WWW.MASH.DOBROTA.BIZ
БЕСПЛАТНАЯ  ИНТЕРНЕТ  БИБЛИОТЕКА - онлайн публикации
 


Pages:     | 1 ||

«Издательство Просвещение, Москва ПРЕДИСЛОВИЕ Книга рассчитана в первую очередь на то, чтобы служить в качестве учебного пособия при прохождении курса теории чисел на ...»

-- [ Страница 2 ] --

ЦЕПНЫХ ДРОБЕЙ

Подходящие дроби в определенном смысле являются наилучшими приближениями к действительным числам .

Конечно, очевидно, что, поскольку множество рациональных чисел всюду плотно, не существует рациональной дроби, которая была бы ближе к данному иррациональному числу, чем любая другая дробь .

Говоря о наилучшем приближении, мы понимаем под этим наилучшее приближение по сравнению не со всеми другими рациональными числами, а только по сравнению с рациональными числами, у которых знаменатель меньше, чем у данной дроби, или равен ему .

Определение 69. Рациональная дробь у называется наилучшим приближением к действительному числу а, если не существует ни одной рациональной дроби — со знаменателем ^Ь, которая была бы ближе к а, чем у .

Таким образом, согласно этому определению у является наилучшим приближением к а, если для любой другой рациональной дроби —, такой, что У а а ~Т будем иметь уЬ .

Геометрически это означает, что если взять на числовой прямой точку а и интервал с концами в точках а — у, а+у .

то все рациональные дроби, лежащие в этом интервале, имеют знаменатели, большие чем Ь .

Таким образом, если-г—наилучшее приближение к а, то рациональные дроби со знаменателями «b лежат вне этого интервала или совпадают с одним из его концов .

П р и м е р ы. 1) "тт является наилучшим приближением к числу е, так как среди рациональных дробей со знаменателем 1 и 2 нет ни одного числа, которое было бы ближе к е, чем Y, т. е. ближе к е, чем -^, могут быть только дроби 2-, где Ь2 .



2) у не является наилучшим приближением к V2. Действительно, У~2 = 1,41..., и легко проверить, что дробь -=- со О знаменателем, меньшим, чем у -у, ближе к \f2, чем -=- = = 1,428... .

Рассмотрим вопрос об отыскании наилучших приближений к действительным числам и, в частности, докажем, что все подходящие дроби, начиная с первой, не только дают хорошие приближения к действительным числам, но всегда являются наилучшими приближениями .

Теорема 250. Если интервал (-^; ^-1 образован двумя рациональными дробями, такими, что bc — ad*=\, то:

1) любая рациональная дробь, лежащая в этом интервале, имеет знаменатель, больший чем Ъ и d;

2) для любого действительного числа а, принадлежащего этому интервалу, по крайней мере одна из дробей^ или ^-, а именно ближайшая к а, является наилучшим приблиотнием .

Д о к а з а т е л ь с т в о. 1) Пусть рациональная дробь — такоУ ва, что | - — Y и bc — ad=\, тогда, поскольку а, Ъ, х, у — целые и & 0, | / 0, из Ьх—ш/Г0 получаем Ьх — ш / ^ 1, а, следовательно, a _bx—ay^ X b by "~ by' У

–  –  –

знаменателем « е П З не может быть ближе к я, чем ут^ .

2. МНОЖЕСТВО ВСЕХ НАИЛУЧШИХ ПРИБЛИЖЕНИЙ

К ЗАДАННОМУ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОМУ ЧИСЛУ

Естественно возникает задача определения всех наилучших приближений к заданному действительному числу а .

Прежде всего заметим, что все наилучшие приближения к а лежат в сегменте ([а]; [а] + 1) .

Действительно, если рациональное число -г лежит вне этого сегмента, то по крайней мере один из концов сегмента, а именно ближайший к а, имеет знаменатель 1 6 и расположен ближе к а, чем -г-, т. е. -}- не является наилучшим приближением .

Легко указать алгоритм, дающий последовательное построение всех наилучших приближений со знаменателями 1,2, 3,.. .





Сначала из двух чисел [а] и [ а ] + 1 берем то, которое ближе к а; это число будет наилучшим приближением со знаменателем 1. Берем затем в этом интервале последовательно все рациональные числа со знаменателями 2, 3, 4,..., проверяя каждый раз, не существует ли рационального числа с меньшим или таким же знаменателем, которое было бы ближе к а, чем исследуемое число. Если для числа у не нашлось ни одного рационального числа со знаменателем ^Ь, которое было бы ближе к а, то у является наилучшим приближением. Конечно, при этом для сравнения из всех чисел с меньшими чем п знаменателями достаточно взять ближайшее к а. Очевидно, что в случае иррационального а может быть самое большее одно наилучшее приближение со знаменателем п, а в случае, когда а рационально, не больше двух. Таким образом, этот алгоритм позволяет выделять из множества рациональных чисел все наилучшие приближения к а .

Для рационального числа а = -г число наилучших приближений конечно, так как все рациональные числа интервала СО знаменателями (уh 7Г+0 большими чем Ь, дальше от у, чем само число -|- .

П р и м е р. Найти все наилучшие приближения к ]/Ъ со знаменателями, меньшими чем 15 .

Р е ш е н и е. 1 / 3 ~ 2, j/3~ = 1,44224.. .

1—наилучшее приближение со знаменателем 1; у —наилучшее приближение со знаменателем 2. В рассматриваемом интервале (1; 2) все дроби со знаменателями 3 и 4 дальше от 2/3, чем -п, а из дробей со знаменателем 5 отбираем наилучшее приближение -j, которое ближе к / 3, чем у. Дроби со знаменателем 6 дальше от l/З, чем -=- • Из дробей со знаменатеО лем 7 отбираем наилучшее приближение у. Наилучших приближений со знаменателем 8 нет, а среди дробей со знаменателем 9 находим наилучшее приближение -^. Все дроби со знаменателями 10, 11, 12, 13, 14 и 15 дальше от */3, чем -^ .

Таким образом, искомые наилучшие приближения: b y, -g- .

, .

Следующая теорема позволяет значительно уменьшить число испытываемых чисел .

Теорема 252. Пусть ^ (& = 0,1,2,...

) —подходящие дроби к действительному числу а = ао-\-^аг-f ^а2...', тогда любое наилучшее приближение к а находится среди чисел вида:

где при k=l, 2,... величина х принимает значения такие, а при k = 0 выражение (3) берем со значечто Q^x^ak+l, ниями Р _ х = 1, Q_i = 0, 0хаг .

Доказательство. Предположим, что -г—некоторое наилучшее приближение к а, отличное от всех чисел (3), в частности отличное и от всех чисел »* - 1. Поскольку, как было отмечено выше, все наилучшие приближения к а лежат в сегменте ([а]; [а]+1) и Р 0 = [а], Q o = 1, то Рассмотрим последовательность

–  –  –

— либо монотонно возрастают, либо монотонно убывают, т. е .

лежат по одну и ту же сторону от а .

Действительно, разность между двумя соседними членами:

? ! ^ ! ^ " 1 и ТРГ-ГТГ^1 — в последовательности (5), равная, tQk+Qki i) как легко вычислить:

–  –  –

Г Л А В А 27

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ФАРЕЯ

1. ФАРЕЕВЫ ДРОБИ

–  –  –

2. ПРИБЛИЖЕНИЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ ФАРЕЕВЫМИ ДРОБЯМИ

Последовательности Фарея позволяют находить хорошие рациональные приближения к действительным числам, обеспечивающие точность до величины, обратной квадрату знаменателя .

Теорема 257. Пусть 0 а 1. Из двух соседних дробей в Ф„, между которыми лежит а, по крайней мере одна дробь k

-г- отличается по абсолютной величине от а меньше, чем на _1_

–  –  –

числа, причем D 1. Если бы мы имели j J / 2 = - i J - —, то, возводя это равенство в куб, мы получили бы, что YD — рациональное число, а следовательно, рациональным являлось бы и ; / 2, что противоречит результату, полученному в примере на странице 68 .

В этой главе мы будем рассматривать квадратические ирра~ циональности в связи с изучением так называемых периодических цепных дробей .

iJ ll Определение 72. Цепная дробь ao + a1 + ai+... называется периодической, если периодической является последовательность элементов aQ, alt a 2 В частности, если последовательность элементов чисто периодическая, то и соответствующая цепная дробь называется чисто периодической .

Длину периода последовательности а 0, alt аг,... будем называть также длиной периода цепной дроби ао-\- ^-f-^ag-fЕсли в разложении а после элементов а0,...,-, а,_ 1 наступает периодическое повторение элементов а„..., а, +Л _!, т. е.

длина периода равна k(k&sl), то будем записывать а в виде:

–  –  –

Прежде чем перейти к теореме Лагранжа, докажем следующую вспомогательную теорему .

Теорема 262. Если квадратическая иррациональность а преда„_1+-^ а„, где все а{ ставлена в виде а = ао + ^ а1+...+-^ целые, то ап также квадратическая иррациональность с тем оюе дискриминантом, как у а .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть а — корень квадратного уравнения Аа? + Ва + С = 0, где А, В, С —целые числа.

Подставляя а = ао-\—, получаем:

или т. е. а х представляет собой корень уравнения Аха\ + Blai + Cl = 0 с целыми коэффициентами, дискриминант которого равен причем Сх = АФО .

Заменяя в квадратном уравнении А^ + 5 ^ + С = 0 ах через а, Н —, аналогично получаем, что а 2 —корень квадратного уравнения с целыми коэффициентами А%а\ -{-В2а^-{-С2 = 0 с таким же дискриминантом, как у а х и а .

Продолжая таким же образом дальше, получим, что а„ — корень квадратного уравнения с целыми коэффициентами с таким же дискриминантом, как у o.n-l, ап_2,..., ах, а .

Теорема 263 (Лагранж). Любая квадратическая иррациональность разлагается в периодическую цепную дробь .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пустьа —квадратическая иррациональность, т. е. а — иррациональное число, представляющее собой корень многочлена f (ж) == Ах + Вх-f С с целыми коэффициентами.

Подставляя в Аа* + Ва + С = 0 а = ^"-^"tn"'* (теорема 235) и приводя к общему знаменателю, получаем:

т. е. выражение вида (8) = 0, где Cn = APl_2 + BPn_2 Qn_t + CQ^t = Q_3 f — целые числа .

Согласно предыдущей теореме дискриминант уравнения (8) Я-4Л„С„ = Я 2 - 4 Л С (9) и, таким образом, не меняется при увеличении п .

Докажем сначала, что Ап и Сп при достаточно большом п имеют противоположные знаки, а затем, пользуясь тождеством (9), докажем, что величины Ап, Вп и С„ — ограничены .

^ ^ и т г ^ как известно (замечание к теореме 234), находятся по разные стороны от а, причем при достаточно большом п сколь угодно мало отличаются от а .

f(a) = 0, но поскольку а — иррациональное число, то

–  –  –

т. е. величины В*п и — 4 АпСп ограничены. Из ограниченности В* следует ограниченность | 5 „ |, а из ограниченности —4А„С„, поскольку Ап и С„ не равны нулю, следует ограниченность \ Ап\ и ки ' '; .

Таким образом, существуют две постоянные L и М, такие, что при всех п выполняются неравенства":

LAnM, LBnM, LCnM, а отсюда, поскольку Ап, Вп, С„ целые, следует, что среди уравнений (8) при безграничном увеличении п существует только конечное число различных уравнений.

Каждое квадратное уравнение имеет только два корня, поэтому и среди корней уравнений (8) существует только конечное число различных, а значит, и среди величин:

а = а 0, alt аг,... (10) имеется только конечное число различных .

Отсюда, во всяком случае, следует, что среди чисел (10) найдутся хотя бы два одинаковых, т. е. найдется ак, равное некоторому последующему ak+n. Равенство a f t + n = aft (теорема 260) означает, что разложение а в цепную дробь периодическое, и, таким образом, теорема доказана .

Мы уже раньше имели примеры периодических разложений квадратических иррациональностей (см. стр. 215—217). Теорема Лагранжа дает нам теперь уверенность в том, что для любой квадратической иррациональности мы после некоторого числа шагов получим совпадение двух неполных частных и, таким образом, найдем периодическую последовательность элементов .

1+^ П р и м е р. Разложить в цепную дробь а= ~* a Находим последовательно: a = 1 -\—, i = То (V^23 + 2) =

–  –  –

Получаем:

+^13+^1

2. ЧИСТО ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ

Поскольку мы теперь знаем, что любая квадратическая иррациональность разлагается в периодическую цепную дробь, естественно выяснить, для каких квадратических иррациональностей такое разложение будет чисто периодическим. Следующая теорема дает исчерпывающий ответ на этот вопрос .

Теорема 264. Квадратическая иррациональность а = У, где Р, Q и D (D1) целые, разлагается в чисто периодическую цепную дробь тогда и только тогда, когда а 1 и сопряженная иррациональность а = — ^ — лежит в интервале (-1;0) .

Д о к а з а т е л ь с т в о. 1) (Необходимость условия.) Пусть а —:

величина чисто периодической цепной дроби, т. е. при некотором k ^= 1 aft = a. Для таких а имеем ao = a f t 5=l, так что iJ a = ao + a1 +... 1 .

Из соотношения a Qk-i*+Qk-2 (где, в частности, при k=\ P_1 = l, Q_! = 0) получаем:

Qft-ia2 + (Q f t -2-^-i)a-^ f t -2 = 0 .

Для многочлена имеем (при k\ теоремы 63' и 63" (страница 212), а при k=\ непосредственное вычисление):

- P f t _ 2 0 и / ( - l ) = (Q f t _ 1 -Q f t так что в интервале (—1; 0) должен лежать один из корней этого многочлена. Поскольку а\, то в этом интервале лежит не а, а другой корень, равный а', т. е. — 1 а ' 0 .

2) (Достаточность условия.) Пусть а= ^ — 1 и —1а' =

–  –  –

скую цепную дробь, так как а 1, а а ' = — ^ лежит между — 1 и 0. Действительно, в разложении а с самого начала повторяются элементы 1, 1, 1, 6, 1, так что

–  –  –

Исторические комментарии к 28-й главе

1. Великий французский математик Жозе Луи Лагранж родился в 1736 г. в Турине. Некоторое время он работал в Берлинской Академии наук. С 1772 г.— член Парижской Академии наук. Последние годы своей жизни —профессор Политехнической школы в Париже .

Труды Лагранжа по математическому анализу, механике и теории чисел имеют фундаментальное значение для развития этих дисциплин. Лагранж—один из создателей дифференциального исчисления, классической теории дифференциальных уравнений и вариационного исчисления. В своей „Аналитической механике" он показал возможность построения механики на базе математического анализа .

В теории чисел Лагранж дал основные результаты в теории бесконечных цепных дробей и показал их приложения к решению неопределенных уравнений. Лагранж доказал теорему о представлении чисел в виде суммы четырех квадратов и положил начало изучению бинарных квадратичных форм общего вида (см. 31-ю и 32-ю главы) .

2. Доказательство теоремы 264 было опубликовано Э. Галуа в 1828 г. Галуа доказал также, что в случае чисто периодического разложения сопряженная квадратическая иррациональность имеет те же элементы, но расположенные в обратном порядке .

ГЛАВА 29

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЧИСЛА

1. ПОЛЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ЧИСЕЛ

Рациональные числа и квадратические иррациональности представляют собой корни многочленов 1-й и 2-й степени с целыми коэффициентами. В этой главе мы будем рассматривать корни многочленов с целыми коэффициентами любой степени .

Определение 73. Комплексное или действительное число а называется алгебраическим числом, если оно является корнем некоторого многочлена с целыми коэффициентами, неравными одновременно нулю .

Если а—корень многочлена f (х) = аохп + агхп~1 +... + ап степени п с целыми коэффициентами, т. е. если /(а) = 0, то а является корнем многочлена с рациональными коэффициентами. Очевидно, что корень любого многочлена с рациональными коэффициентами, неравными одновременно нулю, является корнем некоторого уравнения с целыми коэффициентами. Поэтому вместо определения 73 можно дать другое, эквивалентное .

Определение 73'. Комплексное или действительное число а называется алгебраическим числом, если оно является корнем некоторого многочлена с рациональными коэффициентами .

В этой главе мы будем рассматривать только действительные алгебраические числа, не оговаривая этого каждый раз. Из /(а) = 0 следует /(а)г|э(а) = 0, где в качестве г|э{*) можно взять произвольный многочлен с целыми коэффициентами. Таким образом, для любого алгебраического числа а существует бесконечное множество многочленов с рациональными коэффициентами, корнями 9* 259 которых является а; из всех этих многочленов обычно рассматривают многочлен наименьшей степени .

Определение 74. Число п называется степенью алгебраического числа а, если а есть корень некоторого многочлена п-й степени с рациональными коэффициентами и не существует тождественно неравного нулю многочлена с рациональными коэффициентами степени, меньшей чем п, корнем которого являлось бы число а .

Если корень многочлена n-й степени с целыми рациональными коэффициентами а не является корнем ни одного тождественно неравного нулю многочлена с целыми коэффициентами степени, меньшей чем п, то а не может быть корнем и тождественно неравного нулю многочлена с рациональными коэффициентами степени, меньшей чем п, т. е. а — алгебраическое число степени п .

Рациональные числа являются алгебраическими числами 1-й степени. Любая квадратическая иррациональность представляет собой алгебраическое число 2-й степени, так как, являясь корнем квадратного уравнения с целыми коэффициентами, она не является корнем какого-либо уравнения 1-й степени с целыми коэффициентами. Алгебраические числа 3-й степени часто называют кубическими иррациональностями, а алгебраические числа 4-й степени — биквадратическими иррациональностями .

П р и м е р. \/2 — алгебраическое число 3-й степени, т. е. кубическая иррациональность. Действительно, это число есть корень многочлена 3-й степени х3 — 2 с целыми коэффициентами и, как было отмечено в примере на странице 249, ^/2 не является корнем какого-либо многочлена 1-й или 2-й степени с целыми коэффициентами .

Определение 75. Если алгебраическое число п-й степени а является корнем многочлена n l (л 5*1) (1) f(x) = x + blX"- +...+bn с рациональными коэффициентами, то f (х) называется минимальным многочленом для а .

Таким образом, минимальным многочленом для а называется многочлен наименьшей степени с рациональными коэффициентами и старшим коэффициентом, равным единице, корнем которого является а .

Если вместо многочлена (1) взять какой-либо другой многочлен с рациональными коэффициентами степени п, корнем которого является а, то многочлен (1) может быть получен из него делением всех коэффициентов на коэффициент старшего члена .

П р и м е р. Минимальным многочленом для %/2 является х — 2, так как корень этого многочлена \/2 не является корнем какого-либо многочлена меньшей степени с рациональными коэффициентами .

Теорема 266. Если f (х)—минимальный многочлен для алгебраического числа а и F (х)—многочлен с рациональными коэффициентами, такой, что F(a) = 0, то f (х) — делитель F(x), т. е. F (x) = f (x) g (х), где g (x) также многочлен с рациональными коэффициентами .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Согласно известной теореме алгебры F (х) можно представить в виде F(x) = f(x)g(x) + r(x), где g(x) и г(х) — многочлены с рациональными коэффициентами, причем степень г (х) меньше степени f(x) .

Поскольку F(a) = 0 и /(а) = 0, то, придавая х значение а, получаем г(а) = 0; а — корень многочлена г(х) с рациональными коэффициентами степени, меньшей, чем у минимального для а многочлена, т. е. меньшей, чем степень а. Это может быть только, если г (х) тождественно равно нулю, а, значит, F (x) = f(x)g(x) .

Для данного а существует единственный минимальный многочлен. Действительно, частное от деления друг на друга двух минимальных многочленов для а должно быть рациональным числом, равным единице, что означает тождественное их равенство .

Теорема 267. Для любого алгебраического числа а минимальный многочлен неприводим над полем рациональных чисел .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть /(JC) —минимальный многочлен для а. Предположим, что / (х) приводим над полем рациональных чисел, т. е. что /(х) = со(х) т|э (х), где со (х) и г|э (х)— многочлены с рациональными коэффициентами степени, меньшей, чем п .

Из равенства со (а) г|з (а) = / (а) = 0 следует, что из двух чисел:

со (а) и г]) (а), по крайней мере одно равно нулю. Пусть, например, со(а) = 0, тогда а — корень тождественно неравного нулю многочлена со (х) с рациональными коэффициентами степени, меньшей, чем у f(x), а это противоречит тому, что f(x)—минимальный многочлен для а. Предположение, что многочлен / (х) приводим над полем рациональных чисел, оказалось неверным, т. е. / (х) неприводим над этим полем .

Теорема 268. Если а—корень неприводимого над полем рациональных чисел многочлена F(x) с рациональными коэффициентами степени п, то а — алгебраическое число степени п .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Обозначим минимальный многочлен для а через f(x). Согласно теореме 266 F (х) = f (x) g(х); где g(x)—многочлен с рациональными коэффициентами. Поскольку F (х) неприводим над полем рациональных чисел и / (х) отлично от постоянного, то g(x) = c, где с рационально, F(x) = cf(x), т. е. степень f (х) равна л и, следовательно, а—алгебраическое число л-й степени .

26Г П р и м е р. Пусть р— простое число, ^/а при любом целом а ( а 1 ), не равном р-й степени другого целого, представляет собой алгебраическое число степени р. Действительно, это число есть корень неприводимого над полем рациональных чисел двучленного уравнения хр—а = 0 .

Если а—алгебраическое число степени п и / ( ^ — минимальный многочлен для а, то все корни а х, а 2,..., а„ уравнения /(*) = 0, отличные от а, называются сопряженными с а .

Один из корней а1г а 2,..., ап, мы будем ставить его на первое место, совпадает с а, так что а = а х .

Теорема 269. Сумма, разность, произведение и частное двух алгебраических чисел а и р (для частного при р ф 0) являются алгебраическими числами .

Д о к а з а т е л ь с т в о. 1) Пусть а — корень многочлена f(х) степени л с целыми коэффициентами, корни которого: а1гаг,...,ап, а Р —корень многочлена о|э (х) степени т с целыми коэффициентами, корни которого: р х, Р 2,..., P m (P = Pi).

Рассмотрим многочлен:

F ( * ) = П П (л;-( (х—а2 — Pi) (лг—а% — р2)...(х—а2 — p j, (*-«„-Pi) (*-«„-Р.)•••(*-«„-?.)• (2) Если в этом произведении сделать какую угодно подстановку величин аг, a g,,,., ап, то некоторые строки переставятся местами, но произведение в целом останется неизменным. Это значит, что F(x) — симметрический многочлен по отношению к alt a 2,..., a n .

Точно так же подстановка величин p l t p 2..., Р Л будет менять только порядок столбцов в правой части выражения (2), так что.F(jt)—симметрический многочлен по отношению к р х, р 2,.. .

..., Р т. В целом F(x) — симметрический многочлен от двух систем аргументов: а±, а 2,..., а„ и р х, р 2,..., р т .

Согласно известным теоремам о симметрических многочленах (теоремы XV и XVI) коэффициенты многочлена F (х) могут быть выражены рационально через элементарные симметрические функции от ах, а2,..., а„ и p i t Р 2,..., р т, т. е. через целые коэффициенты f(x) и ty(x). Это значит, что коэффициенты F(x) рациональны, и, следовательно, ч и с л о а + р = а 1 + р 1, являющееся, как это непосредственно видно из формулы (2), корнем F(x), есть алгебраическое число .

2) Для доказательства того, что произведение двух алгебраических чисел а и р есть алгебраическое число, достаточно, аналогично тому, как это было только что сделано для многочлен (2), рассмотреть многочлен п т F(x)=* П П (x-afij). (3) Этот многочлен с целыми коэффициентами имеет в качестве одного из своих корней a i p i = ap .

3) Пусть р — корень многочлена г|э(*) — boxn + b1xn~1 +... +Ьп, (Ь{— целые числа), тогда—р является корнем многочлена с целыми коэффициентами г|э(—*) = (—1 )"&„*"+ ( — 1) л - 1 & 1 *"~ 1 +•. .

а при Р=т^О "о" — корень многочлена x"ty (— ) = bo-\Ьп, + btx +... + bnxn. Таким образом, вместе с р алгебраическими числами являются — р и -g- .

Разность a —p может быть представлена в виде a + ( —P), т. е. в виде суммы двух алгебраических чисел, а потому также представляет собой алгебраическое число. При р^=0 частное a 1 й" = а "в"» являясь произведением двух алгебраических чисел, представляет собой также алгебраическое число .

Если степени алгебраических чисел а и р равны тип, то, взяв в качестве / (х) и г]) (х) соответствующие минимальные многочлены, будем в (2) и (3) иметь многочлены степени тп, и, таким образом, непосредственно видно, что а + Р и ар — алгебраические числа степени, не большей чем тп. Многочлены ib(jt), г]) (—х) и дс"г|)( — J одинаковой степени, а следовательно, р, — р и -о—алгебраические числа одной и той же степени, откуда следует, что и a — р и j имеют степени, не больше чем тп .

П р и м е р ы. 1) 1^2 и ]/3 — алгебраические числа 2-й степени, а ]^2 + ]/3—алгебраическое число 4-й степени .

r 2 Действительно, если a = ]/2~+y 3~, то а = 5 + 2 ]/б, а* — — 1 0 а + 1 = 0, т. е. а —корень многочлена f (х) = х1 — 1 Од;2 + 1 с целыми коэффициентами, и r r r t(x)^(x-V2-V^)(x-V2+V^)(x + V 2-V3)(x+y 2+V 3). ( ) 4 Из теоремы единственности разложения многочлена на неприводимые множители следует, что любые неприводимые над полем рациональных чисел множители f (х) должны являться произведением каких-то множителей правой части равенства (4) .

Легко видеть, что из этих множителей нельзя составить многочлен с рациональными коэффициентами степени, меньшей чем 4, т. е. f (х) — неприводимый над полем рациональных чисел многочлен, а, следовательно, согласно теореме 268, ^ 2 + 1^3—алгебраическое, число 4-й степени .

2) а »• $/3~ и Р = 1/Ш, как легко видеть, — алгебраические числа 6-й степени, а произведение с ф = ЛЗ — алгебраическое число 3-й степени .

Теорему 269 можно дать также в другой форме .

Теорема 269'. Множество всех действительных алгебраических чисел представляет собой поле .

2. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ЧИСЕЛ

Алгебраические числа не могут иметь слишком хороших рациональных приближений: погрешность при замене алгебраического числа рациональной дробью не может быть достаточно мала по порядку в сравнении с величиной, обратной знаменателю рациональной дроби. С отдельными частными случаями, наталкивающими нас на мысль об этом, мы уже встречались раньше .

Действительно, в 6-й главе (теорема 70) было показано, что для рационального а, т. е. алгебраического числа 1-й степени, существует постоянная с 0, т а к а я, что для любой рациональной дроби у, отличной от а, будет выполняться неравенство с "У В 25-й главе (стр. 235) было показано, что для представляющего собой алгебраическое число 2-й степени, можно подобрать о - 0, такое, что для любой рациональной дроби будет иметь место неравенство a

-f|s4- (5) Можно доказать, что неравенство (5) при соответствующем с = с(а) имеет место для всех квадратичных иррациональностей .

Оказывается, что имеет место общая теорема, доказанная впервые в 1844 г. французским математиком Лиувиллем .

Теорема 270 (Лиувилль). Для любого действительного алгебраического числа а степени п можно подобрать положительное с, зависящее только от а, такое, что для всех рациональных чисел у Г у фа\ будет иметь место неравенство При п=\ теорема была доказана в 6-й главе. Здесь мы рассмотрим сразу общий случай, включающий и случай рационального а .

Д ок а з а те л ь ст в о. Пусть / (х) = Аохп + А^'1 + '... + А„— неприводимый многочлен с целыми коэффициентами, корнем которого является а. В качестве f (х) можно, например, взять многочлен, получающийся из минимального для а многочлена после умножения всех коэффициентов на наименьшее кратное их знаменателей .

Согласно теореме Безу имеем:

(7) f(x) = (x-a)g(x), где g(x) — многочлен с действительными коэффициентами .

Возьмем произвольное б 0 ; |g(x) | —непрерывная, а следовательно, ограниченная функция от А: в сегменте [а — б; а + б], т. е. существует положительное число М, такое, что \g(x)\eg:M, для всех х из этого сегмента. Обозначим через c = min (-^-, 6), так что c - j j H c 8.

Для произвольного рационального числа — могут представиться две возможности:

• 1)~ лежат вне сегмента [а —б; а + 61]. Тогда

–  –  –

Неприводимый над полем рациональных чисел многочлен / (А:)

степени п ^=2 не имеет рациональных корней, а при п = \ не имеет корней, отличных от а, так что Поскольку числитель | Аоап + А1а"~1Ь+... +АпЬп\ — целое неотрицательное, отличное от нуля число, т. е. число, большее или равное 1, то:

Сравнивая неравенства (8) и (9), получаем:

так что и в этом случае имеем:

–  –  –

ческих иррациональностей имеем здесь величину порядка -^ .

Можно показать, что, кроме квадратических иррациональностей, имеются и другие иррациональности, для которых порядок приближения рациональными дробями ограничен снизу величиной порядка р .

Теорема 271. Если все элементы разложения а в цепную дробь ограничены, то для а можно подобрать с 0 так, что для любой рациональной дроби у будет иметь место неравенство

–  –  –

2G6

Пользуясь теоремами 59', 63' и 243, находим:

так что т. е. неравенство (10) справедливо при с = Теорема 272. Если элементы разложения а в цепную дробь неограниченны, то для любого с 0 существует бесконечное множество рациональных дробей у, таких, что

–  –  –

что доказывает существование бесконечного множества дробей у, удовлетворяющих неравенству (11) .

Теоремы 271 и 272 показывают, что существование положительного с, такого, что для любой дроби выполняется неравенство (10), есть необходимое и достаточное условие ограниченности элементов разложения а в цепную дробь. В теореме 271 доказана необходимость этого условия. Из теоремы 272 следует, что это условие достаточно. Действительно, если существует с 0, такое, что для любой дроби у выполняется неравенство (10), то по теореме 272 элементы разложения а в цепную дробь не могут быть неограниченными .

В 1908 г. норвежский математик Аксель Туэ доказал теорему, дающую гораздо более точную, чем в теореме Лиувилля, оценку снизу разности а — у. Дальнейшие результаты в этом направлении были получены Зигелем, Дисоном, Гельфондом, Шнейдером. Наиболее точная оценка была получена в 1955 г. английским математиком Ротом. Мы приводим без доказательства полученную им теорему. Эту теорему, имеющую очень большое значение в теории чисел, принято называть теоремой Туэ — Зигеля — Рота .

Теорема 273 (Туэ —Зигель —Рот). Пусть а—алгебраическое число степени п э» 2; тогда при любом е О существует только конечное число рациональных дробей •-, таких, что

–  –  –

Для алгебраических чисел степени, большей чем 2, этот результат значительно улучшает теорему Лиувилля. При л = 2 теорема Лиувилля, однако, дает более точный результат. Пользуясь теоремой Туэ —Зигеля —Рота, можно доказать следующую интересную теорему теории неопределенных уравнений .

Теорема 274. Если f(z) = Aoz" + ^ z " " 1 +... + Ап—неприводимый над полем рациональных чисел многочлен с целыми коэффициентами степени п^Ъ, то при любом целом B*fcO уравнение Аохп + А1хп-1у.+...

+ Апу" = В (12) не может иметь бесконечного множества решений в целых числах:

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть alf a 2,..., а я — корни многочлена f(z), т. е. f(z) = A0(z — a1)...(z—an). Поскольку f(z) неприводим, все его корни различны, т. е. существует б 0, такое, что | a f — a y | ; 8 при всех 1ф]. Представим многочлен, стоящий в левой части уравнения (12), в виде

–  –  –

Поскольку многочлен (12) неприводим над полем рациональных чисел, степень ах не меньше 2. Существование сколь угодно больших целых чисел у, таких, что несократимая дробь -^- удовлетворяет неравенству (15), противоречит теореме Туэ —Зигеля — Рота, так как при у^у0 п^Ъ, 0 е 1 имеем A;--^i .

Таким образом, в парах целых чисел х, у, гдег/0, удовлетворяющих уравнению (12), значения у ограничены, т. е. число таких у конечно .

Для каждого у число возможных значений х не превосходит п, т. е. число таких пар конечно .

Каждой паре целых чисел хну, где г / 0, удовлетворяющих уравнению (10), соответствует пара х, — у (где —1/-0), являющаяся решением уравнения Аохп - А !*"" V + • •. + ( - 1)" А У = В .

Таких пар также может быть только конечное число. Мы доказали, таким образом, что теорему 274 можно рассматривать как следствие теоремы Туэ —Зигеля —Рота .

Теорема Туэ—Зигеля — Рота является одним из наиболее глубоких результатов теории алгебраических чисел .

Поскольку (теорема 242) для любой иррациональности a существует бесконечное множество рациональных чисел-т-,таких, что a — Y р то результат теоремы Туэ — Зигеля —Рота нельзя улучшить, заменив в правой части J-J-^J через -TJ1, однако не исключена возможность того, что для любого алгебраического а при достаточно малом с 0 и -г-ф.а всегда выполняется неравенство а а ~Т Согласно теореме 272 отсюда следовала бы ограниченность элементов разложения в цепную дробь любого алгебраического иррационального числа .

Вместе с тем некоторые математики считают более вероятным, что это неверно, т. е. предполагают существование алгебраических чисел, у которых элементы разложения в цепную дробь неограниченны. Не исключена возможность того, что, кроме квадратических иррациональностей, не существует алгебраических иррациональных чисел с ограниченными элементами .

Характер разложений алгебраических чисел степени, большей чем 2, таким образом, совершенно неизвестен. До сих пор неизвестно разложение хотя бы одного алгебраического числа степени л 2 в цепную дробь. Было бы очень интересно, если бы удалось получить разложение в цепную дробь хотя бы одной из простейших иррациональностей 3-й степени, например у/2, или по крайней мере выяснить, ограничены ли элементы этого разложения .

ГЛАВА 30

ТРАНСЦЕНДЕНТНЫЕ ЧИСЛА

1. ТРАНСЦЕНДЕНТНЫЕ ЧИСЛА ЛИУВИЛЛЯ

В предыдущей главе мы рассматривали числа, являющиеся корнями уравнений с целыми коэффициентами. Исчерпывают ли такие числа все множество действительных чисел или же существуют действительные числа, отличные от алгебраических? Основные теоремы теории множеств приводят нас к выводу, что множество алгебраических чисел счетно, а отсюда уже непосредственно следует существование действительных неалгебраических чисел .

Теорема 275. Множество всех алгебраических чисел счетно .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим сначала множество Мп всех алгебраических чисел степени п .

- Каждому неприводимому многочлену с целыми коэффициентами сопоставим число Я = |с„| + | с 1 1 +... + | с „ | .

Очевидно, что существует только конечное число таких многочленов с заданным значением Я, а следовательно, поскольку каждый такой многочлен имеет не больше чем п корней, существует только конечное число алгебраических чисел с заданным значением величины Н для соответствующего многочлена .

Придавая Я значения 1,2, 3,... и рассматривая все соответствующие неприводимые над полем рациональных чисел многочлены и их корни, получаем множество Мп алгебраических чисел степени п представленным в виде суммы счетного множества конечных множеств, т. е. Мп — счетное множество .

Множество М всех алгебраических чисел равно М1+М2 + + М3+..., т. е., являясь суммой счетного множества счетных множеств Мп, также представляет собой счетное множество .

Теорема 276. Существуют действительные неалгебраические числа .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Множество действительных чисел несчетно. В этом множестве действительные алгебраические числа согласно последней теореме образуют счетное подмножество, а следовательно, не исчерпывают все множество действительных чисел .

Определение 76. Любое неалгебраическое число называется трансцендентным .

Таким образом, а называется трансцендентным числом, если не существует ни одного многочлена с целыми коэффициентами, корнем которого является а, т. е. если для всех п = 1, 2,... при любом комплексе целых, не равных одновременно нулю чисел п 1 ((с0, сх с„)) имеем: соа + с1а"- +... + с „ = ^ 0 .

Из доказательства теоремы 276 видно, что множество действительных трансцендентных чисел получается исключением из множества всех действительных чисел, имеющего мощность континуум, счетного множества; это обычно выражают, говоря, что почти все действительные числа трансцендентный Из теоремы 269 следует, что сумма, разность, произведение и частное двух неравных нулю чисел, из которых одно трансцендентное, а другое—алгебраическое, является трансцендентным числом. В частности, трансцендентными числами являются комплексные числа вида а + pi, где a — действительное трансцендентное, а р — действительное алгебраическое число. Вопросы существования трансцендентных чисел возникли впервые в работах Эйлера. Рассуждения, приведенные в теоремах 275 и 276, показывающие существование трансцендентных чисел, принадлежат немецкому математику Г. Кантору .

Впервые существование трансцендентных чисел было установлено Лиувиллем. Доказательство существования трансцендентных чисел у Лиувилля эффективно; на основе следующей теоремы, являющейся непосредственным следствием теоремы 270, строятся конкретные примеры трансцендентных чисел .

. Теорема 277. Пусть а—действительное число. Если для любого натурального п ^ 1 и любого действительного с0 существует хотя бы одна рациональная дробь у, ( у фсА, такая, что

–  –  –

Таким образом, а — трансцендентное число .

П р и м е р. Пользуясь теоремой 277', доказать трансцендентность числа а = V -—^- .

Возьмем е = -н- и произвольное с 0. Выбрав b = —g-,

–  –  –

так что а — трансцендентное число .

2. ТРАНСЦЕНДЕНТНОСТЬ ЧИСЛА е. СОВРЕМЕННОЕ СОСТОЯНИЕ

ВОПРОСА О ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ ЧИСЛАХ

Теорема Лиувилля, давая возможность строить трансцендентные числа определенной природы, названные нами числами Лиувилля, не дает, однако, возможности определить, являются ли алгебраическими или трансцендентными различные постоянные, с которыми мы особенно часто встречаемся в математических вычислениях и исследованиях .

В частности, эта теорема оказалась недостаточной для доказательства трансцендентности числа е — основания системы натуральных логарифмов. Трансцендентность е была доказана только в 1873 г. французским математиком Ш. Эрмитом .

Теорема 278. Число е трансцендентно .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим, что е — корень многочлена с целыми коэффициентами с 0, сх с„, так что cQ + cle+...+cnen (2) = 0 .

–  –  –

первое слагаемое не делится на р, а все остальные слагаемые делятся на р, так что R — целое число, не делящееся на р, и, таким образом, отлично от нуля .

Целое число, отличное от нуля, имеет модуль, больший или равный единице (теорема IX), так что | / ? | 5 з 1 .

Оценим теперь величину \R\сверху.

Согласно (5) Во всех интегралах, входящих в R, величина t пробегает значения, не выходящие за пределы сегмента [0; л], а при таких t справедливо неравенство:

–  –  –

что противоречит полученному ранее неравенству J#|3*I .

Предположение, что в—алгебраическое число, привело нас к противоречию; следовательно, в — неалгебраическое, т. е. трансцендентное, число .

Развивая метод Эрмита, в 1882 г. Линдеман доказал теорему, устанавливающую трансцендентность довольно обширного класса чисел. Мы приведем эту теорему без доказательства, так как оно лежит в том же круге идей, что и доказательство трансцендентности числа е, существенно используя, однако, ряд свойств множества алгебраических чисел .

Теорема 279 (Линдеман). Если АхеЛ^ + А^е*' +... + АпеЛп = О, где Alt A2,..., А „ — алгебраические числа, среди которых хотя бы одно не равно нулю, alt а2,.... ап попарно различны и а а,.... ап — алгебраические числа, то а х —трансцендентное число .

Теорема 279 означает, что если аг,..., а„ —попарно различные алгебраические числа, то при любых, не равных одновременно нулю, алгебраических числах At Ап выражение Axe*i-{-... -\- АпеЛпф0. Этот результат выражают, говоря, что e*i е"п при таких а, линейно независимы над полем алгебраических чисел .

Из общей теоремы Линдемана, в частности, вытекают следующие результаты (теоремы 280 и 280') .

Теорема 280 (Линдеман). я — трансцендентное число .

Действительно, 2» — алгебраическое число (корень уравнения х 2 + 4 = 0). Если бы it было алгебраическим, то (теорема 269) алгебраическим было бы и число 2ш .

Известно, что е2*' = \—е°, т. е. е° — e 2It ' = 0, а тогда согласно теореме 279 (при Л х = 1, А.г= — 1, а х = 0, а 2 = 2ш) число 0 было бы трансцендентным. Полученное противоречие показывает, что я трансцендентно .

Теорема 280'. При любом алгебраическом а (а ф 0) In a — трансцендентное число .

Действительно, если бы 1па = р был алгебраическим числом, то из е? = а = ае°, ае° — е? = 0 согласно теореме 291 следовалобы, что 0 также трансцендентное. Полученное противоречие показывает, что in а трансцендентное число .

Метод Эрмита —Линдемана оказался, однако, бессильным установить трансцендентность многих других величин, часто встречающихся в математике, таких, например, как 2Vs, Iog23, e" и т. д .

В период с 1882 по 1929 г. теория трансцендентных чисел почти не двигалась вперед. Известные методы были исчерпаны, а новых путей для доказательств трансцендентности не было видно .

В 1929 — 1934 гг. советский математик А. О. Гельфондввел в теорию трансцендентных чисел существенно новые методы, позволившие ему и другим математикам, работавшим в этом направлении, установить трансцендентность многих величин, арифметическая природа которых до этого не была известна .

В частности, этим методом была доказана трансцендентность указанных выше величин 2 ^ 2, log2 3, е" и многих других, о которых до этого не было даже известно, являются ли они иррациональными .

Общая теорема, доказанная А. О. Гельфондом (мы приводим ее без доказательства), заключается в следующем .

Теорема 281 (Гельфонд). Если а —алгебраическое число, отличное от 0 и 1, р—алгебраическое иррациональное, то а?—трансцендентное число .

Этой теоремой была решена знаменитая проблема, поставленная Гильбертом еще в 1900 г. на Международном съезде математиков и считавшаяся одной из наиболее трудных среди целого ряда проблем, выдвинутых им на этом съезде. Частным ?Л~, случаем этой теоремы является трансцендентность чисел а»' где а 1 целое, a b целое, отличное от л-й степени .

Трансцендентность ек также получается как частный случай теоремы Гельфонда, так как в теории функций комплексного переменного доказывается, что е*= ( — I ) " 1 .

Как простое следствие этой же теоремы получается, что логарифмы рациональных чисел при рациональных основаниях системы логарифмов либо рациональны, либо трансцендентны, т. е. не могут быть алгебраическими иррациональностями. Проблема определения арифметической природы таких чисел была поставлена еще Эйлером .

Работы Гельфонда и других математиков, среди которых можно в первую очередь назвать Зигеля, Маллера, Шнейдера, Шидловского, в последующие годы существенно продвинули теорию трансцендентных чисел. Вместе с тем о многих величинах, часто встречающихся в математике, мы до сих пор не можем сказать, являются ли они трансцендентными или алгебраическими. Так, например, предполагают, что эйлерова постоянная С, введенная в 4-й главе (теорема 54),—трансцендентное число. Доказать это пока не удалось, и, как было отмечено в б-й главе, не опровергнута даже возможность того, что С — рациональное число .

Исторические комментарии к 30-й главе

1. Проблемы, относящиеся к теории трансцендентных чисел, возникли впервые в работах Эйлера, ставившего, в частности, задачу доказательства трансцендентности иррациональных зна-1 чений логарифмической функции .

Теорема 275, показывающая, в частности, существование трансцендентных чисел, была дана в работах Георга Кантора (1845—1918) .

2. Французский математик Лиувилль (1809—1882) известен своими работами по теории дифференциальных уравнений, эллиптических функций и теории трансцендентных чисел. Вопросы существования трансцендентных чисел были рассмотрены Лиувиллем в работах, опубликованных в 1844 и в 1851 гг. до работ Кантора. Числа Лиувилля проще определить как числа а, для которых при любом ms^l существует бесконечное множество рациональных чисел—, таких, что а — -г T ^. Легко видеть, что это определение совпадает с тем, какое было дано на странице 272 .

3. Ш. Эрмит (1822 —1901) —французский математик, работавший в области теории функций, алгебры и теории чисел (трансцендентные числа, квадратичные формы) .

4. Теорема Линдемана является частным случаем общих теорем Зигеля и Шидловского об алгебраической независимости значений так называемых ^-функций при алгебраических значениях аргумента .

5. Теорема 281 опубликована А. О. Гельфондом в 1934 г. До этого (в 1929 г.) теорема была им доказана для частного случая, когда р—мнимая квадратическая иррациональность .

Г Л А В А 31

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ КВАДРАТИЧНЫМИ ФОРМАМИ

1. Общие свойства бинарных квадратичных форм В 14-й главе мы рассматривали неопределенное уравнение 1-й степени: ах + Ьу = с, Задача, поставленная там, заключалась в представлении целого числа с в виде формы ах-\-Ьу, где а и b—заданные, а л: и у — неизвестные целые числа .

В этой главе рассмотрим вопрос о представлении целых чисел в виде формы 2-й степени с двумя неизвестными, или, как обычно говорят, бинарной квадратичной формы .

Определение 77. Бинарной квадратичной формой называется выражение вида

–  –  –

Мы не будем рассматривать форм с дискриминантом А = 0, так как в этом случае имеем:

Аа (ах2 + Ьху + су2) = (2ах + Ьу)2, т, е. после умножения на Аа мы получаем квадрат линейной формы .

Теорема 283. Отношение эквивалентности квадратичных форм обладает свойствами рефлексивности, симметричности и транзитивности, т.

е.:

1) {a, b, c}cr{a, b, с) .

2) Если {а, Ь, с} ел {Л, В, С), то {А, В, С} ел {а, Ь, с] .

3) Если {а, Ь, с}сл{а 1 ( blt сг), {а1( Ьг, с1}сл{а2, Ъ2, с2), то {а, Ь, с}сл{а 2, Ь2, с2) .

Д о к а з а т е л ь с т в о. 1) Унимодулярная подстановка ( 0, ), т. е. подстановка

–  –  –

и форма {alt blt сг) будет уже примитивной .

Изучая представление натуральных чисел квадратичными формами, достаточно ограничиться рассмотрением примитивных квадратичных форм .

Теорема 285. Эквивалентные квадратичные формы представляют одно и то же множество целых чисел .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть [а, Ь, с} ел {А, В, С}, т. е. существует унимодулярная подстановка (3), такая, что при выполнении соотношений ^5) имеет место тождественное равенство (4) .

Целым значениям х, у', очевидно, соответствуют целые значения х и у, и если N = Ax'* + Bx'y' + Cy', то и ax + bxy + cy = N, т. е. любое число, представимое формой {А, В, С}, представимо формой {а, Ь, с] .

281л Поскольку отношение эквивалентности обладает свойством симметричности (теорема 283), то и любое число, представимое формой {а, Ь, с}, представимо формой {А, В, С} .

Определение 83. Классом {а, Ь, с] называется множество всех квадратичных форм, эквивалентных форме {а, Ь, с} .

Согласно теореме 283 (транзитивность отношения эквивалентности), если {А, В, С} ел {а, Ь, с}, то множество квадратичных форм, эквивалентных {А, В, С}, совпадает с множеством форм, эквивалентных {а, Ь, с}, т. е. {А, В, С}= {а, Ь, с}. Класс {а, Ь, с} объединяет все квадратичные формы, эквивалентные любой из форм этого класса .

Все формы данного класса имеют один и тот же дискриминант (теорема 282). Вместе с тем один и тот же дискриминант могут иметь и формы разных классов. Например, 5xZj(-y* и 2Л;2 + 2ху-\-Зу2 — неэквивалентные формы, так как число 7 представимо второй из них (х=\, у=\) и не представимо в виде 5xz + y2 ни при каких целых хну. Вместе с тем эти формы имеют один и тот же дискриминант А = —20 .

Определение 84. Представление N в виде (2) с взаимно простыми х, у называется собственным представлением .

Очевидно, что достаточно рассматривать собственные представления. Действительно, если (х, y) = d и N представимо в виде (2), то P\N и

–  –  –

т. е. сравнение (11) имеет решения и В удовлетворяет этому сравнению, причем 0^B2\N\ .

Число решений сравнения (11) было определено в теореме 226 .

П р и м е р. Число 86 не представимо формой х2 + 3ху + у2, так как здесь А = 5,

–  –  –

Существует только конечное число комплексов ((а, Ь, с)) с целыми а, Ь, с, удовлетворяющих этим условиям, и поскольку каждая квадратичная форма эквивалентна форме с условиями (14), то существует только конечное число неэквивалентных форм {а, Ъ, с} данного дискриминанта А. Мы доказали, таким образом, конечность числа классов любого данного дискриминанта А

2. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ ПОЛОЖИТЕЛЬНО

ОПРЕДЕЛЕННЫМИ КВАДРАТИЧНЫМИ ФОРМАМИ

–  –  –

то при Д 0, а 0 форма {а, Ь, с} принимает, кроме нуля, только положительные значения, а при Д 0, а 0 — только отрицательные значения .

Определение 85. Форма {а, Ь, с} при Д 0, а 0 называется положительно определенной, а при Д 0, а 0 — о т р и цательно определенной .

Поскольку при таком А числа а и с имеют одинаковые знаки и каждой положительно определенной форме {а, Ъ, с} соответствует отрицательно определенная форма {—а, —Ь, —с}, принимающая те же значения, но с обратным знаком, достаточно рассмотреть только один из этих двух случаев. Мы будем рассматривать положительно определенные формы, Из теоремы 285 следует, что если {а, Ь, с} — положительно определенная форма, то и Еесь класс {а, Ь, с] состоит из положительно определенных форм. Можно поэтому говорить о классах положительно определенных форм. Для положительно определенных форм теорему 289 можно несколько уточнить и дать ее в следующем виде .

Теорема 289'. Для каждой положительно определенной формы {а, Ъ, с) существует эквивалентная форма {а1, blt сг), такая, что

–  –  –

а при А*=С Теорема 291. В каждом классе положительно определенных форм имеется в точности одна приведенная форма, т. е. одна форма, удовлетворяющая условиям (15) .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть две эквивалентные положительно определенные формы {а, Ъ, c}z*{a1, blt сг} удовлетворяют условиям: - а &

–  –  –

т. е. всегда а = а1 .

Рассмотрим теперь три возможных случая .

1) Если са, т. е. ) & | ^ а с. В этом случае, поскольку | a-у | 1, равенство а = а1=^ аа2 + bay + су2 может иметь место только при Y = 0, а тогда аб— Pv = l Д а е т « 6 = 1. Вторая формула в (16) принимает вид: b1 = 2aafi + b, т. е. 2а\Ь1 — Ь .

По условию так что 2a\bl — b может иметь место только при b = blt а тогда из равенства дискриминантов Ьг — Ьас = Ь\—Аа1с1 получаем, что и с = с1 .

2) Если с1а1, то можно рассмотреть преобразование, переводящее {alt blt сг} в {а, Ь, с}. Поскольку доказано, что at~a, совершенно аналогично получаем b1 = b, cl = c .

3) Если c = a = al = cl, то из равенства дискриминантов получаем & = &=, и так как согласно условиям b и &х неотрицательны, то b=bt .

Разработанная нами теория позволяет определить, являются ли две заданные положительно определенные формы эквивалентными, и в случае их эквивалентности — найти подстановку, переводящую одну из них в другую .

Чтобы решить этот вопрос, мы, применяя алгоритм, изложенный в доказательствах теорем 289 и 289', заменяем каждую из этих форм эквивалентной формой, удовлетворяющей условиям (15). Если мы при этом получим одну и ту же форму, то (теорема 2833) первоначальные формы эквивалентны. Если мы получим две разные формы, удовлетворяющие условиям (15), то согласно теореме 291 две первоначальные формы не могут принадлежать одному и тому же классу, т. е. эти формы неэквивалентны .

Если подстановки S и Т переЕОдят соответственно {а, Ь, с} и {av blt с х } в одну и ту же форму {А, В, С}, удовлетворяющую условиям (15), то подстановка ST'1 переводит {а, Ь, с) в {а1г 6„ сг} .

П р и м е р. Определить, эквивалентны ли формы {73, 17, J} и {3, — 3, 1}. Если они эквивалентны, то найти подстановку, переводящую вторую форму в первую .

Форму {73, 17, 1 } подстановкой ( j Q ) переводим в форму {1,-17,73} .

- 1 7 = 2 ( - 9 ) + 1, t = — 9, fe = 9 .

/1 9\ Подстановка ( Q J ) переводит { 1, —17, 73} в приведенную форму {1, 1, 1 } .

Подстановка Т = ( j QJ ( Q j j = ( j ~ 9 J переводит] 73, 17, 1 } непосредственно в { 1, 1, 1}. Форму {3, — 3, 1} подстановкой ( ~{Л переводим в { 1, 3, 3}. Здесь 3 = 2-1 + 1, /=-=1, k = — 1 .

Подстановка ( 0 ~ i ) переводит { 1, 3, 3} в { 1, 1, 1 }, а подстановка5= К ~{А (^ ~ХА = К ~\] переводит форму {3, — 3, 1 } непосредственно в { 1, 1, 1 } .

Формы {73, 17, 1} и {3, — 3, 1} эквивалентны .

о) ' ^ ~ 1 = ( i o i ) — подстановка, переводящая Т~1={_j {3, - 3, 1} в {73, 17, 1} .

Теоремы существования 289 и 289' эффективны в том смысле, что они дают определенный способ нахождения унимодулярной подстановки I К ), переводящей положительно определенную форму {а, Ь, с} в приведенную форму {А, В, С}. Естественно возникает вопрос: сколько существует таких подстановок и чем они отличаются друг от друга? Ради простоты сформулируем соответствующие теоремы для примитивных форм .

Теорема 292. Для любой приведенной примитивной положительно определенной формы {а, Ь, с} с дискриминантом, отличным от — 3 и —4, существуют в точности две унимодулярные подстановки, переводящие эту форму самое в себя .

Одна из этих подстановок (Q А, а другая ( ~ 0 _ 1 ) .

Д о к а з а т е л ь с т в о.

Е с л и ! g ), где аб — $у = 1, переводит форму {а, Ь, с}, удовлетворяющую условиям теоремы, в {а, Ь, с}, то по формулам (5) имеем:

(18) (19)

–  –  –

наконец, эта форма подстановкой („. ) переводится в {1, 1, 1} .

Произведение " - ( ? " ) (i ~ J ) (A " I M " ! - S ) переводит {73, 129, 57} непосредственно в { 1, 1, 1}, а произведение Sf/" 1, где S = ( I ~ i ) переводит форму {3, — 3, 1} в {73, 129, 57}. Находим

–  –  –

находим еще две подстановки: ( J Q „ J И ( ~ i y ~ 15) ' п е Р е в о " дящие {3, — 3, 1 } в {73, 129, 57}, и получаем соответствующие решения: х 8 = 9, t/8 = 1 0 и х9 —— 8, i/9 = — 1 7. Меняя знаки, находим еще три решения: х10 = — 1, i/10 = 7; х п = — 9, уг1 — — Ю ; x i a = 8, t/ 12 = 17, так что уравнение (23) имеет всего 12 решений в целых числах .

Исторические комментарии к 31-й главе

1. Теория квадратичных форм возникла как естественное обобщение ряда частных задач с неопределенными уравнениями;

некоторые из этих задач мы рассмотрим в следующей главе .

В 1773 г. Лагранж в своей работе „Recherches d'Arithmetique" опубликовал основные результаты о представлении чисел бинарными квадратичными формами. В то время как до Лагранжа (Ферма, Эйлер и другие математики) изучали только формы частного вида, Лагранж, рассматривая бинарные квадратичные формы вида (1), заложил основы общей теории. Лагранж рассматривал линейные подстановки с определителем, равным ± 1 .

Он показал возможность замены заданной формы другой формой, удовлетворяющей условиям (13) теоремы 289, и'установил основную связь между вопросом о. представимости чисел квадратичной формой и существованием решений соответствующего сравнения 2-й степени .

Лежандр в 1798 г., излагая в своей книге „Essai sur la theorie des nombres" результаты Лагранжа по теории квадратичных форм, внес существенные упрощения и дополнения. В своих исследованиях он пользовался законом взаимности, доказательство которого, оказавшееся, однако, неполным, было им помещено в этой же книге. Таким образом, часть результатов Лежандра была полностью обоснована только после выхода гауссовских „Disquisitiones arithmeticae" .

Применяемая в настоящее время в теории квадратичных форм терминология введена в основном Гауссом, который в своих „Disquisitiones arithmeticae" дал систематическую теорию бинарных квадратичных форм, причем в отличие от Лагранжа он так же, как Лежандр, брал формы вида ах* + 2Ьху + су*. Гаусс далеко продвинул теорию таких форм. Рассматривая линейные преобразования с произвольными определителями, он ввел понятие эквивалентности квадратичных форм, существенно различая преобразования с определителями, равными + 1 и — 1. Гаусс, не ограничиваясь делением на классы, дал более полную классификацию бинарных квадратичных форм. Исследования Гаусса существенно опирались на развитую им теорию композиции форм .

2. Число классов ft (А) данного дискриминанта Д рассматривается как числовая функция от Л. Эта функция играет большую роль в различных задачах теории чисел. Изучение этой функции было начато в работах Гаусса и Якоби, но особенно важные результаты были получены здесь Дирихле, который дал вывод формул, выражающих эту функцию через другие, сравнительно простые арифметические величины .

3. Квадратичные формы с большим, чем два, числом переменных начали изучаться еще Гауссом (тернарные формы). Наиболее общие квадратичные формы от п переменных также изучались уже в XIX веке. В настоящее время теория таких форм с большим успехом развивается многими математиками .

ГЛАВА 32

НЕКОТОРЫЕ ДИОФАНТОВЫ УРАВНЕНИЯ

–  –  –

) (2) Примечание. Число решений сравнения (2J было определено в теореме 226 .

Д о к а з а т е л ь с т в о. На странице 190 (частный случай теоремы 213) было найдено, что при взаимно простых х и у число вида хг-\-уг не делится на простые числа р = 4 л + 3, поэтому, если N имеет хотя бы один такой делитель, уравнение (1) не имеет решений с взаимно простыми х и у. При (х, у)~\ по крайней мере одно из чисел х, у нечетно; левая часть уравнения (1) сравнима с 1 или 2 по модулю 4 и если 4/W, то уравнение (1) также не имеет решения с такими х, у .

Если N не имеет простых делителей вида 4 л + 3 и 4^УУ, то (теоремы 226 и 207) сравнение (2) имеет решения, т. е. с=й=О .

Заменяя В через 2z, легко определить, что число решений сравнения * (3) в два раза больше, чем число решений сравнения (2), т. е .

равно 2v. Поскольку вместе с каждым В сравнению (3) всегда удовлетворяет и AN—В, то число решений этого сравнения, таких, что 0^ BC2N, равно v и, следовательно, согласно результатам, полученным в предыдущей главе, существует v форм { N, В, С} с дискриминантом —4, у которых 0*^B.2N .

Все эти формы согласно теоремам 291 и 293 эквивалентны {1,0, 1 } и для каждой из них (теорема 297) существуют четыре унимодулярные линейные подстановки, переводящие { 1, 0, 1} в такую форму {N, В, С}, т. е. общее число таких преобразований равно 4у .

Различным унимодулярным линейным подстановкам соответствуют различные представления N в виде (1) (теорема 287), и, таким образом, результаты, полученные в 31-й главе (см. стр. 293), показывают, что число представлений N в виде (1) равно 4у .

kl kl k Если N = p 1.... pt' или N — 2p 1... p s', где все pt — простые числа вида 4 л + 1, то сравнение (2) имеет 2s решений, и s2 число представлений N в виде (1) равно 2 * .

Каждому решению х0, у0 уравнения (1) можно сопоставить восемь решений, получающихся перестановкой этих величин и различными изменениями в их знаках. Если рассматривать только положительные значения неизвестных, то решений будет v .

Частный случай теоремы 298 для простых значений # был доказан Эйлером .

Теорема 299. Если не считать различными разложения, отличающиеся порядком слагаемых, то каждое простое числа р = 4л + 1 единственным образом разлагается на сумму двух квадратов .

Доказательство. При А = р = 4 л + 1 сравнение (2) / имеет два решения (v — 2). Уравнение х2 + у2 — р имеет два решения в положительных числах, при этом (х, у)=\, хфу, так что если разложения р = х2 + у2 и р = г/2 + л:2 считать одинаковыми, то будет в точности одно и только одно разложение .

Решения уравнения х2 + у2 — р можно найти, рассматривая числа р— I 2, р — 2 2, р—З2 пока не найдем среди них квадрата. Применение общих теорем предыдущей главы требует обычно более длинных вычислений, чем непосредственный подбор. Совершенно аналогично теореме 298 можно рассмотреть представления положительных чисел в виде х2 + 2у2 .

Теорема 300. Уравнение x 2 +2r/ 2 = Af, (4) где N—положительное нечетное число, имеет решения в целых взаимно простых числах х, у тогда и только тогда, когда каноническое разлооктие N не содержит простых чисел р вида 8n-f-5 и 8п-\-Т. Число таких представлений равно 2v, где v—число решений сравнения (5) Д о к а з а т е л ь с т в о. Необходимость условия была показана на странице 190 (частный случай теоремы 213) .

Если нечетное N не имеет простых делителей вида 8n-f-5 и 8 л + 7, то сравнение (5) имеет решения, т. е. у^=0. Совершенно так же, как и в теореме 298, получаем, что число форм {N, В, С} с дискриминантом А = — 8, таких, что 0 = ^ B : 2 J V, равно v .

Так же, как в теоремах 293 и 294, докажем, что все формы с дискриминантом Л = — 8 эквивалентны форме { 1, 0, 2} .

Действительно, если у приведенной положительно определенной формы {а, Ь, с} дискриминант Л = 62 —4ас = — 8, то, поскольку | 6 | а с, имеем: 8 8 + Ь2 =• 4ас = 8-f- 6 2 8 + ас, • 2 ас =s-|, т. е. ас = 2, а=\, с = 2, 6=-0 .

Таким образом, при Л = — 8 так же, как при Л = — 4 и при А = — 3, имеется один класс положительно определенных форм .

Для каждой из v форм вида {а, Ъ, с\ существуют (теорема 297) два унимодулярных линейных преобразования, переводящих {1, 0, 2} в {N, В, С}, и тогда, принимая опять-таки во внимание теорему 287, получаем, что уравнение (4) имеет 2v решений с взаимно простыми значениям х и у .

Число решений сравнения (5) определяется теоремой 226 .

Согласно этой теореме, если N = ptl... р*', где все р{—простые числа вида 8 л + 1 и 8л + 3, то v = 2s, и число представлений N в виде (4) равно 2* + 1. В частности, отсюда вытекает, что любое простое число р вида 8 п + 1 или 8п + 3 единственным образом может быть представлено в виде суммы квадрата и удвоенного квадрата натуральных чисел .

П р и м е ч а н и е. При четном N = 2Nx могут быть два случая:

1) Если Nt нечетное, то, заменяя в уравнении (4) х через 2х± и сокращая на 2, мы возвращаемся к случаю, рассмотренному в теореме 300 .

2) Если N1 четно, т. е. 4 | N, то из равенства (4) следует 2\х, 2\у, т. е .

не существует решений уравнения (4) с взаимно простыми х и у .

Число решений уравнений (1) и (4) было легко определить благодаря тому, что для дискриминантов Л = — 4 и Л = — 8 существует всего только по одномГу классу квадратичных форм .

Легко видеть, что если {а, Ъ, с) — положительно определенная форма с взаимно простыми а, Ь, с и если существует только один класс примитивных форм с дискриминантом Д = 6 2 —4ас, то совершенно так же, как в теоремах 298 и 300, можно определить число собственных решений уравнения ах2 + Ьху + суг = N .

Известно, что для следующих значений —Д=^100:

— Л = 3, 4, 7, 8, 11, 12, 16, 19, 27, 28, 43, 67 (6) — существует только по одному классу таких квадратичных форм .

2. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ В ВИДЕ СУММЫ

ЧЕТЫРЕХ КВАДРАТОВ

В 1770 г. Лагранж доказал, что каждое натуральное число представимо в виде суммы четырех квадратов целых чисел .

Доказательство этого замечательного факта опирается на известное алгебраическое тождество Эйлера:

{а\ + а\ + а\ + а\) {Ь\ + Ь\ + Ь\ + Ь\) = с\ + с\ + с\ + с\, (7) где сг = dip! + a2b2 + a3b3 + a 4 b 4. c2 = афг — аф± + a s 6 4 —a 4 6 3, a c 4 = a1bi—aib1 + a2b3—a3b2 .

c3 = aibs— A + atb2—a2bt, Справедливость этого тождества при любых alt a2, a3, ait Ь1г Ь2 ^з' ^4 легко проверяется непосредственным вычислением .

Начнем с рассмотрения разбиений простых чисел на сумму квадратов. В то время как простые числа вида 4 л + 1 представимы в виде суммы двух квадратов натуральных чисел (теорема 299), простые числа вида 4 л + 3 не всегда представимы даже в виде суммы трех квадратов целых чисел. Легко, например, заметить, что число 7 нельзя представить в виде суммы трех таких квадратов. Вместе с тем оказывается, что каждое простое число представимо в виде суммы четырех квадратов целых чисел .

Для простых чисел вида р = 4 л + 1 это представляет собой г 2 непосредственное следствие теоремы 299, так как из р = а -{-Ь а а а а следует р = а + & + 0 + 0. Докажем, что и простые числа р вида 4п + 3 также представимы в виде суммы четырех квадратов. Чтобы иметь доказательство, не зависящее от результатов 31-й главы, будем брать общий случай произвольного простого числа. Нам понадобится следующая вспомогательная теорема .

Теорема 301. Для любого простого числа р^2 существуют

–  –  –

попарно несравнимы по модулю р .

Общее число чисел в последовательностях (9) и (10) равно р + 1, т. е. превосходит общее число классов по модулю р, а это значит, что среди них, взятых в совокупности, есть по крайней мере одна пара чисел, принадлежащих одному классу, т. е. сравнимых по модулю р. Одно из чисел такой пары принадлежит последовательности (9), а другое —(10), т. е.

при некоторых х0 и у0, где 0 sS х0 ^ -, 0 у0 ^ ^ -, имеем:

xl~-l—yl(modp), xl + yl+l = f 1 =рт, Из равенства (8) непосредственно видно, что т ^ = 1 .

Теорема 302 (Лагранж). Каждое простое число представимо в виде суммы четырех квадратов целых чисел .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Согласно предыдущей теореме для каждого простого числа р 2 существует т, такое, что т и 2" ll т. е. рт представимо в виде суммы четырех гквадратов. Обозначим через рт0 наименьшее положительное число, кратное р, представимое в виде суммы четырех квадратов целых чисел;

тогда (11) pmo = al + al + al + al при некоторых целых alt а 2, as, я 4 и 1 т о - - Докажем сначала, что т 0 —нечетное число. Действительно, если бы было mo = 2m', то из равенства (11) следовало бы, что среди чисел alt а 2, а3, а 4 не может быть одного или трех нечетных чисел, т. е. числа alt a2, as, а 4 либо все четные, либо все нечетные, либо, наконец, два четных и два нечетных. Мы можем тогда разбить эти числа на две пары, так, что в каждую пару входят числа одинаковой четности и, если, например, 2|2iЧ- а 2 ' 2| а з + с74. записать равенство (11) в виде:

')'•

–  –  –

где все т целые .

— Поскольку рт0 было наименьшим положительным числом, кратным р и представимым в виде суммы четырех квадратов,

a 0==/m 0, то равенство (14) показывает, что / = 0. Из равенства (12) получаем:

/•1 = r 2 = r 3 = r 4 = 0, a, = 0(modm 0 ) при i = l, 2, З, 4, ml\al + al+al + al, тЦтор, mo\p, т. е. поскольку 1 т о ; ^ -, то т о = 1. Равенство (11) принимает вид p = a\-\-a\ -\-a\ + al, т. е. р представимо в виде суммы четырех квадратов целых чисел .

При р = 2 имеем: 2 = 1 2 + 1 2 + 0 2 + 0 2 .

Теорема 303 (Лагранж). Каждое натуральное число представимо в виде суммы четырех квадратов целых чисел .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Мы доказали, что каждое простое число представимо в виде суммы четырех квадратов целых чисел. Формула (7) показывает, что произведение двух, а следовательно, и любого числа простых чисел, каждое из которых представимо в виде суммы четырех квадратов целых чисел, также представимо в таком виде .

Поскольку каждое натуральное число, большее чем 1, есть произведение простых чисел, а 1 = 1 2 + 0 2 + 0 2 + 0 а, утверждение справедливо для всех натуральных чисел .

3. ПРОБЛЕМА ВАРИНГА Рассматривая разбиения чисел на сумму квадратов, мы, естественно, подходим к более общей проблеме о представлениях чисел в виде сумм n-х степеней. В 1770 г. английский математик Варинг высказал без доказательств ряд предложений, относящихся к этой проблеме. Варинг утверждал, что каждое натуральное число представимо в виде суммы не более 9 кубов, 19 биквадратов и т. д .

Общая проблема, возникшая в связи с этими в сущности только эмпирическими соображениями и получившая название проблемы Варинга, заключается в том, чтобы доказать, что для каждого натурального -п существует s, такое, что любое целое положительное N представимо в виде суммы s слагаемых, являющихся точными n-ми степенями целых неотрицательных чисел. Решение этой проблемы было получено только в 1909 г .

Мы дадим формулировку теоремы, доказанной впервые Д. Гильбертом; изложение любого из известных доказательств заняло бы слишком много места и по своему характеру выходит за рамки этой книги .

Теорема 304. Для любого фиксированного натурального числа п существует определенное число s, зависящее только от п, такое, что для каждого натурального N уравнение (15) N = x1 + x"2 +...+x?

.... xs, имеет решение в целых неотрицательных числах xlt х2, В теореме утверждается существование для каждого п соответствующего s, обладающего таким свойством, так что s = s(n) .

Конечно, основное здесь то, что s не зависит от N, иначе утверждение было бы совершенно тривиальным, поскольку N = x1-\-... -\-x"N при хг=... =xN=\. Для каждого п можно рассматривать наименьшее значение s, при котором каждое натуральное число N представимо в виде (15); это наименьшее значение s, зависящее от п, обозначают обычно через g(n) .

Например, g(2) = 4. Действительно, каждое натуральное число представимо в виде суммы четырех квадратов целых неотрицательных чисел (теорема 303), и, как было отмечено, существуют числа, не представимые в виде суммы трех квадратов, например, как это легко видеть, все числа вида N = 8k + 7 .

При п = 3 было доказано, что g ( 3 ) ^ 9. Существуют два числа, а именно 23 и 239, которые нельзя представить в виде суммы восьми кубов, что означает: g (3)^=9, а значит g(3) = 9 .

Оказывается, что, кроме этих двух чисел, все остальные натуральные числа представимы в виде суммы восьми кубов .

Вообще, для каждого п существуют сравнительно небольшие числа Ni для которых в уравнении (15) приходится брать много слагаемых; наличие таких чисел определяет то, что при увеличении п функция g(n) быстро растет .

Теорема 305 .

–  –  –

Имеются основания предполагать, что 2 " + [^ —2 является для всех n S * l истинным значением g(n). Известны следующие результаты (теоремы 306 и 306'), которые мы приводим без доказательств .

Теорема 306. Если при натуральном п, отличном от 4 и 5,.имеет место неравенство

–  –  –

Если ставить вопрос о представлении натуральных чисел в виде (15) не для всех натуральных чисел, а только всех чисел, начиная с некоторого, то число s необходимых для этого слагаемых оказывается значительно меньшим .

Обозначим через G (п) наименьшее значение s, при котором уравнение (15) имеет решение в целых неотрицательных числах xs для всех чисел N, начиная с некоторого хг, х2 NN0, т. е. для всех натуральных чисел N, исключая, может быть, только конечное их число .

При п = 2 значения g(n) и G(n) совпадают: G(2) = 4, так как (см. выше) существуют сколь угодно большие числа, не представимые в виде суммы трех квадратов. В 1942 г. Ю. В. Линник доказал, что G ( 3 ) ^ 7. Было также доказано, что G ( 4 ) = 16, G (5) а^23. Как быстро растет функция G(n) при увеличении п?

Как много придется брать слагаемых в уравнении (15) при больших п, чтобы оно было разрешимо в целых неотрицательных числах для всех натуральных N, начиная е некоторого? Ряд крупных современных математиков разрабатывали методы оценки функции G (п). Особенно эффективным оказался метод И. М. Виноградова, доказавшего, что = O(nlnn) .

4. НЕОПРЕДЕЛЕННОЕ УРАВНЕНИЕ ФЕРМА

–  –  –

a Bt+1 = 2(P,Pa_1-DQsQs_1);

As+1 = Pl-DQ]=l, Bs+1 — четное число, которое мы обозначим через —21. Решая квадратное уравнение для as+1, получаем as+1 = l-\-]^D, т. е .

разложение as+1 в цепную дробь должно иметь тот же период, как в разложении (19) числа V&, И отличается от него только начальным членом. Это может быть только при l = a0, s + l = = kn, т. е. s = kn— 1. Теперь остается только выяснить, какие именно из чисел Рьп-\ Qkn-i являются решениями уравнения (18) .

Теорема 309. Пусть D—целое положительное неквадратное число, k — длина периода разложения \^D в цепную дробь.

Мы получим все решения уравнения (18) в целых положительных числах х и у, если положим:

x= = Pkn-i y Qkn-i где п — любое натуральное число, такое, что kn четно .

Д о к а з а т е л ь с т в о. В предыдущей теореме мы уже установили, что все целые положительные решения уравнения (18) находятся среди пар вида Pka_lt Qkn-i- Нам остается только выяснить, при каких п числа xo = Pkn_lt yo = Qkn-i удовлетворяют уравнению (18) .

Полное частное akn в разложении (19) числа Vb имеет вид:

–  –  –

(28) ^s* .

Из тождества (27) видно, что xl.n,и, кроме того, мы имели выше s2 = a и 2а\х\, так что s a ^ n, т. е. равенство (28) противоречит тому, что согласно предположению уравнение (26) не имеет решений в целых положительных числах при zcn .

Если 2\у0, то, рассуждая аналогично, получаем то же противоречие .

2) (*0. «/о, n) = dl, тогда ^у + (&.у = (±у, где целое i - n, что также противоречит нашему предположению .

Полученное в обоих случаях противоречие показывает, что из предположения отсутствия решений уравнения (26) с натуральными х, у и z n следует отсутствие таких решений и при z = n. Согласно теореме IV уравнение (26) не имеет таких решений при всех натуральных г .

Неоднородное диофантово уравнение с двумя неизвестными с однородной левой частью степени, большей чем два, обычно имеет только конечное множество решений (теорема 274). Многие диофантовы уравнения с тремя неизвестными также имеют конечное число решений или совсем не имеют решений в целых числах .

Мы не имеем общего метода (алгоритма), который позволял бы для любого данного диофантова уравнения решать вопрос, имеет ли оно или не имеет решения в целых числах; неизвестно даже, существует ли такой алгоритм. Мы можем ставить вопрос о существовании решений в целых или целых положительных числах для отдельных уравнений или для некоторых классов диофантовых уравнений определенного вида. Наиболее известная из таких задач проблема, Еозникшая еще у Ферма .

В одной из книг Диофанта рассматривается задача о разбиении заданного квадрата на сумму двух квадратов, причем Диофант имеет в виду квадраты положительных рациональных чисел. На полях своего экземпляра сочинений Диофанта, там, где решается эта задала, П. Ферма записал: „Вместе с тем невозможно разложить куб на два куба или биквадрат на два биквадрата и вообще невозможно разложить какую-либо степень, большую чем два, на две степени с таким же показателем .

Я нашел поистине удивительное доказательство этого, но поля книги слишком узки, чтобы вместить его". Ферма так и не обнародовал свое доказательство, и нам неизвестно, имел ли он полное доказательство этого утверждения в том смысле, как мы его понимаем, т. е. для множества всех натуральных чисел. Несмотря на то что с тех пор прошло более 300 лет, утверждение Ферма, часто называемое последней теоремой Ферма, не доказано, хотя и не опровергнуто. Истинное положение здесь таково, что для нас более уместно говорить не о теореме, а о проблеме Ферма .

П р о б л е м а Ф е р м а. Верно ли, что для любого целого п ^ 3 уравнение xn + yn = zn (29) не имеет решений в целых положительных числах?

Если для какого-либо л доказано, что уравнение (29) не имеет решений в целых положительных числах, то говорят, что утверждение Ферма верно для этого л .

Справедливость утверждения Ферма при л = 4 представляет собой непосредственное следствие теоремы 311, так как для такого л уравнение (29) можно записать в виде * ( г) г * Легко видеть, что если утверждение Ферма верно при некотором л 0 то оно верно и для всех чисел, кратных л 0. Это вытекает из того, что уравнение А;"»* + yn°k = z"°* можно записать в виде (х*)"°+ (#*)"" — (z*)""- Для очень многих частных значений л утверждение Ферма оказалось верным. Вместе с тем огромное число безуспешных попыток решить элементарными методами проблему Ферма в общем виде привело математиков к мысли, что ее решение не лежит в рамках элементарной арифметики и алгебры .

Исторические комментарии к 32-и главе

1. Великий древнегреческий математик Диофант жил и работал в Александрии. Время его жизни в точности неизвестно;

большинство историков относит его к 111 или IV веку нашей эры. То немногое, что мы знаем о его жизни, известно только благодаря одной арифметической задаче, составленной в поэтической форме вскоре после Диофанта. В ответе, который получается при решении этой задачи, содержится, в частности, то, что Диофант умер 84 лет от роду .

Диофант написал „Арифметику", состоящую из 13 книг, „Поризмы", „Полигональные числа". Большая часть его сочинений не сохранилась .

Из 13 книг его „Арифметики" до нас дошло только 7 книг. Большая часть известных нам книг „Арифметики" посвящена решению систем неопределенных уравнений 2-й степени. Решая весьма разнообразные системы неопределенных уравнений, Диофант проявил большое мастерство и изобретательность. Диофант рассматривает рациональные, но, конечно, как во всей древнегреческой математике, только положительные значения неизвестных. В отличие от Евклида и большинства других древнегреческих математиков Диофант не излагает строго логических доказательств, обосновывающих применяемые им приемы. Основная его цель—дать метод нахождения решения. Он не ставит себе задачу нахождения всех решений неопределенного уравнения даже тогда, когда их бесчисленное множество, и вполне удовлетворяется отысканием одного решения. Сочинения Диофанта оказали решающее влияние на весь последующий период развития теории чисел .

2. Ферма знал доказательство того, что каждое простое число вида р = 4 л + 1 представимо в виде суммы двух квадратов, но сохранились только некоторые указания о методе его доказательства (так называемый „метод спуска") .

Эйлер в 1749 г. опубликовал первое из известных нам доказательств теоремы 299. Он доказал также, что, если число вида 4 л + 1 составное, оно или вообще не представимо в виде суммы двух квадратов, или имеет больше, чем одно такое представление. Таким образом, единственность представления числа вида 4 л + 1 в виде суммы двух квадратов — необходимое и достаточное условие того, чтобы это число было простым .

Условия существования решений уравнения (1) (теорема 298) были без доказательства известны еще голландскому математику Жирару (1595 —1632). Доказательство теоремы, данное Эйлером, основывалось на теореме 299 и тождестве (а{ + а\) (Ы -Ь bl) = ( а Л + а-А) + (аА~ а А)2Теорема о том, что простые числа вида р = 8 л + 1 и г 2 р = 8л + 3 представимы в виде х -\-2у, была высказана Ферма в 1654 г. и доказана Эйлером в 1763 г. Эйлер доказал также, что простые числа вида р = 6 л + 1 представимы в виде д; + 3у .

Теория квадратичных форм для доказательства теорем такого типа была применена впервые Лагранжем в 1773 г .

4. Если все формы с дискриминантом Д примитивны, то дискриминант Д называется фундаментальным. Наибольший по абсолютной величине из известных фундаментальных отрицательных дискриминантов Д, для которого существует только один класс, —это Д = — 163 (h( —163) = 1). Доказано, что при — 500000000 Д — 1 6 3 для всех фундаментальных дискриминантов Д величина / 1 ( Д ) 1, а среди фундаментальных дискриминантов Д ; — 500 000 000 существует самое большее один дискриминант, такой, что h (Д) = 1 (Хейльбронн, Линфут, Лемер) .

5. Теорема 303 была высказана Баше де Мезирьяком в 1621 г., который проверил ее справедливость для многих натуральных чисел; эту теорему часто называют теоремой Баше .

Ферма на полях своего экземпляра сочинений Диофанта написал, что методом спуска получил доказательство теоремы Баше .

Первое известное доказательств теоремы принадлежит Лагранжу, и поэтому мы называем ее теоремой Лагранжа .

6. Английский математик Варинг (1734—1798) известен больше всего по своим работам в теории симметрических многочленов. В теории чисел его имя связано только с поставленной им проблемой о представлении чисел в виде суммы степеней (теорема 304). Эта проблема, получившая его имя, поставлена им в его сочинении „Meditationes algebraicae". После Гильберта ряд математиков дали различные, более простые, чем у Гильберта, доказательства теоремы Варинга. Сравнительно элементарное доказательство теоремы было дано Линником .

7. Теорема 306 — результат работ ряда математиков, начиная с Лагранжа, рассмотревшего случай л — 2. Частными случаями теоремы 306 является то, что g(3) = 9, g(6) = 73, g(7) = 143, g ( 8 ) = 2 7 9. Случай л = 3 был рассмотрен Виферихом в 1909 г., а случай л = 6 — индийским математиком Пиллаи в 1940 г. При л ^ 7 результат теоремы 306 был получен в работах Диксона, Нивена и Рабегендея. Теорема 306' принадлежит Диксону .

Существование g(4) было доказано впервые Лиувиллем в 1859 г .

Точные значения g (4) и g (5) до сих пор неизвестны. Число 79 нельзя представить в виде 18 биквадратов, так что g(4)^=19 .

С другой стороны, было доказано, что g(4)sg35, т. е. 1 9 ^ ( ) ^ 3 5 (Диксон). Относительно g(5) известно, что 37sg g ) = ^ 4 0 (Чень Цзынь-жунь) .

Неравенство (17) было проверено для очень многих п, и пока не было найдено ни одного натурального л, для которого оно было бы неверным .

В 1957 г. Малер доказал существование л 0, такого, что формула (п)=2»+Щ-2 ё верна при всех 0 С другой стороны, электронно-вычислительные машины дали возможность Стемлеру в 1964 г. установить справедливость этой формулы для всех л з^ 200 000 .

8. При всех л ^ 2 справедливо неравенство G(n) 5*л + 1, тан что оценка 0(л) = 0(л1пл) не может быть слишком сильно улучшена. И. М. Виноградов доказал, что G(n)in(3 In л + 1 1 ), а Дун Гуан-чан, пользуясь методом Виноградова, получил в 1957 г .

оценки: G(n) «(3 In л + 9) при л = 2* и С ( л ) л(31пл + 7) при 2* Существует предположение, что G ( n ) 2 n + 1 пщпф2к и G(n) = 4n при л = 2*. А 1 .

Справедливость этой гипотезы до сих пор не установлена .

9. Уравнение (18) часто называют уравнением Пелля, так как именно под таким названием оно фигурирует в трудах Эйлера. Пелль не занимался этим уравнением, и название было дано Эйлером по ошибке. Ферма, по-видимому, первый математик, знавший общий метод решения уравнения (18), и поэтому это уравнение многие математики называют уравнением Ферма .

Ферма знал доказательство того, что это уравнение при любом целом положительном D, отличном от полного квадрата, имеет бесконечное множество решений, но свое доказательство не опубликовал. Ферма предложил английским математикам Броункеру (1620 —1684) и Валлису в качестве задачи доказать уже известный ему факт существования бесконечного множества целочисленных решений уравнения (18). Броункер дал метод нахождения решений уравнения Ферма, но вопрос о числе решений этого уравнения остался у него невыясненным. Исследования Броункера были приведены в трудах Валлиса, а затем вошли во второй том алгебры Эйлера. Вместе с тем ни Броункер, ни другие английские математики и даже Эйлер не доказали, что уравнение Ферма при любом целом положительном D, отличном от полного квадрата, имеет решения в целых числах; это было сделано только Лагранжем .

Можно отметить, что отдельные уравнения вида (18) встречались задолго до работ Ферма, Броункера и Лагранжа. Так, например, такие уравнения рассматривались индусским математиком VII века Брамегупта, который умел решать их, а уравнение хг — 2уг — \ встречается еще раньше у греческих и индусских математиков примерно за четыре столетия до нашей эры .

10. Отдельные целочисленные решения уравнения (24) были известны в глубокой древности. Общие решения уравнения (24) были даны в трудах Евклида и Диофанта. Формулы (25), дающие целочисленные решения уравнения (24), рассматривались также древними индусскими математиками .

Доказательство теоремы 311 было дано Ферма, а затем Эйлером. Ферма в одном из своих писем дал в общих чертах доказательство теоремы, а его друг Френикль де Бесси по этим указаниям восстановил и опубликовал его в 1676 г. По вопросу о том, имел ли Ферма полное решение проблемы, получившей его имя, можно только строить догадки, и имеются серьезные основания сомневаться в этом .

Первое опубликованное доказательство утверждения Ферма при л = 3 было дано в 1774 г. Эйлером. Весьма вероятно, что независимо от общего случая оно было известно Ферма. Доказательство Эйлера было не совсем полным: недостающее звено было восполнено после опубликования Лагранжем своих исследований по теории бинарных квадратичных форм .

При л = 5 доказательство утверждения Ферма было дано Лежандром и Дирихле в 1823—1827 гг., а при л = 7—Ламэ в 1837 г. Общий подход к проблеме Ферма был намечен в работах немецкого математика Куммера, который применил созданную им для этого теорию алгебраических чисел. Первоначальный результат, полученный Куммером, связан с арифметической природой чисел Бернулли .

Числами Бернулли (по имени швейцарского математика Якова Бернулли) называются числа Вх, Вг определенные соотношениями

–  –  –

ГЛАВА 33

ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ

1. ЧИСЛО И СУММА ДЕЛИТЕЛЕЙ

В теории чисел рассматриваются разнообразные функции / (л), значения которых при натуральных значениях л связаны с арифметической природой л. МножестЕо рассматриваемых функций удобнее не ограничивать заранее какими-либо требованиями, кроме единственного требования: каждая функция должна быть определена для всех натуральных значений аргумента .

Определение 88. Функция f (x) называется числовой, если она определена при всех натуральных значениях аргумента х .

Согласно этому определению значительная часть функций, рассматриваемых обычно в математическом анализе, таких, как, например, ех, sin х, • arctgx, logajc,— числовые функции. Обычно в теории чисел рассматривают числовые функции, которые либо вообще определены только при натуральных значениях аргумента, либо функции, для которых натуральные значения аргумента являются характерными точками, определяющими величину функции и в других точках. В качестве примера таких числовых функций могут служить рассмотренные нами раньше: функция Эйлера ф(л) (определение 35), функция [х] (определение 16) .

Функция Эйлера вообще определена только при натуральных значениях аргумента, а у функции [х] все значения определяются ее значениями при целых х .

Рассмотрим сначала числовые функции т(л) и о (л), зависящие от делителей аргумента. т(л) определяется как число положительных делителей натурального л, а а (л) определяется как сумма положительных делителей л, т. е .

–  –  –

Доказательство .

Действительно, перемножая числа, стоящие в скобках, в правой части, мы получим слагаемые вида p\ip^. •. р%, где р х принимает значения от 0 до ах, р*2— от 0 до а а,..., р,—от 0 до as, причем каждое такое слагаемое суммы в левой части (4) получится один и только один раз.

Чтобы получить формулу (3), остается только каждый множитель правой части записать в виде:

–  –  –

Теорема 314. Функции т(л) и о (л) — мультипликативные функции .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Если а = р°... р°» и Ь = q^...

qh — канонические разложения взаимно простых чисел а и b (все р:

и qj — простые числа), то р°... р " 1 ^ 1... qfr — каноническое разложение ab и x(ab) = (a1+ 1)... ( о ^ + 1) (Р х + 1)... фг+ 1) == = х(а)х(Ь), =о(а)о(Ь) .

г... р.. .

Pi—1 Ps— i 7i — 1 flt Сумма собственных положительных делителей натурального числа п бывает меньше, чем п („недостаточные числа"), а бывает и больше, чем п („избыточные числа") .

Иногда, правда очень редко, встречаются числа, у которых сумма собственных положительных делителей в точности равна самому этому числу. Такие числа получили название „совершенных чисел". Вместе с самим числом п сумма положительных делителей такого числа п равна 2л, так что мы можем дать следующее определение .

Определение 89. Число л называется совершенным, если о{п) = 2п .

Совершенные числа рассматривались еще математиками Пифагорейской школы в VI веке до нашей эры. Евклид нашел формулу, позволяющую находить четные совершенные числа. Эйлер доказал, что формула Евклида исчерпывает все множество четных совершенных чисел. Мы можем объединить результаты Евклида и Эйлера в виде следующей теоремы .

Теорема 315.

Четное число л является совершенным тогда и только тогда, когда оно имеет вид:

л=2*-1(2*-1), (5) где k ^ = 2, a P = 2k—1— простое число .

Доказательство .

1) Д о с т а т о ч н о с т ь у с л о в и я. Если P = 2k—\— простое число, то 2*" 1 Р — каноническое разложение л, и согласно формуле (3) имеем:

–  –  –

где 2*— 1 = Р— простое число .

Простые числа вида P = 2k—1 мы назвали простыми числами Мерсенна. Было доказано (стр. 35), что число вида 2* —1 может быть простым, только когда само k—простое число .

Таким образом, четные совершенные числа л имеют вид:

л = 2^ 1 (2 / —1), где Я = 2^—1 — простое число .

Каждое простое число Мерсенна Р = 2Р— 1 дает нам некоторое совершенное число, и, вычисляя последовательные числа Мерсенна, мы получаем все четные совершенные числа .

Указанные на странице 35 значения р=2, 3, 5, 7, 13 при которых 2^—1—простые числа Мерсенна, по формуле (5) (k = р), дают совершенные числа: 6, 28, 496, 8128, 33 550 336 Самое большое известное до сих пор четное совершенное число 2 1 1 8 1 г ( 2 1 1 2 1 3 — 1) соответствует самому большому из известных чисел Мерсенна 2 — 1. До настоящего времени неизвестно ни одного нечетного совершенного числа, и есть основания предполагать, что нечетных совершенных чисел вообще не существует. Несмотря на большое число работ, идущих в этом направлении, доказать это пока не удалось, и проблема существования нечетных совершенных чисел остается среди нерешенных трудных задач теории чисел .

Многие математики, особенно в ранний период развития теории чисел, рассматривали так называемые „дружественные" числа. Числа а и b называются дружественными, если сумма собственных делителей а равна Ь, а сумма собственных делителей b равна а, т. е. a(a) — a = b, a (b) — Ь = а, или а(а) = = a(b) = a + b .

Например, числа 220 и 284 образуют пару дружественных чисел. Вопросу об отыскании пар таких чисел раньше уделялось довольно много внимания, но современная теория чисел мало интересуется этой задачей .

2. ФУНКЦИЯ МЕБИУСА

Важную роль в теории чисел играет числовая функция Мёбиуса, обозначаемая обычно через ^С")Определение 90.

Функцией Мёбиуса называется функция ц (л), определенная следующими условиями:

1) |i(l) = lj s

2) ц (л) = (— 1 ), если каноническое разложение л имеет вид:

п = Рг ••• Ps'

3) ц(л) = 0, если рг\п, т. е. если в каноническое разложение п входит хотя бы один простой множитель в степени, большей, чем первая. | П р и м е р ы. ц(90) = ц(2.'3.5) = 0, ц(77) = ц(7.Ц) = 1, ц(56) = м-(23-7) = 0, ц (105) = ц (3.5-7) = — 1 .

Теорема 316 .

Д о к а з а т е л ь с т в о. 1) При л = 1 сумма равна ц,(1) = 1, по определению .

2) Если л 1, то существует каноническое разложение n = pfi... p«i. Для любого делителя d\n, содержащего хотя бы одно простое число в степени, большей, чем первая, ц(й) = 0;

поэтому в сумме (8) можно оставить только делители произведения р х... ps, т. е .

–  –  –

Каждое /(б) будет встречаться в двойной сумме справа при Bcexd, таких, что Ь -г, т. е. при db\n, d -г-.

Поэтому собирая слагаемые с одними и теми же значениями б, получаем:

–  –  –

3. ДЗЕТА-ФУНКЦИЯ РИМАНА Важнейшие числовые функции, рассматриваемые в теории чисел, непосредственно связаны с функцией, получившей название дзета-функции Римана. Систематическое изучение этой функции было начато в трудах немецкого математика Римана во второй половине XIX века .

Определение 91.

Дзета-функцией Римана (s) называется функция, определенная при s = a-\-it, где а 1, как сумма абсолютно сходящегося ряда:

–  –  –

И А. А. Бухштаб так как в двойной сумме каждое число т^=п1п2 получается столько раз, сколькими способами т представймо в" виде произведения двух положительных делителей, т. е. т ( т ) раз .

Теорема 318. При действительном s-1

–  –  –

Обозначим пхп = т, тогда /п будет принимать все значения от 1 до оо.

Д л я каждого такого т п будет принимать значения, равные всем делителям т, так что полученное равенство мы можем записать в виде:

–  –  –

так как согласно теореме 316 2 ^ ( n ) равна нулю для всех т, кроме т = 1, при котором получаем слагаемое, равное 1. При s l, ( s ) 0, так что, деля обе части равенства (15) на (s), получаем (14) .

При s = 2 получаем, в частности:

–  –  –

П р и м е ч а н и е. Формула (14), так же как и результат предыдущего примера, верна и при комплексных значениях s = a-f-i, если а 1 .

Исторические комментарии к 33-й главе

1. Евклид в IX книге „Начал" показывает, что все числа, удовлетворяющие условиям теоремы 315, являются совершенными (достаточность условий). Эйлер доказал-, что, кроме чисел, удовлетворяющих условиям теоремы, нет других четных совершенных чисел (необходимость условий) .

Нечетные совершенные числа, если они существуют, должны иметь сравнительно много различных простых делителей и быть весьма большими по величине, а именно иметь не менее 15 десятичных знаков .

2. Совершенные числа являются промежуточными между так называемыми недостаточными и избыточными числами. Число п называется недостаточным или избыточным, смотря по тому, будет ли а (п) меньше или больше чем 2п. Нечетные числа бывают как недостаточными, так и избыточными; самое маленькое среди нечетных избыточных чисел — это число 945 .

Известно, что функция А (х), выражающая число избыточных чисел, меньших или равных х, удовлетворяет неравенствам:

0,241х. А ( * ) 0,314.x, так что большинство чисел является недостаточным. В 1933 г. было доказано существование предела А (х) отношения ——, но величина этого предела пока не определена .

3. Еще Эйлер дал 60 пар „дружественных" чисел. Среди этих пар 34 такие, в которых оба числа четные, и 26 пар, в которых оба числа нечетные. В настоящее время известно уже несколько сот пар дружественных чисел, однако среди них нет ни одной, в которой одно число было бы четным, а другое нечетным, и неизвестно, существуют ли иообще такие пары .

4. Немецкий математик и астроном Мёбиус (1790—1868) известен прежде всего как геометр. Он первый систематически рассмотрел свойства функции ц.(п), получившей его имя. Функция ii(n) встречается впервые в его работе 1832 г.; фактически в неявном виде эта функция рассматривалась еще до этого Эйлером .

5. Известен целый ряд теорем, аналогичных теореме 317, дающих обращение сумм различного вида (см., например, формулы (9) и (11) 34-й главы). Основную роль в формулах обращения играют свойства функции Мёбиуса, сформулированные в теореме 316. Сумма левой части тождества (8) играет роль разрывного множителя, позволяющего в некотором множестве значений п выделять те, которые равны 1 .

Сумму V / (d) иногда называют числовым интегралом от d/n функции / (л) .

6. Бернгард Риман (1826—1866) — один из крупнейших немецких математиков XIX века, оставивший фундаментальные работы в различных областях математики и ее приложений .

Особенно большое значение имеют его работы по теории функций комплексного переменного и по теории рядов. Мемуар Римана „О числе простых чисел, не превосходящих данной величины" является основой всего дальнейшего развития современной теории простых чисел. В этом мемуаре Риман рассматривает дзету-функцию (s) = ^ -^ сначала для комплексных знаЯ=1 И* 323 чений s = a + it, таких, что а 1, а затем аналитически продолжает ее на всю комплексную плоскость. Он устанавливает основные СЕОЙСТВЭ этой функции, в том числе функциональное уравнение, дающее непосредственную связь между (s) и (1—s) .

Функциональное уравнение для (s) показывает своего 'рода симметрию этой функции относительно прямой а=-к. Риман установил связь между поведением (s) в так называемой критической полосе O s ^ o s ^ l и распределением простых чисел .

Риман высказал гипотезу, что в этой полосе все нули (s) лежат на прямой а~-~. Есть все основания предполагать, что эта гипотеза Римана верна, однако доказать ее не удалось. Доказательство гипотезы Римана дало бы возможность решить ряд важных проблем, возникающих при изучении простых чисел .

ГЛАВА 34

СРЕДНИЕ ЗНАЧЕНИЯ ЧИСЛОВЫХ ФУНКЦИЙ

1. СРЕДНЕЕ ЗНАЧЕНИЕ ЧИСЛА ДЕЛИТЕЛЕЙ .

СРЕДНЕЕ ЗНАЧЕНИЕ СУММЫ ДЕЛИТЕЛЕЙ

Для многих числовых функций, рассматриваемых в теории чисел, характерно, что при увеличении аргумента значения функции меняются крайне нерегулярно. Например, функция т(п) для составных п, состоящих из достаточно большого числа простых множителей, может принимать сколь угодно большие значения и вместе с тем для всех простых значений п имеем г(п) = 2 .

Если вместо таких функций рассматривать их средние значения на сегменте [1; N], то обычно оказывается, что эти средние меняются довольно гладко и могут быть с достаточно большой точностью аппроксимированы сравнительно простыми выражениями .

Определение 92. Средним значением числовой функции f(x) на сегменте [1; N] (N целое) называется величина N Начнем с рассмотрения порядка роста средних значений некоторых числовых функций, введенных в предыдущей главе .

Теорема 319.

Среднее значение функции т(л), выражающей число положительных делителей п., на сегменте [1; N] равно:

где С—эйлерова постоянная .

Д о к а з а т е л ь с т в о. т(я) равно числу точек с целыми положительными координатами на гиперболе ху — п, т. е. числу решений уравнения ху — п в целых положительных числах х, у .

Действительно, для каждого делителя d числа п пара (id, -^ И представляет собой решение этого уравнения и, наоборот, каждое решение уравнения ху — п в положительных целых числах х и у определяет в качестве значения х некоторый вполне определенный делитель d. Поскольку кривые ху = п при разных п не имеют общих точек, то, придавая п значения 1,2,..., N, получим, что сумма т(1) + т ( 2 ) +... + т ( Л 0 равна общему числу точек с целыми положительными координатами в области xy^N, х 0, у0.

Число таких точек в теореме 55 было обозначено через S(N), и согласно тому, что там было доказано, получаем:

N

–  –  –

Можно сказать, что при больших N на долю каждого из первых N натуральных чисел в среднем приходится примерно In N делителей .

Теорема 320. Среднее значение функции а (п), выражающей сумму делителей п, на сегменте [1; N] равно ?N + 0(lnN) .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как вместе с d величина S = -j также пробегает все положительные делители числа п., то

–  –  –

Л=1 Для первых N натуральных чисел средняя величина делителей примерно равна ~ А^ .

2. СРЕДНЕЕ ЗНАЧЕНИЕ ФУНКЦИИ ЭЙЛЕРА

Теорема 321. Среднее значение функции Эйлера ф(п) на сегменте [1; N] равно -j Д о к а з а т е л ь с т в о. Пользуясь формулой (11) 33-й главы, получаем:

–  –  –

Полученный результат можно выразить также в виде следующей теоремы .

Теорема 321'. В полусегменте (0; 1] отношение числа несократимых дробей (фареевых дробей) со знаменателями, меньшими или равными N, к общему числу всех лежащих там дробей с такими же знаменателями стремится к пределу, равному 1 = 0,6079.. .

Действительно, для данного b число несократимых дробей

-2- в полусегменте (0; 1] равно числу положительных а, меньших или равных b и взаимно простых с Ь, т. е. равно ф (Ь) .

Придавая Ъ значения 1, 2,...

, N, получим, что общее число A (N) несократимых дробей в этом полусегменте со знаменателями =S N выражается согласно (8) в виде:

–  –  –

6=1

Деля A (N) на В (N) и переходя к пределу, находим:

Этот результат показывает, что несократимые дроби составляют примерно 60°/0 от числа всех дробей, т. е. их приблизительно в полтора раза больше чем сократимых .

3. ЧИСЛА, СВОБОДНЫЕ ОТ КВАДРАТОВ

Определение 93. Число называется свободным от квадратов, если оно не делится ни на один квадрат простого числа, т. е .

если его каноническое разложение имеет вид: п = рхр^...ps, где ps—различные простые числа .

pv рг Обозначим через Q{x) число свободных от квадратов чисел, меньших или равных х .

Теорема 322 .

–  –  –

2».2 2*-1 2'-5 2»-3

- - —

- 3'-2.... - -.. .

— где в -й строке выписаны произведения k на числа, свободные от квадратов. Согласно сделанному выше замечанию каждое натуральное число встречается в этой таблице один и только один раз, так что всего в таблице (под чертой) имеется [х] чисел, не превосходящих х .

В первой строке имеется Q f-^J чисел, не превосходящих х, 22] чисел, не превосходящих х, и т. д. Действительно, при любом k в k-и строке чисел, не превосходящих х, столько, сколько существует чисел s, свободных от квадратов, таких, что kH^x, s*^~, т. е. Q (^j чисел .

Таким образом, должно выполняться равенство

–  –  –

где Ql-ri) отлично от нуля только при k^yx, т. е. соотнося / шение (9) доказано .

Теперь перейдем к доказательству самой теоремы .

Q (х) можем записать в виде:

так как согласно теореме 316 среди всех членов в правой части равенства (10) сохраняется только слагаемое с п = 1 .

В членах правой части равенства 10 значения k делители п, т. е. k^n^]/~x, так что k принимает значения в пределах от 1 до Ух .

Для каждого такого k имеем n ~ 0 ( m o d ), n^Vx, поэтому, меняя порядок суммирования в правой части равенства (10) и, полагая n = ks, получаем:

–  –  –

Формула (12) показывает, что отношение числа чисел, свободных от квадратов, к числу всех натуральных чисел в отрезках натурального ряда по мере увеличения длины отрезка стремится к пределу, равному — = 0,6079..., т. е. чисел, свободных от квадратов, больше, чем чисел, делящихся на квадраты каких-либо простых чисел .

–  –  –

2. В то время как среднее значение функции х(п) на сегменте [1; N] увеличивается, мало отличаясь от \nN, сама эта функция меняется чрезвычайно нерегулярно. Для всех простых значений п эта функция равна 2, и вместе с тем было доказано (Вигерт, 1907 г.), что для любого е 0 существует бесконечное 1 с) (1 с) множество п, таких, что т ( л ) 2 in inn Вигерт доказал также, что при любом е ; 0 для всех п, начиная с некоторого, ln In имеет место неравенство т (п) ; 2 " .

3. Величина т(га) равна числу решений уравнения x1xi = n целых положительных числах xlt хг. Рассматривается более общая функция xk(n), равная числу решений уравнения хгхг..,xk = n в целых положительных числах, т. е. равная числу представлений п в виде произведения k натуральных множителей. Функция т (п) является частным случаем функций т А (л), а именно т(л) = т 2 (л). Э. Ландау в 1912 г. доказал, что (13)

–  –  –

5. Теорема 321 была доказана впервые Мертенсом в 1874 г .

В настоящее время на основе работ Н. М. Коробова получена следующая оценка:

6. Теорема 323 была опубликована впервые в 1885 г. Гегенбауэром. В настоящее время применение теории функций комплексного переменного дало возможность получить более точную оценку остаточного члена .

ГЛАВА 35

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ

В НАТУРАЛЬНОМ РЯДУ

1. НЕРАВЕНСТВА ЧЕБЫШЕВА ДЛЯ ФУНКЦИИ, ВЫРАЖАЮЩЕЙ

ЧИСЛО ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ В ЗАДАННЫХ ПРЕДЕЛАХ

Существование бесконечного множества простых чисел доказывается (теорема 21) совсем просто; однако вопрос о том, как часто среди натуральных чисел встречаются простые и как простые числа распределены среди натуральных, оказывается весьма сложным. Представим себе, что будем последовательно перебирать все натуральные числа в порядке их возрастания. Будут ли при этом простые числа встречаться сравнительно равномерно, будет ли число встречающихся простых чисел подчиняться каким-либо законам или окажется, что они беспорядочно разбросаны среди натуральных чисел?

Число простых чисел, меньших или равных х, мы обозначим через я (х), так что я{х)= 2 1 .

Для каждого данного х можно, пользуясь, например, теоремой 23', выписать все простые числа р^х и определить их число, т. е. вычислить п(х); однако мы не получаем при этом представление о том, как меняется функция п(х) с увеличением х, т. е. представление о том, как быстро увеличивается число простых чисел, если брать все большие отрезки натурального ряда .

Теорема Евклида о бесконечности множества простых чисел (теорема 21) может быть записана в виде я(*)-^оо при х—-оо .

Однако эта теорема ничего не говорит о том, как быстро при увеличении х растет величина я (х). В этой главе мы ставим себе в первую очередь задачу—дать оценки порядка роста функции я ( * ) .

В 1808 г. Лежандр опубликовал найденную им эмпирически формулу я М ~ 1п х-1,08366 • дающую приближенные значения функции я(*) при больших значениях х. На самом деле, как было доказано позже, более близкое к истинным значениям я (х) дает выражение г——у, а еще более близкие значения к я (х) при больших значениях х дает функция 1- о Гаусс еще в юношеские годы вычислял среднюю плотность простых чисел в пределах имевшихся тогда таблиц, и эти вычисления показывали, что именно выражение (1) является функцией, хорошо аппроксимирующей я (х); однако ^свои соображения он опубликовал много позже .

В 1848 и 1850 гг. появились две замечательные работы П. Л. Чебышева, в которых исследовался вопрос о порядке роста функции я (х). В работе 1850 г.

Чебышев доказал, что я (х) при больших х заключена между двумя величинами:

ат^- и br^-, где а и Ъ — положительные постоянные. Чебышев In х in* показал, что в качестве а и b можно взять значения а = 0,921, 6=1,106, так что а и Ъ сравнительно близки к 1. В дальнейших работах были получены и другие значения а и Ь, более близкие к 1 .

Мы докажем теорему Чебышева, ограничиваясь, однако, только доказательством существования постоянных а и b ( 0 а 1, 6 1 ), не стремясь получить для них возможно близкие к 1 значения, так как это было бы сопряжено с техническими усложнениями доказательства .

Теорема 324 (Чебышев). Существуют две постоянные a u b, такие, что 0 а 1, b 1 и для всех х^2 выполняются неравенства ^. (2)

–  –  –

так как при рх все слагаемые во всяком случае обращаются в нуль .

Скобки вида (\—А—2 Г—j 1 ) при ркх равны нулю, так что коэффициент при 1пр в правой части может быть записан в виде s где p *zx, т. е. slnpagln*, sj^ .

Согласно теореме 51 в правой части тождества (8) каждая скобка не больше 1, а число таких скобок, как мы только что показали, не больше чем^—, так что а ^ 1 - т —, и из тождества (8) получаем:

–  –  –

Прибавляя к левой и правой частям неравенства (11) 3r(jt)ln2, т. е.

величину, меньшую чем *1п2, и пользуясь оценкой (7), получаем:

( | ) ln-J п(х)\пх-п так что существует постоянная с, такая, что при всех

–  –  –

т. е., положив 2с = Ь, получаем:

Для того чтобы получить значения а и Ъ, более близкие к 1, П. Л. Чебышев вместо Т (х)—27Чу) брал выражение Рассматривая (13), он получил сначала оценки для функции

–  –  –

так что поскольку при увеличении х величина. -0, то и +0 .

х Среди первых ста натуральных чисел содержатся 25 простых, т. е. простые числа составляют здесь 25% натуральных. Среди первой тысячи натуральных чисел имеются 169 простых (16,9%) .

Таблицы простых чисел показывают, что при увеличении промежутка рассматриваемых натуральных чисел доля простых чисел уменьшается. Это само по себе не исключало, однако, того, что простые числа и при больших х могли все же составлять хотя бы не менее 0,000 001% от числа натуральных чисел. Теорема Чебышева показывает, что на самом деле это не так и отношение ^-^-' при увеличении х становится меньше любого наперед заданного числа .

Теорема Чебышева позволяет сравнивать число простых чисел в заданных пределах и число чисел какой-либо другой подпоследовательности натуральных чисел.

Возьмем последовательность простых чисел и, например, последовательность всех квадратов натуральных чисел:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,.. .

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49,.. .

Среди первых ста натуральных чисел имеются 25 простых и 10 квадратов, так что простых чисел вначале больше, чем квадратов.

Что получится в этом отношении, если брать достаточно большие отрезки натурального ряда? Каких чисел будет больше:

простых или квадратов?

Обозначим через К(х) число квадратов натуральных чисел в пределах от 1 до х, т. е. чисел kz, таких, что 1 ^k2^x .

Число таких чисел равно числу натуральных k, таких, что К Л 1 Л х, т. е. K(x) = [V~x]. .

Пользуясь неравенством Чебышева (оценка (2) снизу), получаем:

<

–  –  –

где с х = у, dl = —. Постоянные сг и dt можно заменив постояйными cud, так что оценка (14) величины рт будет уже верна при всех рг, начиная с 3 .

Для того чтобы охарактеризовать густоту некоторой подпоследовательности натуральных чисел аъ а2, а3,..., ап,..., часто начинают с того, что рассматривают вопрос о сходимости или расходимости ряда обратных величин:

–  –  –

расходится. Если в ряде (19) выбросить достаточно большое число членов, то вместо этого ряда может получиться сходящийся ряд. Например, если в (19) оставить только члены вида

- j, то получающийся при этом ряд как известно, будет сходящимся .

Рассмотрим ряд величин, обратных простым числам, т. е. ряд (20 I+4+T+•••• + + • • • • и докажем, что он расходится. Это покажет, что, хотя простые числа в натуральном ряду встречаются все реже, их все же настолько много, что сумма обратных величин может дать сумму, превосходящую любую наперед заданную величину .

Расходимость ряда (20) была доказана впервые Эйлером в 1737 г. Доказательство Эйлера было основано на рассмотрении бесконечного произведения П ( 1 j) при s—И и представляет собой первый пример применения методов математического анализа к теории простых чисел. Мы дадим здесь доказательство, основанное на применении неравенств Чебышева .

Теорема 326. Ряд величин, обратных простым числам, расходится .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим ряд 2F2 + 3TF3 + 4TS1+ •* ' + П п 7 + - • »

\ - j — = lnlnfe — Inln2 при увеличении Ь стремится к бескоц] X 1И X I С dx нечности, т. е. \ —:— расходится. Согласно известному интегральному признаку сходимости рядов ряд (21) также расходится .

Сравним теперь ряд (21) с рядом В теореме 325 было доказано, что ргdr Inr, ( r ^ 2 ), откуда следует, что pr"^ d rlnr' т. е. члены ряда (22) больше соответствующих членов расходящегося ряда (21), умноженных на постоянную -г. Согласно теореме о сравнении рядов с положительными слагаемыми ряд (22) расходится .

В 1845 г. французский математик Бертран высказал предположение, что при любом х 1 между х и 2х всегда найдется хотя бы одно простое число. Это предположение получило название постулата Бертрана. В 1852 г. Чебышев доказал справедливость этого постулата и получил более сильный результат, а именно доказал, что при достаточно больших х и б-=всегда существует простое число р, лежащее между х и 8* .

Мы дадим результат Чебышева в несколько ослабленной форме .

Теорема 327. Существует постоянная б, такая, что между х(х^1) и Ьх всегда имеется по крайней мере одно простое число .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Согласно неравенствам (2) имеем:

Если взять б —, то при достаточно большом х^х0 выражение (23) будет положительным, т. е. между х и 8* лежит по крайней мере одно простое число. Несколько увеличив б, можно сделать так, что л(8х) — л(х) будет положительным и для 1 ; х ; х0 .

2. ОБЗОР ДАЛЬНЕЙШИХ РЕЗУЛЬТАТОВ

–  –  –

\\пх) Чебышев в 1848 г. доказал, что если предел отношения я ( * ) : j ^ существует, то он может быть равен только 1 (см. теорему 331). Основная трудность заключается в том, чтобы установить существование этого предела, и Чебышеву не удалось этого сделать. Существование этого предела и тем самым доказательство формулы (24), получившей название асимптотического закона распределения простых чисел, было получено в 1896 г .

независимо друг от друга Адамаром и Валле-Пуссеном. Тот факт, что для теоремы, которую в течение многих лет безуспешно пытались доказать крупнейшие математики, было получено сразу два доказательства, не является случайностью. Доказательства Адамара и Валле-Пуссена основаны на применении теории функций комплексного переменного, а именно на рассмотрении дзета-функции Римана (S)(CM. 33-ю главу) при комплексных значениях s. Идея такого подхода к проблеме распределения простых чисел была дана Б. Риманом в 1859 г. (см .

исторические комментарии к 33-й главе) .

Применение функции (s) для получения асимптотической формулы (24) основано на том, что при s = a + it(al) эта функция может быть представлена в виде (25) где произведение распространено по всем простым значениям р .

Соотношение (25) при действительных s • 1 было известно еще Эйлеру (1748), и его обычно называют тождеством Эйлера Ко времени появления в 1896 г. работ Адамара и Валле-Пуссена развитие самой теории функций комплексного переменного достигло такой стадии, что сделало возможным, использовав идеи Римана, доказать асимптотический закон распределения простых чисел .

Работы Римана, Адамара и Валле-Пуссена показали, что X г— дает более точное приближение к я ( * ), чем —-. Мы приведем здесь только формулировку основной теоремы Адамара и Валле-Пуссена .

Теорема 328,. " • • - • * "

–  –  –

здесь является оценка модуля разности между л(х) и \\—-, .

Существенные результаты в этом направлении были получены Н. Г. Чудаковым. При этом были использованы оценки соответствующих тригонометрических сумм, полученные методом И. М. Виноградова. Последние работы И. М. Виноградова и

Н. М. Коробова дали следующую оценку:

(27)

–  –  –

большие чем л(х), однако в 1914 г. английский математик Литлвуд доказал, что функция \ j — - принимает бесконечное множество раз значения, и меньшие и большие чем л(х) .

В теории чисел доказательства, основанные на применении теории функций комплексного переменного, принято условно называть „неэлементарными". Таким образом, доказательство называется „элементарным" не в смысле его простоты, а в том смысле, что оно осуществляется, оставаясь в рамках действительного переменного. Доказательства теорем Чебышева в этом смысле являются „элементарными" .

Многие математики до недавнего времени сомневались в возможности построения „элементарного" доказательства асимптотического закона распределения простых чисел; однако это мнение оказалось ошибочным. В 1949 г. норвежский математик А. Сельберг и венгерский математик П. Эрдёш опубликовали „элементарное" доказательство этого асимптотического закона .

Асимптотический закон распределения простых чисел позволяет получить результат значительно более сильный, чем доказанный Чебышевым постулат Бертрана .

Из формулы (24) легко получить простое следствие, что при произвольном сколь угодно малом е 0 для любого хх0, т. е .

для любого достаточно большого х, существует по крайней мере одно простое число, лежащее между х и (\ + г)х .

В настоящее время в этом отношении известен значительно более сильный результат, а именно доказано, что существует # 1, такое, что при достаточно больших значениях х между ь х и х-\-х всегда лежит по крайней мере одно простое число .

Определением такого возможно меньшего значения О занимались многие математики. Например, в 1936—1937 гг. в результате работ Н. Г. Чудакова и Ингама для Ф было получено значение 77 + 8 а затем даже FT+ s. Есть предположение, что, на самом деле, при всех достаточно больших х существует по крайней мере одно простое число, лежащее между х и х-\-У~х~\ однако доказать это пока не удалось .

3. ОЦЕНКИ НЕКОТОРЫХ СУММ С ПРОСТЫМИ ЧИСЛАМИ

Формула (3) не дает возможности получить непосредственное доказательство асимптотического закона; вместе с тем из этой формулы можно получить асимптотические оценки некоторых сумм, зависящих от распределения простых чисел. Мы остановимся на оценках сумм '

–  –  –

(33) Из (33), (31) и (32) получаем теперь т. е. существует постоянная с, такая, что

–  –  –

Мы воспользовались здесь тем, что функция я (/) постоянна в интервале (k; k-\-\).

Поскольку я ( / ) ^ : — - при всех t, таких, что Ns^ts^ N2, теперь получаем:

–  –  –

— In In 2 + \ T I ^ 7 —некоторая постоянная величина, и из (39) и (40) находим окончательно Вычисление постоянной В показало, что В = 0,26149... .

Оценка (38) показывает, что, хотя ряд величин, обратных простым числам, расходится, сумма этого ряда образует медленно растущую величину. Например, при х= 100000000 (сто миллионов!) величина l n l n x меньше чем 3, а если увеличить х еще в десять раз, то в V —добавится более 45 000 000 слагаемых, которые, однако, увеличат эту сумму меньше, чем на 0,2 .

Рассмотрим функцию v(n), выражающую число различных простых делителей п. Согласно определению если п = р*1... pV — каноническое разложение л, то v(n) = s. Например, v(600) = = v(2 3 -3-5 2 ) = 3, v(n!) = n ( n ) .

Мы поставим задачу определения среднего значения этой функции .

Теорема 333. Среднее значение функции v (л) на сегменте [1, N] равно где В—постоянная теоремы 332 .

Таким образом, в среднем на каждое из первых N натуральных чисел приходится совсем немного, а именно примерно \n\nN различных простых делителей .

Доказательство .

–  –  –

Д о к а з а т е л ь с т в о. Ф(х, Vх) выражает число чисел не делящихся на простые числа ^ ] / J C, т. е. согласно теореме 23' отличается от числа простых чисел, лежащих между Ух и х (включая х, если х — простое число), только одним числом 1 .

Таким образом, пользуясь еще предыдущей теоремой, получаем:

–  –  –

такое п вычеркивается столько раз, что, несмотря на все добавления, оно не сохранится. Числа п^х, не делящиеся ни на одно из чисел рг, р 2,.... рг, совсем не вычеркиваются и сохраняются. Таким образом, после всех вычеркиваний и добавлений останутся те и только те числа, которые не делятся на рл, р 2,..., рг, т. е. останется 1 и простые числа р, такие, что \^хСр s^x. Число этих оставшихся чисел равно \+л(х) — — я (У~х). Мы получаем, таким образом, другое доказательство тождества (43), наглядно показывающее связь формулы (43) с решетом Эратосфена .

П р и м е р. При х = 45 простыми числами, меньшими или равными ]/Ч5 = 6,7,..., являются 2, 3 и 5 .

я (45) _ „ (6,7, - 1 + [45,- ff ] - [Щ - [«] + [•] + [•] + +[S]-[]-"• Применение формулы (43) приводит к длинным вычислениям, так как сумма в правой части содержит большое число слагаемых. Мейссель в 1870 г. дал формулу, в которой п(х) выражается не через Ф\х, х*), как в (43), а через Ф V*, х*). Эта формула гораздо удобнее, чем формула (43) для вычисления значений я (х) .

Теорема 336 (Мейссель) .

–  –  –

сел равно n(x) — n(xa) = n(x) — s .

3) Составные числа, входящие в М, не могут иметь больше двух простых делителей, т. е. они имеют вид ргр}, (p,-=sP/), где, поскольку ptpj,x, для наименьшего из этих двух простых множителей р; имеем:

i i

–  –  –

Исторические комментарии к 35-й главе

1. Еще в 1798 г. Лежандр в первом издании своей книги „Essai sur la theorie des nombres" опубликовал приближенную формулу для л(х) в виде А 1 п х, в • Во втором издании этой книги он уточнил свою формулу, взяв в качестве А число 1 .

2. Гаусс свои соображения о величине функции л(х) при больших значениях х сообщил только в 1849 г., а опубликованы они были в 1863 г., уже после работы Римана .

3. Пафнутий Львович Чебышев родился в 1821 г. С 1837 по 1841 г. учился в Московском университете. В 1846 г. защитил магистерскую диссертацию по теории вероятностей. С 1847 г .

и до конца своей жизни (1894 г.) работал в Петербургском университете. Почти с самого начала своей жизни в Петербурге стал работать также и в Академии наук, куда был избран в 1853 г. адъюнктом, а в 1859 г. академиком. Помимо своих замечательных работ по теории чисел, Чебышев известен своими фундаментальными работами по математическому анализу, теории вероятностей и прикладной математике .

В 1849 г. П. Л. Чебышев написал книгу „Теория сравнений" .

Эта книга представляет собой оригинальный и весьма глубокий для того времени курс основ теории чисел. В качестве одного из дополнений к этому курсу П. Л. Чебышев дает свой мемуар „Об определении числа простых чисел, не превосходящих данной величины". В этом мемуаре, опубликованном также отдельно, в частности, доказывается теорема о том, что предел отношения л (л:) к г^— не может быть отличен от 1 .

Работа П. Л. Чебышева „О простых числах", в которой даны неравенства вида (2) для функции л(х) и доказательство постулата Бертрана, опубликована Петербургской Академией наук в 1850 г .

4. Постулат, получивший название постулата Бертрана, был сформулирован Бертраном в следующей форме: „При л ^ З существует простое число р, такое, что л р 2 п — 2. Бертран проверил справедливость этого постулата при всех л «g 3000 000 и применил его при доказательстве одной теоремы теории групп .

Чебышев дает более сильный результат, а именно, он доказал, что число простых чисел в таком интервале неограниченно увеличивается при увеличении величины п .

12 Д. А. Бухштаб 353

5. Результат П. Л. Чебышева о том, что предел отношения я (х) к ^ не может (если он существует) отличаться от 1, получается у него как следствие из следующей теоремы: „При произвольном сколь угодно большом k и любом сколь угодно малом а О существует бесконечное множество х, таких, что

–  –  –

Оценка разности между я (х) и \.—т зависит от того, насколько далеки от прямой сг=1 нули g(s) .

6. Доказательство асимптотического закона распределения простых чисел, данное А. Сельбергом и П. Эрдёшом, основано на использовании тождества У1п р4- 2 \np\nq = 2x\wc + 0(x), (47) где р и q пробегают простые значения. Тождество (47) получило название тождества Сельберга. Со времени выхода работы Сельберга и Эрдёша появилось несколько различных вариантов элементарного доказательства асимптотического закона распределения простых чисел .

7. В 1940г. П. Эрдёш доказал, что lim p *^"~ p * c 1, т. е. разность между соседними простыми числами p * + i — p f t для бесконечного множества значений k меньше, чем c l n p k, где с 1 .

С другой стороны, было доказано (Эрдёш, Ранкин), что существует некоторая постоянная Ь, такая, что для бесконечного множества простых чисел pk будет выполняться неравенство, In In в качестве b можно взять b = ec—e, где С—постоянная Эйлера (см. стр. 53), е 0—произвольно малая величина .

8. Теорема 332, так же как и теорема 330, была доказана в 1847 г. Мертенсом. Применение методов теории функций комплексного переменного позволило значительно уточнить оценку (38). Мертенс доказал также, что п(-})~ .

где С—постоянная Эйлера .

9. Теорема 333 известна из работы Гарди и Рамануджана (1917) .

Если вместо функции v(n) взять функцию й ( я ), равную числу простых делителей п, считая каждый из них столько раз, сколько раз он встречается в каноническом разложении л (например,

Q(1200) = Q(2 4 -3-5 2 ) = 7), то также имеем:

–  –  –

ГЛАВА 36 ••••••' .

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ В АРИФМЕТИЧЕСКИХ

ПРОГРЕССИЯХ. АДДИТИВНЫЕ ЗАДАЧИ

1. ПРОСТЫЕ ЧИСЛА В АРИФМЕТИЧЕСКОЙ ПРОГРЕССИИ

Для большинства результатов, о которых будет идти речь в настоящей главе, доказательства весьма сложны, и мы не будем их приводить. Основная задача этой главы—дать очерк современного состояния теории простых чисел с тем, чтобы читатели, заинтересовавшиеся рассматриваемой проблематикой, обратились к специальной литературе .

В предыдущей главе мы рассмотрели вопросы, связанные с распределением простых чисел в натуральном ряду. Как следующую ступень изучения простых чисел естественно поставить 12* 355 задачу изучения их распределения в различных подпоследовательностях натурального ряда. Наиболее простыми бесконечными подпоследовательностями натурального ряда являются арифметические прогрессии .

Если взять, например, прогрессию с разностью 10:

7, 17, 27, 37, 47, 57, 67, 77, 87, 97 (1) то в начале среди ее членов встречается сравнительно много простых чисел (подчеркнутые члены); будут ли простые числа, содержащиеся в этой прогрессии, образовывать бесконечное множество или начиная с некоторого места простые числа больше уже встречаться не будут?

Оказывается, и это было впервые доказано в 1837 г. Дирихле, что не только в прогрессии (1), но и вообще в любой прогрессии, у которой начальный член взаимно прост с разностью, содержится бесконечное множество простых чисел .

Теорема 337 (Дирихле). Если (k, /) = 1, то прогрессия (2) I, l + k, l + 2k, l + 3k,.. .

содержит бесконечное множество простых чисел .

Условие (k,l) = l существенно, так как если (k, l)=d\, то все члены последовательности (2) делятся на d и прогрессия тогда содержит самое большее одно простое число. Мы приводим эту теорему без доказательства. Доказательство, данное Дирихле, основано на рассмотрении особых теоретико-числовых функций Х(л), называемых характерами (характеры по модулю k), и так называемых L рядов Дирихле при комплексных значениях аргумента s .

Характером по модулю k называется числовая функция X (л), такая, что: 1) Х(1) = 1, 2) Х(а) = 0, если (a,k)^l, 3) X(ab) = = X(a)X(fc) для любых а и Ь, 4) Х(а) = Хф), если a==b(molk) .

Можно легко доказать, что все отличные от нуля значения такой функции представляют собой корни степени ф (k) из единицы .

Доказательство использует то, что характеры имеют одно и то же значение для всех чисел, сравнимых по модулю k, т. е .

для всех чисел, принадлежащих одной и той же прогрессии с разностью k .

В 1949 г. А. Сельбергом было опубликовано элементарное доказательство этой теоремы. Для отдельных частных случаев теорема Дирихле может быть получена совершенно элементарно, и мы рассмотрим несколько примеров таких доказательств .

Теорема 338. Множество простых чисел вида 4* + 3 бесконечно .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим, что существует только конечное множество простых чисел вида 4f + 3; тогда можно взять число N, равное произведению всех таких простых чисел .

Из * = l ( m o d 4 ) и i / = l ( n i o d 4 ) следует ху= 1 (mod4), поэтому произведение простых чисел вида At-\-l не может равняться AN— 1 (AN—1 ф 1 (mod 4)). Таким образом, число AN—1 должно иметь по крайней мере один простой делитель р вида At + З, т. е. должно существовать простое число р, такое, что p\N и р\ (AN—1), откуда получаем р\\, в то время как pS»3 .

Предположение, что существует только конечное число простых чисел вида At-\-Z, привело нас к противоречию; значит, множество таких простых чисел бесконечно .

Совершенно аналогично доказывается бесконечность множества простых чисел вида 6^4-5. Из предположения, что существует только конечное множество таких чисел, следует существование хотя бы одного простого числа р, такого, что p\N и p|(6JV—1), где N—произведение всех простых чисел вида 6f + 5, и тогда р|1, что не может иметь места .

Несколько сложнее доказывается следующая теорема .

Теорема 339. Множество простых чисел вида М + 1 бесконечно .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим, что существует только конечное число простых чисел вида 4/ + 1; тогда можно взять N равным произведению всех этих чисел. Возьмем любой простой делитель р числа 4 W 2 + 1. Из того, что p\AN2 + l следует (2N)2 ==—l(modp), т. е. ( = ^ = 1, p = At + l (теорема 207) .

Поскольку N— произведение всех простых чисел вида At+l, то р является одним из делителей N, p\N и р|4Л^ 2 +1, откуда получаем р\1, в то время как р 1. Предположение, что существует только конечное число простых чисел вида At + l, привело нас к противоречию, т. е. множество таких простых чисел бесконечно .

Теорема 340. Множество простых чисел вида 6/ + 1 бесконечно .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим, что существует только конечное число простых чисел вида 6/ + 1; тогда можно взять число N, равное произведению всех этих чисел. Любое нечетное простое число р можно записать в виде \2t-\-r, где г=\, 5, 7 или 11.

Вычислим символ Лежандра (— 1:

–  –  –

Таким образом, ( — ) —1 только если p ^ l (mod6) .

Возьмем любой простой делитель р числа 4iV2-f 3, число р нечетно и т. е., как мы только что доказали, р имеет вид 6f + l и, следовательно, p\N .

Из p\N и p|4iV* + 3 следует р|3, р = 3, что противоречит тому, что p = 6 t f + l. Полученное противоречие доказывает бесконечность множества простых чисел вида 6^ + 1 .

Обозначим через я, (k, х) число простых чисел в прогрессии (2), меньших или равных х. Теорема Дирихле заключается в том, что при (k,l) — \ и х—+ оо величина я,(k, *)—+оо. Для функции я,(6, х), так же как для функции л(х), ставится проблема определения порядка роста при увеличении аргумента х .

Методы, с помощью которых был определен порядок роста я (я), были перенесены на случай произвольной арифметической прогрессии, у которой начальный член и разность—взаимно простые числа, и была доказана следующая теорема .

Теорема 341.

При любых постоянных, взаимно простых k и I имеет место асимптотическое равенство:

X

–  –  –

Оценка (3) точнее, чем (4), в том смысле, что разность между левой и правой частями в (3) по модулю меньше, чем в (4) .

Значительно труднее изучение порядка роста функции лс (k, x), когда k растет вместе с х. Важные результаты в этом отношении были получены в последние годы К.А.Родосским, Татудзава и Э. К. Фогелсом .

Асимптотическое равенство (5) показывает, что в каждой из прогрессий kt + l, такой, что (k, 0 = 1, содержится в известном смысле одинаковое количество простых чисел. Действительно, число прогрессий с разностью k, где (k,l) = l, равно ф(А), и, как показывают равенство (5), на долю каждой из них приходится примерно -щ часть от общего числа простых чисел, лежащих в пределах от 1 до х. •., Показывая, что в каждой такой прогрессии содержится весьма значительное количество простых чисел, формулы (3) и (4) вместе с тем ничего не говорят о том, как далеко от начала прогрессии начнут встречаться простые числа. В этом отношении чрезвычайно интересный результат был получен в 1944 г .

Ю. В. Линником. Теорема Линника устанавливает границу для наименьшего простого числа любой заданной прогрессии .

Теорема 342 (Линник). Существует постоянное число с0, такое, что при любых взаимно простых k и / (1 ; / • ) наименьшее простое число, принадлежащее прогрессии... .

I, l + k, l + 2k, l + Sk, c не превосходит k ° .

Арифметические прогрессии представляют собой значения линейной функции f(t) = kt + l при /-==1, 2, 3... Если вместо линейной функции взять другую функцию f(t), то можно также ставить задачу: содержит ли последовательность • •• /(1), /(2), /(3),... (6) бесконечное множество простых чисел?

Например, если взять f(t) = t2 + 1, то может быть поставлена задача: содержит ли последовательность чисел вида * а + 1, т. е .

последовательность 2, 5, 10, 17, 26, 37, 50, 65, 82, 101,..., (7) бесконечное число простых чисел?

Вначале здесь попадается довольно много простых чисел;

среди первых 3000 членов этой последовательности имеется 300 простых чисел. Будут ли простые числа встречаться в этой последовательности и дальше, как бы далеко мы ни ушли от ее начала? Современная теория чисел пока не сумела решить этот вопрос, и, таким образом, неизвестно, содержит ли последовательность (7) бесконечное число простых чисел или начиная с некоторого места простые числа больше не будут в ней встречаться. - •• •,...,.;

Не, надо думать, что трудность этой проблемы связана с какой-то особенностью функции / ? + 1 ; проблема будет столь ; же трудной, если аналогичный вопрос поставить и для другого неприводимого над полем рациональных чисел многочлена 2-й степени at2 + bt + c, где (а, Ъ, с) = \. Еще труднее становится проблема, если перейти к многочленам более высокой степени .

До сих пор ни для одного многочлена с целыми коэффициентами -..-•••..-, степени л 1 не удалось установить существование бесконечного числа простых чисел в последовательности (6). Таким образом, современной теории чисел удается исследовать распределение простых чисел только в арифметических прогрессиях, да и то далеко не полностью .

2. ПРОБЛЕМЫ АДДИТИВНОЙ ТЕОРИИ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ

Значительные трудности встречаются и в так называемых аддитивных задачах с простыми числами, т. е. в задачах, в которых простые числа встречаются в качестве слагаемых. Наиболее известна из этих задач — знаменитая проблема Гольдбаха — Эйлера .

В 1742 г. Гольдбах в письме к Эйлеру поставил проблему доказать, что каждое нечетное число может быть представлено в виде суммы трех простых чисел (нечетные числа берутся, начиная с 7). Эйлер в ответном письме высказал гипотезу, что имеет место гораздо более сильное утверждение, а именно, что каждое четное число (начиная с 4) может быть представлено в виде суммы двух простых чисел. Эти проблемы получили название проблемы Гольдбаха—Эйлера .

Конечно, если бы удалось решить задачу, поставленную Эйлером, то отсюда справедливость теоремы Гольдбаха получалась бы как очевидное следствие. Действительно, любое нечетное число вида 2N -[-1.~s* 7 можно представить в виде 2N+1 = — 3 + 2(N—1), где 2(N —1)^4; так что из разложимости 2 (N—1) на сумму двух простых вытекает разложимость 2N+1 на сумму трех простых чисел. Вместе с тем решение проблемы Гольдбаха не дает возможности сделать вывод о справедливости утверждения Эйлера. Таким образом, проблема Эйлера труднее и, как потом выяснилось, значительно труднее, чем проблема Гольдбаха .

Эти две проблемы можио объединить общей формулировкой:

„доказать, что каждое натуральное число N1 может быть представлено в виде суммы не более чем трех простых чисел" .

В течение почти двухсот лет, прошедших после переписки Гольдбаха и Эйлера, а именно к началу XX века, эти проблемы казались совершенно недоступными, а вместе с тем численные вычисления показывали, что натуральные числа в пределах до нескольких миллионов обычно разлагаются на сумму двух или трех простых чисел даже несколькими способами .

Известный специалист по аналитической теории чисел Э. Ландау в 1912 г. поставил вопрос о том, чтобы доказать, что каждое натуральное число N ; 1 может быть представлено как сумма не белее ну хотя бы миллиона или какого-либо другого определенного числа простых чисел, однако и в таком виде задача в то время представлялась чрезвычайно трудной .

Первый результат в направлении решения проблемы Гольдбаха был сделан замечательным советским математиком Л. Г. Шнирельманом, который в 1930 г. доказал справедливость теоремы в той форме, которая была предложена Ландау. Теорема Шнирельмана может быть сформулирована в следующей форме .

Теорема 343 (Шнирельман). Существует постоянная k, такая, что каждое натуральное число, большее чем 1, может быть представлено в виде суммы не более k простых чисел, т. е. для любого натурального N(N1) где Pf—либо простые числа, либо нули .

Число k у Шнирельмана было довольно велико; однако в настоящее время методом Шнирельмана справедливость теоремы доказана при сравнительно небольших значениях k. Если брать натуральные числа N^N0, т. е. брать натуральные числа, начиная с некоторого, то метод Шнирельмана позволяет доказать справедливость теоремы при 6 = 1 8 .

Работа Л. Г. Шнирельмана, явившаяся в то время сенсацией в математике, интересна особенно тем, что разработанные им методы стали основой НОЕОГО направления теории чисел. Метод Шнирельмана находит применение не только в задаче Гольдбаха — Эйлера, но и в других аддитивных проблемах. Интересные результаты, связанные с применением метода Шнирельмана, получил Н. П. Романов, исследовавший множество чисел, представимых в виде суммы простого числа и числа вида а" при заданном целом а1 .

В 1934 г. совершенно исключительного успеха в решении аддитивных задач с простыми числами добился академик Иван Матвеевич Виноградов. Ему удалось полностью решить проблему Гольдбаха для всех чисел, начиная с некоторого. Доказанная им теорема может быть сформулирована следующим образом .

Теорема 344 (Виноградов). Существует постоянное число No, такое, что все нечетные числа, большие чем No, могут быть представлены в виде суммы трех простых чисел .

Таким образом, проблема Гольдбаха решена для всех чисел, за исключением, быть может, конечного их числа. Можно было бы организовать проверку теоремы Гольдбаха и для чисел не превосходящих No, однако это пока не сделано. Полученное для No значение настолько велико, что даже для современных быстродействующих электронных вычислительных машин потребовалось бы слишком большое количество времени .

Решение И. М. Виноградовым проблемы Гольдбаха явилось чрезвычайно важным событием в развитии аналитической теории чисел. При решении этой проблемы И. М. Виноградов применил созданный им весьма мощный метод, основанный на применении конечных тригонометрических сумм. Этот метод нашел себе применение при решении многих трудных задач теории чисел, в частности, многих аддитивных задач с простыми числами .

Метод Виноградова оказался все же недостаточным для.решения аддитивных задач с двумя простыми слагаемыми, и проблема Гольдбаха—Эйлера о представлении четных чисел в виде суммы двух простых чисел остается до сих пор нерешенной. Вместе с тем было доказано (Н. Г. Чудаков, Ван-Корпут, Т. Эстерман), что почти все четные числа разлагаются на сумму двух простых чисел; это значит, что отношение числа чисел отрезка [1; N], неразложимых на сумму простых чисел, к самой величине N стремится к нулю при увеличении N .

В аналитической теории чисел ставятся также задачи о представимости чисел в виде суммы одного простого числа и других чисел заданного вида .

Задачи такого типа обычно являются весьма трудными. Так, например, только весьма тонкие аналитические методы позволили Ю. В. Линнику решить в 1959 г. проблему, поставленную в 1923 г. английскими математиками Харди и Литлвудом, а именно ему удалось доказать следующую теорему .

Теорема 345 (Линник). Каждое достаточно большое натуральное число п может быть представлено в виде суммы простого числа и двух квадратов целых чисел, т. е. в виде Среди аддитивных задач с простыми числами особой известностью пользуется проблема так называемых простых чиселблизнецов. Кроме 2, все остальные простые числа — нечетные и наименьшая возможная разность между ними равна 2 .

Определение 94. Два простых числа с разностью, равной 2, называются простыми числами близнецами .

Например, среди первых 50 натуральных чисел имеется 6 пар простых чисел близнецов, а именно:

3, 5; 5, 7; 11, 13; 17, 19; 29, 31 и 41, 43 .

Предполагают, что существует бесконечное число таких пар, однако ни доказать, ни опровергнуть это предположение пока не удалось. Простые числа близнецы можно выделить из натурального ряда способом, совершенно аналогичным обычному эратосфенову решету .

Теорема 346. Пусть р1 = 2, р2,...,рг—все простые числа ^УN + 2(N^7). Если в натуральном ряду последовательно вычеркнуть все числа п, делящиеся на plt на pit..., на рп а такоке все числа п, такие, что п + 2 делится хотя бы на одно из чисел pt, pz,..., рг, то оставшиеся числа образуют множество простых чисел р, таких, что р-\-2 также простое число, причем Д о к а з а т е л ь с т в о. Число 1 будет зачеркнуто, так как 1 + 2 = 3 делится на 3. Все остальные натуральные числа + 2 будут также вычеркнуты, так как каждое из них делится на какое-нибудь из чисел plt р 2,..., рг .

Из чисел п, лежащих между ]/ N +2 и N, (|^УУ+2л = N), = все п такие, что п или п +2 — составное, будут вычеркнуты, так как тогда л или п-\-2 или оба эти числа делятся по крайней мере на одно из чисел plt рг рг. Числа р такие, что р + 2 тоже простое число и У N + 2С р ^N, не будут вычеркнуты, так как в этом случае р и р + 2 не делятся на рх, р2,... рг, которые тогда меньше чем р .

Мы имеем, таким образом, алгоритм, позволяющий находить все пары простых чисел близнецов р, р + 2, где У N + 2/УУ .

Добавляя к ним пары близнецов р, р + 2, где p^YN + 2, мы находим все близнецы р, р + 2, где ps^N .

Этот алгоритм позволяет, таким образом, вычислять значения функции B(N), выражающей число простых чисел /«УУ, таких, что р + 2 тоже простое число. Проблема простых чисел близнецов заключается в том, чтобы доказать, что при увеличении N величина В (N) тоже неограниченно увеличивается .

Подобный алгоритм можно построить для нахождения простых чисел p^N, таких, что p' = 2N—р тоже простое, т. е .

для нахождения рассматриваемых в проблеме Гольдбаха—Эйлера пар простых чисел ((р, р')), сумма которых равна заданному четному числу 2N .

Теорема 346^ Пусть /2 = 3 ра...pr^YNpr+1... /, * S Y%N—все нечетные простые числа, не превосходящие Y2N .

Если среди нечетных натуральных чисел пл таких, что 3^n=^.N, вычеркнуть все числа, делящиеся хотя бы на одно из чисел рг, р%,..., рг, а также все числа п, такие, что 2N—п делится хотя бы на одно из чисел рг, ps рг,..., ps, то оставшиеся числа образуют множество простых чисел р, таких, что р' = 2N — р тоже простое, причем Y~N Zp^N .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Если р — простое число, такое, что YN p*N% и 2N—р = р' тоже простое, то р не делится на простые числа, не превосходящие YN, a p =2N—p^*N не делится ни на одно простое число, не превосходящее Если же для такого р число 2N—р составное, то по крайней мере один нечетный простой делитель 2N—р не превосходит Y^N, т. е. такое р будет вычеркнуто. Все составные числа, меньшие или равные N, и простые числа, меньшие или равные 1/лГ, будут, очевидно, вычеркнуты, так как у каждого из этих чисел имеется по крайней мере один простой делитель, не превосходящий y~N .

Добавляя к оставшимся числам простые числа p такие, что р'— 2N—р простое, мы получим все пары простых чисел р и р', удовлетворяющие условию р + р' = 2N, ( 3 p « S N), Беря наряду с парами ((р, р')) еще и пары ((/Л р)), мы найдем все решения уравнения Гольдбаха—Эйлера:

(8) x + y = 2N, где оба неизвестных принимают только значения, представляющие собой простые числа .

Обозначим число решений уравнения (8) в простых числах, т. е. число пар простых чисел ((р, р')), таких, что р + р' = 2N, через P(2N). Проблема Гольдбаха—Эйлера заключается в том, чтобы доказать, что P(2N)0 при всех N&*Ъ .

П р и м е р. Найти все пары простых чисел ((р, р')), таких, что р + р ' = 232. Нечетные простые числа, меньшие или равные 1^116, равны 3, 5, 7, а для чисел, меньших или равных 1^232, прибавляются еще простые числа 11 и 13. В множестве нечетных чисел 3, 5, 7, 9 115 выбрасываем (вычеркиваем) все числа я, делящиеся на 3, и числа я, такие, что232—ЛЕ=0(тос13), т. е. л = 1(тос!3). Остаются нечетные числа я Е = 2 (mod3), т.е .

числа: 5, 11, 17, 23, 29, 35, 41, 47, 53, 59, 65, 71, 77, 83, 89, 95, 101, 107, 113. Из оставшихся чисел выбрасываем те я, для которых л = 0(mod5), и те, для которых 232—л = 0 (mod5), т. е .

л = 2 (mod 5). После этого остаются числа: 11, 23, 29, 41, 53, 59, 71,83,89, 101, 113. Выбрасываем затем числа вида я = 0 (mod 7), а также вида 232—л = 0 (mod 7), т. е. я = 1 (mod 7). После этого остаются числа: 11, 23, 41, 53, 59, 83, 89, 101. Выбрасываем еще числа л, такие, что 232—n = 0(mod 11), т. е. я = 1 (mod 11), и числа л, такие, что 232—n==0(mod 13), т. е. я = 11 (mod 13) .

В итоге остаются числа: 41, 53, 59, 83, 101. Добавляем к ним простые числа 3 и 5, меньшие чем К П б, для которых 232—3 = = 229 и 232—5 = 227 —тоже простые числа. Представления числа 232 в виде суммы двух простых чисел имеют вид 232 = 3 + 229 = 5 + 227 = 41 + 191 = 5 3 + 179 = 59+173 = = 8 3 + 1 4 9 = 1 0 1 + 131, и еще 7 представлений, получающихся переменой мест слагаемых. Уравнение х + у = 2Ъ2 имеет 14 решений в простых числах, т. е. Р (232)= 14 .

Решето, аналогичное тому, которое мы применили для нахождения пар простых чисел ((р, р')), таких, что р ' — р = 2, и решений уравнения Гольдбаха—Эйлера р + р' = 2N, может быть построено и для других аддитивных задач с простыми числами .

Решето подобного типа часто называют двойным эратосфеновым решетом (два „просеивания" для каждого из простых чисел Такое решето было впервые построено французским Pi^VlV) .

математиком Мерлином .

Подобно тому как обыкновенное эратосфеново решето выражено в виде формулы (44) 35-й главы, можно и для двойного эратосфенова решета построить формулы, выражающие функции В (N) и Р (2N) в явном виде. В правой части формулы (44) [-V ~\, выражающие число чисел, меньших или равных N и делящихся на k, причем k равно произведению простых множителей, взятых из числа простых чисел Ру, р а,..., pr^y~N. Величина -г-1 не более чем на 1 J N отличается от -г-. В случае двойного эратосфенова решета для каждого k вида k = ptl... pif в правой части будет 2s величин, каждая из которых отличается от -^ тоже не более чем на 1 .

Использование формулы (44) 35-й главы для определения порядка роста л (N) встречает ту основную трудность, что, хотя после X замены каждого слагаемого на -г ошибка не велика и не превосходит 1, общее число слагаемых в сумме, равное, как легко видеть, 2Г = 2 Л (V'A')) представляет собой очень большое число, намного большее, чем само я (jt) .

Еще большие трудности встречаются при использовании подобных формул для B(N) или P(2N). Например, в формуле для B(N) число слагаемых равно 1 +2С) + 2 2 С?+... +2Г-1СГ~1 = = 3Г—2Г, г =n(yrN + 2). В 1919г. норвежский математик Виго Брун разработал замечательный метод, дающий возможность использовать двойное эратосфеново решето для оценки функций вида B(N) и P(2N). Прежде всего Виго Брун заменил эти _!

— — функции функциями B(N,Na)uP (2N,(2N a). Функция В (ЛГ.ЛГ») выражает число чисел n*^,N, таких, что все простые делители п и п + 2 больше чем N a. Функция Р (2N,(2N)a) равна числу чисел ns^2N, таких, что простые делители п и 2N — п больше a чем (2N). Для таких функций при а = 10 Брун строит двойное решето (решето Виго Бруна), так что величины P(N, N10) и

•Р (2N, (2N) ) оказываются заключенными между двумя суммами со сравнительно небольшим числом слагаемых, причем величины самих этих сумм оцениваются сверху и снизу хотя и сложным, но вполне элементарным методом. Применяя этот метод, Виго Брун доказал, что B(N,N10) и P(2N,(2N)10) неограниченно увеличиваются при увеличении N .

Если число n^2N таково, что все простые делители п больше j_ чем (2ЛГ)10, то п состоит не более чем из девяти простых множителей. Если же при этом и у числа 2N—п все простые множители больше чем (2ЛО10, то п'— 2N—п тоже состоит не больше чем из девяти простых множителей. Таким образом, получив, что P(2N, (2УУ)10)-^ °°, В. Брун доказал, что каждое достаточно большое четное число 2N может быть представлено в виде 2N = п + п', где каждое из слагаемых nun' состоит не более чем из девяти простых множителей. Точно так же из того, _i_ что B(N, N10)—coo, следует существование бесконечного множества чисел п, таких, что и п и n' = n-f 2 состоят не более чем из девяти простых множителей .

Ряд усовершенствований, внесенных в метод В и го Бруна, позволил снизить число простых множителей у п и л ' (в проблеме Гольдбаха—Эйлера 2N = n + n' и в проблеме близнецов п' — п = 2) до четырех (А. А. Бухштаб, 1940 г.) .

Другое решето, существенно отличающееся от решета Виго Бруна, было построено А. Сельбергом .

Используя различные методы решета, развитые Виго Бруном, Бухштабом, Сельбергом, Куном, в конечном счете удалось снизить число простых множителей у п до двух, а у п' до трех (Ван-Юань, Б. В. Левин 1958 г.) .

В 1948 г. венгерский математик А. Реньи доказал следующую теорему .

Теорема 347. Существует постоянная I, такая, что каждое, достаточно большое натуральное четное число 2N представило в виде 2N = р + п, где р — простое число, а, п состоит не более чем из I простых множителей .

В 1964 г. А. А. Бухштаб доказал теорему 347 со значением / = 3. Аналогичная теорема была им доказана и в проблеме простых чисел близнецов .

Теорема 348. Множество простых чисел р, таких, чтор + 2 состоит не более, чем из трех простых сомножителей, бесконечно .

Рассматривая простые числа близнецы, Виго Брун доказал также следующую теорему .

Теорема 349. Ряд величин, обратных простым числам близнецам, сходится .

Теорема 349 показывает, что если даже простые числа близнецы образуют бесконечное множество, то их все же намного меньше, чем всех простых чисел. Ряд ^ — в е л и ч и н, обратных

• Р р всем простым числам, расходится (теорема 326), но если оставить в нем только простые числа р, такие, что р ' = р + 2 тоже простое, то получится сходящийся ряд .

Простые числа близнецы — пара нечетных простых чисел с возможно маленькой разностью 2. Можно рассматривать тройки, четверки и т. д. простых чисел с возможно маленькими разностями. Для трех простых чисел р, р' и р", где р 3, не может быть одновременно р' = р-\-2 и р" = р' + 2 = р + 4. Действительно, числа р, р + 2 и р + 4 образуют полную систему вычетов по модулю 3, и, таким образом, одно из этих чисел обязательно делится на 3. Наименьшие возможно маленькие разности между тремя простыми числами, отличными от 3, это разности р'—р = 2, р"—р' = 4 (или р ' — р = 4, р"—р' = 2). Тройки простых близнецов р, р' = р + 2, р" — р-\-б встречаются вначале сравнительно часто, например ((5, 7, 11)), ((11, 13, 17)); вместе с тем таблицы простых чисел показывают, что по мере удаления от начала натурального ряда такие простые числа встречаются все реже и реже. Английские математики Харди и Литлвуд поставили проблему доказательства существования бесконечного множества таких троек простых чисел: р, р' = р + 2 и р" = р + 6. Эта проблема по трудности значительно превосходит проблему существования бесконечного числа простых чисел близнецов. Проблема стан-овится еще труднее, если рассматривать четверки простых чисел: р, р'=р + 2, р" = р + 6, р ' " = р + 8 .

Можно поставить ряд и других задач теории простых чисел, которые еще ждут своего решения. Перечислим некоторые из них .

1. Доказать, что существует постоянное число k, такое, что неравенство p' — p.k имеет бесконечное множество решений в простых числах р и р' .

2. Найти постоянное число к, такое, чтобы существовало бесконечное множество пар простых чисел р и р', таких, что р'-р = к .

3. Доказать, что каждое четное натуральное число представляет собой разность двух каких-либо простых чисел .

4. Доказать существование бесконечного множества простых / Р—1 чисел р, таких, что р — -~- тоже простое число .

5. Доказать^ что существует бесконечное множество троек соседних простых чисел p{_lt p{, р1+1, образующих арифметическую прогрессию, т. е. таких, что Р{ = р'~уР ' .

6. Доказать, что для любого сколь угодно большого числа п существует п простых чисел ptt, pit,..., ptn таких, что Pi, — Ph = Pi, — Pi, = • • • = Pu — Pu-iДоказать, что существует по крайней мере один многочлен с целыми коэффициентами о, Ь, с такой, что *b последовательность /(1), f(2), f(3),... содержит бесконечное множество простых чисел .

8. Определить существует ли квадратный трехчлен / (х) =»

= ах + Ьх + с, такой, что при всех х, таких, что f(x) = p, где р простое число будет также простым и число р-\-2?

9. Доказать, что в последовательности 1,1,2,3,5,8,13,21,..., где каждое следующее число равно сумме двух предыдущих (последовательность Фибоначчи) существует бесконечное множество простых чисел .

10. Будет ли для любых взаимно простых чисел k и / бесконечным множеством простых чисел р, таких, что все простые делители числа р + 2 принадлежат прогрессии /, l-\-k, l + 2k,...?

11. Доказать, что каждое достаточно большое натуральное число N либо само является квадратом, либо представимо в виде суммы N — p + s, где р — простое число .

12. Доказать, что все нечетные числа, начиная с некоторого, могут быть представлены в виде суммы простого числа и удвоенного квадрата простого числа (числа 5777 и 5993 не представимы в таком виде) .

13. Определить, будет ли бесконечным множество натуральных чисел п, таких, что п = рк, п + 1 =р[, где р и р х — простые числа, k и / — целые .

14. Доказать, что при любом натуральном п между п2 и ( л + 1 ) 2 лежит по крайней мере одно простое число .

15. Доказать, что при любом е 0 каждое натуральное число N, начиная с некоторого N0(NN0, где N0=N0(e)) может быть представлено в виде N = n + n', где все простые делители чисел п и п' не превосходят N\

16. Доказать существование бесконечного множества простых чисел, представимых в виде суммы трех кубов натуральных чисел .

17. Доказать, что для каждого натурального числа T сущестV вует целое число а, такое, что хг — х + а принимает простые значения при * = 0,1,2,...,N .

18. Доказать, что множество простых чисел, для которых g = 2, является первообразным корнем, имеет положительную плотность .

Конечно, не исключена возможность того, что некоторые из этих проблем будут решены в отрицательном смысле .

Исторические комментарии к 36-й главе

1. Теорема 337 для случая / = 1 была высказана в 1775 г .

Эйлером .

Лежандр в своей книге "Theorie des nombres" (1808) привел доказательство теоремы 337, однако это доказательство опиралось на одно вспомогательное предложение, которое, как это выяснилось позже, оказалось неверным .

Доказательство Дирихле было существенно упрощено Э. Ландау .

2. Характер называется действительным, если его значениями являются только числа 0,1 и — 1. Основная трудность, возникавшая при доказательстве теоремы 337 методом Дирихле, заключалась в том, чтобы доказать, что 2^—— ФО для всех П=1 действительных характеров по модулю k. Доказательство Сельберга обходится без этого .

3. Элементарные доказательства существования бесконечного множества простых чисел для очень многих арифметических прогрессий частного вида были получены до Сельберга разными авторами, например, было известно элементарное доказательство для всех прогрессий вида kt ± 1 ( / = 1, 2, 3,... ). Для многих прогрессий применялся метод Чебышева, аналогичный тому, который он применял при доказательстве теоремы 324. Доказательство А. Сельберга было первое элементарное доказательство, годное в общем случае .

4. Теорема 341 была доказана Валле-Пуссеном. Валле-Пуссен доказал, что при любом постоянном k где с — постоянная, зависящая только от k. В настоящее время остаточный член в формуле (8) оценен более точно .

5. Таблицы простых чисел в широких пределах показывают преобладание количества простых чисел вида 4^ + 3 по сравнению с простыми числами вида 4 / + 1 .

Выяснилось, однако, что такое преобладание простых чисел вида \t + 3 не будет продолжаться неограниченно далеко. Методом Литлвуда было доказано, что существует постоянная А, такая, что для бесконечного множества значений х будет иметь место неравенство я 1 (4, ^ и вместе с тем для бесконечного множества значений х будет иметь место неравенство

–  –  –

В 1957 г. Лич нашел число 26861, для которогоя 3 (4, 26 861 наименьшее число, обладающее таким свойством. В пределах до 3 000 000 имеется только один интервал значений х ( 6 1 6 0 0 * 6 3 400), для которых п3(4, х)п1(4, х) .

6. В настоящее время вычислено, что для достаточно больших k постоянная Со теоремы 342 такова, что 1СС 0 5448 .

Согласно гипотезе Човла наименьшее простое число в проe грессии (2) не превосходит k для любого е 0 и всех достаточно больших k .

7. Еще в 1882 г. Вебер доказал, что каждая примитивная, бинарная квадратичная форма ах2 + Ьху -\-суг с неквадратным дискриминантом для бесконечного множества пар целых х, у принимает значения, представляющие собой простые числа (при D - 0 форма предполагается положительно определенной) .

В 1954 г. Бриге показал, что эта теорема может быть доказана методом Сельберга .

8. Христиан Гольдбах (1690—1764) —математик, член Петербургской Академии наук .

9. Л. Г. Шнирельман (1905—1935) известен своими работами по теории чисел, геометрии и вариационному исчислению. Он доказал, что множество натуральных чисел, представимых в виде р-\-р', где р и р' — простые числа, после добавления к нему 1 имеет положительную плотность .

Последовательность натуральных чисел а1г а2,..., ап,.. .

называется последовательностью положительной плотности, если существует постоянная а, такая, что l^saN для всех целых положительных N .

10. Н. П. Романов (1934) доказал, что если к множеству натуральных чисел, представимых в виде суммы простого числа и степени заданного целого основания а\, добавить число 1, то получится множество положительной плотности. Он доказал, что то же самое будет, если вместо степеней заданного основания взять k-e степени натуральных чисел (k^\ любое целое) .

11. И. М. Виноградов не только доказал представимость всех достаточно больших нечетных чисел N в виде суммы трех простых, но и дал асимптотическую формулу для числа / (N) таких представителей, а именно доказал, что ^т]-з) П (i -p-d где первое произведение распространено по всем простым числам, а второе по простым делителям числа N .

Постоянная No в теореме 344 была определена (К. Бороздкин) в виде N = ее1в'03в. Хуа Ло-кен рассмотрел ряд задач о представлении натуральных чисел суммами k-x степеней простых чисел .

12. В 1931 г. Т. Эстерман доказал, что каждое натуральное число, большее чем 1, может быть представлено в виде суммы простого числа и числа, свободного от квадратов, и дал асимптотическую формулу для числа таких представлений .

13. К- Прахар доказал (1952 г.), что существует бесконечное множество чисел k, таких, что уравнение р'—p = 2k имеет бесконечное множество решений в простых числах р и р' .

14. В 1963 г. Б. М. Бредихин, развивая метод Линника, доказал, что каждое достаточно большое число N представимо в виде N = p + f (k, I), где р простое число, / (k, I) = ak2 + bkl + с/2 примитивная положительно определенная форма, 0 / ( &, / ) N .

Теорема Бредихина является, таким образом, обобщением теоремы 345. Им же был получен и ряд других теорем такого типа .

15. Мерлин был убит на фронте во время первой мировой войны и оставил свою, работу незаконченной .

16. При доказательстве теоремы 347 А. Реньи существенно использовал так называемое „большое решето" Линника. Доказательство теоремы 348 (так же как и теоремы 347 с / = 3) опирается на оценку .

* (к) max X m 1Ь\ J lrU о (mod k) (a, k) = i где v = -g-—e, e 0, Л —произвольная постоянная. Эта оценка была получена в 1962 г. М. Б. Барбаном .

В настоящее время А. И. Виноградов получил оценку (9) со значением v = -=—е, что дает возможность решать многие ранее недоступные задачи аддитивной теории чисел .

17. В 1959 г. была опубликована таблица простых чиселблязнецов в пределах до 1 100 000. Известны такие большие пары простых чисел-близнецов, как, например, 10 016957 и 10 016 959 .

Фрютль подсчитал, что среди первого миллиона натуральных чисел имеется 166 четверок простых чисел вида р, р' = р + 2, р" = р' + 6, р"' —р-\-8, а в пределах до двух миллионов имеется 295 таких четверок. Эти подсчеты были продолжены В. А. Голубевым .

18. Среди проблем, сформулированных на етраницах 367—368, проблема 6 предложена П. Эрдёшом, а проблемы 11 и 16 Харди и Литлвудом .

ТАБЛИЦЫ ИНДЕКСОВ ДЛЯ МОДУЛЕЙ,

НЕ ПРЕВОСХОДЯЩИХ 112 Левые таблицы служат для нахождения индексов. Правые таблицы служат для нахождения чисел (классов) по заданным значениям индексов. Пусть по модулю т имеем indga = s. Левые таблицы позволяют по значениям т и а найти s. Для этого в 1-й строке (под надписью „Модули") находим модуль т, а в 1-м столбце (под надписью „числа") находим число а. Индекс s находится на пересечении столбца, в котором лежит модуль т, и строки, в которой лежит число а .

П р и м е р. Найти индекс 58 по модулю 89. На стр. 377 в левой таблице на пересечении столбца, сверху которого написан модуль 89, и строки, слева которой написано число 58, находим, что ind58 = 75 .

Правые таблицы позволяют по значениям т и s найти а .

Для этого в 1 -й строке (под надписью „модули") находим модуль т, а в 1-м столбце (под надписью „индексы") находим индекс s .

Число а находится на пересечении столбца, в котором лежит модуль т, и строки, в которой лежит индекс s .

В частности, по индексу s = 1 могут быть найдены первообразные корни g, являющиеся основаниями взятых систем индексов .

П р и м е р. Найти по модулю 49 число, индекс которого равен 40. На стр. 375 в правой таблице на пересечении столбца, сверху которого написан модуль 49, и строки, слева которой написан индекс 40, находим число 11. Индекс 11 по модулю 49 (основание g = 3) равен 40 .

–  –  –

1 5 — 4 4 1 1 8 1— 1 1 2 3 5 4 17 — 3 — 7 1 15 8 20 4 — 8 2 2 16 2 — 5 10 3 1 7 — 12 6 13 1 10 7 — 6 5 3— — 9 6 5— 1— 5 11 — 10 —

–  –  –

34 3 39 31 34 39 И 21 45 4 35 29 19 18 33 — 25 12 41 52 37 8 7 42 32 14 13 9 44 25 21 4 8; 46 41 58 64 39 :

42 21 24 — 8 49 56 15 29 45 33 48 24 35 57 21 41 56 10 О 12 10 44 44 26; 9 42 27 18 23 33 8 61 53 60 15 •

–  –  –

3299 3571 4801 Б441 ЗОН 3617 4877 3407 3697 4007 5273 Б569 5861 4093 4729 Б387 3209 Б987

ОГЛАВЛЕНИЕ

–  –  –



Pages:     | 1 ||



Похожие работы:

«муниципальное бюджетное образовательное учреждение дополнительного образования детей "Детская школа искусств с. Покровское" Неклиновского района Ростовской области Дополнительная...»

«Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение "Средняя общеобразовательная школа №13" г. Калуги РАССМОТРЕНО: СОГЛАСОВАНО: на заседании методического Заместитель директора по УВР объединения Ахлебинина Т.В. протокол №1 от 26 августа 2016 г 29 августа 2016 г РАБОЧАЯ ПРОГРАММА факультатива...»

«2 Максимум. Onderdelen ван де staafmixer уфбау Stabmixer 1 Draairing (instellen snelheid) 1 Drehring (Einstellung Geschwindigkeit) 2 Kontrollleuchte 2 Controlelampje 3 Ein-Taste 3 Aan / Uit-Кноп 4 Antriebseinheit 4 моторная е...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского Национальный исследовательский университет Арзамасский филиал Е.В.Баранова, Н.В. Гусева, С.В. Менькова ГУМАНИТАРНЫЙ ПОТЕНЦИАЛ ШКОЛЬНОГО КУРСА МАТЕМАТИКИ И ЕГО РЕАЛИЗАЦИЯ В ОБУЧЕНИИ Учебн...»

«БАЙ Татьяна Владимировна ФОРМИРОВАНИЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНЫХ ЦЕННОСТЕЙ У БУДУЩИХ СПЕЦИАЛИСТОВ ДОМОВЕДЕНИЯ В УСЛОВИЯХ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО МАРКЕТИНГА ВУЗА 13.00.08 – теория и методика профессионального образования АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук Челябинск – 2009 Работа выполне...»

«Паспорт рабочей программы – 8 класс Учебный предмет: литература Количество часов в неделю по учебному плану: 2 Всего количество часов в году по плану: 68 Класс (параллель классов): 8 Учитель: Ласточкина Татьяна Ильинична Программа по литературе для 5 – 11 кл. общеобразовательной школы / Авт.-сост.: Г.С. Мерк...»

«Хоменко Любовь Леонидовна, учитель начальных классов МКОУ "Дружинская СОШ" Омского района Омской области Урок русского языка во 2 классе Тема "Произношение и обозначение на письме гласных звуков" Цель: ознакомление с соответствием звука и буквы в ударном слоге и их возможном несоответствии в безударном слоге.З...»

«Дополнительные платные образовательные услуги ГБОУ гимназия № 631 2018 2019 учебный год Веселый английский Педагоги: Еремеева Елизавета Сергеевна 5 классы Колоколова Наталья Сергеевна 6 а,б,в классы Лебедева Наталья Александровна 6 а,б классы Занятия проводятся 1 раз в неделю. Подготовка к Кембриджскому экзамену "Cambridge English"П...»

«УДК 821.411.21-34 ББК 84(0)4 С42 Серия "Зарубежная классика" Перевод с арабского М.А. Салье Компьютерный дизайн Э.Э. Кунтыш Сказки 1001 ночи : [сборник] / [пер. с араб. С42 М.А. Салье]. — Москва : Издательство АСТ, 2017. — 832 с. — (Зарубежная классика). ISBN 978-5-17-103127-5 Один из самых по...»

«II-Я ШКОЛЬНАЯ РЕГИОНАЛЬНАЯ НАУЧНО-ПРАКТИЧЕСКАЯ СЕКЦИЯ СТУДЕНЧЕСКОЙ КОНФЕРЕНЦИИ МГОУ Первые шаги в науку Направление: математика "Без калькулятора к ГИА или некоторые приемы быстрого счета" Автор работы: Паников Егор Образовательное учреждение: МОУ "Лицей...»

«1 ОКТЯБРЬ 2018 ГОДА. ВЫПУСК № 2 Газета МБОУ "Чистенская школа – гимназия" Чистенская школа – верные друзья, Это все ребята и все учителя.Герб у нашей школы и девиз такой: Золотое солнце и колос золотой. лучшие традиции нашей Уважаемые коллеги!!! школы....»

«Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования "ПЕРМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ГУМАНИТАРНОПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ" ФАКУЛЬТЕТ ФИЗИЧЕСКОЙ КУЛЬТУРЫ Кафедра спортивных дисциплин Выпускная квалификационная работа ВЛИЯНИЕ СКОРОСТНО-СИЛОВОЙ ПОДГОТОВКИ ЮНЫХ СКАЛОЛАЗОВ НА СПОРТИВНЫ...»

«Содержание 1. Введение 3 2. Исследовательская работа 5 2.1. Что такое игра. Классификация игр. 6 2.2. Значимость подвижных игр на переменах 8 2.3. Игры, привлекающие младших школьников 10 2.4. Детские игры наших родителей 14 2.5. Примеры подвижных игр на перемене 17 3. Заключение 19...»

«127 ПРОФЕССИОНАЛЬНАЯ МОБИЛЬНОСТЬ УДК 316.444.5 ББК С524.45 ГСНТИ 04.21.51; 14.35.01 Код ВАК 22.00.04; 13.00.08 Петрова Лариса Евгеньевна, кандидат социологических наук, доцент, кафедра теоретической и прикладной социоло...»

«1. Общие положения 1.1. Кодекс (нормы) профессиональной этики педагогических работников Государственного автономного образовательного учреждения среднего профессионального образования Московской области "Московский областной музыкальный колледж имени С.С.Прокофьева" (далее Кодекс, Организация). разработан в соотв...»

«ДЕПАРТАМЕНТ КУЛЬТУРЫ ГОРОДА МОСКВЫ ГБОУДОД г. МОСКВЫ "ДЕТСКАЯ МУЗЫКАЛЬНАЯ ШКОЛА имени Л. ван БЕТХОВЕНА" УТВЕРЖДАЮ Директор ДМШ им. Л. ван Бетховена Палицын А. А. датаподпись ОДОБРЕНО Заседанием Педагогического совета протокол №от_ СОГЛАСОВАНО УМЦ "РОСКИ" ФИО_должностьподпись_дата ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ОБЩЕ...»

«Концепция человека в казахской прозе первой трети ХХ века и ее воплощение в художественном характере / Современный научный вестник: Научно – теоретический журнал. Серия "Педагогика и психология". 2006. №4. С.46 48; Концепция человека в казахской прозе первой трети ХХ века и ее воплощение в художественном характере Тахан Серик Шешенбаевич, докто...»

«Годлевский Александр Васильевич ПРИРОДНЫЕ ОСНОВАНИЯ ВИТАЛЬНОГО И ТАНАТАЛЬНОГО В ЧЕЛОВЕЧЕСКОМ БЫТИИ Специальность 09.00.01 онтология и теория познания АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора философских наук Омск-2005 Работа...»

«Тел.: (8634) 477-040, 477-044, факс: 477-041, e-mail: info@RLDA.ru, www.RLDA.ru УТВЕРЖДАЮ Директор НИЛ АП ООО _ Д.А.Климков " " _ 2013 г. Для жестких условий эксплуатации Модули автоматики серии NL NL-485C Взрывозащищённое исполнение (изготовлено по ТУ 4221-003-24171143-...»

«Оглавление ГЛОССАРИЙ ВВЕДЕНИЕ ГЛАВА 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ ПРОБЛЕМЫ РАЗВИТИЯ ТВОРЧЕСКОГО ПОТЕНЦИАЛА ПЕДАГОГОВ ДОШКОЛЬНОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО УЧРЕЖДЕНИЯ 1.1. Содержание понятия "творческий потенциал педагога" 1.2. Факторы формирования и развития творческого потенциала педагога. 25 1.3. Усл...»

«"УТВЕРЖДЕНО" Президент Детской футбольной лиги В.Н. Горлов "15" июня 2016 г. РЕГЛАМЕНТ Суперфинала Международного фестиваля "БОЛЬШИЕ ЗВЕЗДЫ СВЕТЯТ МАЛЫМ" среди команд мальчиков и девочек 2007 г.р. г. Москва...»

«УТВЕРЖДАЮ Директор ЭНИН _Завьялов В.М. "_"_2017 г. РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ БАЗОВАЯ Монтаж, наладка и эксплуатация электрооборудования систем электроснабжения Направление ООП 13.03.02 Электроэнергетика и электротехника Профиль (-и) подготовки Электроснабжение и автоматизация объектов н...»







 
2019 www.mash.dobrota.biz - «Бесплатная электронная библиотека - онлайн публикации»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.