотив радости вложить! Аллилуйя! Время движется и мир меняется! Прошлое становится "ветхим". А нам очень надо постара...»




 
2019 www.mash.dobrota.biz - «Бесплатная электронная библиотека - онлайн публикации»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.