WWW.MASH.DOBROTA.BIZ
БЕСПЛАТНАЯ  ИНТЕРНЕТ  БИБЛИОТЕКА - онлайн публикации
 

Pages:   || 2 |

«Издательство Просвещение, Москва ПРЕДИСЛОВИЕ Книга рассчитана в первую очередь на то, чтобы служить в качестве учебного пособия при прохождении курса теории чисел на ...»

-- [ Страница 1 ] --

А.А. Бухштаб

ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ

Издательство "Просвещение", Москва

ПРЕДИСЛОВИЕ

Книга рассчитана в первую очередь на то, чтобы служить

в качестве учебного пособия при прохождении курса теории чисел

на физико-математических факультетах педагогических институтов и в университетах. Теоретико-числовые вопросы вызывают

интерес не только у специалистов математиков, но и у значительно более широкого круга людей, задумывающихся над отдельными арифметическими проблемами, и автор старался учесть интересы читателей в этом отношении. Охватывая полностью учебную программу по теории чисел, книга содержит и дополнительный материал, развивающий тот небольшой обязательный курс, который проходится всеми студентами-математиками в педагогических институтах. Этот дополнительный материал может быть использован при организации работы спецсеминаров, а также в качестве основы для ряда курсовых работ по теории чисел .

Содержание курса теории чисел в педагогических институтах заключено в следующих главах: 4 (п. 1), 5, 6 (п. 2), 7, 8, 9, 10, 11, 13, 14, 15 (п. 1 и 3), 16, 17, 18 (п. 1), 19 (п. 1 и 2), 20 (п. 1), 21 (п. 1, 2 и 3), 23, 24 (п. 1 и 2), 25 (п. 1 и 2), 26 (п. 1), 28 (п. 1), 29, 30, 33 (п. 1), 35 (п. 1 и 2), 36 .

Автор старался добиться того, чтобы читатель мог в этой же книге найти все то, что используется при доказательстве теорем курса. В связи с этим в 1-й главе сформулирован ряд общих математических положений, теорем высшей алгебры и математического анализа, используемых в дальнейшем .



2-я и 3-я главы излагают арифметику целых чисел. Этот раздел арифметики фактически является базисом всего дальнейшего построения самой теории чисел. В педагогических институтах арифметика целых рациональных чисел проходится в курсе элементарной математики и эти две главы могут быть использованы при изучении этого курса .

В книге введена сплошная нумерация теорем (арабскими цифрами). Это дает возможность более удобно пользоваться подробными ссылками. В конце книги (начиная примерно с 31-й главы) ссылки, когда они связаны с применением элементарных теорем теории делимости или теории сравнении, носят менее систематический характер. Теоремы, относящиеся к другим разделам математики и помещенные в книге только в качестве справочного материала, перенумерованы римскими цифрами. Основная часть теорем теории чисел дана с полными доказательствами .

Некоторые теоремы даются без доказательств. Автор считал, что в тех случаях, когда важный результат не может быть дан с доказательством ввиду его сложности, полезно по крайней мере сформулировать его, вводя читателя в круг интересов современной математики .

Большое место в книге занимают вопросы исторического развития теории чисел. Помимо введения, дающего общий очерк развития теории чисел, история предмета освещается и в самом тексте, а в конце многих глав помещены исторические комментарии .

Автор старался везде, где это возмож

–  –  –

1. ПРЕДМЕТ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ

Первоначальные элементы математики связаны с появлением навыков счета, возникающих в примитивной форме на сравнительно ранних ступенях развития человеческого общества в процессе трудовой деятельности. Понятие натурального числа, появляющееся как результат постепенного абстрагирования, является основой всего дальнейшего развития математики .



Изучение свойств натуральных чисел, начатое в примитивной форме математиками давно ушедших поколений, занимает большое место в современной математике, составляя основное содержание одного из ее ведущих разделов, который мы называем теорией чисел. При рассмотрении натуральных чисел мы замечаем, что среди них встречаются числа с весьма разнообразными свойствами. Так, например, среди натуральных чисел мы выделяем простые числа, и, естественно, возникает вопрос, как распределены эти числа среди всех натуральных чисел. Мы можем также заметить, например, что среди натуральных чисел есть числа, которые нельзя представить в виде суммы двух квадратов натуральных чисел, и поставить вопрос о том, какие именно числа обладают этим свойством и как часто встречаются такие числа .

В теории чисел, естественно, выделяются и рассматриваются в первую очередь те проблемы, которые глубоко и достаточно непосредственно связаны с изучаемыми объектами и важны для построения математики в ее целом. Некоторые теоретико-числовые задачи возникают уже в рамках школьного курса арифметики. Исторически теория чисел возникла как непосредственное развитие арифметики. В настоящее время в теорию чисел включают значительно более широкий круг вопросов, выходящих за рамки изучения натуральных чисел. В теории чисел рассматриваются не только натуральные числа, но и множество всех целых чисел, а также множество рациональных чисел .

Если рассматривать корни многочленов:

п (1)

-1+...+аа с целыми коэффициентами, то обычные целые числа соответствуют случаю, когда многочлен (1) имеет степень л = 1. Во множестве комплексных чисел естественно выделить так называемые целые алгебраические числа, представляющие собой корни многочленов вида (1) с целыми коэффициентами .

Изучение свойств таких чисел составляет содержание одного из важнейших разделов современной теории чисел, называемого алгебраической теорией чисел. В теорию чисел включают также вопросы, связанные с приближением действительных чисел рациональными дробями. Такие приближения называют обычно диофантовыми приближениями, по имени великого греческого математика Диофанта .

Для современной теории чисел характерно применение весьма разнообразных методов исследований; так, например, многие проблемы теории чисел могут быть, естественно, сформулированы в геометрической форме, и к решению такого рода задач применяют геометрические соображения (геометрическая теория чисел). В современной теории чисел широко пользуются методами математического анализа; в частности, при изучении вопросов, связанных с распределением простых чисел, особенно часто приходится применять теорию функций комплексного переменного. Теоретико-числовые исследования, в которых существенно используются методы математического анализа, являются содержанием весьма значительного раздела теории чисел, получившего наименование „Аналитическая теория чисел" .

Развитие теории чисел тесно и непосредственно связано с развитием целого ряда разделов математики .





Теория чисел не только широко использует методы, разработанные в смежных математических дисциплинах, но и сама влияет на формирование этих дисциплин. Так, например, начало глубоких исследований в теории алгебраических чисел было связано с так называемой проблемой Ферма о возможности существования целых положительных решений неопределенного п уравнения х" + у ~г" при л 2 ; дальнейшее развитие этой теории оказало решающее влияние на современную алгебру, а возникшие в теории чисел понятия „кольца", „идеала" являются одними из основных понятий всей математики нашего времени .

Ряд вопросов теории чисел находит себе применение на практике, например в теории телефонных сетей (кабелей), в кристаллографии, при решении некоторых задач теории приближенных вычислений.

Современную теорию чисел можно в основном разбить на следующие разделы:

1) Э л е м е н т а р н а я т е о р и я ч и с е л (теория сравнений, теория форм, неопределенные уравнения). К этому разделу относят вопросы теории чисел, являющиеся непосредственным развитием теории делимости, и вопросы о представимости чисел в определенной форме. Более общей является задача решения систем неопределенных уравнений, т. е. уравнений, в которых значения неизвестных должны быть обязательно целыми числами .

Неопределенные уравнения называют также диофантовыми уравнениями, так как Диофант был первым математиком, систематически рассматривавшим такие уравнения. Мы условно называем этот раздел „Элементарная теория чисел", поскольку здесь часто применяются обычные арифметические и алгебраические методы исследования .

2) А л г е б р а и ч е с к а я т е о р и я ч и с е л. К этому разделу относят вопросы, связанные с изучением различных классов алгебраических чисел .

3) Д и о ф а н т о в ы п р и б л и ж е н и я. К этому разделу относят вопросы, связанные с изучением приближения действительных чисел рациональными дробями. К диофантовым приближениям примыкают тесно связанные с этим же кругом идей вопросы изучения арифметической природы различных классов чисел .

4) А н а л и т и ч е с к а я т е о р и я ч и с е л. К этому разделу относят вопросы теории чисел, для изучения которых приходится применять методы математического анализа .

Конечно, разделение теории чисел на такие разделы не является стандартным. Иногда выделяют как особую часть теории чисел геометрическую теорию чисел или из общего круга вопросов теории диофантовых приближений выделяют теорию трансцендентных чисел. Надо, кроме этого, иметь в виду, что часто приходится иметь дело с исследованиями, которые нельзя ограничивать рамками одного определенного раздела .

В этой книге мы будем относительно подробно изучать теорию сравнений; что же касается теории форм и неопределенных уравнений, то эта проблематика затронута здесь в очень небольшом объеме. Книга даст также некоторое общее представление о приближении действительных чисел рациональными дробями (диофантовы приближения). В аналитической теории чисел мы ограничиваемся рассмотрением наиболее простых результатов, полученных элементарными методами. Оставлены в стороне методы, связанные с применением теории функций комплексного переменного. Алгебраическая теория чисел совсем не рассматривается в этой книге .

2. КРАТКИЙ ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК РАЗВИТИЯ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ

При изложении конкретного материала будут приводиться соответствующие исторические и биографические данные. Здесь же, во введении, мы ограничимся весьма кратким общим очерком истории развития теории чисел .

..Ранний период развития арифметики характеризуется тем, что постепенно и притом весьма медленно развивается сам процесс счета, выявляются возможности неограниченного его продолжения, создается практическая арифметика, в которой решаются отдельные конкретные арифметические задачи .

В трудах Евклида теоретико-числовые исследования занимают сравнительно небольшое место, однако уже у него мы встречаем ряд основных положений теории делимости и хотя простой, но чрезвычайно важный результат: бесконечность множества простых чисел .

Греческим математикам был известен способ выделения простых чисел из натурального ряда, получивший название эратосфенова решета. Теорию чисел как особую область математики можно рассматривать только начиная с работ Диофанта (время его жизни в точности неизвестно, по-видимому, III век нашей эры). Диофант рассмотрел ряд задач о представимости чисел в определенной форме и более общие задачи решения неопределенных уравнений в целых и рациональных (точнее, положительных рациональных) числах. Именно эти задачи явились позднее отправным пунктом всей теории форм и той базой, откуда возникла проблематика теории диофантовых приближений .

В период упадка античной культуры работы Диофанта были почти совсем забыты. В VIII—IX веках в арабских странах — на территориях теперешнего Иракй, Средней Азии и других стран Ближнего Востока — возникает своеобразная математическая культура. Арабская математика, культивируя исследования по алгебре и тригонометрии, проявляла незначительный интерес к теоретико-числовым задачам. Некоторые арабские ученые, например Алькарги (XI век), комментировали Диофанта, несколько развили его символику, рассматривали арифметические задачи того же типа, что и Диофант, однако ничего существенно нового ими не было получено .

В Европе, начиная с эпохи крестовых походов вплоть до XVII века, развитие теории чисел, как, впрочем, и всей математики, было очень медленным. Математики обычно рассматривали только отдельные конкретные задачи теоретико-числового характера. Общие методы были почти неизвестны. В этот период в основном развилась практическая арифметика действий. Из работ этого времени наибольший след в дальнейшем развитии теории чисел оставили весьма значительные для этой эпохи работы Леонардо Пизанского (умер в 1250 г.) и работы Региомонтана (1436—1476), который нашел труды Диофанта и впервые в Европе стал систематически их изучать .

В XVI и в начале XVII века на латинском и французском языках были изданы сочинения Диофанта, и ряд математиков того времени, из которых в первую очередь можно назвать Виета (1540—1603) и Баше де Мезирьяка (1581—1638), занялись комментированием этих сочинений, несколько дополняя их новыми результатами .

....:,В настоящем смысле теорию чисел как науку надо считать начиная с работ французского математика П. Ферма (1601—1655), получившего основной результат теории делимости на заданное простое число и решившего ряд важных задач теории неопределенных уравнений .

В XVIII веке Л. Эйлер (1707—1783), большая часть работ которого была написана у нас в Петербургской Академии наук, значительно продвинул вперед развитие теории чисел. Л. Эйлер обобщил основной результат Ферма для случая делимости на составные числа, создал общую теорию так называемых степенных вычетов, получил очень большое число разнообразных результатов о представимости чисел в виде форм определенного типа, исследовал ряд систем неопределенных уравнений и получил интересные результаты о разбиении чисел на слагаемые .

У Эйлера мы впервые встречаемся с идеей применения методов математического анализа к задачам теории чисел. Рассмотрение бесконечных рядов и произведений явилось у Эйлера действенным орудием для получения теоретико-числовых результатов .

После работ Эйлера почти все крупные математики XVIII и XIX веков в той или иной степени занимаются теорией чисел .

В частности, существенный след в развитии теории чисел оставил французский математик Лагранж (1735—1813), развивший дальше методы Эйлера. Лагранж рассматривал вопрос о представлении чисел в виде бинарной квадратичной формы ах2-\bxy-\-cy2, доказал теорему о представимости чисел в виде суммы четырех квадратов и провел существенные исследования по теории непрерывных дробей .

Большое влияние на дальнейшее развитие теории чисел оказали и работы А. Лежандра (1752—1833) по теории неопределенных уравнений высших степеней. Лежандр, между прочим, нашел также эмпирическую формулу для числа простых чисел в заданных пределах. Работы Эйлера, Лагранжа и Лежандра создали базу для цельной теории, получивший позже у Гаусса название теории сравнений .

Замечательные работы немецкого математика К. Гаусса (1777—1855) имели особенно большое значение для всей теории чисел. Работы Гаусса по теории сравнений 2-й степени придали ей законченный вид, так что в настоящее время вся эта область теории чисел базируется на результатах, изложенных им в книге „Disquisitiones arithmeticae". В этой книге рассматривается также теория квадратичных форм, в которой им были получены фундаментальные результаты. Гаусс наряду с изучением обычных целых чисел начал рассматривать также и арифметику чисел, получивших название целых гауссовых чисел, а именно чисел вида а-\-Ы, где а и Ь—обычные целые. Эти его исследования положили начало алгебраической теории чисел .

После работ Гаусса в течение всего XIX века и теперь, в XX веке, исследования по теории чисел приобретают все увеличивающийся размах. Крупные математики XIX века: Якоби, Дирихле, Куммер, Чебышев, Лиувилль, Эрмит, Кронекер, Риман, Минковский, Золотарев и другие—разрабатывают разнообразные проблемы теории чисел .

В работах Куммера (1810—1893) и Дирихле (1805—1859), развитых затем Кронекером (1823—1891), Дедекиндом (1831—1916) и Е. И. Золотаревым (1847—1878), была построена теория алгебраических чисел. Работы Лиувилля (1809—1882) и Эрмита (1822—1901) явились основой теории трансцендентных чисел .

В 1873 г. Эрмиту удалось доказать трансцендентность числа е, а в 1882 г. была доказана трансцендентность числа л (Линдеман) .

Особенно надо отметить работы Дирихле, П. Л. Чебышева и Римана по теории простых чисел, явившиеся фундаментом всей аналитической теории чисел. Дирихле впервые доказал существование бесконечного множества простых чисел в арифметических прогрессиях общего вида и дал асимптотические оценки ряда важнейших числовых функций .

Чрезвычайно важное значение имеют работы великого русского математика П. Л. Чебышева (1821—1894). Чебышев первый дал оценку роста функции л (л:), выражающей число простых чисел, меньших или равных х. Его работы по теории простых чисел являются основой для целого ряда последующих исследований в этой области. Б. Риман (1826—1866) дал основные идеи использования функций комплексного переменного в теории распределения простых чисел, и эти идеи в работах Адамара, Валле-Пуссена и ряда других математиков далеко продвинули эту теорию .

Начиная с работ Чебышева, в теории чисел большую роль стали играть работы русских математиков, развивавших теорию чисел во всех ее направлениях. Кроме уже упомянутого Е. И. Золотарева, разрабатывавшего теорию целых алгебраических чисел, в первую очередь надо отметить работы А. А. Маркова (1856—1922) по теории квадратичных форм и выдающиеся работы Г. Ф. Вороного (1868—1908) по аналитической теории чисел и теории квадратичных форм .

XX век дал существенные сдвиги в аналитической теории чисел, развитие которой было связано как с совершенствованием уже известных, так и особенно с созданием совершенно новых методов .

В начале XX века Э. Ландау, Г. Бор, английские математики Г. Харди и Дж. Литлвуд, а затем Е. Титчмарш, К- Зигель, А. Пейдж, Н. Г. Чудаков, А. Сельберг и др. подробно исследовали дзету-функцию Римана и L ряды Дирихле (см. главы 33 и 36), совершенствовали технику применения методов теории функций комплексного переменного к исследованию разнообразных проблем аналитической теории чисел .

В XX веке стали также применяться (Г. Вейль) так называемые тригонометрические суммы, простейшие из которых рассматривались еще Гауссом .

Основное влияние на развитие аналитической теории чисел оказали работы И. М. Виноградова, глубоко разработавшего метод тригонометрических сумм и сумевшего с помощью этого метода решить ряд задач, казавшихся до этого совершенно недоступными. Применение этого метода нашло свое развитие в работах целого ряда математиков: Ван Корпута, Л. Морделла, Г. Давенпорта, Т.Эстермана, Хуа Ло-гена, Н. М. Коробова идр .

В самые последние годы большие успехи в аналитической теории чисел были достигнуты благодаря глубоким идеям, внесенным Ю. В. Линником. Эти идеи сближают некоторые разделы аналитической теории чисел с теорией вероятностей .

Методы Линника нашли свое развитие в работах целой плеяды его учеников и в целом значительно увеличили возможности применения L рядов Дирихле к различным проблемам аналитической теории чисел .

Наряду с методом тригонометрических сумм и теорией рядов Дирихле в аналитической теории чисел начиная с 1918 г. все в большей степени применяются элементарные методы .

Метод эратосфенова решета был разработан в работах Виго Бруна, а другая разновидность решета в работах А. Сельберга .

В последующие годы аппарат метода решета был существенно усилен .

Советский математик Л. Г. Шнирельман в начале тридцатых годов разработал общий метод изучения аддитивных свойств последовательностей натуральных чисел. Идеи, заложенные в работах Л. Г. Шнирельмана, не только принесли ему успех в решении ряда конкретных задач, но и внесли в теорию чисел новую проблематику, связанную с аддитивными свойствами множеств натуральных чисел .

Проблемы, возникшие на базе работ Шнирельмана, разрабатывались в исследованиях А. Я. Хинчина, Г. Мана, Н. П. Романова, П. Эрдёша и др .

Из элементарных методов нужно особенно отметить разработанный в конце сороковых годов метод А. Сельберга. В работах А. Сельберга основные законы распределения простых чисел в натуральном ряду и в арифметических прогрессиях были получены без применения теории функций комплексного переменного .

Большие успехи в XX веке были достигнуты в теории диофантовых приближений и в теории трансцендентных чисел .

Новые методы доказательства трансцендентности широких классов чисел были разработаны советским математиком А. О. Гельфондом и немецким математиком К. Зигелем .

Вопросы аппроксимации алгебраических чисел рациональными были существенно продвинуты в начале века А. Туэ, а затем в пятидесятых годах в работах К. Рота. Эти исследования позволили изучить число решений некоторых неопределенных уравнений высших степеней. Общие вопросы диофантовых приближений разрабатывались в работах А. Я. Хинчина .

В последнее время все большее внимание специалистов по теории чисел привлекает алгебраическая теория чисел .

Здесь надо назвать работы Г. Хассе, Е. Гекке, а в особенности французского математика А. Вейля, результаты которого были использованы во многих теоретико-числовых исследованиях, как например Д. Берджессом в проблеме о наименьшем квадратичном невычете .

К. алгебраической теории чисел относятся и интересные работы советского математика И. Р. Шафаревича, а также работы Б. Н. Делоне по теории кубических форм .

ГЛАВА 1

ОБЩИЕ ОСНОВЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ

1. МНОЖЕСТВА С ОПЕРАЦИЯМИ

Высказывания „М—множество, а — элемент множества М" (записывается а М) рассматриваются как основные, не требующие определений или каких-либо пояснений. Обычно нам придется иметь дело с множествами, в которых определена некоторая операция .

Определение 1. Будем говорить, что в множестве М определена некоторая операция*, если установлено соответствие, при котором каждой паре элементов а М и Ь М сопоставь ляется некоторый определенный элемент с М, называемый результатом операции над а и Ь .

Таким образом, согласно этому определению задание операции означает в сущности задание функции двух аргументов f(a, Ь), определенной для всех а и Ь, входящих в М, значения которой также представляют собой элементы этого множества .

В большинстве случаев мы будем иметь дело с множествами, для которых определены две операции: сложения и умножения .

Будем, как это общепринято, результат сложения а и Ь называть суммой слагаемых а и Ъ и записывать в виде a-\-b, a результат умножения называть произведением множителей а и Ъ и записывать в виде ab .

Будем считать знакомыми читателю такие основные математические понятия, как „группа", „аддитивная группа", „кольцо", „поле". Как обычно, кольцо называется кольцом с делителями нуля, если в нем существует хотя бы одна пара элементов а и Ъ, таких, что афО, ЬфО и а-Ь — О. Кольцо называется кольцом без делителей нуля, если для любых двух его элементов а и Ь, таких, что а ФО и ЬфО будет также аЬО

–  –  –

Считая известными читателю различные классы чисел, рассматриваемые в этой книге, а именно: числа натуральные, целые, рациональные, действительные, комплексные, мы не будем давать определения соответствующих понятий и обосновывать действия над ними. В этой главе мы ограничимся только перечислением основных понятий, операций и тех их свойств, с которыми мы будем встречаться в книге .

Натуральный ряд чисел будет, как обычно, обозначаться в виде 1, 2, 3, 4,..., а отдельные его элементы—называться натуральными числами. Натуральный ряд чисел обладает следующими основными свойствами, называемыми аксиомой индукции и аксиомой Архимеда .

Аксиома индукции. Если некоторое множество натуральных чисел содержит единицу и вместе с каждым натуральным числом, входящим в него, содержит следующее за ним, то оно содержит все натуральные числа .

Аксиома Архимеда. Для любых натуральных чисел а и Ь существует натуральное число с, такое, что Ьса .

Сумма и произведение двух натуральных чисел—функции двух аргументов, определенные во множестве натуральных чисел. Мы не будем напоминать общеизвестные свойства операций сложения и умножения, а также операций со знаками неравенств .

Распространяя понятия суммы и произведения на произвольное число слагаемых и множителей, рассматриваем выражения вида 2 о ; и Ц о,, в частности, при аг = а2=... =as = a последнее произведение обозначается в виде а* и называется s-й степенью числа а. Произведение аЬ можно рассматривать как сумму а-\-а-\-... + а, в которой число слагаемых равно Ь, или как сумму b-\-b-\-... -\-Ь, в которой число слагаемых равно а. Каждое число мы рассматриваем как сумму, состоящую из одного слагаемого, и произведение, состоящее из одного множителя .



С помощью натуральных чисел мы можем считать предметы, т. е., выбирая порядок следования, приписывать соответствующую числовую характеристику отдельным элементам любого конечного множества. Вместе с тем натуральные числа позволяют придавать определенные числовые характеристики конечным множествам в целом, приписывая всем множествам с одинаковым числом элементов одну и ту же числовую характеристику. Для натурального ряда чисел, пользуясь аксиомой индукции, доказываются следующие теоремы .

Теорема I. Всякое непустое подмножество натуральных чисел содержит наименьшее число .

Теорема II. Всякое конечное подмножество натуральных чисел содержит наибольшее число .

Теорема III. Если известно, что некоторое утверждение:

1) верно для 1; 2) из предположения, что утверждение верно при некотором п, вытекает, что оно верно для л + 1, то это утверждение верно для всех натуральных чисел .

Теорема IV. Если известно, что некоторое утверждение:

1) верно для натурального числа а; 2) из предположения, что утверждение верно для всех натуральных чисел k, таких, что a^k.n, вытекает, что утверждение верно для п, то утверждение верно для всех натуральных чисел k^a .

Если утверждение сформулировано в терминах, имеющих смысл только для натуральных чисел, не превосходящих N, то из посылок 1) и 2), где n^N, следует справедливость утверждения для всех натуральных чисел k, таких, что a^k^N .

Мы не будем приводить доказательства этих известных теорем .

Доказательства, в которых используется аксиома индукции или одна из теорем: III или IV, мы будем называть доказательствами методом математической индукции (индукция по л) .

Для двух множеств с одинаковым числом элементов имеет место общий принцип, который мы сформулируем, называя условно элементы одного множества „ящиками", а второго — „предметами". Этот принцип мы будем называть „принципом ящиков" .

Теорема V („принцип ящиков"). Пусть имеется некоторое число „ящиков"1 и „предметов". Если известно, что: 1) каждый предмет лежит в каком-то ящике; 2) ни в одном ящике не лежит более одного предмета; 3) число предметов равно числу ящиков, то в каждом ящике лежит один и только один предмет .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Обозначим число ящиков через п .

При п=\ утверждение очевидно .

Возьмем л 1 и предположим, что хотя бы один ящик пуст .

Тогда (условия 1 и 3) в остальных п—1 ящиках лежит п предметов, а это противоречит тому, что в п—1 ящиках может лежать (условие 2) не более п—1 предмета. Предположение, что хотя бы один ящик пуст, привело нас к противоречию;

значит, все ящики не пусты. Поскольку согласно условию 2 в каждом ящике лежит не более одного предмета, то мы и получаем, что в каждом ящике один и только один предмет .

Определение 2. Пусть мы имеем п множеств Мг, М2 Mh .

Комплексами из элементов этих множеств будем называть множества ((аи аг,...,ап)), где аг, аг,..., а„—элементы, взятые так, что аг Л^, а 2 Мг,..., ап М„, причем выбор элементов может быть подчинен и некоторым дополнительным условиям .

В частности, множества Л^, М а,...,Мп могут совпадать, и тогда комплексы представляют собой занумерованные наборы из элементов одного и того же множества. Элементы аг, входящие в комплекс, будем называть элементами комплекса .

Два комплекса ((а,, а 2 а„)) и ((blt bz,..., Ь„)) будем считать равными тогда и только тогда, когда a1 = b1, а 2 = 6 2,.. .

, а„ = Ь„. Комплекс из двух элементов ((aL, а 2 )) обычно называют парой .

Теорема VI. Если элемент at может быть выбран sx способами, элемент а2 выбран s 2 способами и т. д. до элемента ап, который моокет быть выбран sn способами, то комплекс ((aL, а2,..., ап)) может быть выбран sL-s2-...-sn способами .

При л = 1 утверждение тривиально. При л = 2 утверждение справедливо, так как число комплексов ((aL, аг)) получается равным сумме s 1 +... + s 1, где число слагаемых равно s2, т. е .

мы действительно получаем s1-s2 комплексов. Аналогично доказывается, что если утверждение верно для п, то оно верно и для л + 1, и тогда согласно принципу полной математической индукции это утверждение верно для всех л ^ 1 .

Теоремы I, II и IV справедливы для множества целых неотрицательных чисел, если в их формулировках заменить слово „натуральный" словами „целый неотрицательный". Упорядоченное кольцо всех целых чисел нам придется особенно часто рассматривать в качестве объекта изучения в этой книге .

Как известно, все числовые кольца представляют собой кольца без делителей нуля, поэтому для множества целых чисел справедлива теорема .

Теорема VII. Если ak = bk, где a, b и k (=И=0) — целые числа, то а = Ь .

Множество целых чисел дискретно, а именно имеет место следующая теорема .

Теорема VIII. Пусть а и b—целые числа и аЬ, тогда Ь\ Рассматривая степени целых чисел, мы, по определению при афО, считаем а°=\ .

Основную роль во всей арифметике целых чисел имеет теорема о делении .

Теорема 1. Для любого целого а и целого 6 0 существуют, и притом единственные, целые q и г, такие, что a = bq-\-r, 0Ь Число q называют полным или неполным частным, в зависимости от того, равно ли г нулю или нет; г называют остатком от деления а на Ь .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Возьмем числа:

ЬЛ, Ь-2, Ь-Ъ,... (1) При а з » 0 рассмотрим множество М тех чисел в (1), которые больше, чем а. Согласно аксиоме Архимеда М не пусто, а, следовательно (теорема I), во множестве М должно быть наименьшее число, которое мы обозначим через bs'. Обозначим через s число, на единицу меньшее, чем s'; тогда s - | - l = s ' и bs==a6(s+1) .

При а 0, — а 0 мы можем взять множество М тех чисел из (1), которые больше, чем — а, или равны — а, и обозначить через W наименьшее из них; тогда при t = t'—1 будет bt —a*sib(t+ 1), так что

–  –  –

Легко видеть, что пг^п. Действительно, если бы было л х 5* л, то, поскольку g l, г 5*0, мы имели бы n = gnl-\-r* п .

Рассмотрим два возможных случая:

а) Если л х = 0, то п = г, т. е. равенство (3) осуществляется при s = 0, со = г .

б) Если n x ^ = l, то ! ; « ! «, и согласно предположению о существовании представления (3) для всех чисел а:П, т. е., в частности, и для п 1 ( имеем:

–  –  –

Согласно теореме 1 это возможно только при с1 =ед'- +.. .

2J Проводя для ах то же рассуждение, получаем с 1 = с1', затем щ = с'2 и т. д. Теперь легко видеть, что s = t. Действительно, если, например, было бы s.t, то, получив со = с'й, с1 = с'1,---, ся=с^, мы могли бы сократить обе части на общие слагаемые csgs и, поскольку с | 0, получили бы в правой час„, c^g сти (4) положительную величину, равную нулю .

Определение 4. Представление а в виде (3), где при всех i OsCc,-sCg—1 и cs^0, называется представлением числа в системе счисления с основанием g. Числа cs, cs_t,..., с0 называются цифрами числа а .

Для краткости выражение (3) записывают так: a = cscs_l...с0, или даже просто cscs_t... с0 .

Кольцо целых чисел рассматривается как подполе поля рациональных чисел. Рациональные числа мы будем записывать в виде у, где а и Ь 3s 1 целые, т. е. фактически будут рассматриваться как пара целых чисел, у которых знаменатель всегда положителен .

Упорядоченное поле действительных чисел не является объектом специального изучения в этой книге. Как уже отмечалось раньше, во введении, теория чисел изучает только вопросы, связанные с арифметической природой действительных чисел, а именно такие вопросы, как, например, существование уравнения с целыми коэффициентами, корнем которого является данное действительное число, приближение действительных чисел рациональными и т. д .

Действительные числа мы будем обычно обозначать буквами греческого алфавита а, р\ у,.... но иногда, желая подчеркнуть то, что величина рассматривается как переменная,— последними буквами латинского алфавита х, у,... .

Будем считать известными понятия суммы, произведения, разности, частного, степени действительных чисел. Как обычно, пустую сумму будем считать равной нулю, а пустое произведение—равным единице .

Имея в виду интерпретацию действительных чисел на числовой оси, мы будем действительные числа иногда называть точками .

Модуль, или, как иначе говорят, абсолютная величина, действительного числа а обозначается | а | и определяется формулами:

–  –  –

Будем считать известными читателю не только основные понятия алгебры и математического анализа, но и важнейшие их свойства.

Среди таких понятий у нас будут встречаться понятия:

интервала, сегмента, последовательности, счетного множества, континуума, предела, непрерывной функции, ограниченной функции, логарифма, синуса, многочлена, корня многочлена, многочлена неприводимого над данным полем, симметрического многочлена, сходящегося и расходящегося ряда, производной, интеграла и т.д.Напомним только определение периодической последовательности .

Определение 5. 1) Последовательность чисел (7) а0, аи а2 ап.. .

называется периодической, если существуют k^zl и s ^ O такие, что an+k = an при всех n^s .

2) Если k и s—наименьшие числа, удовлетворяющие этим условиям, то k называется длиной периода, a s—длиной предпериода .

3) При s = О, т.е. если существует k^\, такое, что an+k = ап при всех п, последовательность (7) называется чисто периодической .

Периодическая последовательность имеет, таким образом, вид...,aJ+ft_l5as a J + f t _i,... .

а0,...,as_ltas, где после предперйода а0,...., а ^ периодически повторяются одни и те же элементы as,..., as+k^1 .

Чисто периодическая последовательность имеет вид:

где с самого начала периодически повторяются элементы а0, При рассмотрении действительных чисел нам придется пользоваться и соответствующими теоремами, изучаемыми обычно в курсах математического анализа и высшей алгебры. Перечислим несколько основных положений алгебры и математического анализа, на которые мы будем опираться в дальнейшем .

Теорема XI. Для любых двух многочленов f(x) и g(x) над полем Р существуют два многочлена над этим полем q(x) и г (х), таких, что f(x)=g(x)q(x) + r(x), причем степень г(х) меньше, чем степень g(x) .

Теорема XII (Безу—Горнер). Для любого многочлена /(*) = п "1 (л2г1) и числа а f(x) = (x-a)g(x) где Теорема XIII (формула Тейлора). Для любого многочлена f (x)

–  –  –

Л -•• 00 Л -•• 00 Теорема XIX.

Пусть f(x)—непрерывная в сегменте [а; Ь] функция; тогда:

1) f(x) ограничена на этом сегменте .

2) Если f (а) и f (b) имеют разные знаки, то в этом сегменте лежит по крайней мере один корень f(x) .

3) Если с—простой корень f(x), такой, что а.с.Ь, то в достаточно малой окрестности с, слева и справа от с, f(x) принимает противоположные по знаку значения .

Теорема XX. Пусть f (х)—непрерывная в сегменте [а, Ь] функция; т и М—соответственно наименьшее и наибольшее значения f (х) в этом сегменте; тогда

–  –  –

где все a f —целые числа и при i ^ l 0^at^.g—1. Сокращенно формула (8) записывается в виде a = a0, a^..., где alt а2,.. .

называют цифрами дробной части а; а0 называют целой частью a и записывают также в виде ао = [а]. Мы рассмотрим [а] как функцию от а в главе 4. В качестве основания системы счисления большей частью берется gr=10. Известны следующие теоремы .

Теорема XXII. Любое действительное число а единственным образом моокет быть представлено в виде (8), так что при всех i 0^.ats^:g—1 и существуют агФц—1 со сколь угодно большими i .

Бесконечная систематическая дробь (8) называется периодической, если периодической является последовательность цифр Теорема ХХШ. Действительное число а является рациональным тогда и только тогда, когда представление а в виде (8) есть периодическая дробь .

Эта теорема, в частности, означает, что если представление а в виде систематической дроби по некоторому основанию g 1 является периодическим, то периодической будет и систематическая дробь, получающаяся при разложении а с другим основанием системы счисления .

Нам часто придется рассматривать функции при неограниченном росте аргумента, т. е. рассматривать процесс, при котором аргумент становится больше любого фиксированного натурального числа .

Определение 6. Функция f (x) называется асимптотически равной функции а(х), если при х—-оо, т. е. при неограниченном росте х, существует предел отношения '-^- и этот предел равен 1 .

Асимптотическое равенство функций / (х) и а(х) записывается знаком ~, так что /(х) ~ со (х) означает, что lim -^ — 1 .

3 2 г 3 Примеры. 1) х + 2х + \ х~~х ; 2) sin-^-~^;

3) 1п(х + 2) — е~* ~ \пх .

Асимптотическое равенство f(x)~a(x) может иметь место и тогда, когда разность f(x) и со (х) _ f(x) а(х) растет по модулю с увелич е н и е м х, о д н а к о р о с т | / ( х ) — со ( х ) | м е д л е н н е й, ч е м р о с т \f(x)\ и|со(*)| .

Действительно, если lim -\ = 1, Щ\= 1 + б (х), где при х —• оо б (х) —• 0, откуда следует, что f(x) = ш(х) + &(х) а(х), |/(дс) —о(дс) | = |6(дс)|'|о(дс)|. Несмотря на то что 6(х) стремится к нулю, произведение 16 (х) {•{ со (х)\ может неограниченно увеличиваться, хотя и медленней, чем |со (дс) j и |/(дс)|. Так, 3 г 3 в только что данном примере / (х) = х + 2х + \Пс, оа(х) — х, a \f(x) — со (х) | = 2х + ]/*—»-оо при неограниченном увеличении х .

Определение 7. Пусть f (х) и со (х) (со (х) • 0) — две функции, рассматриваемые на некотором множестве значений аргумента х, таком, что х-^-оо. Равенство f (х) = О (со (х)) (читается J(x) равно О большое от со (х)") означает, что существует постоянная Л 0, такая, что \ f (х)\. Аа (х) для всех достаточно больших х, т. е. при х х0 .

Таким образом, О (со (х)) может означать любую функцию / (х), удовлетворяющую при лглг0 условию \f(x)\Aa(x), где А и х0, вообще говоря, различны для различных f(x). Мы можем всегда записать О (со ( * ) ) А со (х) .

П р и м е р ы. 1) (х — l ) a s i n x = O(x a ); 2) i Теорема XXIV. 1) Если f(x) = O (со (х)), g(x) 0, то f (x)g(x) O(a(x)g(x)) 2); Если /(х) = О(со(х)), то О(/(х)) = О(со(х)) .

3) 0(»W)±0(«W) = 0(»(4

4) Ес/ш / (x) = О (ш (х)), то О (/(*)) + О (©(*)) = О (©(*)) .

5) О (со (*)) О (g(x))= О (со (x)g(x)) .

Д о к а з а т е л ь с т в о. 1) Если /(х) = 0(со (х)), т. е. существует А 0, такое, что при х х 0 имеем (/(я) | Лео (х) и g(x)0, то |/(x)g(x)|i4g(x)D(x) .

2) Запись О (f (х)) означает, что f(x) положительна для рассматриваемых значений аргумента. Если f(x)Z Аса (х), то т.е. O(f (х)) = О (© (х)) .

\O{f(x)))AJ(x)AiAa(x),

Обозначив О (/(*)) через f ( x ), мы можем записать это свойство в следующем виде:

Если F (х) = О (/(*)), /(х)=О(а(х)) г то F ( X ) = O ( D ( X ) ) .

Таким образом, символ О обладает свойством транзитивности .

Можно вместе с тем отметить, что этот символ не обладает свойством симметричности. Из f(x) =O(co (х)) не следует со(х) = = О (/(*)). Например, \пх = О(х), но хфО{\пх) .

3) Если для первой из рассматриваемых функций О (со (х)) имеем | О (со (х)) | Лхсо (х), а для второй | О (со (х)) | Л2со (х), то I О (со (х)) ± О (со (х)) | | О (со (х)) | + 1 0 (со (х)) | (А 1 + А,) со (дс) .

4) Если f (х) = 0 (со (х)), то, применяя свойства 2 и 3, данные в этой теореме, получаем О (/(х)) + О (со (х)) = О (со (х)) + О (со (х)) = О (со (д)) .

5)

Пример .

Определение 8. Пусть f(x) и ю (х) (со (х) 0)—две функции, рассматриваемые на некотором множестве значений х, таком, что х—• оо. Равенство / (х) = о (со (х)) (читается J(x) равное»

маленькое от со (х)") означает, что Нт-Ц^у = 0 .

Символ о (со (л:)) может означать, таким образом, любую функцию вида е(х)(о(х), такую, что е(х)~+0 при х—-оо .

Примеры. 1)-1пх = о(х); 2) e -* +.*±j- = 0 ( J r ) .

Частными случаями определений 7 и 8 являются функции вида 0(1) и о(1). 0(1) означает функцию от х, ограниченную по модулю при всех хх0, а о(1)—функцию от х, которая при х—»• оо имеет предел, равный нулю .

П р и м е р ы. 1) ( 1 + ! ] х = 0(1); 2) ГЛАВА 2

ПРОСТЫЕ ЧИСЛА

1. ПРОСТЫЕ И СОСТАВНЫЕ ЧИСЛА

Каждое натуральное число п имеет по крайней мере два положительных делителя: 1 и п. Существуют натуральные числа, которые не имеют положительных делителей, отличных от 1 и самого себя .

Определение 9. Натуральное число р называется простым, если р\ и р не имеет положительных делителей, отличных от \ и р .

Мы будем обычно простые числа обозначать буквой р. Первые простые числа в натуральном ряду:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 4 7,.. .

Определение 10. Натуральное число п\ называется составным, если п имеет по крайней мере один положительный делитель, отличный от I и п. Согласно этому определению, если п—составное число, то у и имеется делитель а, такой, что п — аЬ, где Ь = — тоже такое, что lZbZn .

Все четные числа, кроме 2, составные, так как при n = 2k, / г 1 будет 2 | л и 1 2 л .

Согласно определениям 9 и 10 множество натуральных чисел разбивается на три подмножества: 1) простые числа, 2) составные числа и 3) число 1, которое не причисляется ни к простым, ни к составным числам .

Теорема 15. Если р и рх — простые числа и рфрх, то р\рх .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Положительными делителями простого рх является только 1 и само р,. Простое число рф\ (по определению) и рФРх (по условию), так что р\рхТеорема 16. Для любого натурального числа п 1 наименьший, отличный от единицы положительный делитель всегда представляет собой простое число .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим множество М положительных, отличных от 1 делителей числа п. Множество М не пусто, так как п М(п\п и п 1). Согласно теореме I в множестве М должно быть наименьшее число 71. Если бы q не было простым числом, то существовало бы а такое, что 1 а q и a\q; но так как q\n, то тогда (теорема 6) было бы а\п, что 28противоречит тому, что q—наименьший, отличный от единицы положительный делитель п. Предположение, что q не является простым числом, привело нас к противоречию, следовательно, q—простое число .

Теорема 17. Каждое натуральное число, отличное от 1, можно представить в виде произведения простых чисел .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Каждое простое число мы рассматриваем в виде произведения, состоящего из одного множителя, так что для всех простых чисел, и в частности для 2, утверждение теоремы верно. Предположим, что утверждение теоремы верно для всех к, таких, что 2=^&Сл. Обозначим через р наименьший, отличный от 1 положительный делитель п, который согласно предыдущей теореме должен быть простым числом .

Тогда n = pk'. Если k'=\, то для п = р утверждение теоремы верно. Если k'\, то 2^k'zn и, согласно нашему предположению, k', а следовательно, и п представимы в виде произведения простых чисел, т. е. и в этом случае наше утверждение верно для п. Согласно теореме IV утверждение теоремы верно для всех натуральных чисел п 5= 2 .

Два разложения на простые множители называются одинаковыми, если они отличаются только порядком этих простых множителей; например, разложения 30=2-3-5 и 30 = 5-2-3 считаются одинаковыми. Следующая теорема является основной теоремой арифметики натуральных чисел .

Теорема 18. Для каждого натурального числа п 1 существует единственное разложение на простые множители .

Это значит, что для любого натурального п два разложения на простые множители могут отличаться только порядком этих множителей .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим, что множеством натуральных чисел, для которых единственность разложения на простые множители нарушена, не пусто.

Тогда согласно теореме I в множестве М имеется наименьшее число п, для которого имеются два различных разложения на простые множители:

(1) n = Pi...Ps=*ql...qtСреди простых чисел ри..., ps, qlt..., qt выберем наименьшее: пусть это будет, например, р х. Число р1 отличается от всех fy(I «ss/sstf)i так как если бы Pi = qs, то, сокращая равенство (1) на ри получили бы два различных разложения на простые множители для числа —, которое меньше, чем п. pt.qj при всех / = 1,..., ( и (теорема 15) Pi^q^ .

Мы можем, представив qt в виде q1 = p1k-{-r, где k^l, l s S r ; P i ) подставить это выражение вместо ql в (1). Получим (2) n = pip2...ps = p1kq9...qt+R, где R = rq2...qt .

Из (2) видно (теорема 10), что p^tf, (3) R = rqi...qt = p1l, т. е. r P i 7 i, Rn, так что R, согласно предположению, имеет только единственное представление в виде произведения простых множителей, которое можно получить, разлагая в форт муле (3) г и / на простые множители. Получающиеся тогда из (3) два разложения R на простые множители должны содержать одинаковые простые множители, а следовательно, поскольку РхФЦъ,..., Pi=Qt, Pi\f, что противоречит условию 1 = ^ г р 1 .

Предположение, что множество М не пусто, привело нас к противоречию, следовательно, М пусто, т. е. каждое п 1 имеет единственное разложение на простые множители .

В разложении я = р 1 р 2...ps среди чисел р х, р 2,..., ps могут быть одинаковые простые множители, и если, например, среди них первые k различны, мы можем записать п в виде п = р " 1...pi" .

Если целое число лС0, то — я 0 и, представив — п в виде — n = p i l... p " ', где все р,-—попарно различные простые числа, будем иметь п = — р?\..р° к. Такое представление, как это следует из теоремы 18, тоже обладает свойством единственности .

Определение 11. Каноническим разложением целого числа а 1 называется представление а в виде а = р"'... р*\ где Piy ••., pk~~попарно различные простые числа, alt...,ak—натуральные числа. Каноническим разложением целого числа а ;—1 называется аналогичное представление в виде a= -p^...pl\ При at=... = a f t = 1, т. е. а = р1...pk, число а называют свободным от квадратов .

Каноническое разложение n = al...as—b1...bt можно получить, перемножая канонические разложения чисел а1,..., as или чисел &!,..., bt. Теорема 18 показывает, что результат получится один и тот же. В частности, таким образом, справедлива следующая теорема .

Теорема 19. Если р—простое число, р\а, р\Ъ, то p\ab .

Теорема 20. Если a = ±Pi'-..p" k —каноническое представление числа а, то положительное число d является делителем а тогда и только тогда, когда d = p\1...p\k,... .

O^^^^a^ 0 Pft аь .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть d\a и простое p\d, тогда р\а, следовательно, согласно теореме 18 р должно совпадать с одним из чисел рг,..., рк. Таким образом, в каноническое разложение d не может войти ни один простой множитель, отличный от P L.... рк, т. е. d = p\l... р|* .

Если при всех i 00,-sa,., то а = р*\..р?* = р ? '... р * q, где = р°'~ р *...рй*~р*—целое число, т. е. d\a .

Если же хотя бы одно Р,-а,, то из предположения a — dq, т. е. из а = р1'- •.р** = Pi'- • -Р**7. после сокращения на р?к мы получили бы для целого числа — два различных разложения на простые множители .

Таким образом, d = p\l...p\k является делителем а тогда и только тогда, когда для всех i 0 (},. а, .

Последовательность простых чисел неограниченна. Этот результат был получен еще Евклидом и помещен в IX книге его „Начал" в качестве 20-й теоремы .

Теорема 21 (Евклид). Множество простых чисел бесконечно .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим, что множество простых чисел конечно и состоит из чисел 2, 3, 5,..., р, где р — последнее, самое большое простое число. Рассмотрим натуральное число N = 2-3-5... р + 1 .

так как непосредственно видно, 2\N, 3^N,..., p\N, что при делении N на все числа 2, 3, 5,..., р получается остаток, равный 1 (теорема 2). Таким образом, N не делится ни на одно простое число, т. е. (теорема 16) N=1; а вместе с тем непосредственно видно, что A f l. Предположение, что множество простых чисел конечно, привело нас к противоречию, т. е. простые числа образуют бесконечное множество .

В дальнейшем будет показано, что простые числа, хотя их и бесконечно много, составляют небольшую часть всех натуральных чисел. Можно легко доказать, что в натуральном ряду еуществуют сколь угодно большие промежутки, заполненные сплошь одними только составными числами .

Теорема 22. Как бы велико ни было целое число k^s 1, в натуральном ряду можно найти k составных чисел, непосредственно следующих друг за другом .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Число ( + 1)! = 2 - 3... (+1) делится & на все числа 2, 3,..., + 1, так что среди чисел.(fc+l)! + 2, (fc+l)! + 3 (4) (k+l)\ + (k+l) первое делится на 2, второе на 3 и т. д. до последнего &-го, которое делится на + 1. Таким образом, каждое из этих чисел имеет положительного делителя, отличного от 1 и самого себя, т. е. все числа (4) составные .

Следующая теорема дает критерий, позволяющий судить, является ли натуральное число п простым или составным .

Теорема 23. Если натуральное число п (п 1) не делится ни на одно простое число, не превосходящее Уп, то оно простое .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Если бы п было составным, то п = ab, где 1 а п, 1 6 п. Числа а и Ъ не могут быть одновременно больше, чем У~п~ так как тогда ab было бы больше, чем п. Пусть, например, а^У~п. Поскольку а • 1, у а должен существовать по крайней мере один простой делитель р и тогда р\п, где р,а,У~п~, что противоречит условию .

Очевидно, что если п делится хотя бы на одно простое число, меньшее или равное ]/~п', то оно является составным .

Для того чтобы из множества натуральных чисел выделять простые числа, можно взять все натуральные числа до заданной границы и, пользуясь критерием теоремы 23, определить для каждого из них, является ли оно простым или составным. Более удобен способ отсеивания составных чисел, известный еще греческому математику Эратосфену (276—194 гг. до нашей эры) .

Этот способ, получивший название решета Эратосфена, основан на следующей модификации теоремы 23 .

Теорема 23'. 1) Если в множестве натуральных чисел 2, 3, 4,..., N зачеркнуть числа, кратные первым г простым числам 2, 3,..., рг, то первое (наименьшее) незачеркнутое число будет простым .

2) Если вычеркнуть все числа, кратные всем простым числам р г + 1, то оставдо V~N, т. е. выбрать г так, что pr^\^N шиеся числа будут совпадать с множеством всех простых чисел р, таких, что V~N - p L N .

Д о к а з а т е л ь с т в о. 1) Каждое составное число п делится по крайней мере на одно простое число, меньшее, чем п. Если число п не делится ни на одно простое число, меньшее, чем п, то оно является простым .

2) Каждое составное число п, такое, что VN n sg N, делится (теорема 23) по крайней мере на одно простое Pi^V^n^V^, т. е. на одно из чисел 2, 3,..., pr(pr^ и, следоYN pr+i), вательно, будет вычеркнуто .

Простые числа pVN не делятся на 2, 3,,.., рТ и, таким образом, не будут вычеркнуты .

Теорема дает следующий алгоритм нахождения всех простых чисел ^.N: в множестве натуральных чисел 2, 3, 4, 5, 6,.... N первое число 2 простое. Вычеркиваем все числа, кратные 2;

тогда первое невычеркнутое число 3 простое. Вычеркиваем все числа, кратные 3; первое невычеркнутое число 5 простое и т. д .

Продолжаем этот процесс, пока не вычеркнем все числа, кратные найденным простым числам 2, 3,..., рг, где рг такое, что pr e^ V~N, а следующее простое рг+1 У~Й• Все оставшиеся невычеркнутыми числа дадут нам множество простых чисел, лежащих между У~Ы и N (включая N, если оно простое), а вместе с ранее найденными простыми 2, 3,..., рг мы получаем все простые числа, не превосходящие N .

П р и м е р. Пусть J = 50. Последовательные вычеркивания V дают (рис.

1):

–  –  –

Подчеркнуты простые числа p ^ V ^ S O (2, 3, 5, 7). Остались невычеркнутыми простые числа, лежащие между ]^50 и 50 .

2. ФАКТОРИЗАЦИЯ Процесс представления чисел в каноническом виде мы будем называть факторизацией. Общий метод факторизации заданного числа заключается в том, что л пробуют делить последовательно на простые числа 2, 3, 5,..., рг-^У~п до тех пор, пока не найдется простое число р, такое, что р\п. Если такое р находится, факторизация п сводится к факторизации меньшего числа;

если же среди этих всех простых чисел нет ни одного делителя л, то согласно теореме 23 само л простое .

Для больших л этот алгоритм требует долгих вычислений .

Имеются таблицы, с помощью которых можно производить факторизацию чисел, лежащих в достаточно широких пределах .

Так, например, таблицы Лемера, составленные им еще" в 1909 г., дают для каждого натурального числа п ^ 10000000 величину его наименьшего простого делителя, так что с помощью этих таблиц можно найти каноническое разложение на простые множители для любого числа, лежащего в пределах перьых 10 миллионов .

Многие математики давали ряд способов, рассчитанных на уменьшение объема выкладок, необходимых для факторизации отдельных классов чисел. Некоторые из этих приемов основаны на применении простых алгебраических тождеств .

Если многочлен f(x) представлен в виде произведения двух многочленов - (лг) и ш(х) с целыми коэффициентами, то при ф любом целом л, таком, что 1|(л); 1 и «в (га) 1, f (га), очевидно, представляет собой составное число и факторизация /(га) сводится к факторизации i|) (га) и ш (га) .

П р и м е р (так называемая теорема Софи Жермен) .

Число га4+ 4 при га 1 всегда составное .

2 А. Д. Бухштаб 33 Это следует из того, что л 4 + 4 = (я 2 + 2л + 2 ) ( л а — 2 л + 2 ), где при л 1 оба множителя больше 1 .

Факторизацию чисел можно осуществлять с помощью следующей простой теоремы .

Теорема 24. Рассмотрим при нечетном л=9 числа:

# 0 = л, N, = N„+1, # 2 = так, что вообще л будет составным тогда и только тогда, когда в выражении (5) некоторое Ns = tz, т. е. представляет собой полный квадрат, причем в этом случае л = (/—s)(t + s) .

Доказательство. Из (5) получаем:

–  –  –

Среди отдельных классов простых чисел в свое время значительный интерес вызывал вопрос о простых числах вида 2 " — 1. Интерес к этому вопросу • возник в связи с изучением так называемых совершенных чисел (см. главу 33). Простые числа вида М„ = 2п—1 рассматривались, в частности, французским математиком XVII века Мерсенном, и такие числа получили название простых чисел Мерсенна .

Если число п нечетное составное, то 2"—1 будет также составным числом, так как из п = аЬ, 3 ^ a n, 3 s b n следует 2 о Ь —1 = (2°— При любом четном л 3s 4 числа вида 2"—1 = \22 — \) \22 + \) составные .

Таким образом, 2"—1 может быть простым числом только, если само п = р простое. При простых значениях л = р число 2Р—1 может оказаться простым, но может быть и составным .

Например, при р = 2, 3, 5, 7, 1.3, 17, 19 мы получаем простые числа Мерсенна 2 2 — 1 = 3, 2 3 —1 = 7, 2 5 — 1 = 3 1, 27 —1 = 127, 2 " — 1 = 8 1 9 1, 2 1 7 —1 = 131071 и 2 1 в —1=524287, а при р = 11, 23, 29 числа 2Р—1 составные .

При больших значениях р определение того, будет ли 2Р— 1 простым или составным, требует больших вычислений. Было выяснено, что 2 3 1 —1 (Эйлер, 1750 г.), 2 8 1 —1 (Первухин, 1883 г.), 2 89 —1 и 2 1 0 7 —1 (Поуэрс, 1907 и 1914 гг.) —простые числа .

До 1952 г. самым большим известным простым числом Мерсенна являлось число 2 1 2 7 — 1 ; простоту этого числа, имеющего 39 цифр, установил Люка в 1876 г .

Применение быстродействующих счетных машин позволило за последние годы найти значительно большие простые числа 2Р—1—простое Мерсенна. В 1952 г. было установлено, что число при р = 521, р = 607, р= 1279, р = 2203 и р = 2281 .

В 1957 г. было найдено простое число Мерсенна, 2 3 2 1 7 — 1, имеющее 969 цифр. В 1962 г. были найдены два простых числа Мерсенна 2 4 2 5 3 — 1 и 2 4 4 2 3 — 1, а в 1965 г. еще три простых числа Мерсенна, а именно 2 9 6 8 9 — 1, 2 9 9 4 1 —1 и 2 1 1 2 1 3 — 1. Число 2И213— 1 имеет 3376 цифр и является вообще самым большим из известных нам простых чисел. Существует ли бесконечно много простых чисел Мерсенна? Этот вопрос не решен до сих пор и, по-видимому, является чрезвычайно трудным .

Числа вида 2 " + 1 могут быть простыми только при л = 2 * .

Если п имеет хотя бы один нечетный делитель а 1, то где, как легко видеть, поскольку л ^ З, а ^ З, оба множителя больше 1, так что 2"+1—составное число .

Ферма высказал предположение, что все числа вида Fk = = 22* -f-1 простые; это как будто подтверждалось тем, что при fe = 0, 1, 2, 3, 4 действительно получались простые числа 3, 5, 17, 257, 65 537. Следующее число такого вида 2 2 ' + 1 было 2' 35 уже настолько велико, что Ферма не сумел определить, простое оно или составное .

В 1739 г. Эйлер показал, что это число составное, и тем самым опроверг гипотезу Ферма. Эйлер указал общий путь для факторизации чисел такого вида, доказав, что все делители числа 2t вида 2 + l должны иметь вид т 2 " + 1 .

Простые числа вида 2 ак + 1, как известно, связаны с задачей построения правильных многоугольников с помощью циркуля и линейки. Гаусс доказал, что правильный многоугольник может быть построен с помощью циркуля и линейки тогда и только тогда, когда число его сторон п равно 2ар1-р2... ps, где все простые числа р,- имеют вид 2а* + 1. Среди первых 1000 значений п(п\) имеется всего только 54 числа такого вида .

Неоправдавшееся предположение Ферма, что все числа вида 22'1 + 1 простые, естественно ставит задачу построения других функций f{k), значениями которых при всех натуральных k являлись бы только простые числа. Функции, которые принимают подряд много простых значений, были известны давно .

Эйлер указал интересный многочлен х2—* + 41, который при всех целых х от 0 до 40 включительно принимает только простые значения. При л = 41 и x = i2 значения этого многог члена будут, однако, уже составными числами. Легко видеть, что вообще многочлен с целыми коэффициентами не может при всех натуральных значениях аргумента принимать только простые значения .

Теорема 25. Любой многочлен с целыми коэффициентами при некотором натуральном значении аргумента принимает значение, представляющее собой составное число .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть / (х) = аохп-{-а1хп~1+... +ап, где все а,- — целые числа. Предположим, что при некотором k f(k) = p, где р — простое число. Известно, что многочлен степени л принимает одно и то же значение не больше, чем в л точках, так что найдется такое целое * 1, что f(k + pt)^=p. Разлагая

f{k-{-pt) по степеням pt, получаем:

(6) где все с,-—целые числа. Поскольку f(k) = p, из (6) получаем, что p\f(k-{-pt), так что f{k-\-pt)^~составное число .

П р и м е р. Многочлен х2 + Злг + 1 принимает простые значения при х = 1, 2, 3, 4, 5. Однако поскольку / (1) = 5 и / (6) == 5, ^ то /(6) согласно доказательству теоремы 25—составное число .

Действительно, /(6) = 55. Точно так же из /(2) = 11 и f (13) =^11 следует, что /(13) = 209—составное число .

В теореме 25 предположение, что рассматриваемая функция — многочлен, существенно .

Известен вид некоторых функций f(x), принимающих при всех натуральных значениях аргумента только простые значения .

Так, например, Миллс в 1947 г. доказал, что существует действительное число а, такое, что f{x) = [a*"] при всех целых jt^s 1 принимает значения, представляющие собой простые числа .

В 1951г. Нивен несколько уточнил эту теорему, показав, что для любого с-д- существует а, такое, что [асХ] при всех целых х 5 * 1 — всегда простое число .

Исторические комментарии ко 2-й главе

1. Евклид—великий древнегреческий математик, живший около 300 г. до нашей эры. „Начала" Евклида—важнейшее произведение всей древнегреческой математической культуры .

Основное его содержание— изложение системы геометрии, однако в нем рассматриваются и некоторые теоретико-числовые проблемы .

Теорема 19 в несколько другой форме имеется в „Началах" Евклида .

2. Теорема 18 по своему содержанию давно известна и часто неосновательно рассматривалась как очевидное положение .

Точная формулировка с доказательством этой теоремы была впервые дана Гауссом .

3. Эратосфен (276—196 гг. до нашей эры) был главным библиотекарем знаменитой Александрийской библиотеки. Помимо исследования расположения простых чисел в натуральном ряду, занимался изучением так называемых многоугольных чисел .

Эратосфен был более известен не как математик, а как географ и астроном, сделавший, в частности, на основании измерения длины меридиана между Александрией и Ассуаном довольно точный расчет величины земного шара. Он занимался также хронологией древней истории .

4. Фибоначчи (Леонардо Пизанский) был первым математиком, указавшим, что для нахождения делителей числа п достаточно испытать делимость этого числа на числа, не превосходящие ~\fn .

5. Теорема 24 основана на идее способа факторизации Ферма .

6. Мерсенн (1588—1648) рассматривал простые числа вида 2"—1 в своем сочинении „Cogita physico-mathematica". Тот факт, что числа 2 1 7 —1 и 2 1 9 — 1 простые, был установлен итальянским математиком Катальди (1552—1626) до Мерсенна. В сущности простые числа, носящие имя Мерсенна, встречались еще в трудах древнегреческих математиков .

Если взять последовательность s1. s2,..., s f t..., n i e s 1 ==4, sft = s*_ 1 — 2, то (критерий Люка) Mp~2p—1 при простом р будет. простым числом Мерсенна тогда и только тогда, когда (rriodp). В настоящее время числа Мерсенна находят, sp_1^0 применяя быстродействующие.электронно-вычислительные машины, обычно используя при этом критерий Л ю к а... .

37:

По-видимому, большая часть чисел вида 2Р—1 составные;

например, при простых значениях р в пределах 2 3 0 0 р 3 2 0 0 все числа вида 2Р— 1 оказались составными .

7. В настоящее время известно, что числа вида 2 2 " + 1 составные при k = 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 18, 19, 21, 23, 25, 26, 27, 30, 32, 36, 38, 39, 42, 52, 55, 58, 63, 73, 77, 81, 117, 125, 144, 150,207,226, 228, 250, 267, 268, 284,316, 452, 1945 .

Делители большинства из этих чисел Ферма были найдены только в самое последнее время с помощью электронных вычислительных машин. До сих пор не обнаружено ни одного простого числа вида 2 2 " + 1 при к^Ъ .

8. Первые таблицы для факторизации чисел были опубликованы еще в XVII веке. Одна из них, составленная Пеллем (1668), дает возможность производить факторизацию чисел в пределах до 100 000 .

Таблица, опубликованная Леммером в 1909 г., дает для каждого натурального числа, лежащего в пределах первых 10 миллионов, наименьший простой делитель. Польский математик Я. Кулик (1793—1863), работавший в Пражском университете, составил таблицы для факторизации чисел в пределах до 100 000 000, но эти таблицы до сих пор не напечатаны .

Издана таблица простых чисел, лежащих в пределах первых 11 миллионов натуральных чисел. Таблица первых шести миллионов простых чисел, наибольшее из которых равно 104 395 301, записана в 1959 г. на микропленке .

ГЛАВА 3

НАИБОЛЬШИЙ ОБЩИЙ ДЕЛИТЕЛЬ .

НАИМЕНЬШЕЕ ОБЩЕЕ КРАТНОЕ

1. ОБЩИЕ ДЕЛИТЕЛИ И ОБЩИЕ КРАТНЫЕ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ

Теорема 26. Каждое целое число а=0 имеет только конечное множество делителей .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть d\a, тогда a = dq. Поскольку Ъ, то q=0, и, следовательно (теорема IX), целое число \ q \ ^ l,\ \ \ \ \ \ \d\\\\d\ q\\\ \ Существует только конечное множество целых d, таких, что ]d\\a\ .

Определения 12. 1) Общим делителем целых чисел ах ал называется любое целое d, такое, что d\a1,...,d\an .

2) Наибольшим общим делителем целых чисел аг,..., аа называется такой положительный общий делитель аг,..., ап, который делится на любой другой общий делитель этих чисел .

Наибольший общий делитель числа ах,...,ап обозначается

–  –  –

^ Y ^. так что ^ ^ m i n (o^,..., ys) ks^as и согласно той же теореме 20 6 | d. Поскольку для d выполнены все условия (1), определяющие наибольший общий делитель данных чисел, то d = (ai,...,ап) .

Если a j ^ O,..., апф0 и (a 1 ?..., а„) =d, то и (а х,..., а„, 0,..., 0 ) = d .

Действительно: 1) d 0 ; 2) d\ax,..., d\an и d | 0,..., d | 0 ;

3) если б—делитель всех чисел alt..., а„, 0,..., 0, то б, в частности, делитель ах,...,ап и 6 | d .

Таким образом, наибольший общий делитель существует и тогда, когда часть чисел равна нулю .

Теорема 27 дает вполне определенный алгоритм для нахождения наибольшего общего делителя d конечного множества целых чисел а1 а„. Если среди этих чисел есть хотя бы одно, равное ± 1, то очевидно, что d= 1. Если все они отличны от ± 1, то оставляем только те из них, которые отличны от нуля, записываем их в канонической форме, а затем дописываем недостающие простые множители с показателями, равными нулю, т. е. берем их в виде (3); наибольший общий делитель находится тогда по формуле (2) .

Если все а,- равны нулю, то любое целое число 6 будет их общим делителем, и не существует целого d, которое делилось бы на все эти б, т. е. в этом случае наибольшего общего делителя не существует .

П р и м е р. Найти наибольший общий делитель чисел а = 1000000 001 и 6=1000000000000001, записанных в двоичной системе счисления .

Переходя к десятичной системе, получаем:

оз _i_ I W 9 3 -I- 1 ^ = ^7 -Q = З 3 • 1Q 99 _|_ 1 /ов „ 6 = 2 1 5 + 1 = ( 2 1 0 — 2 5 + 1)(2 5 + 1) =993-33 = З а -11-331, так что d = 3 2 = 9 .

Теорема 28. Наибольший общий делитель чисел at ап всегда больше любого другого общего делителя этих чисел .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть d = (a1 an). Возьмем любой другой общий делитель б этих чисел (8^=d). Согласно определению наибольшего общего делителя ((1), условие 3) 6|d, так что d = Sq, и поскольку d 0, | d | = | 6 | - | ^ |, \q\=0, т. е .

\q\^\, d^\8\^8^=d, так что i6 .

Теорема 29. Если (аг an)=d, b\d и bQ, то \ ' •'• ' b ) ~ Ъ '

–  –  –

Из доказательства легко видеть, что если взять не два, а больше чисел, т, е. взять а х 0,..., а „ 0, где п^З, то произведение ах... ап может оказаться больше, чем произведение dm наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного .

2. АЛГОРИТМ ЕВКЛИДА Нахождение наибольшего общего делителя по формуле (2) возможно, если предварительно найдены канонические разложения рассматриваемых чисел. Для очень больших чисел нахождение таких разложений сопряжено с большими трудностями .

Для нахождения наибольшего общего делителя двух чисел существует еще другой алгоритм, который был дан Евклидом .

Алгоритм Евклида базируется на теоремах 35—37, в которых, не оговаривая этого каждый раз, мы будем все рассматриваемые величины предполагать целыми числами .

Теорема 35. Если Ь\а и 6 0, то (а, Ь) — Ь .

Д о к а з а т е л ь с т в о. 1) 6 0 ; 2) Ь\а и b\b; 3) если Ща и б|6, то, в частности, ЩЬ. Поскольку для b выполнены все условия (1), определяющие наибольший общий делитель а и Ь, то (а, Ь) = 6 .

Теорема 36. Если a = bq + r, то (a, b) = (b, r) .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть (a, b) = d; тогда: 1) d 0 ; 2) из d\a, d\b и r = a — bq следует (теорема 11) d\r; 3) если 8\Ь, 8\г, то 8\а; б—общий делитель а и Ь, и, следовательно, 8\d .

Таким образом, все условия, определяющие d в качестве наибольшего общего делителя чисел b и г, выполнены: (а, Ь) = = d = {b,r) .

Теорема 37. Для любых целых а и 6 0, где Ь\а при некотором s существуют целые числа q0, qx qsur1,r2 rs, .

такие, что b rx r2... rs 0, (6)

–  –  –

где b гх г2. .

. О J Процесс построения равенств (7) не может быть бесконечным, так как тогда существовало бы бесконечное множество различных натуральных чисел rk, лежащих между 0 и Ь. Вместе с тем по условию самого построения процесс заканчивается только, если некоторое rs+1 = 0. Тем самым доказано, что при некотором s будет rs+1 = 0, так что (7) заканчивается соотношением rs-i=^r/]s, и мы получаем (6), причем b rx г 2... rsQ .

Пользуясь теоремами 36 и 35, получаем:

–  –  –

3. ВЗАИМНО ПРОСТЫЕ ЧИСЛА

Определение 14. Числа а1г..., ап называются взаимно простыми, если {ах ап)=\, т. е. если наибольший общий делитель этих чисел равен 1 .

Определение 15. Числа ах ап называются попарно взаимно простыми, если (ah aj) = 1 при всех 1ф / (1 = ^ «s п, 1 ^ / «^ п) .

= П р и м е р ы. 1) 15, 21, 77—взаимно простые числа, однако эти числа не являются попарно взаимно простыми .

2) 34, 53, 99, 115—попарно взаимно простые числа, следовательно, тем более взаимно простые .

Теорема 38. Два числа а и Ь, отличные от 0 и ± 1, взаимно просты тогда и только тогда, когда их канонические разложения не содержат одинаковых простых множителей .

Д о к а з а т е л ь с т в о. 1) Пусть (а,Ъ)=\. Если бы для некоторого простого числа р было р\а и р\Ь, то р являлось бы общим делителем а и Ь, а поскольку (a,b) = l, то было бы

2) Если канонические разложения а и Ь не содержат общих простых множителей, то а и Ь можно записать в виде:

–  –  –

Предположим, что утверждение верно для любых п попарно взаимно простых чисел ( п ^ 2 ). Возьмем любые п+\ попарно взаимно простых числа аи...

, ап, ап+х; а „ + 1, будучи взаимно простым со всеми числами ах ап, взаимно просто с их произведением (теорема 42), и тогда согласно сделанному предположению и тому, что при л = 2 утверждение теоремы верно, получаем:

[«1 ап], ап+1] = [а х... ап, ап+1] = ап,ап+х] = [[а1 = а х... апап+1 .

Согласно принципу полной математической индукции утверждение теоремы верно при любом л 2 .

Теорема 48. Если ах ап—попарно взаимно простые числа и ах\Ь ап\Ь, то ах... ап\Ь .

Д о к а з а т е л ь с т в о. По условию Ь—общее кратное ах ап .

Наименьшее общее кратное попарно взаимно простых чисел ап, равное (теорема 47) ata2... ап, согласно теореме 32 ах должно быть делителем любого общего кратного этих чисел, т. е., в частности, делителем Ь .

–  –  –

Теорема 49. Пусть а—действительное положительное число, d—целое положительное. Число положительных чисел, не превосходящих а и делящихся на d, равно \-т\ • Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим положительные числа, кратные d и непревосходящие а; пусть наибольшее из них будет равно sd, так что ( s + l ) d уже больше, чем а; число таких чисел d, 2d, 3d sd

–  –  –

Д о к а з а т е л ь с т в о. Между [а] и а нет целых чисел, и поэтому число чисел, кратных d, в сегменте 1, [а], равное согласно предыдущей теореме ^г равно также величине Нг, выражающей число чисел, кратных d в сегменте 1, а .

Теорема 51. Для любого действительного числа а разность [а]—2 -?- может равняться только 0 или 1 .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Для любого а имеем а—1[а]==а, так что • т. е. целое число [а]—2 -S- может равняться только 0.или 1 .

Теорема 52. Пусть р—простое число, п~^\ целое. Для показателя а наивысшей степени р, делящей п\, имеем:

–  –  –

2. ТОЧКИ С ЦЕЛОЧИСЛЕННЫМИ КООРДИНАТАМИ

Возьмем на плоскости решетку, образованную всеми точками (х, у) с целочисленными координатами х, у. Функция [а] играет большую роль при подсчете таких точек, лежащих внутри у некоторой замкнутой кривой .

Теорема 53. Пусть f (x) — неотрицательная и непрерывная при а^х^Ь функция .

Число точек с целочисленными координатами, лежащими в криволинейной трапеции а •• (исключая, таким образом, точки, лежащие на отрезке оси х), равно Рис. 2 S (6) длина Д о к а з а т е л ь с т в о. При любом целом k(a-^k-^b) отрезка М'М (рис. 2) равна f(k). Число точек с целыми координатами, лежащих на этом отрезке (исключая точку на оси х), равно числу целых значений у, таких, что 0 # s ^ / (&), т. е. равно [f (k)]. Поскольку все точки с целыми координатами в А'АМВВ' располагаются на таких отрезках, где a «S&ss b, то общее число этих точек равно сумме (6) .

Если кривая АВ задана уравнением с параметром, т. е .

и при изменении этого параметра N площадь f(x)"=f(N,x), криволинейной трапеции А'АВВ' неограниченно возрастает, то, естественно, возникает вопрос об оценке порядка роста числа точек с целочисленными координатами, лежащих в этой области .

Интуитивно ясно, что если кривая АВ не является слишком изогнутой, то число таких точек близко к площади фигуры;

однако вопрос о том, как сильно может отличаться рассматриваемое число точек с целочисленными координатами от площади, обычно вызывает серьезные трудности .

Особый интерес для теории чисел представляют случаи, когда кривая АВ есть дуга гиперболы у— — или окружности у = = Vr2—х'г. При рассмотрении числа точек с целочисленными координатами в области, ограниченной гиперболой у = —, нам понадобится следующая теорема .

Теорема 54 .

(7) где С—некоторая постоянная .

Д о к а з а т е л ь с т в о.

Заменяя подынтегральную функцию ее наибольшим и наименьшим значениями, получаем:

–  –  –

Таким образом, соотношение (7) доказано для целых значений х .

Пусть [х]=х—9, где 0 ^ 9 1 ; тогда Число С называют постоянной Эйлера. Из (7) следует, что (9)

–  –  –

(П) Отбрасывая скобки во всех слагаемых суммы правой части равенства (11), т. е. заменив -г- числами -г-, мы изменяем каждое слагаемое меньше, чем на 1, а всю сумму—на_величину, меньшую, чем 2\/~N. С другой стороны, [VAN;] = KiV—0, где 0-в1, так что \УЩ* = (У~й—QT = N + O(VN) .

Из равенства (11), пользуясь теоремой 54, получаем ^ Вопрос о точной оценке числа S(N) может быть поставлен в виде следующей проблемы: в формуле S (JV) = N 1п N + (2С— 1) N + О (N*) (12) получить для б возможно меньшее значение .

Теорема 55, доказанная в 1849 г. Дирихле, дает для б значение б = -s- •Значительно более точный результат был получен в 1903 г. русским математиком Г. Ф. Вороным. Существенно усовершенствовав метод подсчета числа точек с целыми координатами, Вороной получил для б в (12) значение б=-^- + е,гдее — сколь угодно малая положительная величина. Истинное наименьшее значение б в формуле (12) до сих пор неизвестно. Со вре- Рис. 4 .

мени появления работы Вороного было получено много результатов, постепенно уменьшавших б; однако эти уточнения оказались не слишком значительными. Например, в 1959 г. для 5 было получено значение тд + е. Вместе с тем известно, что так что ~4~ ^4б + е З2-4- .

Рассмотрим еще задачу подсчета числа точек с целыми координатами, лежащих в круге с центром в начале координат, радиус которого г неограниченно увеличивается .

Теорема 56. Число А (г) точек с целыми координатами в круге х2 + у2 выражается формулой (13) А (г) = яг + О (г) .

Д о к а з а т е л ь с т в о, Рассмотрим точки с целыми координатами, лежащие в секторе OsSxaSr, OsSi/^j/V —х, т. е .

(рис. 4) в M0N, включая точки, лежащие на отрезках ОМ, ON и дуге MN. Обозначим число этих точек через В (г) .

Для каждой такой точки возьмем квадрат со стороной, равной 1, левая нижняя вершина которого совпадает с данной точкой.

Все эти квадраты заключены в секторе M'ON', ограниченном окружностью:

Действительно, левая нижняя вершина квадрата по условию удалена от начала координат на расстояние, не большее, чем г, а передвижение в пределах квадрата со стороной, равной 1, может изменить расстояние от центра не больше, чем еще на Две единицы .

С другой стороны, часть плоскости, занятая этими квадратами, заключает в себе сектор MON, ограниченный окружностью:

Действительно, если точка (х0, у0) лежит в этом секторе, то она удалена от начала координат на расстояние, не большее, чем г .

Поскольку [x o ]ssx o, [г/оКУо. точка ([х0], [у0]) также удалена от начала координат на расстояние, не больше, чем г, т. е. она является левой нижней вершиной одного из рассматриваемых нами квадратов .

Из [х0]«sх0[х0] + 1, lyo\*Zyo\yo]+] заключаем, что точка (х0, у0) принадлежит этому квадрату .

Число В (г) точек с целочисленными координатами в секторе MON равно сумме площадей всех этих квадратов, т. е. представляет собой величину, заключенную между площадью сектора

MON и площадью сектора M'ON':

–  –  –

45 (г) равно числу точек с целочисленными координатами в круге лг2 + г/ 2 ^г 2, если считать каждую такую точку, лежащую вне осей координат, один раз, точки, лежащие на осях координат,— два раза, а точку (0,0)—четыре раза .

Отсюда следует, что А (г) = 4В (г)—4 [г] — 3 = пг + О (г) .

Оценка (13) была известна еще Гауссу. Применяя метод Вороного, польский математик Серпинский в 1906 г. доказал, что формула верна при v = -T' ^ Ы Л О доказано также, что v y, т. е .

•к-^ v ;-^-. В настоящее время известны оценки А (г) со значенйями V, меньшими, чем -^-, однако точная наименьшая величина v в этой формуле до сих пор неизвестна.' 66 .

Исторические комментарии к 4-й главе

1. Теорема 52 впервые встречается во втором издании 1808 г .

книги Лежандра „Теория чисел". Основные результаты исследований П. Л. Чебышева по теории простых чисел базируются на этой теореме, точнее на формуле (5), которую обычно называют тождеством Чебышева .

2. Теорема 55 была опубликована Дирихле в 1849 г. Немецкий математик П. Лежен-Дирихле (1805—1859), семья которого происходила из Франции, большую часть жизни провел в Берлине. Лежен-Дирихле—один из крупнейших математиков XIX века, оказавший большое влияние на развитие математического анализа и теории чисел. В анализе особенно большое значение имеют его работы по теории тригонометрических рядов и дифференциальным уравнениям математической физики. В теории чисел он доказал основную теорему о простых числах в арифметической прогрессии. Примененные им при этом ряды получили название рядов Дирихле (см. 33-ю и 36-ю главы) .

Дирихле получил фундаментальный результат о числе единиц заданного поля алгебраических чисел и определил число бинарных квадратичных форм с заданным дискриминантом .

3. Формула (11) впервые встречается в работах Шарля Эрмита .

4. Георгий Федосеевич Вороной (1868—1908)—замечательный русский математик, работы которого почти целиком посвящены теории чисел. Г. Ф. Вороной оставил сравнительно небольшое число работ, однако они представляют существенный вклад в теорию чисел. Его работы, посвященные теории квадратичных форм, дают существенное развитие так называемого метода непрерывных параметров. Вороной построил алгоритмы для вычисления основных единиц кубического поля .

Мемуар Г. Ф. Вороного 1903 г. „Об одной задаче из теории асимптотических функций", в котором он получил оценку послужил отправным пунктом исследований асимптоу- тического поведения различных числовых функций. В частности, эта работа оказала большое влияние на формирование методов, развитых в первых теоретико-числовых работах нашего выдающегося современника И. М. Виноградова .

Оценка этой функции имеет чрезвычайно большое значение в теории чисел и рассматривается как одна из центральных ее задач (см. 34-ю главу). Начиная с Дирихле, Вороного и вплоть до нашего времени исследованию, этой функции, обозначенной у нас через S (N), посвящено очень большое число работ .

Работы Вороного по аналитической теории чисел касаются также общих вопросов о методах суммирования функций; один из этих методов получил в математике имя Вороного .

ГЛАВА б

КОНЕЧНЫЕ ЦЕПНЫЕ ДРОБИ

1. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

ЦЕПНЫМИ ДРОБЯМИ

Рациональные числа можно задавать в разной форме, например, одно и то же число можно записать в виде отношения двух целых чисел -г- или в виде систематической дроби по некоторому основанию g, причем эта систематическая дробь может быть конечной или бесконечной, в зависимости от выбора основания системы счисления. Запись в виде систематической дроби имеет ряд существенных преимуществ особенно при приближенных вычислениях, однако существенные неудобства возникают из-за того, что форма записи зависит не только от рассматриваемых величин, но и от основания системы счисления .

В этой главе мы рассмотрим другую форму записи рациональных чисел, а именно представление их в виде так называемых непрерывных или цепных дробей. Большим преимуществом аппарата цепных дробей является то, что выражение любого рационального числа в виде цепной дроби не зависит от какихлибо других величин, кроме самого этого числа. Другие достоинства, а также и недостатки этого аппарата по сравнению с аппаратом десятичных и других систематических дробей будут рассмотрены позже .

Определение 18. Конечной непрерывной дробью называется число, записанное в виде где а0, аг,...,, bs—целые числа .

as, blt b2, Мы будем, конечно, предполагать, что все знаменатели, встречающиеся в этой дроби, отличны от нуля. Очевидно, что величина такой непрерывной дроби может быть записана в виде Р уг, где Р и Q—целые числа .

Если Ъ1 = Ьг=... =bs= 1, а,-^= 1 при всех 1= 1, 2,.... s—1 и а, 1, то такую непрерывную дробь называют о б ы к н о в е н н о й непрерывной дробью или цепной дробью .

Определение 19. Конечной цепной дробью называется число, записанное в виде

–  –  –

Будем для удобства записывать цепную дробь (1) в виде Числа а0, alt..., as будем называть элементами цепной дроби .

Теорема 57. Любое рациональное число равно некоторой конечной цепной дроби .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Любое рациональное число можно представить в виде - J, где Р и Q целые, причем Q S s l.

Алгоритм Евклида для таких чисел Р и Q дает цепь равенств:

–  –  –

откуда получаем:

или в сокращенной записи:

Для целого числа, т. е. в случае Q = 1, в равенствах (2) будет только одно первое равенство Р = 1 - Р + 0, и цепная дробь оборвется на а0= Р .

Естественно поставить вопрос, является ли такое разложение в цепную дробь единственным, т. е. может ли существоР вать конечная цепная дробь, равная -д-, с элементами, отличными от неполных частных а0 полученных в алгоритме Евклида (2). Мы докажем, что каждое рациональное число может быть единственным образом представлено в виде такой цепной дроби. Этот факт существенно зависит от того, что в определение конечной цепной дроби включено условие, что последний элемент a s I ( s ^ O ).

Если бы мы, рассматривая выражение вида (1), допускали для последнего элемента значение, равное 1, то единственность представления уже не имела бы места, например:

2 + ^ 4 + ^3 = 2+ -^4+ ^2 +-^l .

Теорема 58. Существует одна и только одна конечная цепная дробь, равная данному рациональному числу .

Доказательство. Предположим, что существуют две Р различные конечные цепные дроби, равные -д-, т. е .

–  –  –

Для данной цепной дроби будем рассматривать так называемые подходящие дроби:

Определение 20. п-й подходящей дробью ( 0 = / K s ) к конечной цепной дроби (5) будем называть величину

Рассмотрим теперь две последовательности чисел:

Ро, Ри..., Р,я Q o, Qu....

Qs, определенные рекуррентными соотношениями:

–  –  –

Каждая следующая пустая клетка заполняется результатом операций над числами двух предыдущих по горизонтали клеток и соответствующим а „ + 1, стоящим над этой пустой клеткой [см .

формулы (7)] .

П р и м е р. Найти подходящие дроби к цепной дроби

–  –  –

Последняя подходящая дробь, очевидно, равна величине всей конечной цепной дроби./ Рассмотрим ряд свойств подходящих дробей, их числителей и знаменателей .

Теорема 60. При п=\, 2,.... s выполняется равенство

–  –  –

Д о к а з а т е л ь с т в о.

Заменяя в левой части (14) Рп и Qn по формулам (7) и используя теорему 60, получаем:

PnQn-г ~ Pn-*Qn = (Pn-i*n+ Рп-г) Qn-2~Pn-2 (Qn-xan + Qn-г) = .

Теорема 65. Четные подходящие дроби образуют возрастающую, а нечетные подходящие дроби — убывающую последовательность .

3 А. А. Бухштаб

Д о к а з а т е л ь с т в о. Из (14) получаем:

–  –  –

П р и м е ч а н и е. Теорема 68 является также непосредственным следствием теорем 65 и 67 .

Эти теоремы показывают, что подходящие дроби с четными и нечетными номерами являются левыми и правыми концами вложенных друг в друга интервалов, т. е .

–  –  –

ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА

1. КРИТЕРИИ ИРРАЦИОНАЛЬНОСТИ

Множество действительных чисел заключает в себе, в частности, все рациональные числа; все остальные действительные числа называют иррациональными .

Определение 22. Действительное число а называется иррациональным, если оно отлично от всех рациональных чисел, т. е. если хФ~ при всех целых а и Ъ .

Существование иррациональных чисел было доказано еще греческими математиками. Иррациональность числа У2 была известна еще в V веке до нашей эры математикам пифагоровской школы, а доказательство этого часто приписывается Пифагору, хотя точно неизвестно, было ли оно построено им самим или кем-либо из его учеников. Поскольку множество всех рациональных чисел счетно, основную массу действительных чисел составляют иррациональные числа .

В этой главе мы рассмотрим простейшие методы, позволяющие устанавливать иррациональность некоторых классов чисел, а также докажем иррациональность нескольких величин, часто встречающихся в математике. На первый взгляд кажется неоправданным то, что задача доказательства иррациональности какого-либо действительного числа а относится к теории чисел, однако включение такой проблематики в теорию чисел становится сразу ясным, если поставить этот вопрос в следующей форме: доказать, что не существует целых чисел а и Ь, таких, что Ьа = а .

Дадим сначала одну теорему, устанавливающую иррациональность довольно широкого класса действительных чисел, встречающихся особенно часто в школьных курсах алгебры и геометрии .

Теорем а 69. Пусть f (х) = хп -\- сгх" ~* +... + с„ — многочлен с целыми коэффициентами, действительное число а —корень f (x). Тогда а либо целое, либо иррациональное число .

Д о к а з а т е л ь с т в о. О—целое число, так что мы рассмотрим только случай а ^ = 0. Предположим, что а не является иррациональным числом, т. е. что а—рациональное число, а = у, где а и b целые, Ъ~^\, (а, Ь)=1.

Подставляя а = -г- в уравнение /(л:) = 0 и умножая обе части его на Ь", получаем:

— а" = с1а"-1Ь +... + c^ab"-1 + cnbn .

Из этого соотношения непосредственно видно, что Ь\ап .

Поскольку (а, Ь)=1, то (теорема 43) (а", 6 ) = 1 и Ь\а" может быть только при Ь= 1, т. е. а = а — целое число .

П р и ме р. Если натуральное число а отлично от всех п-х степеней целых чисел, то \/а — иррациональное число .

Действительно, У а есть корень уравнения х"—а = 0. Если число у^а не является целым, то согласно теореме 69 оно иррациональное. Например, У 2 — иррациональное число, так как последовательность квадратов целых чисел имеет видО, 1,4,9,.. .

и ни один из эгих квадратов не равен 2. Число /21 иррациональное, так как последовательность положительных кубов целых чисел имеет вид 1, 8, 27,... и ни один из них не равен 21 .

Иррациональность некоторых действительных чисел можно установить с помощью критериев, сформулированных в следующих двух теоремах .

Теорема 70.

Если а— рациональное число, то существует О0 будет такое, что для любой рациональной дроби — фа справедливо неравенство:

–  –  –

то а — иррациональное число .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Если бы а было рациональным, то по теореме 70 нашлось бы с 0 такое, что для любой дроби -у выполнялось бы неравенство (1), а это противоречит тому, что согласно нашим условиям для этого с существует -гфа такое, что имеет место неравенство (2). Предположение,- что а — рациональное число, привело нас к противоречию, значит, а иррационально .

П р и м е р. Доказать иррациональность числа а:

–  –  –

так что а иррационально .

Теорема 72. сли при некотором g l разложение а в систематическую дробь с основанием системы счисления, равным g, содержит сколь угодно длинные конечные цепочки, состоящие из одной и той же цифры, то а —иррациональное число .

Иначе говоря, если в разложении для любого п0 найдутся с л + 1 = с А + 2 = •.. = c f t + n ( n n 0 ), причем иc ck^ck+i k+n=ck+n+i mo а иррационально .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Если бы а было рациональным, то разложение а в систематическую дробь с основанием g было бы периодическим (теорема XXIII). Такое разложение не может иметь одной цифры в периоде, так как для бесчисленного множества п сь+пФск+п+1. Предположение же, что период состоит из нескольких цифр, также противоречит нашим условиям, так как в этом случае не могли бы существовать цепочки из одной цифры длиной больше, чем число цифр в периоде .

П р и м е р. Число а, записываемое в десятичной системе счисления в виде а = 0, 121122... 11... 1 22... 2.... иррациоп единиц п двоек нально .

–  –  –

Мы получаем отсюда т. е. между 0 и 1 лежит целое число. Предположение, что е рационально, привело нас к противоречию, значит, е иррационально .

Теорема 74. Число я иррационально .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим, что я рационально, т. е. я = -^-, где а и b — натуральные числа. При увеличении п 1 / а2 \ " величина - J - ( T - ) —*0; поэтому можно найти п такое, что выполняется неравенство Рассмотрим д л я такого п функцию

–  –  –

где А — целое число. Поскольку в интервале (0; л) подынтегральная функция / (Л;) sin x положительна, интеграл в левой части (7) больше нуля и А 5= 1. С другой стороны, из равенства (4) видно, что при О ^ л г ^ я имеем:

–  –  –

Исторические комментарии к 6-и главе

1. Теорема 69 принадлежит Гауссу .

2. Иррациональность числа л была доказана впервые в 1761 г .

французским математиком Ламбертом. Доказательство Ламберта основано на применении непрерывных дробей. Доказательство, приведенное в этой книге, было дано Нивеном в 1947 г .

3. Арифметическая природа многих величин до сих пор неизвестна. Современным математикам пока не удалось установить, являются ли рациональными или иррациональными некоторые часто встречающиеся постоянные. Так, например, неизвестно, является ли рациональным или иррациональным эйлерова постоянная С (см. теорему 54) .

ГЛА В А 7

С Р А В Н Е Н ИЯ

Во всей этой главе мы будем рассматривать только целые числа и обозначать их латинскими буквами .

Возьмем произвольное фиксированное натуральное число m и будем рассматривать остатки при делении на m различных целых чисел. При рассмотрении свойств этих остатков и проведении операций над ними удобно ввести понятие так называемого сравнения по модулю .

Определение 23. Целые числа а и b называются сравнимыми по модулю т, если разность а — b делится на т, т. е. если т\а — Ь .

Таким образом, сравнение представляет собой соотношение между тремя числами a, b и т, причем т, играющее роль своего рода эталона сравнения, мы называем модулем.

Для краткости мы будем это соотношение между a, b и т записывать следующим образом:

а = b (mod m),

–  –  –

Д о к а з а т е л ь с т в о. Если a==b (mod m), то т\а — Ь. Из й\т, т\а — Ь в силу транзитивности отношения делимости (теорема 6) получаем d\a— b, a = b(modd) .

Теорема 90. Если a = b (mod m), то множество общих делителей а и т совпадает с множеством общих делителей bum .

В частности, (а, т) = (Ь, т) .

Доказательство. Если a = b(modm), то т\а — Ь, a — b=mq, b = a — mq, любой общий делитель б чисел а и т является общим делителем чисел 6 и т, и, наоборот, если Щ и б[/п, то б[а .

Поскольку пара а, т и пара b, m имеют одни и те же общие делители, то и (а, т) = (Ь, т) .

Теорема 91. Если a^b (mod mj}, a = b(modm 2 ),..., a = b(modms), mo a = 6(modm), где m=[mlt m2,..., ms] .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Если a = b(mod trij), a = b (mod tn2),.. .

..., a = b (mod/ns), то тг\а — b, m%\a — b,..., ms\a— b и согласно свойствам наименьшего общего кратного (теорема 32) т\а — Ь .

Сравнения в таком виде, как их здесь рассматриваем, были вредены впервые Гауссом в его знаменитой книге „Disquisitiones arithmeticae" („Исследования по арифметике") .

Исторические комментарии к 7-й главе Карл Фридрих Гаусс родился в 1777 г. в Брауншвейге. Большую часть своей жизни он прожил в Геттингене, где он в 1795 — 1798 гг. был студентом, а с 1807 г. до конца жизни (Гаусс умер в 1855 г.) — профессором Геттингенского университета .

С 15 лет Гаусс начал работать в области теории чисел. Сначала он самостоятельно получил важнейшие результаты в этой области, известные уже его предшественникам, а затем открыл ряд новых фактов исключительной важности .

Гаусс начал писать „Disquisitiones arithmeticae" в 1796 г., и значительная часть этого сочинения им была написана в студенческие годы. Печаталась эта книга крайне медленно и появилась только в 1801 г. В первом отделе книги Гаусс вводит понятие сравнения. Это понятие фактически в неявном виде употреблялось многими математиками до Гаусса, однако только Гаусс точно определил его и систематически развил соответствующую теорию .

Дальнейшие фундаментальные результаты Гаусса, изложенные в этой книге, из которых особенно надо выделить квадратический закон взаимности, явились основой всего последующего развития теории чисел. Большая часть „Disquisitiones arithmeticae" посвящена развитой Гауссом арифметической теории квадратических форм .

В следующие годы, занимаясь различными вопросами математики и ее приложениями, Гаусс не терял интереса к теории чисел и написал две очень важные работы в этой области математики. В целом научное наследие Гаусса очень велико .

Полное собрание сочинений Гаусса было издано еще в XIX веке Геттингенским научным обществом .

ГЛАВА 8

КЛАССЫ

1. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ЧИСЕЛ В КЛАССАХ ПО ЗАДАННОМУ МОДУЛЮ

Определение 24. Классом по данному модулю т называется множество всех целых чисел, сравнимых с некоторым данным целым числом а .

Будем обозначать такой класс знаком а. Таким образом, а обозначает множество всех тех х, которые удовлетворяют условию x~a(mod т). Например, по модулю 10 имеем 73 б 13,—17 3, 8 — 2. В силу свойства транзитивности сравнений все числа класса сравнимы между собой, т. е. имеют одинаковые остатки при делении на модуль .

Теорема 92. Класс чисел, сравнимых с а по модулю т, совпадает со значениями линейной функции a-\-mt при целых значениях аргумента t .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Для каждого х а имеем x^a(modm), т\х — а, x — a = mt, где t — целое, т. е. x = a-\-mt, где/ —одно из чисел: 0, ± 1, ± 2,... Таким образом, значения х находятся среди значений линейной функции а+ mt. Поскольку при любом t имеем а-\- mt = a{mo& m), то значения этой функции при целых значениях t совпадают со множеством чисел, сравнимых с а по модулю т, т. е. с числами класса а .

Эта теорема, в частности, показывает, что каждый класс содержит бесконечное множество чисел .

П р и м е р. По модулю 8 класс 11 состоит из чиселг... — 2 1, — 1 3, - 5, 3, 11, 19, 27,.. .

Теорема 93. а — Ъ тогда и только тогда, когда a = b (mod m) .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Если a = b (mod m), то для любого ха будет jc = a(mod m)\ пользуясь транзитивностью отношения сравнения, получаем je = b(modm), xb. В силу симметрии а и Ь (теорема 77) для любого xb также будем иметь ха. Классы а и Ь, таким образом, совпадают .

Обратное утверждение очевидно. Если а = Ь, то это, в частности, означает, что аЬ, т. е. a = b(modm) .

Введение классов позволяет, таким образом, заменять сравнение равенством соответствующих классов и, наоборот, равенство классов —соответствующим сравнением. Эта теорема вместе с тем показывает равноправность всех чисел класса. Заменяя в некотором классе а число а любым числом Ь, принадлежащим тому же классу, т. е. сравнимым с а по рассматриваемому модулю, мы получаем тот же класс .

Теорема 94. Если два класса имеют хотя бы один общий элемент, то они совпадают .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть с а и с Ьтогда, с = а (mod/n), cssb(modm), так что (теорема 78) assfc(modm) и по предыдущей теореме а = Ь .

Теорема 94 показывает, что два класса по модулю т либо не имеют общих элементов, либо полностью совпадают .

Теорема 95. Если какбе-то число класса по модулю т имеет при делении на т остаток, равный г, то все числа класса имеют вид r-\-mt, где аргумент t принимает любые целые значения .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть а — число некоторого класса по модулю т и а = mq-\-г, где О^г.т.

Тогда (теорема 92) все числа этого класса имеют вид:

–  –  –

Определение 25. Вычетом класса называется любое из чисел, принадлежащих этому классу .

Среди неотрицательных (положительных) вычетов класса, образующих часть множества неотрицательных чисел согласно теореме I, содержится наименьшее число, которое мы будем называть наименьшим неотрицательным (положительным) вычетом класса. В классе (теорема Г) имеется наименьший по абсолютной величине вычет класса .

Теорема 97. Наименьший неотрицательный вычет класса а по модулю т равен остатку от деления а на т .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Обозначим через г остаток от деления а на т, т. е. положим а = тц + г, где 0 =^ г т. Тогда а = г (mod m), а~г. Любое х а имеет вид x = r + mt (теорема 95). При целых отрицательных / будем иметь r + mts^r — m 0, т. е. положительные числа класса получаются при неотрицательных значениях t, а наименьшее среди них, получающееся при / = 0, равно г .

Теорема 98. Обозначим через г остаток от деления а на т;

тогда наименьший по абсолютной величине вычет класса а равен:

I) г, если 0 sg г -~к ; 2) ± г, если г = -д- ; 3) г — т, если у г _т .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Если a = mq-\-r (0 sg r т) и ха, то x = r-\-mt, где t может равняться 0, ± 1, ± 2,.... Наименьшее неотрицательное значение х равно г, а наименьшее по абсолютной величине отрицательное значение х равно г — т .

Если при этом:

1) 0sg;r;-~, Т 0 r l r — т\- Наименьший по абсолютной величине вычет равен г .

2) г = Y (это может быть только при четномт), то г = [ г — т\ .

Имеются два наименьших по абсолютной величине вычета г и г — т = — г .

3) - ^ r m, то \г—т\г. Наименьший по абсолютной величине вычет равен г—т .

Следующая теорема будет иметь существенное значение для дальнейшего .

Теорема 99.

Числа класса а по модулю т образуют k классов по модулю km, а именно классы:

(1) а, а + т, а+2т,..., a+(k — l) т .

Другими словами, значения х, удовлетворяющие сравнению x~a(modm), совпадают со значениями х, удовлетворяющими одному из следующих сравнений:

х = а-{-т (mod km), х~а (modkm), x~a-\-2m(modkm),..., x = a-\-(k—l)m(modkm) .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Возьмем некоторый класс а по модулю т. Числа этого класса имеют вид a-\-mt, где t — 0, ± 1, ±2,..., т. е .

..., а—2т, а — т, а, а + т, а-\-2т,... (2) Докажем, что находящиеся среди них числа (3) а, а-\-т, а-\-2т,..., a-\-(k—\)т попарно несравнимы по модулю km, т. е. принадлежат различным классам по этому модулю. Действительно, абсолютная величина разности между двумя из чисел (3) будет положительной и вместе с тем не больше, чем разность между самым большим из них a-\-(k—\) т и самым маленьким а, т. е. не больше, чем (k—\)т. Такая разность не может делиться на km, а следовательно, среди этих чисел нет сравнимых по модулю km .

Таким образом, классы..., а-\- (k—\) а, а-\- т, а-\-2т, т по модулю km различны, причем очевидно, чго все числа каждого такого класса целиком входят в множество (2) .

Докажем теперь, что любое число из (2) сравнимо с одним из чисел (3) .

Действительно, любое число из (2) имеет вид a-\-Nm. Представим N в виде N — kq + r (О =^r s^k — 1). Тогда = a-\-rm-\-kmq==a-\-rm (modkm), где а-\-гт — одно из чисел множества (3). Таким образом, все числа класса а по модулю т принадлежат к различным по модулю km классам (1), не содержащим каких-либо чисел, отличных от чисел вида (2), и теорема тем самым доказана полностью .

2. КОЛЬЦО КЛАССОВ

Введем в множестве классов по модулю т две операции, которые будем называть сложением и умножением классов .

Определение 26. Суммой классов а и Ь называется класс а + Ь, т. е. класс чисел, содержащий число а + Ь .

Определение 27. Произведением классов а и b называется класс ab, т. е. класс чисел, содержащий число аЬ .

Поскольку каждый класс содержит бесконечное множество чисел, то при сложении и умножении классов а и Ъ числа а и Ь можно заменять любыми числами а' и &', принадлежащими этим же классам. Возникает вопрос, меняются ли при этом определенные нами сумма и произведение классов .

Легко доказать, что определенная нами сумма классов единственна и не зависит от выбора отдельных представителей классов, используемых при составлении суммы .

Действительно,еслиа' а, Ь' b, Toa'=a(modm), b'=b(modm) и, применяя свойства сравнений (теоремы 83 и 84), получаем:

а' + Ь' = a + b (mod m), a'b' ^=ab (mod m), т. е. (теорема 93) a' + b' = a + b, аЧ/^аЬ .

Мы видим, таким образом, что сумма и произведение классов не меняются от замены а и b числами а' и Ь'. Сумма классов а и b содержит сумму любого числа а' а и b' b, а произведение классов а и b содержит произведение любых таких чисел а' и Ь' .

Для суммы классов верно и обратное, а именно любое число са + Ь можно представить в виде с = а'' Л-Ь'', где а'а, b'b .

Действительно, сa + b = a + b означает, 4Toc = a + b(mod m), с—a = b(modm), с—ab, т. е. с можно представить в виде с = а-\-(с—а), где аа, с—аЬ .

Например, в кольце классов по модулю 6 (см. стр. 79) класс 2 представляет собой сумму классов 3 и 5. Любое число класса 3, сложенное с любым числом класса 5, дает некоторое число класса 2, и каждое число класса 2 является суммой некоторых двух чисел из классов 3 и 5" .

Для произведений положение меняется. Вообще говоря, не всякое число из класса а-b можно представить в виде произведения двух чисел из классов а, Ь. Например, при т = 7 произведение 5 - 3 = 1, но 1 нельзя представить в виде произведения двух чисел, дающих при делении на 7 остатки 3 и 5. Соотношение 3 - 5 = 1 означает здесь только то, что любое число из класса 3, умноженное на любое число из класса 5, дает некоторое число из класса 1 .

Среди классов особое место занимает нулевой класс, состоящий из чисел, остаток от деления которых на модуль равен нулю, т. е. из чисел, делящихся на модуль.

Мы имеем для любого класса а:

Теорема 100. Множество классов по данному модулю представляет собой аддитивную группу .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Проверим для множества классов по некоторому модулю т справедливость условий, определяющих аддитивную группу .

У с л о в и е 1 (замкнутость операции сложения) .

Действительно, по определению сумма классов а и b по модулю т представляет собой единственный, вполне определенный класс по этому же модулю .

У с л о в и е 2 (сочетательный закон для сложения) .

Действительно, + с) = а + (Ь + с) = а+(Ь + с) = (а + У с л о в и е 3 (существование нулевого элемента). Роль нулевого элемента выполняет класс 0 .

Действительно, выше было показано, что а-\-0 = а .

У с л о в и е 4 (существование для каждого элемента противоположного ему). Для класса а противоположным классом является класс —а, т. е. класс, содержащий число —а .

Действительно, а + (=Б) = а + (—а) = 0 .

У с л о в и е 5 (переместптельный закон для сложения) .

Действительно, Ъ = Ь-\-а .

Можно отметить, что при проверке выполнимости условий 1—5 для классов существенно использовалась справедливость этих же условий для множества целых чисел .

Установив, что множество классов есть аддитивная группа, мы можем считать доказанными для классов все те свойства, которые верны для всех аддитивных групп, например: 1) существует единственный нулевой элемент (класс) 0; 2) для каждого класса а существует единственный противоположный элемент (класс) —а; 3) операция вычитания всегда выполнима и единственна, причем а—b = a + (— b) .

Теорема 101. Множество классов по данному модулю представляет собой коммутативное кольцо .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Проверим выполнимость условий, определяющих коммутативное кольцо, пользуясь тем, что само множество целых чисел представляет собой коммутативное кольцо .

У с л о в и е 1 (множество представляет собой аддитивную группу) .

См. теорему 100 .

У с л о в и е 2 (замкнутость операции умножения) .

Действительно, по определению произведение классов а и Ь представляет собой единственный вполне определенный класс ab .

У с л о в и е 3 (сочетательный закон для умножения). Действительно, ~a(b' с) = а (be) = a (be) = (ab) с = (ab)c = (a-b) с .

У с л о в и е 4 (переместительный закон для умножения) .

Действительно, а -Ъ = ab = ba = b • а .

Условие 5 (распределительный закон). Действительно, (а + Ь) с = (а + Ь) с = (а + Ь) с — ас -j- be = ас + be = ас + Ьс .

Поскольку для множества классов проверена выполнимость всех условий, определяющих коммутативное кольцо, теорема доказана. Установив, что множество классов— коммутативное кольцо, мы можем считать доказанными для всех классов все те свойства, которые верны для всех коммутативных колец, например правила действий со знаками, справедливость сочетательного закона при сложении и умножении нескольких классов и т. д .

Кольцо классов представляет собой кольцо с единицей. Роль единичного элемента выполняет класс 1.

Действительно, для любого класса а:

\-а = а-\=а-\ =а .

Обычным для всех колец образом вводятся определения произведения па и степени (а)", а именно:

Определение 28. Пусть целое число л 0, а — класс по некоторому модулю т. Произведением па будем называть класс, равный сумме а-\-а-\-...-\-а, где а повторено слагаемым, п раз .

Произведение—па определим равенством—па = п(—а), а под произведением 0-а будем понимать нулевой класс 0 .

Определение 29. Пусть п 0 целое, а—класс по некоторому модулю т. Степенью (а)" будем называть класс, равный произведению а-а...а, где а повторено множителем п раз. Степень (а) 0 будем считать равной классу 1 .

Теорема 102. 1) Для любого целого с и любого класса а по модулю т са = са .

2) Для любого целого п^О и любого класса а по модулю т имеем (а)" = а" .

Д о к а з а т е л ь с т в о.

Легко видеть, что классы са и са имеют общий элемент са, а классы (а)" и а"—общий элемент а", так что согласно определению классов (определение 24) имеем:

са = са и (а)" =а" .

Определение 30. Пусть f (х) = сохп + с1х"~1-\-...+сп— многочлен с целыми коэффициентами, а—некоторый класс по модулю т; значением этого многочлена по модулю т при х = а будем называть выражение

–  –  –

+ сп • 1 = соап + с ^ " - 1 +... + с а = На) .

Для колец классов естественно поставить вопрос: могут ли такие кольца иметь делители нуля? Оказывается, что кольцо классов может быть кольцом с делителями нуля, а может быть и кольцом без делителей нуля, причем легко установить, в каких случаях будет то или другое .

Теорема 104. Кольцо классов по составному модулю представляет собой кольцо с делителями нуля .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть модуль т — составное число, т. е. т — а-Ь, где 1 а т, 1 Ь т. Из условия 1 а т получаем a ^ O ( m o d m ), а=И=0 и аналогично ЬФО. Вместе с тем a-b = ab = m = 0, т. е. а и Ъ—делители нуля .

П р и м е р. На странице 79 записаны классы по модулю 6 .

В этом случае 2-3 = 0, 2 и 3—делители нуля. Поскольку имеем 3-4 = 0, то 4—также делитель нуля .

Теорема 105. Кольцо классов по простому модулю представляет собой кольцо без делителей нуля .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть модуль т = р—простое число, афО, ЬфО. Тогда a ^ O ( m o d m ), b^O(modm), т. e^pf azp\b, и тогда согласно теореме 19 p\ab, аЪ Щ 0(mod р), а-Ь = аЬфО .

Таким образом, произведение классов, неравных нулевому, всегда отлично от нулевого класса, т. е. кольцо классов в этом случае—кольцо без делителей нуля. Для полноты можно отметить, что при т=\ кольцо классов не имеет делителей нуля .

В этом случае кольцо классов состоит из одного нулевого класса .

Как было отмечено в теореме 93, соотношение равенства для классов может быть записано в виде сравнения для чисел (вычетов) этих классов. Поэтому теоремы 104 и 105 можно записать еще в другом виде .

Теорема 104'. По составному модулю т существуют числа а и Ь, такие, что афО (mod m), b ф 0 (mod m) и притом, однако .

т) .

Теорема 105'. По простому модулю р из афО(пюдр) и b ф 0 (mod p) следует, что а-b ф (mod р) .

Таким образом, произведение двух чисел сравнимо с нулем по простому модулю только тогда, когда по крайней мере один из сомножителей сравним с нулем по этому модулю .

Метод математической индукции позволяет распространить последнее положение на произвольное число множителей. (Произведение s чисел представляется в виде произведения s—1 первых чисел и еще одного последнего.) Таким образом, имеет место следующая общая теорема .

Теорема 105". Произведение нескольких чисел сравнимо с нулем, по простому модулю только тогда, когда по крайней мере один из сомножителей сравним с нулем по этому модулю .

Отмеченная здесь разница в свойствах сравнений по составному и простому модулю является основной для всей теории сравнений и определяет то, что многие теоремы этой теории, справедливые для простых модулей, будут неверными при переходе к составным модулям .

ГЛАВА 9

ПОЛНАЯ И ПРИВЕДЕННАЯ СИСТЕМЫ ВЫЧЕТОВ

1. ПОЛНАЯ СИСТЕМА ВЫЧЕТОВ

Определение 31. Полной системой вычетов по некоторому модулю называется система чисел, взятых по одному из каждого класса по этому модулю .

П р и м е р. Числа 12, —23, 2, 63, — 2, 5 образуют полную систему вычетов по модулю 6 .

Поскольку в полной системе вычетов число вычетов должно равняться числу классов, полная система вычетов по модулю т состоит из т чисел. Обычно в качестве представителей классов берут наименьшие неотрицательные, наименьшие положительные или наименьшие по абсолютной величине вычеты; такие полные системы вычетов называют соответственно: полной системой наименьших неотрицательных вычетов, полной системой наименьших положительных вычетов, полной системой наименьших по абсолютной величине вычетов .

Согласно теореме 97 полной системой наименьших неотрицательных вычетов по модулю т является система чисел: 0, 1,..., т—1, а полной системой наименьших положительных вычетов—система чисел: 1, 2,.... т .

Согласно теореме 98 при нечетном т наименьшими по абсолютной величине вычетами классов 0, 1, 2,..., т~ являются числа: 0, 1,2,..., ^-^—, а для классов ^—,.... т—2, т—\ — числа: =— •••• —^ — 1 ".

поэтому при нечетном т полной системой наименьших по абсолютной величине вычетов является система чисел:

При четном т для класса ( Ц- ] наименьший по абсолютной вет т ~ личине вычет равен + -к- \ если для этого класса, как это обычно принято, взять вычет -к-, то мы получим следующую систему наименьших по абсолютной величине вычетов четного модуля т:

— J + 1,.... - 2, — 1, 0, 1, 2,..., ~ .

П р и м е р ы. 1) 0, 1, 2, 3—полная система наименьших неотрицательных вычетов по модулю 4;

2) 1, 2, 3, 4, 5 — полная система наименьших положительных вычетов по модулю 5;

3) — 4, — 3, — 2, — 1, 0, 1, 2, 3, 4 — полная система наименьших по абсолютной величине вычетов по модулю 9;

4) — 2, — 1, 0, 1, 2, 3—полная система наименьших по абсолютной величине вычетов по модулю 6 .

Полную систему вычетов по модулю т мы будем записывать в виде хг, хг,..., хт, причем, поскольку в полной системе вычетов из каждого класса может быть только один представитель, все X; попарно несравнимы между собой, т. е. при 1ф] Х[фХ] (mod m). Справедливо и обратное утверждение, а именно имеет место следующая теорема .

Теорема 106. Любые т чисел: х1г хг,..., хт, попарно несравнимых между собой по модулю т, представляют собой полную систему вычетов .

Доказательство получается непосредственным применением „принципа ящиков" (теорема V). Будем рассматривать классы как „ящики", а числа х1г хг,..., хт как „предметы" лежащие в соответствующих „ящиках".

Тогда:

1) Каждое из этих чисел принадлежит некоторому классу, т. е. каждый „предмет" лежит в одном из „ящиков",

2) Поскольку любые два из этих чисел х; и xf несравнимы между собой, ни в одном „ящике" не лежит более одного „предмета" .

3) Число чисел т равно числу классов, т. е. число „предметов" равно числу „ящиков". Согласно „принципу ящиков" в каждом „ящике" лежит один и только один „предмет", т. е .

каждому классу принадлежит одно и только одно из этих чисел .

Числа хг, хг,..., хт образуют полную систему вычетов .

Теорема 107. Если (а, т)=\, 0--произвольное целое и х пробегает полную систему вычетов по модулю т, то ахА-Ь также принимает значения, образующие полную систему вычетов по этому модулю .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть х принимает значения xlt x2,..., хт, образующие полную систему вычетов по модулю т .

Составим числа axl-{-b, ax2A-b axm-\-b. Любые два из этих чисел ах;АгЬ и ах;-\-Ь(1Фj) несравнимы по модулю т .

Действительно, если бы было a.v,--}-6 = шс•-f 6 (modm), то отсюда следовало бы ах;~ах} (mod т), и поскольку (а, т) = 1, то согласно теореме 80 *,- = x7-(mod m). При 1ф\ это противоречит тому, что хх, х2,..., хт есть полная система вычетов. Система чисел ах1ЛгЬ, ах2-\-Ь,..., ахт + Ь, содержащая т попарно несравнимых по модулю т чисел, согласно теореме 106 представляет собой полную систему вычетов по этому модулю .

Эта теорема является частным случаем следующей более общей теоремы .

Теорема 107'. Если (a,m) = d, Ь—произвольное целое, х пробегает полную систему вычетов по модулю-г, то -г х-\-b также принимает значения, образующие полную систему вычетов по модулю -^ .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Эта теорема получается из предыдущей, если принять во внимание, что из (a, m)~d следует ( -г, -г ) = 1 .

Теорема 108. Если (a, b)~l, x пробегает полную систему вычетов по модулю Ъ, у пробегает полную систему вычетов по модулю а, с—любое число, то ax + by+с принимает значения, образующие полную систему вычетов по модулю ab .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть х принимает значения хг, х2,... .

хь, образующие полную систему вычетов по модулю Ь, у принимает значения r/j, y2,..., уа, образующие полную систему вычетов по модулю а. Составим числа вида ах;-\-Ьу^-\-с, где \s^.is^.b, l s ^ / ^ a, соответствующие всевозможным различным комплексам ((л:,-, г/7)) .

ЧИСЛО таких комплексов (теорема VI) равно а-Ь. Докажем, что все получающиеся при этом числа вида ах;4- byj-r с попарно несравнимы между собой по модулю ab. Действительно, если '87 y^c = axk-\-byt-\-c(mod ab), то согласно свойствам сравi нений (теоремы 87 и 89) axi-\-byji^zaxkJrbyl (mod 6). Отбрасывая (теорема 88) слагаемые, делящиеся на модуль, получаем ах; = axk (modb) и, поскольку (а, 6 ) = 1, получаем x-t^xk(mod b);

хх, х2,...,xb — полная система вычетов по модулю b и х; = =xk(modb) может быть только при xt = xk. Аналогично имеем У/ = УгТаким образом, составив ab выражений вида ах-\-Ьу-\-с, соответствующих различным парам, x=xh у=-у/, мы получим систему ab попарно несравнимых по модулю ab чисел, т. е. согласно теореме 106 полную систему вычетов по этому модулю .

Эта теорема может быть обобщена на произвольное число попарно взаимно простых модулей в следующей форме .

Теорема 108'. Пусть А = а1-а2-... -as, где все at попарно взаимно просты, Л,- = — ( i = l, 2,..., s), с—произвольное целое, х{ пробегают соответственно полные системы вычетов по модулям а( .

Тогда А1х1 -- А2х2 +... - + - Asxs-\-c принимает значения, образуюf щие полную систему вычетов по модулю А .

Доказательство проводится совершенно аналогично доказательству теоремы 108. Составим а 1 -а 2 " • • • "as чисел вида / 4 ^ + + А2х2-\-... -f Asxs-\-c, соответствующих всевозможным различным комплексам ((хг, хг,..., xs)), где каждое х{ принимает соответственно а; несравнимых по модулю а; значений. Два таких числа вида Ахх[+... -f А^ + с и Ахх^ +... + Д ^ + с, соответствующих различным комплексам {{xlt..., xs)) и {{xlt..., xs)), несравнимы по модулю Л.

Действительно, если бы было A), то (теоремы 87 и 89) было бы также:

... -f Asx's == /4^i +... + A/s (mod a x ) .

\ Так как aL | Л 2,..., ax \ As, то, отбрасывая члены, делящиеся на модуль, имели бы Агх\ ~ АЛхх (mod a 1 ). Тогда поскольку из следует (теорема 42) (at, Л 1 ) = 1, т о (alta2)=l,..., (altas)=l Xi и х\ — два значения из полной системы выx1^x1(moda1);

четов по модулю аг, так что сравнимыми эти числа могут быть только при хх ~хх. Аналогично получаем хг=хг,...,xs=xs, что противоречит тому, что комплексы ((xi,..., xs)) и ((xlt..., xs)) различные. Это доказывает несравнимость по модулю А чисел А чисел такого вида, попарно несравнимых по модулю А, согласно теореме 106 образуют полную систему вычетов по этому модулю .

2. ПРИВЕДЕННАЯ СИСТЕМА ВЫЧЕТОВ

В теореме 90 мы видели, что все числа данного класса, т. е .

все числа, сравнимые с некоторым а по модулю т, имеют с т один и тот же наибольший общий делитель, равный (а, т) .

Определение 32. Наибольшим селителем класса называется наибольший общий делитель какого-либо числа этого класса и модуля .

Определение 33. Классами, взаимно простыми с модулем, называются классы, у которых наибольший делитель равен единице .

Согласно этим определениям классы, взаимно простые с модулем, состоят из взаимно простых с модулем чисел .

Определение 34. Приведенной системой вычетов по некоторому модулю называется система чисел, взятых по одному из каждого класса, взаимно простого с модулем .

П р и м е р. 1, 29, — 5, 71 — приведенная система вычетов по модулю 12, так как из 12классов по этому модулю имеется 4 класса чисел, взаимно простых с модулем, и из всех этих четырех классов здесь взято по одному представителю .

Теорема 109. Если в полной системе вычетов отбросить представителей всех классов, не взаимно простых с модулем, то оставшиеся числа образуют приведенную систему вычетов .

Действительно, в полной системе вычетов имеются представители всех классов, в том числе по одному представителю классов, взаимно простых с модулем. Все остальные числа полной системы вычетов по условию отбрасываются, т. е. остается приведенная система вычетов. В частности, если в полной системе положительных вычетов 1, 2,..., т оставить только числа, взаимно простые с модулем т, то мы получим приведенную систему наименьших положительных вычетов .

Таким образом, очевидно, что число классов, взаимно простых с модулем т, равно числу целых чисел, не превосходящих т и взаимно простых с т. Число таких классов зависит от величины модуля' и является, таким образом, функцией от модуля .

Эту функцию обычно называют функцией Эйлера и обозначают через ф (/и). Мы можем, таким образом, дать два эквивалентных определения этой функции .

Определение 35. Функцией Эйлера ф (т) называется число классов по модулю т, взаимно простых с этим модулем .

Определение 35'. Функцией Эйлера ц (т) называется число натуральных чисел, не превосходящих т и взаимно простых _ ст .

П р и м е р. По модулю 1, очевидно, имеется один класс 1 чисел, взаимно простых с модулем, поэтому ф(1) = 1. По модулю 12, как было указано выше, имеется 4 класса чисел, взаимно простых с модулем 12, т. е. ф (12) = 4. Чтобы определить ф(24), выписываем натуральные числа от 1 до 24 и вычеркиваем числа, имеющие не равные единице общие делители с 24, т. е. числа, делящиеся на 2 и 3. Оставшиеся числа 1, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 образуют приведенную систему вычетов по модулю 24; р(24) равно числу этих чисел, т. е. ф(24) = 8 .

Поскольку приведенная система вычетов содержит представители всех ф ( т ) классов, взаимно простых с модулем т, то приведенная система вычетов состоит из ц(т) чисел. Любая приведенная система вычетов по модулю т представляет собой, таким образом, систему ф (т) чисел гх, г,,,..., где г(т), ri Ф г}(mod т) при г=т=/и для всех i (rh m)= 1. Справедливо и обратное утверждение .

Теорема 110. Любые ф (т) попарно несравнимых по модулю т и взаимно простых с этим модулем чисел представляют собой приведенную систему вычетов .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть г1г г2,..., г.г{т) — любые ф (т) чисел, относительно которых известно: 1) г^ф-г, (modm) при i-ф], 2) (г,., т)=\. Так же как и в теореме 106, применяем „принцип ящиков". Классы, взаимно простые с модулем т, рассматриваем как „ящики", а числа гх, г2,..., г im) — как „предметы" .

Тогда:

1) поскольку все г,- взаимно просты с т, все эти числа принадлежат классам, взаимно простым с модулем, т. е. каждый „предмет" лежит в одном из этих „ящиков";

2) все эти числа попарно несравнимы между собой, т. е .

ни в одном „ящике" не лежит более одного „предмета";

3) число „предметов" (чисел) ф (т) равно числу „ящиков" (классов, взаимно простых с модулем). Согласно „принципу ящиков" в каждом классе, взаимно простом с модулем, лежит одно и только одно из этих чисел, т. е. числа гх, г.2,..., г^{т) образуют приведенную систему вычетов .

Теорема 111. Если (а, т) = 1 и х пробегает приведенную систему вычетов по модулю т, то ах также принимает значения, образующие приведенную систему вычетов по этому модулю .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть х принимает значения гх, гг,..., Гу{т), образующие приведенную систему по модулю т. Эти числа составляют часть полной системы вычетов, и поэтому согласно теореме 107, где мы в данном случае берем 6 = 0, можно сразу утверждать, что числа агх, аг2,..., аг^Ы) несравнимы по модулю т .

С другой стороны, поскольку гх, г2,..., г^т) — приведенная система вычетов, (г;, т ) = 1 при всех 1 г ^ г е ^ ф ( т ). Согласно теореме 42 из (г{, т) = 1 и (а, т)=\ следует (аг{, т ) = 1. Числа агх, аг2,..., о л ? ( я ) образуют, таким образом, систему ф ( т ) попарно несравнимых по модулю т и взаимно простых с этим модулем чисел, т. е. согласно теореме ПО приведенную систему вычетов .

Эта теорема является частным случаем следующей, более общей теоремы .

Теорема 111'. Если (a, m) = d их пробегает приведенную систему вычетов по модулю—г, то -гх принимает значения, образующие приведенную систему вычетов по этому модулю .

Теорема 112. Если (а, b)=l их пробегает приведенную систему вычетов по модулю Ь, у пробегает приведенную систему вычетов по модулю а, то ах + Ьу принимает значения, образующие приведенную систему вычетов по модулю ab .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть х принимает значения г1, г2,..., r,fib), образующие приведенную систему вычетов по модулю Ь, у принимает значения slt s2,..., sr.(a,, образующие приведенную систему вычетов по модулю а. Составим числа вида art-\-bSj, где l s S i s S p ( 6 ), l s ^ / s S p ( a ). Числа тх, r2,..., г{Ь) — часть некоторой полной системы вычетов xlt х2,..., хь по модулю Ь, числа s,, s2,..., s,f{a) — часть некоторой полной системы вычетов ylt y2,..., уа по модулю а. Числа вида ar,-+6sy(l ^ » ^ ф (6), 1 sg/ sS ф (а)) составляют тогда часть чисел вида ах,- + 6г/;(1 sS/ sg&, l s g / s g a ), которые согласно теореме 108 образуют полную систему вычетов по модулю ab. Разобьем числа вида ах{^\-Ьу/ на два подмножества. Первое подмножество составим из тех чисел аХ[ + Ьу;-, у которых (х{, Ь) = 1 и (t/j, a) = 1, т. е. из чисел ar[-\-bSj', второе — и з всех остальных чисел .

Докажем, что числа второго подмножества являются представителями классов, не взаимно простых с ab. Действительно, если ах;-\- Ьу-} принадлежит второму подмножеству, то это значит, что выполнено хотя бы одно из условий: (xh Ь)Ф\, (yJt а)Ф\ .

В случае (*,-, b) = d\ получаем (теоремы 11 и 9) d\ axl• + byJt d\ab, т. е. (ах; + byf, ab)\. Если же (*,-, Ь) = \, то (г/у, а) ф 1, и в этом случае аналогично получаем (ax; + byj, ab)l .

Докажем теперь, что среди чисел второго множества имеются представители всех классов, не взаимно простых с ab. Действительно, если axt + by, — представитель класса, не взаимно простого с ab, т. е. (axt + Ьу/, ab) — d\, то, взяв (теорема 16) простое J число p\d, будем иметь p\axi rbyJ, p\ab, и тогда р—делитель по крайней мере одного из сомножителей ab. Если р\а, то из р \ axt -\- by j с л е д у е т р \ byf, п о с к о л ь к у (а, Ь) = 1 и р\а, т о р\а, р\Ь. Наконец, согласно теореме 19 из p\byt и р\Ь следует | у, т. е., таким образом, р — общий делитель а иу], а значит, (yj )ф Аналогично, если р\Ь, получаем (xh b)^l, т. е. a^yj принадлежит второму подмножеству. Числа ar{-\-bSj (первое подмножество), получающиеся после отбрасывания в полной системе вычетов представителей всех классов, не взаимно простых с модулем (чисел второго подмножества), образуют согласно теореме 109 приведенную систему вычетов .

Г Л А В А 10

ФУНКЦИЯ ЭЙЛЕРА

В этой главе будут рассмотрены основные свойства функции Эйлера ф(т). В соответствии с определением этой функции ее аргумент будем всегда считать натуральным числом. Наша основная цель—получить удобную формулу для вычисления этой функции .

Определение 36.

Функция f{ri), определенная на множестве натуральных чисел, называется мультипликативной, если для любых взаимно простых натуральных чисел а и Ь:

f(ab) = f(a)f(b). (1) Определение 37. Функция f(n), определенная на множестве натуральных чисел, называется вполне мультипликативной, если равенство (1) выполняется для любых натуральных чисел а и Ь .

Очевидно, что множество вполне мультипликативных функций есть часть множества мультипликативных функций .

П р и м е р. Функция f(n) = na вполне мультипликативная, так как

–  –  –

(а-1)6+1, (а—1)6 + 2, (а—1)6 + 3,..., ab ) — и определим число чисел в этой таблице, взаимно простых с ab .

(kb + r, 6 ) = 1 (теорема 90) тогда и только тогда, когда (г, 6) = 1 .

Таким образом, числа, взаимно простые с 6, а тем более и с ab, могут быть только в столбцах с номерами г, такими, что (г, 6) = 1, где 1 ^ г ^ 6. Число таких столбцов по определению равно ф (6) .

Каждый такой столбец состоит из чисел:

г, Ь + г, 26 + л,..., (a-l)b + r, (3) т. е. из чисел вида bx-\-r, где х пробегает полную систему вычетов по модулю а. Поскольку (а, 6) = 1, то согласно теореме 107 числа (3) образуют также полную систему вычетов по модулю а, и, следовательно, в (3) содержится ц (а) чисел, взаимно простых с а. Мы имеем, таким образом, в таблице (2) ф (6) столбцов чисел, взаимно простых с 6, причем каждый такой столбец содержит ф (а) чисел, взаимно простых с а. Если число взаимно просто с b и с а, то (теорема 42) оно взаимно просто с ab .

Таким образом, таблица (2) содержит ф(6)ф(а) чисел, взаимно простых с ab .

С другой стороны, эта таблица содержит все числа от 1 до ab, и, таким образом, в ней ф (ab) чисел, взаимно простых с ab, т. е .

Ф(а)ф(6)= ф(аб) .

Примеры .

1) ф(3) = 2, ф(10) = 4, ф(30) = 8;

2) Ф ( 5 ) = 4, ф(8) = 4, ф(40) = 16;

3) ф(3) = 2, ф(6) = 2, ф(18) = 6 .

В последнем примере ф (3-6) ^=ц (3) ф (6), так как (3,6) = 2 .

Теорема 115. Пусть р— простое число, а ^ 1 — л ю б о е натуральное, тогда ф (р*) = ргх~1(р— 1) .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Число взаимно просто с р" тогда и только тогда, когда оно не делится на р (теоремы 39 и 43). Среди первых р* натуральных чисел имеется (теорема 49) - ^ - = р а ~ 1 чисел, делящихся на р; остальные р"— ра 1 чисел взаимно просты с /Л т. е. Ф (р") = р * - р ' - 1 = ^ - 1 ( ^ - 1 ) .

Теорема 116. Если т = pi'pf...р"!— каноническое разложение числа т, то Ф(т) = р ? ' " 1 р ? ' 1... / э ? ' ~ 1 ( P i - 1 ) ( Р г - 1 ).. ' • ( / », - ! ) .

Д о к а з а т е л ь с т в о. рх, р 2,..., ps в каноническом разложении обозначают различные простые числа, поэтому (теорема 44) pi, р " \...

, р?*—попарно взаимно простые числа и согласно теоремам 114, 113 и 115 имеем:

–  –  –

Полученная сумма равна 2 ( Р(^)* Действительно, произведеf ние 66', где Ь\а и 8'\Ь, очевидно, равно некоторому определенному делителю d произведения ab. С другой стороны, если взять некоторый делитель d произведения ab, то (теорема 45) мы имеем для данного d вполне определенное представление в виде d = 66', где Ь\а, Ь'\Ь .

Равенство dja теперь непосредственно следует из того, что между равными слагаемыми левой и правой частей можно установить взаимно однозначное соответствие, сопоставляя ф(бб') ~ ф(^), если

bb' = d, 6\a, 6'\Ь. Таким образом, получаем:

–  –  –

Исторические комментарии к 10-и главе

1. Леонард Эйлер (1707—1783) родился в Швейцарии. В 1727 г. он был приглашен в Петербург в созданную там незадолго до того Академию наук. Эйлер жил и работал в Петербурге с 1727 по 1741 г. и с 1766 г. до конца своей жизни .

Среди великих математиков XVIII века, создавших основы современного математического анализа, Эйлер выделяется своей исключительной интуицией; даже когда Эйлер, находя новые результаты, обосновывал их не всегда еще строго разработанными в его время методами, конечные выводы его, как это ВЫЯСРШЛОСЬ позже, были всегда серны. В самых различных областях математики и ее приложений с именем Эйлера связано чрезвычайно большое количество новых глубоких результатов, являющихся основой всего дальнейшего ее развития .

В 1729 г. Эйлер начал переписку с членом Петербургской Академии наук Христианом Гольдбахом, проявлявшим большой интерес к теоретико-числовым задачам. Эта переписка и пробудила, по-видимому, интерес Л. Эйлера к теории чисел. Начиная с 1732 г. и до конца своей жизни Эйлер занимался разнообразными вопросами теории чисел и написал свыше 100 работ в этой области .

Работы Эйлера по теории чисел посвящены весьма разнообразным вопросам, в том числе проблеме распределения простых чисел в натуральном ряду, различным задачам теории форм, разбиению чисел на слагаемые. В своих работах Эйлер не употреблял терминов теории сравнений, однако ряд важнейших ее результатов, сформулированных в терминах теории делимости, были получены именно им. Для работ Л. Эйлера в теории чисел характерно стремление использовать методы математического анализа. Это проявилось не только в работах по распределению простых чисел, явившихся, как было отмечено выше, началом аналитической теории чисел, но и в работах по теории разбиения чисел на слагаемые .

Труды Эйлера по теории чисел были изданы у нас в России Академией наук в 1849 г. на латинском языке. Два тома этих трудов под названием „Commentationes arithmeticae collectae" содержат 1235 страниц. Функция р{т), получившая в дальнейшем его имя, была введена им в одной работе, опубликованной в 1760 г .

2. Тождество теоремы 118 встречается впервые у Гаусса .

ГЛАВА 11

ТЕОРЕМЫ ФЕРМА И ЭЙЛЕРА

1. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ Возьмем некоторое натуральное число а, взаимно простое с модулем т, и рассмотрим последовательные степени а:

а, а\ а3,.. .

Все числа этого бесконечного множества распределены в т классах, следовательно, по крайней мере один из этих классов должен содержать бесчисленное множество степ еней а. Взяв иэ этого класса две степени а и обозначив их as и а (, где s; /:з= 1, будем иметь а * = а * (modm) .

S6 Поскольку из (а, /га)=1 следует (а\ т) = 1, то (теорема 80) а*~~*=1 (mod/rc). Таким образом, для некоторого k — s—/ имеем а * = 1 (mod/ra), причем поскольку s /, то&Йэ1. Вместе с тем тогда и при любом натуральном п будем иметь ak = I (mod/га), что доказывает существование бесконечного множества степеней о, принадлежащих классу 1. Конечно, поскольку мы с самого начала имеем известный произвол в Быборе чисел as и а', то соответствующее k не определяется единственным образом.

Например, при т = 43, а = 6 имеем:

б 8 = б 2 (mod 43) и б 1 2 = б 3 (mod 43), так что 6 е = 1 (mod 43) и 69 = 1 (mod 43) .

–  –  –

Эйлер дал несколько различных доказательств теоремы Ферма, из которых первое относится к 1736 г. В 1760 г. Эйлер обобщил теорему, придав ей вид теоремы 120, носящей его имя. Надо при этом иметь в виду, что терминология и обозначения у Ферма и у Эйлера совершенно отличны от современных. Приведенное нами доказательство теоремы Эйлера представляет собой непосредственное обобщение доказательства, данного в 1806 г. для теоремы Ферма математиком Айвори .

2. Вместо функции L(m), определенной формулой (6), можно рассматривать функцию 1{т), такую, что L (m), при Ъ\т, 1 .

L(m), при 8\т, и доказать справедливость сравнения a1 ( m ) = I (modm) при всех а, взаимно простых с т .

Функцию I (т) рассматривал французский математик Люка .

3. Доказано, что для любого натурального числа а существует бесконечное множество составных чисел т, таких, что am-1=l(modm) (Дюпарк, 1955 г.) .

Неизвестно, бесконечно ли множество составных чисел т, таких, что am~1=\(modm) для всех а, взаимно простых с т .

ГЛАВА 12

ГРУППА КЛАССОВ, ВЗАИМНО ПРОСТЫХ С МОДУЛЕМ

1. ГРУППА КЛАССОВ Во множестве классов по любому модулю т всегда выполнимы операции сложения, вычитания, умножения. В этом множестве есть единичный элемент, а именно класс 1. Естественно поставить вопрос о выполнимости операции деления, т. е. выяснить, является ли множество классов группой по отношению к введенной здесь операции умножения. Легко видеть, что множество всех классов по модулю т не является группой. Это следует хотя бы из того, что для нулевого класса не существует обратного элемента. Действительно, при любом х произведение 0• х = 0^=1. Таким образом, из условий, определяющих группу, одно условие здесь нарушено. Вместе с тем если из множества всех классов выделить только классы, взаимно простые с модулем, то имеет место следующая теорема .

Теорема 122. Множество классов, взаимно простых с модулем, представляет собой группу .

Доказательство. Пусть r l t r2,..., г ф ( т )—классы, взаимно простые с модулем т. Проверим, что в этом множестве выполнимы все условия, определяющие группу .

Условие I (замкнутость операции умножения) выполнено, так как если (г,-, т)=\, (ry, m) = l, TO {r-jj, m ) = l и г/у — = Г[ гj — rk, где (rk, m)=\, т. е. произведение классов, взаимно простых с модулем, также представляет собой класс, взаимно простой с модулем .

Условие II (сочетательный закон) выполнено при умножении любых классов (теорема 101) .

Условие III (существование единичного элемента) выполнено, так как класс 1 взаимно прост с модулем и потому входит в наше множество. Наконец, выполнено и условие IV (существование обратных элементов). Если взять любой класс г, взаимно простой с модулем т, то обратным классом (г)'1 будет класс Ф («)-i j также взаимно простой с модулем. Действительно, Г 7" гф ("»)-i = rf = Т, m так как согласно теореме Эйлера гФт= 1 (mod m) .

Класс, обратный классу г, мы будем записывать также 1 1 /-ч 1, в виде —, так что -=-=\г) .

г г Группа классов, взаимно простых с модулем т, представляет собой коммутативную конечную группу, и порядок ее, т. е .

число элементов, равен ц(т) .

В теории групп известна теорема Лагранжа, согласно которой для любого элемента А конечной группы при п, равном порядку группы, имеет место равенство А" = Е, где Е—единица группы. Теорема Эйлера является частным случаем этой теоремы Лагранжа для группы классов, взаимно простых с модулем т. Для этой группы теорема Лагранжа принимает вид ( г ) ф ( т ) = 1, ч т о в дру Г 0 й записи и дает теорему Эйлера rPm = == 1 (mod т) при (г, т) = \ .

2. ПОЛЕ КЛАССОВ ПО ПРОСТОМУ МОДУЛЮ

–  –  –

Таким образом, согласно этой теореме операции сложения и умножения сравнений с дробными членами производятся по тем же законам, как операции с обыкновенными дробями .

Следующая теорема является непосредственным следствием теоремы 101 для случая, когда модуль — простое число .

Теорема 126. Множество всех классов по простому модулю представляет собой поле .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Уже раньше (теорема 101) было доказано, что множество классов по любому модулю представляет собой коммутативное кольцо по отношениям к введенным нами операциям сложения и умножения. Если модуль р — простое число, то, очевидно, существует по крайней мере один класс, например Г, отличный от нулевого. Если класс а ^ О и Ъ—произвольный класс, то р \ а, (а, р) = 1 и, следовательно, согласно теореме 123 существует единственное вполне определенное частное х = =, т. е. ах=Ь .

а Поскольку условие, при котором кольцо является полем, выполнено, теорема доказана .

По составному модулю кольцо классов имеет делители нуля (теорема 104) и, следовательно, заведомо не является полем .

ГЛАВА 13

СРАВНЕНИЯ С НЕИЗВЕСТНОЙ ВЕЛИЧИНОЙ

–  –  –

Возьмем многочлен с целыми коэффициентами:

f(x)=coxn + c1xn-1+,..+cn .

Рассмотрим сравнение /(x) = 0(mod m), которое будем называть сравнением с неизвестной величиной х. Если мы будем в это сравнение вместо х подставлять различные целые числа, то, вообще говоря, некоторые значения х могут удовлетворять сравнению, т. е. соответствующие значения f(x) могут оказаться делящимися на т. Поставим задачу отыскания множества всех таких значений х, причем не исключена возможность и того, что это множество может оказаться пустым. Эта задача аналогична алгебраической задаче нахождения решений уравнения f(x) = Q. В алгебре мы ищем значения х, при которых f (х) обращается в нуль. Решая сравнение / (х) = 0 (mod т), мы ищем значения х, и притом целые, при которых f(x) делится на т, т. е. имеет при делении на т остаток, равный нулю .

Оказывается, что сравнение Дх) = 0 (mod m) либо вообще не имеет места ни при каких значениях х, либо существует бесконечное множество целых чисел х, удовлетворяющих сравнению, причем все эти значения х образуют некоторое число классов по модулю т .

Теорема 127. Если некоторое число а удовлетворяет сравнению /=(*)== 0 (mod/л), то весь класс а состоит из чисел, удовлетворяющих этому сравнению .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть а удовлетворяет сравнению /(х) = 0 (mod т), т. е. /(a)=0(mod т) и ba. Тогда fr = a(modm) и согласно теореме 86 /(fr) = / ( a ) ~ 0 ( m o d m). Таким образом, вместе с а любое число b класса а также удовлетворяет данному сравнению .

Согласно этой теореме если в классе имеется хотя бы одно число, удовлетворяющее сравнению /(x) = 0(mod m), то весь класс состоит из чисел, удовлетворяющих сравнению, а если в классе имеется хотя бы одно число, не удовлетворяющее сравнению, то и весь класс состоит из чисел, не удовлетворяющих сравнению. Принимая это во внимание, естественно решениями сравнения называть не отдельные числа, удовлетворяющие сравнению, а соответствующие классы .

Определение 41. Решением сравнения /(x) = 0(mod m) называется класс по модулю т, состоящий из чисел, удовлетворяющих этому сравнению .

Если класс а чисел по модулю т является решением сравнения /(x) = 0(mod m), то говорят, что класс а удовлетворяет данному сравнению. Соответственно определению 41 числом решений сравнения /(х) = 0 (mod m) называют число классов по модулю т, удовлетворяющих этому сравнению .

Задача нахождения чисел, удовлетворяющих сравнению f(x) = 0 (mod m), сводится к нахождению классов, удовлетворяющих уравнению f(x) = O. Действительно, если /(a) = 0(mod m), то f (а) = 0; но тогда согласно теореме 103 / (а) = f (а) = 0. Легко видеть, что и, наоборот, из f(a) = (f следует /(a) = 0(mod m) .

Решение сравнения представляет собой частный случай общей задачи решения уравнений. Особенностью этого частного случая является то, что значениями неизвестного являются классы по некоторому фиксированному модулю .

Число классов по данному модулю конечно, а именно по модулю т мы имеем т классов: 0, 1,..., т—1. Если нам дано сравнение /(x) = 0(mod m), то мы можем, перебрав все эти классы, выяснить, какие классы удовлетворяют этому сравнению, а какие нет, т. е. найти все его решения .

Согласно теореме 127, для того чтобы узнать, удовлетворяет ли класс сравнению, достаточно взять какое-либо число, принадлежащее классу, и проверить, удовлетворяет ли оно этому сравнению .

Таким образом, чтобы решить сравнение /(x) = 0(mod m), можно взять любую полную систему вычетов по модулю т:

хг, х2,.... хт, вычислить fix,), f(x2),.... f(xm) и отобрать те X;, при которых / (х,-) делятся на т. Соответствующие классы д -о дадут все решения этого сравнения. Обычно в качестве хг, х2,... хт берут полную систему наименьших по абсолютной величине вычетов .

Если сравнение имеет несколько решений а 1?..., as, иногда эти решения записывают в виде x = alt..., av(mod in). Таким образом, х = а 1?..., ^(modm) означает, что х принимает любые значения, сравнимые с одним из чисел аг,..., as .

П р и м е р ы. Найти все решения следующих сравнений:

1) х 3 —2x + 6 = 0(mod 11). Непосредственная проверка показывает, что в полной системе наименьших по абсолютной величине вычетов

- 5, - 4, - 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 сравнению удовлетворяет только одно число 5. Решение записываем в виде x = 5(mod 11) .

2) x4 + 2.x;3 + 6 = 0(mod 8). В полной системе вычетов

-3, - 2, — 1, 0, 1, 2, 3, 4 ни одно число не удовлетворяет сравнению и, следовательно, сравнение не имеет решений .

3) х 4 —х 9 —х 2 + 5х—2 = 0 (mod 6). В полной системе вычетов

- 2, - 1, 0, 1, 2, 3 сравнению удовлетворяют два числа: —1 и 2. Сравнение имеет два решения: х = — 1 (mod 6) и x = 2(mod6) .

Мы видим, что задача решения сравнений вида f(r)=~ = 0(modm) гораздо проще, чем рассматриваемая в алгебре задача решения уравнений f(x) = Q. Решая уравнение /(х) = 0, мы обычно ищем решения в некотором бесконечном поле, например в поле действительных или комплексных чисел, и не можем путем испытаний перебрать все числа такого поля. Решая сравнение /(x) = 0(mod m), мы ищем решение в конечном кольце классов по модулю m и поэтому можем с помощью конечного числа операций найти все решения. Теоретически задача решения сравнений вида /(x) = 0(mod m) этим решена полностью .

Вместе с тем надо иметь в виду, что нахождение решений пу- • тем таких испытаний при больших модулях довольно затруднительно .

Дальнейшая теория таких сравнений имеет целью дать способы, позволяющие определять число решений, а иногда и находить эти решения с помощью возможно меньшего числа операций .

Для сравнений вида f(x) = g(x) (modm) можно сформулировать теорему, совершенно аналогичную теореме 127 .

Теорема 127'. Пусть f (х) и g (х)—многочлены с целыми коэффициентами. Если некоторое число а удовлетворяет сравнению (1) f(x)=g(x)(modm), то весь класс а по модулю т состоит из чисел, удовлетворяющих этому сравнению .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Если а удовлетворяет сравнению (1), то оно удовлетворяет и сравнению / ( * ) - ( * ) = 0 (modm). (2) Вместе с а любое Ьа также удовлетворяет сравнению (2), а следовательно, и сравнению (1) (теоремы 127 и 87) .

Определение 4 Г. Решением сравнения (1) называется класс по модулю т, состоящий из чисел, удовлетворяющих этому сравнению .

Определение 42. Два сравнения (3) (4) называются эквивалентными, если множество чисел, удовлетворяющих одному из них, совпадает с множеством чисел, удовлетворяющих другому сравнению .

Если т1 — т2 и сравнения (3) и (4) имеют одни и те же решения, то мы, очевидно, будем иметь два эквивалентных сравнения по одному и тому же модулю .

Теорема 128. 1) Если к обеим частям сравнения /(x)s= = g(x) (modm) прибавим любой многочлен ш(х), то получим сравнение, эквивалентное первоначальному .

2) Если обе части сравнения f(x)=g(x) (modm) умножим на одно и то же число, взаимно простое с модулем, то получим сравнение, эквивалентное первоначальном!/ .

3) Если обе части сравнения и модуль умножим на одно и то же число к0, то получим сравнение, эквивалентное первоначальному .

Д о к а з а т е л ь с т в о. 1) Если при некотором х0 f(x0)=g(x0)(modm), то f (х0) + ш (х0) ==g (х0) + ш (х0) (mod m) и, наоборот, из /(x 0 ) + (u(x 0 )=g(x 0 ) + co(.x:0)(modm) следует f()()(d)

–  –  –

Более общей является задача решения системы сравнений:

J где fx(x), f2(x), многочлены с целыми..., fs(x)—заданные коэффициентами .

Если некоторое число а удовлетворяет этой системе, т, е .

е с л и m 1 \ f 1 ( a ), mz\f2(a), и M = [mL, m.z,.... m j —..., ms\fs{a) наименьшее кратное tnlt m2,..., ms, a b—любое число, такое, что b=a(mod M), то (теорема 86) для всех i ( l s s i ^ s ), /,-(b) =/,• (a) (mod M), а, следовательно, согласно теореме 89 /,.(&) = /,-(a) (mod т{), т.е. /,.(Ь) = 0(modm { ) ( K I J ) .

Мы видим, что вместе с каждым числом а, удовлетворяющим системе (7), этой же системе удовлетворяет и любое число класса а по модулю М = [mlt т2,..., ms]. Естественно весь этот класс чисел рассматривать как одно решение этой системы .

Определение 44. Решением системы сравнений (7), где fi(x),..., fs(x)—многочлены с целыми коэффициентами, называется класс чисел по модулю М = [тг, т 2,..., ms], состоящий из чисел, удовлетворяющих всем сравнениям системы .

Соответственно этому число решений системы (7) означает число классов по модулю М, удовлетворяющих всем этим сравнениям. По модулю М имеется всего только конечное число классов. Взяв полную систему вычетов по этому модулю, можно проверить, какие именно числа этой системы, а значит, и соответствующие классы удовлетворяют (7). Поступая таким образом, мы можем для любой системы сравнений найти все решения. В частном случае, когда модули всех сравнений одинаковы и равны т, решениями являются классы по тому же модулю .

П р и м е р ы. 1) Найти решение системы сравнений:

x3—x + 3 = 0(mod9) .

В полной системе наименьших по абсолютной величине вычетов по модулю 9 системе удовлетворяет только число 4 .

Решение системы—класс x = 4(mod9) .

Ill

2) Найти решения системы сравнений:

хг — 3x + 2 = 0(mod6), 2x2 + x + 2 Здесь М = [6, 4 ] = 12. В полной системе наименьших по абсолютной величине вычетов по модулю 12 системе удовлетворяют два числа, а именно ± 2. Решения системы—два класса по модулю 12; т.е. х = ± 2(mod 12) .

Еще более общей является задача решения системы сравнений с несколькими неизвестными:

–  –  –

то, пользуясь теоремой 86' и рассуждая совершенно так же, как в случае системы с одним неизвестным, получим, что комплекс ((&!, Ь2,..., &()) также удовлетворяет системе (8) .

Естественно поэтому решениями системы (8) называть соответствующие комплексы классов по модулю М .

Определение 45. Решением системы (8) называется комплекс классов ((а1, а„,..., at)) по модулю М = [ т 1, т2,..., ms], удовлетворяющий всем этим сравнениям. Соответственно этому число решений системы (8) понимается как число таких различных комплексов .

Поскольку по модулю М каждая из t компонент комплекса может принимать М различных значений, искомые решения приходится отбирать среди М.1 комплексов. Проверяя, удовлетворяет ли комплекс ((a l t а„,..., at)) системе, из каждого класса alt a2,..., at, обычно берут наименьшие по абсолютной величине вычеты и подставляют их в рассматриваемые сравнения. Поскольку М' даже при небольших М и t может оказаться сравнительно большим числом, вычисления обычно получаются длинными .

П р и м е р. Найти все решения системы:

х 2 — у 2 + 2 = 0 (mod 6), х + х + у + \ =0 (mod 3) .

Здесь М = [6, 3] = 6.

Среди 36 комплексов чисел вида ((а, &)), где — 2 ^ a s 3, — 2 ^ & ^ 3, имеется только два комплекса:

112 • .

((—2, 0)) и ((1, 3)), удовлетворяющих обоим сравнениям. Система имеет два решения:

1) х==—2 (mod 6), y = 0(mod6), 2) х== 1 (mod 6), y ~ 3 ( m o d 6) .

П р и м е ч а н и е. Сравнение называется тождественным, если оно справедливо при произвольных значениях неизвестных .

ГЛАВА 14

–  –  –

Умножая это сравнение на (—1)*Ь, получаем:

а ( ( — 1)5&Р,_!) н= b (mod /л) .

Таким образом, число { — \)sbPs_1 удовлетворяет сравнению (1) и (теорема 131) соответствующий класс представляет собой единственное решение этого сравнения .

П р и м е р. Решить сравнение 55х = 7 (mod 87) .

Разложение == в цепную дробь дает следующую таблицу элементов а( и числителей р.

подходящих дробей:

щ.1 Р;

Здесь s = 6, так что класс * = ( — 1)6-7-19 = 46 (mod 87) — искомое решение .

Теорема 134. Если (а, /и) = 1, а\ b-\-sm, то х= (modm) — решение сравнения ax = b (mod m) .

Доказательство, а ( ) = о + sm = о (mod m) .

Пользуясь этой теоремой, сравнение ax = b (mod m) последовательно заменяют эквивалентными (теорема 129) сравнениями:

m), ax = b±2tn(modm), ax = b + 3m (mod m),..., пока не попадется сравнение, в котором левую и правую части можно сократить на а .

Поскольку условие a\b + stn при aSsO означает, что где (т, а)=\, то s может быть найдено ms=—b(moda), в полной системе вычетов по модулю а, т. е. число испытываемых сравнений будет не больше, чем а .

Этот способ особенно целесообразен при небольших а. Например, для сравнений вида 2x = fr (mod/л), где 2\т при 2\Ь решением будет х = у (mod т), а при 2\Ь будет я = - 4 ^ (mod/п) .

П р и м е р. Решить сравнение 3*== 20(mod 161) .

При а = 3 число s можно выбрать среди чисел — 1, 0, + 1 .

В данном случае 3 j 20—161 сравнение ''Зл = 20 (mod 161) эквивалентно сравнению 3 * = — 1 4 1 (mod 161), так что х = = — 47 (mod 161) .

Теорема 135. Если (a, m) = d и d\b, то сравнение ax = b(mod т) имеет d решений. Все эти решения образуют один класс по

-. т модулю -г .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Выше (стр. 113) было показано, что при (а, т) = d и d \ Ъ сравнение ax~b (mod m) эквивалентно сравнению вида а1х^в^Ь1 (mod m j, где m x = - ^ -, (ах, mx) = 1 .

Согласно теореме 131 такое сравнение имеет решение,, „ т представляющее собой один класс по модулю —г, т. е. этому сравнению удовлетворяют числа вида х = а ( mod-т-J, где а может быть найдено применением способов, изложенных в теоремах 132—134 .

Числа этого класса по модулю —г образуют d классов по модулю т (теорема 99), и решения сравнения ах = b (mod m) могут быть записаны в виде:

х = о (modm), x = o + -^-(modm),..., x = a + (d—l)-^(modm) .

с c П р и м е р. Решить сравнение 20х = 44(mod 108) .

Здесь (20, 84) = 4 и 4 j 44. Сокращая обе части сравнения и модуль на 4, получаем эквивалентное сравнение 5х= 11 (mod 27) или 5х = 65 (mod 27), т.е. XSB 13 (mod 27). Множество таких х образует по модулю 108 четыре класса: 13, 40, 67, 94. Сравнение 20Л; = 4 (mod 108) имеет четыре решения .

2. НЕОПРЕДЕЛЕННОЕ УРАВНЕНИЕ 1-Й СТЕПЕНИ

–  –  –

где все коэффициенты и неизвестные—целы,е числа и хотя бы одно а(Ф0 .

Определение 47. Решением диофантова уравнения (2) называется комплекс целых чисел ((хг, х2,..., хп)), удовлетворяющий этому уравнению .

Теорема 136. При взаимно простых коэффициентах alt а 2,..., ап диофантово уравнение а1х1 + а а * а +... + а „ * „ = 1 (3) имеет решение в целых числах .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Обозначим через М множество тех положительных чисел Ъ, для которых уравнение агхг + а,2х2 +... + апхп = b имеет решение в целых числах. М, очевидно, не пусто, так как при заданных а 1, а2,..., ап можно подобрать целые значения хх, х2,..., хп, такие, чтобы а^ + а2х2 +... + а / „ было положительным числом .

В множестве М (теорема I) существует наименьшее число, которое мы обозначим через d (d М). Обозначим через х[, х'2,..., х'п целые числа, такие, что

–  –  –

Мы подобрали целые значения: хг= 1 — qx{, х2=—qx'2,..., такие, что a 1 x 1 + a 2 x 2 +... +апх„=г, но...,xn=—qxn, а d — наименьшее положительное число в М, т. е .

Os^rid, г не может быть положительным, r = 0, a: = dq, d\al .

Аналогично получаем: d\a2,..., d\an .

Мы видим, что d—общий делитель чисел a x, a 2,..., ап, следовательно, поскольку (а х,..., ап)=\, d\\, d=\, lM, т. е. уравнение (3) разрешимо в целых числах .

Теорема 137. Пусть d—наибольший общий делитель коэффициентов ах, а 2,..., ап. Диофантово уравнение (2) имеет решение тогда и только тогда, когда d\b. Число решений такого уравнения равно либо нулю, либо бесконечности .

Докажем последовательно все три утверждения теоремы .

1) Пусть d\b. Для уравнения

–  –  –

Доказательство проведем индукцией по s. При s = 2 утверждение теоремы верно в силу предыдущей теоремы .

Предположим, что утверждение теоремы верно для любых

s сравнений вида (8), и возьмем s + 1 произвольных сравнений:

–  –  –

Исторические главе комментарии к 14-й

1. Неопределенные уравнения 1-й степени начали рассматриваться еще индусскими математиками примерно с V века .

Некоторые такие уравнения с двумя и тремя неизвестными появились в связи с проблемами, возникшими в астрономии, например, при рассмотрении вопросов, связанных с определением периодического повторения небесных явлений .

2. Во 2-м издании книги французского математика Баше де Мезирьяка „Problemes plaisants et delectables qui se font par les nombres", вышедшем в 1624 г., решается неопределенное уравнение ах — Ьу = \. Баше де Мезирьяк фактически применяет процесс, сводящийся к последовательному вычислению неполных частных и рассмотрению подходящих дробей; однако он не рассматривал непрерывных дробей, как таковых, и не употреблял обозначений вида (1) 5-й главы. Популярное сочинение Баше де Мезирьяка оказало большое влияние на развитие теории чисел, так как способствовало возникновению интереса к этой области математики .

Баше де Мезирьяк известен и как поэт, писавший свои стихи на многих языках. В 1621 г. он выпустил издание сочинений Диофанта со своими примечаниями .

3. После Баше де Мезирьяка в XVII и XVIII веках различные правила для решения неопределенного уравнения 1-й степени с двумя неизвестными давали Ролль, Эйлер, Саундерсон и другие математики .

Цепные дроби к решению таких уравнений были применены Лагранжем, который, однако, замечает, что фактически это тот же способ, который был дан Баше де Мезирьяком и другими математиками, рассматривавшими неопределенные уравнения до него .

Неопределенные уравнения 1-й степени стали записываться и решаться в форме сравнения значительно позже, начиная с Гаусса .

4. Задачи, сводящиеся к рассмотрению системы сравнений 1-й степени, рассматривались в арифметике китайского математика Сун Тзу, жившего примерно в начале нашей эры. У него, как у целого ряда китайских, индусских, арабских и европейских ученых, решавших такие задачи после- него, вопрос ставился в следующей форме: найти число, дающее заданные остатки при делении на заданные числа. Сун Тзу дает способ, фактически эквивалентный тому, который дан у нас в теореме 143, и поэтому теорему 143 иногда называют китайской теоремой об остатках. Работа Сун Тзу стала известна в Европе в 1852 г. Независимо от китайских математиков способ решения задач такого рода был дан индусским математиком Брамегупта (588—660) .

Леонардо Фибоначчи в своей книге „Liber abaci" рассматривал задачу нахождения числа N, делящегося на 7 и имеющего остаток, равный 1, при делении на 2, 3, 4, 5 и 6 .

5. Система неопределенных уравнений 1-й степени впервые встречается у китайских математиков VI века. Задачи, приводящие к таким системам, встречаются у Леонардо Фибоначчи и у Баше де Мезирьяка .

Система п сравнений с п неизвестными изучалась Гауссом .

Полное исследование систем линейных сравнений было дано в работах Фробениуса и Стейница в конце XIX века .

ГЛАВА 15

СРАВНЕНИЯ ПО ПРОСТОМУ МОДУЛЮ

1. СРАВНЕНИЕ ПО ПРОСТОМУ МОДУЛЮ С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ

Переходя от сравнений 1-й степени к сравнениям более высоких степеней, целесообразно сначала рассмотреть тот случай, когда модуль—простое число. В этом случае имеется ряд весьма важных теорем, которые, вообще говоря, неверны для составных модулей. Вместе с тем теория сравнений по простому модулю является основой, на которой строится изучение сравнений по составному модулю .

Во всей этой главе буквой р будем обозначать модуль, представляющий собой простое число .

Теорема 144. Если р \ са, то сравнение

–  –  –

степени, меньшей чем s. Следовательно, если s = ( p — l ) g + r ( l r p — 1), то х* можно заменить на хг. Проделывая эту операцию для всех слагаемых многочлена, достигнем того же результата, что и применением теоремы 146 .

П р и м е р. Сравнение Л:16 + ЗЛ: 8 —5л: 7 —Л: 4 + 6Л:—2 = 0(mod7) заменить эквивалентным сравнением степени, меньшей чем 7 .

Р е ш е н и е. Согласно примечанию к теореме 146 мы получим эквивалентное сравнение, если заменим л:16 на x16~2'i=xi, а 2 7 х на х, х на х. Таким образом, заданное сравнение эквивалентно сравнению (%4+ Зд:2 — 5Л:)— Л:4 + 6Л:—2 = 0 (mod 7), т. е. сравнению ЗЛ: + Л : — 2 S E O (mod 7) .

Теорема 147.

Если f(x), g(x), h(x), r (x)—многочлены с целыми коэффициентами: f (х) = g (x) h (х) + г (х), и все коэффициенты г (х) делятся на простое число р, то любое решение сравнения /(*)=0(m"odp) (3) является решением по крайней мере одного из сравнений:

ft(jc)=0(modp). (4) g(x) = 0(modp), Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть х0—решение сравнения (3), т. е. /(л:0) = 0 (mod р). Поскольку все коэффициенты г (х) делятся на р, будем также иметь г (х0) =s0 (modp), а поэтому g(xo)h(xo) = f (xo) — r (xo) = O {mod p) .

Согласно теореме 105" из сравнимости произведения g (x0) h (xQ) с нулем по модулю р следует, что по крайней мере один из этих множителей сравним с нулем по этому модулю, т. е. х0— решение по крайней мере одного из сравнений (4) .

П р и м е р.

В сравнении xiJr 18л:2+ 5 = 0(mod 31) левую часть можно представить в виде (х — 4) (х —9) +(31л: —31), и мы находим все решения этого сравнения, решая сравнения:

г х —4 = 0(mod 31), л: —9 = 0(mod31), т. е. A : = ± 2 ( m o d 3 1 ) и л: = ± 3(mod 31). Все эти четыре класса удовлетворяют нашему сравнению .

Для составных модулей эта теорема неверна.

Например, сравнению л: + 4л: = л: (л: + 4) = 0(mod 12) удовлетворяет класс 6, не являющийся решением ни одного из сравнений: A = 0(mod 12), :

х + 4 = 0(mod 12) .

Теорема 148. Сравнение степени п по простому модулю р с коэффициентом при старшем члене, не делящимся на р, может иметь не больше чем п решений .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Утверждение теоремы верно при л==1 .

Действительно, в этом случае мы имеем сравнение 1-й степени:

c0x-{:cl^0(modp), где р\с0, т. е. (со, р ) = 1, а такое сравнение (теорема 131) имеет в точности одно решение. Применим теперь для доказательства теоремы метод полной математической индукции .

Предположим, что утверждение теоремы верно для всех многочленов ( л — 1)-й степени со старшими коэффициентами, не делящимися на простой модуль р.

Возьмем теперь произвольный многочлен л-й степени:

n n1 cox + clx - +...+cn, где р \ с0, и рассмотрим сравнение /(*) = 0(modp). (5) Если это сравнение не имеет ни одного решения, то число решений меньше чем л .

Если же это сравнение имеет решения, то возьмем любое число х0, удовлетворяющее ему, и разделим f(x) на х—х0 .

Согласно теореме Безу (теорема XII) будем иметь:

f(x) = (x-xo)g(x) + f(xo) .

Коэффициенты многочлена (л—1)-й степени могут быть, как известно, найдены по схеме Горнера и представляют собой целые числа, причем Ьа — с0 .

Поскольку х0 удовлетворяет сравнению (5), р |/(*„), т. е .

здесь применима теорема 147, то все решения (5) находятся среди решений сравнений х—*0 = 0(modp) и g(x) = 0(modp), удовлетворяя либо одному из них, либо обоим .

Сравнение х—*0 = 0(modp) имеет одно решение, а сравнение ( * ) =. 0 (modp), представляющее собой сравнение ( л — 1)-й степени по простому модулю с коэффициентом при старшем члене Ь0 = с0, не делящемся на р, согласно предположению может иметь не больше чем л — 1 решений. Таким образом, сравнение (5) имеет не больше чем 1 + ( л — 1), т. е. не больше чем л решений .

Утверждение теоремы было проверено при л = 1. Из справедливости утверждения для многочленов ( л — 1)-й степени следует справедливость этого же утверждения для многочленов л-й степени. Согласно принципу полной математической индукции справедливость теоремы доказана .

П р и м е р. * 0 = 3 1 удовлетворяет сравнению И* 2 = 6 5 (mod 103) .

Найти все решения этого сравнения .

Очевидно, что вместе с классом 31 этому сравнению удовлетворяет и класс—ЗТ. Коэффициент при старшем члене 11 не делится на простой модуль 103, поэтому сравнение не может иметь больше двух решений .

О т в е т, л; = ± 3 1 (mod 103) .

5 А. А. Бухштаб 129 Для составных модулей эта теорема неверна. Сравнение степени п по составному модулю с коэффициентом при старшем члене, не делящемся на модуль или даже взаимно простом с модулем, может иметь больше чем п решений. Например, сравнение д : 2 — 3 j e + 2 = 0 ( m o d 6 ) имеет 4 решения: 1, 2, i, 5 .

Теорема 149. Если сравнение степени п по простому модулю р имеет больше чем п решений, то все коэффициенты сравнения делятся на р .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Возьмем любое простое число р. Если сравнение CQJC + C, = 0(modp) имеет больше чем одно решение, то согласно теореме 131 (с 0, р)Ф\, т. е. р | с 0, а тогда и р | с х .

Таким образом, при п = \ теорема верна. Предположим, что утверждение теоремы верно для многочленов степени, меньшей чем п, т. е. предположим, что число решений сравнения степени, меньшей чем п, может превосходить степень сравнения только тогда, когда все коэффициенты делятся на модуль р .

Возьмем любое сравнение степени п:

c0Jtn + c 1 j t " - 1 +... + c n = 0(modp), (6) имеющее больше чем п решений. Согласно теореме 148 в таком сравнении с0 делится на р, а тогда сравнение c1xn-1+...+cn (7) = 0(modp), эквивалентное (теорема 129) сравнению (6), также имеет больше чем п решений .

В сравнении (7), степень которого меньше чем п, а число решений превосходит степень согласно предположению, все коэффициенты должны делиться на р, т. е. р\с1 р\сп .

Поскольку уже раньше было установлено, что р | с 0, утверждение теоремы верно для п. Согласно принципу полной математической индукции справедливость теоремы доказана .

п1 Теорема 150. Пусть f (х) = х" + с1х ~ +... + сп—многочлен с целыми коэффициентами и свободным членом спф0 (mod p), Сравнение f (je) = 0(modp) где р—простое число, причем р^п .

имеет п решений тогда и только тогда, когда все коэффициенты е1 остатка от деления X ' —1 на f(x) кратны р .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть д^" 1 — 1 = f(x)g(x) + r(x), где g(x) и г(х)—многочлены с целыми коэффициентами, причем степень г (х) меньше чем п .

1) Докажем достаточность условия. Пусть коэффициенты г (х) делятся на р .

Обозначим через S и Т соответственно число решений сравнений /(*)== 0 (mod р), (8) g(*)==0(mod/). (9) Сравнение хр~х—l=0(modp) по теореме Ферма имеет р — 1 решений. Каждое из этих р — 1 решений согласно теореме 147 является решением хотя бы одного из сравнений: (8) или (9), т. е. S+T^p— 1 .

Сравнение (9) степени р—1 — п имеет коэффициент при старшем члене, равный единице, так что (теорема 148) Т ; р—-1—п и, следовательно, 1 ) — Т ^ р — 1 — (р — 1— п) = п .

S^(p— Поскольку при этом в силу той же теоремы 148 S n, получаем S = n, т. е. из делимости коэффициентов г(х) на р следует, что число решений сравнения (8) равно п .

2) Докажем необходимость условия. Пусть сравнение (8) имеет п решений. Если х0—решение сравнения (8), то / (х0) = 0 (mod р) и вместе с тем, поскольку р \ сп, то р \ х0, а следовательно, согласно теореме Ферма xp0~l — l ^ O ( m o d p ), так что Таким образом, каждое из п решений сравнения (8) является решением сравнения г (;c) = 0(modp), степень которого меньше чем п. Согласно теореме 149 все коэффициенты г(х) делятся на р .

П р и м е р. Сравнению ; t 3 = l ( m o d l 3 ) удовлетворяют классы 1 и 3. Имеет ли это сравнение еще одно решение?

Деля х12—1 на х3—1, находим:

так что г(х) = 0, последовательно, это сравнение имеет\ три решения .

2. СРАВНЕНИЕ ПО ПРОСТОМУ МОДУЛЮ

С НЕСКОЛЬКИМИ НЕИЗВЕСТНЫМИ

Некоторые из рассмотренных нами теорем можно легко обобщить на случай сравнений с несколькими неизвестными вида /(*i, Ч *,) = 0(modp), (10) где f(xlt х2,..., xj—многочлен с целыми коэффициентами, а р—простое число. Непосредственным обобщением теоремы 146 является следующая .

Теорема 151. Если в левой части сравнения (10) некоторые из неизвестных встречаются в виде степени с показателем 5* р, то сравнение (10) можно заменить эквивалентным сравнением, в котором степень каждого из неизвестных не превосходит р—1 .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассуждая совершенно так же, как и при доказательстве теоремы 145, убедимся, что сравнение (10) эквивалентно сравнению f(xlt x2,... xs) — (x$—x-)g{xlt x2,..., Ag = 0(modp), 5* ' - 131 где g(Xi, х2,..., xs)—произвольный многочлен с целыми коэффициентами .

Если среди слагаемых f(xlt х2,..., xs) есть член вида Ах\1... xf'... Xs'(\ *^i is), где,-S=p, то мы можем, взяв g(xlt хг,..., JCS) = Ах\1... х?1~р... х*', заменить его членом Ах\1... jcf'"1"-1'... **', затем Axk,1... х^~3{р-1)... xks' и т. д .

г г е Если kj = (p—1)7« + / Д 1 ^ ^, - ^ Р — 1, то в показателе для X; можно отбросить (р—1)7; и получить эквивалентное сравнение, в котором слагаемое Лд:*'... д:*'... д:*' будет заменено на Ах\1... х?... xkr*. Проделав такие операции для всех слагаемых по отношению к каждому из неизвестных, входящему с показателем ;з= р, получим сравнение, эквивалентное первоначальному, в котором степень по отношению к каждому неизвестному будет не больше чем р — 1 .

Теорема 152. Если сравнение f(xlt x2,..., xs) = 0(modp), степень которого по каждому неизвестному меньше чем р, удовлетворяется при всех целых xlt х2,..., xs, то все коэффициенты многочлена f(xlt x2,..., xs) делятся на р .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Проведем индукцию по числу неизвестных s. При s = 1 утверждение теоремы верно. Предположим, что утверждение теоремы верно при s = n, и возьмем произвольное тождественное сравнение f(xlt..., х„, jt n + 1 ) = 0(modp), степень которого по каждому неизвестному меньше чем р. Если

k—наибольший показатель степени неизвестного хп+1, то сравнение можно представить в виде:

л д 4 ; 1 +...+дД*1 •••. хп) = o(*i. •••. xjxUi+gAXi = 0(modp), где все gi(xlt..., хп)—многочлены с целыми коэффициентами, степени которых по каждому неизвестному меньше чем р. Если вместо xlt..., хп подставить любые целые числа, то получим тождественное сравнение с неизвестной хп+1 степени kZp .

Согласно теореме 149 все коэффициенты этого сравнения:

g o ^,.... хп),..., gk{xt,..., хп)—должны при любых значениях xlt..., хп делиться на р. Поскольку согласно предположению для многочленов от п аргументов утверждение теоремы верно, все коэффициенты этих многочленов, а следовательно, и многочлена f(xlt..., х„, хп+1) должны делиться на р .

Согласно принципу полной математической индукции утверждение теоремы верно для любого числа аргументов .

3. ПРИЛОЖЕНИЯ: ТЕОРЕМА ВИЛЬСОНА, ТЕОРЕМА ШЕВАЛЬЕ

В качестве приложения теоремы 150 докажем интересное свойство простых чисел, которое обычно называют теоремой Вильсона .

Теорема 153.

Для любого простого числа р имеет место сравнение:

( р — l ) ! + l==0(modp) .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть р ^ = 3, т. е. р нечетно и Свободный член сравнения /(*) = ( * — 1 ) ( * — 2 )... (*—(Р — 1)) = 0(modр), (11) равный ( р — 1)!= 1 -2- • -(р—1), не делится (теорема 105") на р .

Классы 1, 2,..., р—1 удовлетворяют этому сравнению, т. е .

число решений сравнения (11) равно его степени. Рассмотрим равенство где г (х)—остаток от деления хр~х— 1 на f (х). Тогда согласно теореме 150 все коэффициенты остатка

–  –  –

Исторические комментарии к 15-й главе

1. Теорема 148 была доказана Лагранжем в 1768 г. Лагранж не рассматривал классы решений, а формулировал теорему, говоря о наибольшем числе целых х, лежащих между —"§" и т ' при которых f(x) делится на р. Доказательство, приведенное у нас, близко к доказательству, данному Гауссом .

2. Варинг в своем сочинении „Meditationes Algebraicae", вышедшем в свет в 1770 г., приводит без доказательства теорему 153. Варинг пишет, что теорема принадлежит его ученику Джону Вильсону. Первое доказательство теоремы Вильсона было дано в 1771 г. Лагранжем. Гаусс обобщил теорему Вильсона на случай составного модуля (теорема 198 20-й главы) .

ГЛАВА 16

СРАВНЕНИЯ ПО СОСТАВНОМУ МОДУЛЮ

В этой главе будут рассмотрены способы приведения сравнений по составному модулю к сравнениям по простому модулю .

Следующая теорема показывает, что решение сравнений по модулю т — р ? 1... р"% где р,-—простые числа, может быть приведено к решению сравнений по модулям р?'. Во всей этой главе f (х) будет обозначать произвольный многочлен с целыми коэффициентами .

Теорема 156. Если т— р?1...

pfs—каноническое разложение модуля т, то сравнение (1) f(x) = 0(modm) эквиза.1ентно системе сравнений:

–  –  –

т. е. а представляет собой решение сравнения (1) .

Наоборот, если класс 5 удовлетворяет сравнению (1), то ( m\f(a), и поскольку р ? ' | т, имеем: р"'|/(а),/(а)=0(тос1р? ) при i ' = l, 2,..., s, т. е. а—решение системы (2) .

Для нахождения решений системы (2) обычно предварительно решают каждое из сравнений этой системы. Если хотя бы одно из сравнений (2) не имеет решений, то и вся система несовместна, т. е. в этом случае сравнение (1) не имеет решений .

Если каждое из сравнений имеет хотя бы одно решение, то находим их в виде:

о) Значения х, удовлетворяющие всем этим сравнениям с взаимно простыми модулями, существуют и образуют класс по модулю т, являющийся решением (3), а следовательно, решением исходной системы (2) и сравнения (1) .

Если некоторые из сравнений (2) имеют больше чем по одному решению, то мы получим несколько систем вида (3), а именно, если сравнение / (д:) = 0 (mod р?1) имеет kx решений, /(х) = 0 (mod р1г) имеет k2 решений,..., f (x) = 0(modp%') имеет ks решений, то мы можем составить k^-k^-... -ks систем вида (3), каждая из которых даст по одному решению системы (2), и тогда система (2) и сравнение (1) имеют k1-k2-... -ks решений .

Можно сформулировать полученный нами результат в виде следующей теоремы .

Теорема 157. Число решений сравнения (1) равно kx-k%-... -ks, где klt k2,..., ks соответственно равно числу решений каждого из сравнений (2) .

П р и м е р. Решить сравнение х — 3jt+23 = 0(mod 63) .

Сравнение эквивалентно системе:

–  –  –

СТЕПЕННЫЕ ВЫЧЕТЫ

1. ПОКАЗАТЕЛИ КЛАССОВ ПО ЗАДАННОМУ МОДУЛЮ

В этой главе мы рассмотрим вопрос о распределении в классах по модулю т последовательности:

а, а\ а,.... (1) где а—некоторое число, взаимно простое с модулем .

В начале главы 11 было показано, что среди этих степеней должны существовать степени с*, сравнимые с единицей по модулю т. Мы будем рассматривать наименьшее положительное k, при котором а * = 1 (modm), и называть его показателем а по модулю т .

Определение 48. Показателем а по модулю т (будем обозначать его через Рт(а)) называется наименьший положительный показатель степени а, сравнимой с единицей по модулю т .

Если модуль т фиксирован, то показатель Рт(а) зависит только от выбора а, в этом случае будем обозначать его для краткости Р(а). Согласно этому определению Р(а) означает положительное число, такое, что

–  –  –

2. ЧИСЛО КЛАССОВ С ЗАДАННЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ

Если мы возьмем все классы, взаимно простые с модулем т, то каждый такой класс а принадлежит некоторому показателю k = P(a), причем (теорема 162) k\p(m) .

Мы будем рассматривать при заданном т число классов, для которых показатель по модулю т равен k, и обозначать это число через ty(&) .

При kXy (т) число k не может быть значением Р (а), так что при k\q\m) имеем ty(ft) = 0 .

П р и м е р ы. 1) При т = 1 1 имеем ф(11) = 10. Возможные значения k = P(a) должно быть среди делителей 10, т. е. среди чисел 1, 2, 5, 10.

Составим следующую таблицу значений Р (а):

–  –  –

В первой строке выписаны представители всех классов, взаимно простых с модулем, а во второй строке—соответствующие значения Р (а). Таким образом, по модулю 11 имеется один класс, показатель которого равен 1, один класс, показатель которого равен 2, четыре класса, показатели которых равны 5, и четыре класса, показатели которых равны 10, т. е.

при т= 11 имеем:

= 1, Ч(2)=1,-Ч(5) = 4,

2) При т = 20 ф(20) = 8. Возможные значения k = 1, 2, 4, 8 .

Соответствующая таблица будет иметь вид:

а 9 17 19

–  –  –

равна общему числу классов, взаимно простых с модулем т, т. е. равна ц(т) и, таким образом, 2 4(*) = 4 |P(m) П р и м е р. В примере 1 к предыдущей теореме было вычислено, что по модулю 11 ч|)(1)=1, г|)(2)= 1, г|) (5) = 4, г|)(10)=4, ft 110 Теорема 169. По простому модулю р для любого целого

–  –  –

Согласно теореме 169 г|) (k) «S ф (k), т. е. все слагаемые в левой части равенства (10) неотрицательны. Сумма неотрицательных слагаемых может равняться нулю только, если все слагаемые равны нулю, т. е. при всех k\p—1 •

–  –  –

Возводя обе части равенства (6) в квадрат, получаем (mod2 n + 1 ), a*n~1=l+Zl+1t + 2aat'=l т. е. (5) верно и при а = л + 1 .

Согласно принципу математической индукции (теорема III) теорема доказана для всех a 5*3 .

З а м е ч а н и е. Поскольку ф (2") = 2"~1, теорема показывает, что по модулю 2 а при а 5*3 Р (а) Ф ф (2а), т. е. по такому модулю не существует первообразных корней .

Теорема 181.

Первообразные корни по модулю т существуют тогда и только тогда, когда:

1) m = p a 1 где р — любое нечетное простое число, а, —любое а

2) т = 2ра //' ' целое положительное .

3) m = 2 a при Д о к а з а т е л ь с т в о. Существование первообразных корней в случаях 1 и 2 при а 0 было доказано (теоремы 178 и 179) .

В оставшихся случаях т=\, 2, 4 можно непосредственно указать первообразные корни, равные соответственно 1, 1, 3 .

Докажем теперь, что при всех других т первообразных корней нет. В случае m = 2 a, a 2^3 первообразных корней не существует, согласно замечанию к теореме 180 .

Если т имеет хотя бы два различных нечетных простых дет0 лителя рх и р2 » поскольку P i — 1 и р 2 — 1 — н е взаимно простые числа, формула (6) главы 11 показывает, что L(m)(p(m) .

L(m)9(m) и при т = Т р\, а 1, р ^ 1. В обоих этих случаях согласно теореме 162' Р(а)р(т), т. е. по модулю т не существует первообразных корней .

ГЛАВА 19

ИНДЕКСЫ

1. ОБЩИЕ СВОЙСТВА Общеизвестно, какое большое значение в различных разделах математики и в особенности в вычислительной практике имеют логарифмы. В теории чисел вводится сходный с логарифмами аппарат, который мы будем называть индексами. Логарифмом Ь по основанию а, как известно, называется показатель степени а, равный Ь. В теории чисел аналогично этому рассматривают показатель степени а, сравнимой с Ь по рассматриваемому модулю т, и такой показатель называют индексом Ь по модулю т и основанию а .

Определение 50. Пусть (a, m ) = l, (b, т ) = 1; число s называется индексом Ь по модулю т и основанию а, если а"=Ь (mod m) .

Для краткости при фиксированном модуле т мы будем записывать это в виде s = ind o b, а если фиксировано также и основание а, то еще короче, в виде s=-'mdb .

Таким образом, согласно определению:

ind e b==& (modm). (1) a s s Если bL Ь, то из a =b (mod m) следует также a =b1 (mod m), т. е. индекс числа b является также индексом и всех чисел из Ь, и мы можем такое число 5 называть индексом класса Ь .

Определение 50'. Пусть (a, m ) = l, (b,m)=\. s называется индексом класса b no модулю т и основанию а, если по этому модулю as = b .

П р и м е р ы. Пусть модуль т = 1 3, основание а = 2, тогда 2 в = 12 (mod 13), т. е. ind, 12 = 6, и для любого Ь== 12 (mod 13) будет также md 2 b = 6,213 = 2 (mod 13), т. е. ind 2 2 = 13, и вместе с тем, поскольку 21 = 2 (mod 13), имеем также ind2 2 = 1. / Пусть модуль т = 21, основание а = 5. Тогда 5 4 = 16 (mod 21), 5 в =з1 (mod21), т. е. по модулю 21 indB 16 = 4, i n d 5 l = 6. По этому модулю indB 2 не существует, так как не существует s такого, что 5*==2(mod 21) .

Если в качестве основания взять число а, не являющееся первообразным корнем по модулю т, то индексы будут существовать не для всех чисел, взаимно простых с модулем т .

Действительно, если Р(а) = ЛСф (т), то согласно теореме 164 среди степеней а имеется только k различных, и для чисел, принадлежащих остальным ф (т)—k классам, индексов не существует. Иначе обстоит дело, если основание есть первообразный корень по модулю т. В этом случае, как мы докажем в следующей теореме, любое число, взаимно простое с модулем, имеет бесконечное множество индексов .

Будем в этой главе первообразные корни по модулю т обозначать буквой g, чтобы отличать их от других оснований .

Теорема 182. Пусть g—любой первообразный корень по модулю т. Для каждого числа Ь, взаимно простого с модулем т, существуют индексы по основанию g, т. е. существуют s такие, что s g =b (mod m) .

Множество всех таких индексов s для данного фиксированного Ь совпадает с неотрицательными числами некоторого класса по модулю ф (т) .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Согласно теореме 172 степени первообразного корня g:.„,. (2)

–  –  –

2. ИНДЕКСЫ ПО ПРОСТОМУ МОДУЛЮ

Особенно большое значение имеет случай, когда модуль— простое число. Поскольку, как было показано выше (теорема 171), по любому простому модулю р существуют первообразные корни, то, взяв за основание какой-либо из них, получим систему индексов, в которой каждое число, не делящееся на р, будет иметь свои индексы .

Индексы каждого такого числа согласно теореме 182 представляют собой неотрицательные числа некоторого класса по модулю р—1, а теоремы 183—186 дают следующие правила операций с индексами по модулю р .

1. Если a = b(modp), то i n d a = i n d b (modp— 1), и, наоборот, из i n d a = i n d 6(mod p — 1) следует a = 6(modp) .

2. i n d ( a 1...a n ) = i n d a x +... + i n d a n ( m o d p — 1) .

3. i n d a " = r t inda (modp — 1) .

4. ind — = indb — inda(modp—1) .

Для краткости здесь везде опущен значок g, указывающий основание, которое предполагается одинаковым в левой и правой частях. Все индексируемые числа предполагаются не делящимися на р. По простому модулю р для каждого числа существует бесконечное множество индексов, сравнимых по модулю р — 1, и в качестве индекса можно брать любое из них. Обычно из всех возможных значений индекса по данному основанию берут наименьшее; при таком выборе индексов они имеют значения, меньшие чем р — 1 .

Таблицы индексов для простых модулей р содержат индексы чисел от 1 до р — 1. Для каждого такого числа и всех сравнимых с ним по модулю р в таблице указывается индекс, представляющий собой одно из чисел: 0,1,.... р — 2. В некоторых таблицах в качестве индекса единицы указывается не 0, а р — 1 .

Таблицы индексов составлялись многими авторами. В 1839 г .

таблицы индексов для простых чисел, меньших чем 1000, были опубликованы Якоби (Jacobi „Canon Arithmeticos") .

В конце книги (стр. 372 — 378) приведены таблицы индексов по простым модулям р ^ 109 .

3. ИНДЕКСЫ ПО СОСТАВНЫМ МОДУЛЯМ

–  –  –

Теоремы 183—186 устанавливают правила операций с индексами по таким модулям, причем в этих случаях Достаточно иметь таблицы индексов по модулям ра с основаниями g, представляющими собой нечетные первообразные корни. Как было доказано в теореме 179, если нечетное основание g является первообразным корнем по модулю ра, то оно является первообразным корнем и по модулю 2р а, причем, как мы докажем, при таком основании индексы чисел по модулю 2ра такие же, как и по модулю ра .

Теорема 187. Пусть g—нечетный первообразный корень по модулю ра (р2), (а, 2р) = 1; тогда каждый индекс числа а по модулю ра и основанию g является индексом а по модулю 2р а и основанию g .

Доказательство. Пусть s—индекс а по модулю р" и основанию g, т. е. а g^ =sa (mod р ) .

2pa), При 2\а, 2\g имеем gs=a(mod2), так что gs=a(mod а т. е. s — индекс а и по модулю 2р .

Таблицы индексов по составному модулю вида т = ра или т — 2ра, где р—нечетное простое число, содержат индексы всех чисел а, таких, что l«^a=sm—1 (а, т) = \. Индекс такого числа а является также индексом всех чисел, сравнимых с а п о модулю т .

В таблицах Я коби даны индексы для модулей вида m = paL 1000 .

В таблицы индексов, которые помещены в конце книги, включены индексы по составным модулям т = 9, 25, 27, 49, 81 .

При а = 2 для модуля т = 2 а существует первообразный корень g= 3 .

При а ^ З для модуля т = 2а не существует первообразных корней (теорема 181), и поэтому степени одного основания не могут являться представителями всех классов, взаимно простых с модулем .

Понятие индекса можно обобщить, введя индексы и для модулей вида m = 2 a при а ^ З. Индексы по таким модулям будут представлять собой уже не числа, а пары чисел. Для построения такой системы индексов нам понадобится следующая теорема .

Теорема 188. При а5э=2 два числа вида (—1) В 5" « ( — \)u'bv' (v, v'&sO) сравнимы по модулю т = 2а тогда и только тогда, когда «=«'(mod2) и u = u'(mod2 a - 2 ). ;

–  –  –

Такую пару ((«, v)) будем иногда записывать также в виде inda. Теорема 189 показывает, что при a 3=3 любое нечетное число имеет индекс по модулю Т .

П р и м е р. Пара ((0, 0)) является индексом 1 по любому модулю 2 a ( a 3 = 3 ). Действительно, ( —1) 0 -5 0 = 1 (mod2 a ) .

Определение 53. Две пары: ((«, v)) и ((«', v')), где У3=0, у'3=0—называются сравнимыми по двойному модулю ((т, л)), если и = и' (mod m), и = и'(mod л) .

Сравнимость пар: ((«, v)) и ((«', v'))—по двойному модулю ((т, л)) будем записывать в виде:

((и, »)) = ((«', o'))(mod((m, и))) .

Очевидно, что две пары, сравнимые по двойному модулю с одной и той же третьей, сравнимы между собой .

В сравнении (12) число а можно заменить числом 6, сравнимым с а по модулю 2", так что индекс а по модулю 2" является вместе с тем индексом всех чисел класса а. Теорема 188 показывает, что индексом данного числа вместе с парой ((«, v)) является также любая пара, сравнимая с ((и, v)) по двойному модулю ((2, 2а~2)). Теорему 188 при aS» 3 можно поэтому записать в следующей форме .

Теорема 188'. При a S * 3 a = b (mod 2") тогда и только тогда, когда индекс а сравним с индексом Ъ по двойному модулю ((2, 2*" 2 )) .

Определение 54. Суммой индексов ((ы 1 ( &х)) + v... + ( ( « „, &„)) называется индекс ((« х +... + « „, о х + • • • + n))Теорема 190. При a 3=3 для модуля 2* индекс произведения нечетных чисел сравним с суммой индексов сомножителей по двойному модулю ((2, 2"~ 2 )) .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть аъ а 2,..., а „ — нечетные числа .

–  –  –

Исторические комментарии к 17-й, 18-й и 19-й главам

1. Теория степенных вычетов возникла на базе мемуара Эйлера „Теорема о вычетах, получающихся от деления степеней" (1755). Понятие показателя данного основания было введено Гауссом .

2. Понятие первообразного корня было введено Эйлером .

Теорема о существовании первообразного корня для любого простого модуля была высказано без доказательства в 1769 г .

Ламбертом. Доказательство этой теоремы встречается у Эйлера, однако оно не было дано им в достаточно четкой форме. Гаусс дал два различных доказательства существования первообразных корней по простому модулю (теорема 171) .

3. П. Л. Чебышев в ряде теорем указал некоторые классы простых чисел, для которых можно легко найти первообразный корень .

4. И. М. Виноградов дал оценку величины наименьшего первообразного корня по простому модулю. Он доказал, что если обозначить через g(p) наименьший первообразный корень по модулю р, то при любом сколь угодно малом е 0 Существует предположение, что простые числа р, для которых 2 является первообразным корнем, имеют положительную плотность в множестве простых чисел. Это значит, что если обозначить через ^(л;) число таких р^х, а через п(х) — общее число простых р^х, то при некотором а 0 для всех я (я ^ 1 ) выполняется неравенство' Т (х) 5* an (x). Это предположение пока не удается ни доказать, ни опровергнуть,

5. Теорема 181 встречается впервые у Гаусса B^Disqulsitiones arithrneticae"..,

6. Понятие индекса, основные свойства индексов были даны Гауссом .

ГЛАВА 20

ДВУЧЛЕННЫЕ СРАВНЕНИЯ

1. ДВУЧЛЕННЫЕ СРАВНЕНИЯ ПО ПРОСТОМУ МОДУЛЮ

–  –  –

при ( = 1, 2,..., л, т. е. классы xotlt..., xotn представляют собой решения сравнения (1) .

Поскольку р\а, то р\хъ (х^, р ) = 1, и, следовательно, числа xotx,..., xotn являются (теорема 111) частью приведенной системы вычетов по модулю р\ xotlt..., xotn представляют собой п различных решений сравнения (6) л-й степени и, значит, исчерпывают все решения этого сравнения .

Сравнение по простому модулю = В (modp) (7) при р\А эквивалентно сравнению л:" = a (modp), где Ла =,В(тс^р) (теорема 144). При р\В будем иметь также р\а щ следовательно, согласно теореме 191 сравнение (7) либо совсем не имеет решений, либо число решений равно 6, где б=-(«* Р—1)Имея таблицу индексов по модулю р, сравнение (7) можно решить и не преобразовывая его к виду (6).

Индексируя сравнение (7), получаем:

л ind л; = ind'В'— ind A (modp—1), (8) т. е. сравнение 1-й степени с неизвестной z = indx .

Решая это сравнение относительно z = indx, находим все значения ind л:, удовлетворяющие сравнению (8), а затем по таблицам находим и значения х, удовлетворяющие сравнению (7) .

П р и м е р. Пользуясь таблицей индексов, решить сравнение 13л;21 = 5 (mod 31). •.",

Индексируя, находим:

() 7 ind * = 3 (mod 10), ind * = 9 (mod 10), ind* = 9, 19, 29(mod30), * = E 1 2, 21, 29(mod31) .

(Индексы взяты в таблице с основанием g = S.) О т в е т. Классы 12, 21, 29 по модулю 31 .

2. ДВУЧЛЕННЫЕ СРАВНЕНИЯ ПО СОСТАВНОМУ МОДУЛЮ

–  –  –

Согласно предыдущей теореме каждое из этих сравнений, кроме первого, имеет два решения. Если обозначить через т\ число решений первого сравнения, то система (13), а следовательно, и сравнение х2 == 1 (mod т) имеет по теореме 157 %\2S решений .

В предыдущей теореме было определено, что: 1) при А = 0 г| = 2 2, так что и k=\ t i = l ; 2) при k = 2 t] = 2; 3) при k2 число квадратных корней из единицы по модулю т в этих трех случаях получается соответственно равным 2s, 2S+1 и 2S+2 .

П р и м е ч а н и е. При т 2 каждому квадратному корню Т из единицы по модулю т можно сопоставить отличный от г квадратный корень т — г .

Действительно, если г = 1 (mod /л), то и (т — г) s= I (mod m), причем т—г ф г, так как если бы было т—г=г, то имели бы т — r=r (modm), 2r = 0 (modm). Вместе с тем из r = I (mod от) видно, что (т, г ) = 1, так что было бы т | 2, что противоречит условию т 2 .

П р и м е р. Определить число квадратных корней из единицы по модулю т = 600 .

Поскольку 600 = 2 3 -3-5 2, т. е. & = 3, s = 2, число таких корней будет равно 2* = 1 6 .

Результат, полученный в теореме 197, можно применить для доказательства одной теоремы Гаусса, представляющей собой непосредственное обобщение теоремы Вильсона (теорема 153) .

Это обобщение было приведено Гауссом в „Disquisitiones arithmeticae" Теорема 198. Пусть гг, г2,..., г^ Ш )—приведенная система вычетов по модулю т. Тогда (14) где 1 = — 1, если m принадлежит множеству, состоящему из числа А, всех чисел вида рк и 2рк, где р — любое нечетное простое число, k~^\, и 1 = 1, если т не принадлежит этому множеству .

Доказательство. Не ограничивая общности, можно в качестве (15) Р = гггш r9{fn) рассматривать произведение чисел, образующих приведенную систему наименьших неотрицательных вычетов .

При т= 1 и т — 2 мы можем в правой части (14) взять как 1 = — 1, так и 1=1 .

Пусть т2. Объединим попарно все числа в (15) следующим образом .

Для каждого г,- решаем сравнение rtx=i I (mod m), (г0 т)—1, и находим г} такое, что г,Г/= 1 (modm) .

1) Если r^Tj, составляем пару „первого типа" ((г(, rj)) .

Все такие множители r ;, rf в (15) можно отбросить, так как произведение каждых двух чисел, образующих такую пару, дает при делении на m остатокt равный L J70

2) Если rl=rl, т. е. если г*= 1 (modm), то для такого г, составляем пару „второго типа" ((г,-,, m—г,)), где согласно притеореме 197 ( т — г, ) 2 = 1 (modm) и т — г, отлично мечанию к от г,-. Для каждого из произведений двух чисел г1 и m—г [ г образующих пару второго типа, имеем:

г,- (т—г,-) ^ — г; = — 1 (mod m) .

Таким образом, Р по модулю т сравнимо с (-~ 1)™, где п — число пар второго типа .

Поскольку в парах второго типа объединены попарно решения сравнения л ; 2 = 1 (modm), число этих пар будет равно половине числа квадратных корней из единицы по модулю т .

Согласно теореме 197 при т = 4, т = рк и т = 2рк имеем л = ~ 2 = 1, т. е. Р=—1 (modm). Если же т = 2*./?'-..

.-/*" — каноническое разложение т, то согласно той же теореме:

1) при k = 0 и 1, s^=2, число п = у 2 ' четно;

число n = Y^s+1

2) при k—2, s^sl, четно;

3) при & 5з=3, s 5= 0, число n = -g-2J+2 четно .

Таким образом, во всех этих трех случаях P = +l(modm). (16) Непосредственная проверка показывает, что сравнение (16) верно для т = 1 и т = 2, соответствующих значениям & = 0 и 1 при s = 0, что вместе с ранее рассмотренными случаями исчерпывает все возможные значения т .

Сравнивая результаты, полученные в теоремах 198 и 181, можно теорему 198 записать также в следующей форме .

Теорема 198'. Произведение чисел, образующих приведенную систему вычетов по модулю т 2, сравнимо по этому модулю с — 1 тогда и только тогда, когда по модулю т существуют первообразные корни. Для всех остальных модулей это произведение сравнимо с -\- 1 .

П р и м е р ы, а) т = 18 = 2-3 2. Здесь Пг, = 1-5-711 • 13-17 = = (5-11)• (7-13).(1 • 17) = Ы (—1) = — 1 (mod 18) .

б) т = 30 = 2-3-5. Здесь Пг г = 1 -7-1 ЫЗ-17-19-23-29 = = (7-13).(17-23)-(1 -29) (11-19) = 1 • 1 (—1) (— 1) = I (mod 30) .

4. ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ СРАВНЕНИЯ

Таблицы индексов можно применять и для решения показательных двучленных сравнений вида a* = fr(modm). (17) Если по модулю т существуют первообразные кории, то, индексируя сравнение (17), получаем сравиеиие x i n d a = indfr(modp(m)), (18) представляющее собой следствие сравнения (17). Все значения х, удовлетворяющие сравнению (17), находятся среди чисел х, удовлетворяющих сравнению (18). С другой стороны, каждое неотрицательное значение х, удовлетворя ющее сравнению (18), удовлетворяет также и сравнению (17) .

В случае сравнения вида

–  –  –

2) Если 2 \ blt то сравнение (3) заменяем эквивалентным сравнением * 2 + (^ + р) х + Ь2 = 0 (mod р), которое, поскольку р нечетно и, следовательно, 2\Ь1-\-р, можно записать в виде Таким образом, в обоих случаях мы получаем сравнение вида (2), эквивалентное первоначальному .

Если обозначить х-\-с через г, то вопрос о существовании решений и нахождении этих решений для любого сравнения 2-й степени сводится к исследованию сравнения z2 = (modp) .

В этой главе мы будем рассматривать только такие сравнения, записывая их в виде x2 = a(modp), (4) причем будем считать а не принадлежащим нулевому классу, т. е. таким, что р\а. _ В случае, когда а0, очевидно, что сравнение (4) имеет только одно решение x ^ O ( m o d p ), так как при AC^O(modp), a = 0(modp) будет также AC 2 ^a(modp) .

Сравнение (4) является частным случаем (при л = 2) сравнения л;п = a (mod р), рассмотренного в 20-й главе .

Некоторые из результатов настоящей главы являются частными случаями теорем 20-й главы. Чтобы сделать изучение сравнений 2-й степени независимым от общей теории двучленных сравнений, будем наряду со ссылками на ранее установленные результаты давать и новые доказательства, проводя их специально для рассматриваемого случая .

При р\а сравнение (4) может не иметь решений. Например, легко проверить, что сравнению * 2 = 2(mod5) не удовлетворяет ни один из классов по модулю 5 .

Вместе с тем если при р\а сравнение (4) имеет решение х0, то решением будет также класс — х0, отличный от х0 .

Действительно, если Ao = a(modp), то и ( — * 0 ) = a(modp), C причем поскольку р\а, то р\х\, а, следовательно, для р 2 будет 2 * 0 ^ 0 ( m o d p ), х0 ф — * 0 (modp), т. е. решения х0 а — х^ различные .

С другой стороны, сравнение (4) не может (теорема 148) иметь более двух решений. Таким образом, если исключить из раеомотрения, как мы это сделали, значения а, кратные р, то сравнение (4) либо имеет два решения, либо не имеет ни одного решения. Если при некотором а сравнение (4) имеет два решения, то и для любого fr = a(modp) это сравнение имеет два решения, поэтому естественно рассматривать сравнение (4) не для отдельных чисел а, а для соответствующих классов .

Определения 59. 1) Класс чисел по модулю р называется классом квадратичных вычетов по этому модулю, если для чисел а, принадлежащих этому классу, сравнение х2== a (mod p) имеет два решения .

2) Класс чисел по модулю р называется классом квадратичных невычетов, если для чисел а, принадлежащих этому классу, сравнение * 2 = a(modp) не имеет решений .

Соответственно этому все числа, принадлежащие классам квадратичных вычетов, т. е. все числа а, для которых сравнение х2 = a (mod p) имеет два решения, будем называть квадратичными вычетами по модулю р и аналогично все числа а, для которых это сравнение не имеет решений, — квадратичными невычетами по этому модулю. Числа а, принадлежащие классу О, для которых сравнение (4) имеет одно решение, не причисляются ни к квадратичным вычетам, ни к квадратичным невычетам .

Если сравнить определения 59 с определениями 56 и 56', то легко видеть, что понятие квадратичного вычета (невычета) по модулю р совпадает с понятием вычета (невычета) 2-й степени по этому модулю .

Теорема 200. Необходимым и достаточным, условием того, чтобы а было квадратичным вычетом по простому модулю р ( р 2, р\а), является справедливость сравнения == 1 (mod p). W а Д о к а з а т е л ь с т в о. 1) Эта теорема является частным случаем теоремы 194 при и = 2 .

Дадим еще одно доказательство этой теоремы .

2) Согласно теореме 150 необходимым и достаточным условием того, чтобы сравнение (4) имело два решения, является делимость на р всех коэффициентов остатка от•••деления хр~1—1 на х —а. Найдем этот остаток .

По теореме Безу остаток от деления f (z) на (z—a) равен f (а), так что (6 z^~ — l = (z—a)g(z) + r, где г = а * — 1, а g(z)—многочлен с целыми коэффициентами .

Заменяя в (6) z на х2, получаем:

–  –  –

[а~-:

Если а—квадратичный невычет по модулю р, то первый множитель не делится на р и, следовательно (теорема 105"), на р делится второй множитель, т. е. выполнено условие (7) .

Оба множителя в (8) не могут одновременно делиться на р, так как тогда их разность 2 тоже делилась бы на р 2, что невозможр-1 но. Поэтому если выполнено условие (7), то а 2 ф. 1 (modp), т. е .

согласно теореме 200 а— квадратичный невычет по модулю р .

Теоремы 200 и 201 можно объединить в виде следующего критерия, данного впервые Эйлером; этот критерий позволяет судить, является ли целое число а, не делящееся на простой модуль р 2, квадратичным вычетом или невычетом по этому модулю .

Критерий Эйлера. Число а, не делящееся на простое число р ( р 2 ), является квадратичным вычетом или невычетом по моР-1 дулю р в зависимости от того, будет ли а 2 сравнимо' с + 1 или с — 1 по этому модулю .

П р и м е р ы. Число 2—квадратичный невычет по простому модулю 11, так как 2 5 —32 = — 1 (mod 11) .

Число 3—квадратичный вычет по модулю 11, так как 3 5 = 2 4 3 = 1 (mod 11) .

Теорема 202. По любому простому модулю р 2 число классов квадратичных вычетов равно числу классов квадратичных невычетов .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Установим сначала, что число классов р—1 квадратичных вычетов по такому модулю р равно ~ — .

Это утверждение является частным случаем теоремы 192' при и = 2; мы можем также легко доказать это, пользуясь теоремой 200 .

Действительно, согласно теореме 200 классы квадратичных вычетов по модулю р представляют собой решения сравнения

–  –  –

2. СИМВОЛ ЛЕЖА НДР А При изучении сравнений 2-й степени удобно пользоваться так называемым символом Лежандра. Введение этого символа, как будет видно из дальнейшего, значительно упрощает запись многих результатов и облегчает вычисления. Символ Лежандра для числа а по простому модулю р 2 принято записывать в виде f — J, причем этот символ определяется следующим образом .

Определение 60. Пусть р—простое число, р 2 и р\а .

Символом Лежандра ( — ) обозначается + 1 или — 1, смотря по тому, будет ли а квадратичным вычетом или невычетом по модулю р, т.

е.:

*Т1

–  –  –

)( (Й ^{)(f) (!) (7)(7 (Й = = —\~~) — 1,т. е. произведение двух квадратичных вычетов или двух квадратичных невычетов по модулю р представляет собой квадратичный вычет по этому модулю, а произведение квадратичного вычета на невычет представляет собой квадратичный невычет .

Из теоремы 208 следует также, что если /— )=*=i, то и при — 1 = 1, т. е. любая степень квадратичного вычета представляет собой квадратичный вычет по рассматриваемому модулю .

П р и м е р. 5 2 = 2 ( m o d 2 3 ). Пользуясь тем, что 2 является квадратичным вычетом по модулю р = 23, найти все классы квадратичных вычетов по этому модулю. • Беря степени 2, находим последовательно такие классы квадратичных вычетов по модулю 23 .

2, 4, 8, 16, 2-16 = 9, 2-9=18, 2-18=13, 2-13 = 3, 2-3 = 6, 2 - 6 = 12, 2-12=1.;

23—1 Мы нашли 11= —g— классов квадратичных вычетов, т. е .

все такие классы .

О т в е т. I, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, Тз, Тб, № .

Следующий критерий, установленный впервые Гауссом, дает новый, отличный от критерия Эйлера, способ выяснять, является ли некоторое число а квадратичным вычетом или невычетом по простому модулю р .

Теорема 209 (критерий Гаусса). Для любого а, не делящегося на простой модуль р ( р 2 ), имеем:

–  –  –

2\ )(-1) ". (16) так как легко проверить, что р g - четно, если р = 8п+1 или 8п + 7, и нечетно, если p = 8n-j-3 или 8« + 5. Теорема 210 означает, что простые делители чисел вида ха—2 могут Иметь только вид 8п + 1 или 8п + 7 .

П р и м е р. Существует ли целое число х, такое, что х2—2 делится на 79?

Поскольку 79 = 8-9 + 7, то / ^ э ] = 1, и, следовательно, такое целое число х существует .

3. ЗАКОН ВЗАИМНОСТИ Для двух нечетных простых чисел р и q значения символов Лежандра ( — ) и ( — ) • связаны замечательным соотношением, которое обычно называют законом взаимности квадратичных вычетов. Закон взаимности был найден еще Эйлером, однако первое доказательство было дано Гауссом. Этот закон в сочетании с теоремами 204, 205, 207, 208, 210, как будет показано дальше, дает удобный способ вычислять символ Лежандра ( — ) при любом а .

Закон взаимности дает непосредственное и притом очень простое выражение для произведения символов Лежандра ( — ) и ( — ), где р и д—простые числа. В то время как способы вычисления каждого из этих символов в отдельности, данные, например, в теоремах 206 и 209, требуют при больших р и q длинных вычислений, произведение этих символов вычисляется совсем просто. Мы дадим предварительно следующую вспомогательную теорему .

Теорема 211. Пусть р и q—нечетные простые числа и qip, тогда

–  –  –

и так к а к q нечетно, то 1 у 1 ^ - я - • Замена у соседним с ним целым числом изменяет величину qx—ру на ± р ; для каждого х в (17) может быть самое большее одно у, при котором qx—ру лежало бы в пределах от — •$- до 0, т. е. s' равно числу пар ((*, у)), где х выбрано из множества 1, 2 ~-, а «/—из множества 1,2 ^~ удовлетворяющих неравенству (18) .

Поменяв местами pnq (а также хну), получаем ( — ) = (— l) s ", s*—число пар ((х, у)), где х и у—всевозможные числа, взятые так, что l * s j r - ^ i, l^y^q-~ a —± Поскольку p\q и при К * - ^ ^ р^лг, то руФцх, так что условие —~-Z.py— qxZO можно записать в виде — руС~. Произведение где s = s' + s", равно числу всевозможных пар ((х, у)), составленных из чисел 1, 2 ~— для х и 1, 2,..., '—- для у, таких, что При qLp для каждого целого х может быть самое большее одно такое у, так что число этих пар равно числу чисел х в множестве 1, 2,..., ~~, таких, что qx=r {mod р) при некотором г, удовлетворяющем условию — | - г у .

Теорема 212 (закон взаимности).

Для двух любых нечетных простых чисел р и q имеем:

–  –  –

= (—1) 8 (р\ р"—некоторые простые) .

Применение теоремы 207 часто существенно облегчает вычисления .

П р и м е р ы. 1) Имеет ли решения сравнение хг == 68 (mod 113)?

Модуль 113—простое число. Находим:

–  –  –

т. е. f—J и ( — ) не зависят от t .

Таким образом, q является квадратичным вычетом для тех и только тех простых чисел р, для которых (—1) * * IT/ *' а—q—квадратичный вычет простых чисел р, для которых r-1 q-1. г-1 9+1 При данном величины ( — 1 ) ~ * ~ ( — J и (—1) 3 "~*~(—) ?

зависят от г, т. е. от того, в какой из прогрессий по модулю Aq лежит р .

З а м е ч а н и е. В частном случае, когда q = \ (mod4), представив р в виде p = qt + r', где \s^r'.q, будем иметь ( — J =• = \~)==(~f) • При заданном q величина (~) зависит только от г', т. е. от того, в какой прогрессии по модулю q лежит р .

При q = 2 символ I — j равен + 1 или — 1, смотря по тому, будет ли р = 1, 7 (mod 8) или р = 3, 5 (mod 8) (теорема 210), а ( : ~ ) = = ( : : ~ ) ( — ) равно + 1 или — 1, смотря по тому, будет ли р = 1, 3 (mod 8) или р = 5,7 (mod 8) (теоремы 207 и 210) .

Таким образом, и в этих случаях значение символа Лежандра зависит от того, в какой из прогрессий по модулю 4q лежит р .

Аналогичная задача определения нечетных простых модулей р, для которых данное а является квадратичным вычетом, может быть поставлена и для составных а. Эта задача может быть поставлена также в следующей форме: определить, какие простые числа р являются делителями чисел вида JC 2 —а .

Можно ограничиться случаем, когда все простые множители различны, так как при вычислении символа Лежандра (—) в каноническом разложении a~±q^...q* каждое а,-можно заменить остатком от деления на 2 .

Беря случай a — (±q-^-qi...qk, где все q,—различные простые числа, мы для каждого из этих множителей определим прогрессии по модулю 4qit в которых простые числа р таковы, что ( — j = l, и прогрессии по этому же модулю, в которых простые числа р таковы, что ( — ) = — 1 [в случае, когда а 0, при t = 1 вместо ( — ) берем (——)| .

После этого остается определить общий вид тех простых чисел р, при которых Ф0(*)(?) .

т. е. найти те прогрессии по модулю М = [Aqlt 4? 2 Aqk] = iq^2... qk, для которых.в произведении (20) число множителей, равных — 1, четно. Проще, однако, представить простые числа р в виде p = Mt-\-r (1 *^r:M, (r,M)=l) и для каждого г определить, являются ли простые числа прогрессии Mt + r квадратичными вычетами или невычетами .

П р и м е р ы. 1) Для каких простых чисел р 2 сравнение jt2:f5E3 (modp) имеет решения?

Представляем р в виде p=\2t-\-r, где г=\, 5, 7, 11 .

–  –  –

что может иметь место только при р = 8я-{-1 или' р==8л'+3 .

При х = 2х1, 2\у, (х1, у) — \, N = 2 (2х\ + уг) получаем тот же результат .

3) Нечетные простые делители р чисел вида 2хг—уг и jt a —2у г при (JC, y) = l имеют вид: р = 8 п + 1. р = 8п + 7 .

Действительно, при N = x — 2у*, 2\х условие (22) сводится к (—-) = (—1) а (—) = 1 ч т о м о ж е т иметь место только при р = 8 л + 1 или р = 8п + 7 .

При x = 2xlt N = — 2(уг—2x1), (у, JCX) = 1 получаем 2\у, тот же результат .

Рассмотрение чисел вида 2хг—уг =— (у а —2х г ) сводится к разобранному случаю .

Теорема 202 показывает, что среди чисел от 1 до р — 1 квадратичные вычеты по простому модулю р составляют половину этих чисел. Естественно поставить вопрос, как распределены квадратичные вычеты и невычеты по модулю р в некотором интервале от 1 до Q, где Q p — 1 .

И. М. Виноградов и Пойа независимо друг от друга в 1918 г .

доказали следующую теорему, которую мы приводим без доказательства .

Теорема 214. Обозначим через R число квадратичных вычетов по простому модулю р, находящихся среди чисел 1, 2 Q .

Тогда где | в | у .

Эта теорема показывает, что при Q, большом по сравнению с j / p l n p, примерно половина всех чисел от 1 до Q являются квадратичными вычетами по простому модулю р .

Аналогичная теорема была указана И. М. Виноградовым для вычетов л-й степени .

Теорема 214'. Пусть п\р—\, Rn —число вычетов п-й степени по простому модулю р, находящихся среди чисел 1, 2,..., Q .

.

Тогда

–  –  –

5. СИМВОЛ ЯКОБИ Обобщением символа Лежандра является символ, введенный Якоби .

Определение 61. Пусть нечетное, Ш = р1рг... ps, где р{ — простые числа, среди которых могут быть одинаковые, (а, т) == 1 .

Символ Якоби (—\ определяется равенством

–  –  –

Символ Лежандра ( —) является частным случаем символа КР Якоби. ' При т — р, где р — простое число, символ Якоби ( — J является по определению вместе с тем и символом Лежандра. Таким образом, для простого модуля /га = р символ Якоби равен + 1 или — 1, в зависимости от того, имеет ли сравнение Jt2 = a(modp) решения или нет. Вместе с тем символ Якоби ( —1 может равняться + 1 и тогда, когда сравнение jta = a (mod /га) не имеет решений .

Например, сравнение дс2 = 2 (mod 15) не имеет решений, а символ Якоби ( * ) = ( | ) ( | ) = + 1 .

Свойства символа Якоби аналогичны свойствам символа Лежандра. В теоремах 215—216, 218—222 мы будем, не оговаривая этого каждый раз, буквой т обозначать произвольное нечетное число, большее чем единица, и, рассматривая какой-либо символ Якоби вида ( — ], всегда считать (a, m ) = l. Пусть т = р1... ps, где р. —простые числа .

Теорема 215. Если a = b (mod т), то символы Якоби (—\ и (—) равны .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Согласно определению 61 и теореме 204,

–  –  –

Согласно принципу индукции (теорема III) сравнение (24) при k=l и k = 2 верно для произвольных нечетных чисел пх,..., ns, как бы много их ни было .

Теорема 218. ( - ^ - J = ( — I) 2 • Д о к а з а т е л ь с т в о. Согласно определению 61 и формуле (11)

–  –  –

то получаем:

Теорема 222 (закон взаимности для символов Я коби). Пусть т и п — нечетные числа, большие 1; тогда Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть n = qx...qt, где /, — простые числа.

Согласно теореме 219, определению 61 и теореме 221 получаем:

–  –  –

Введение символа Якоби дает возможность во многих случаях значительно упростить вычисление символа Лежандра. Как было уже отмечено, символ Лежандра (—) при нечетном а и простом р совпадает с таким же символом Якоби. Вычисление же символа Якоби упрощается за счет того, что при составном а.р можно непосредственно применять закон взаимности, в то время как, рассматривая одни только символы'Лежандра, необходимо представить (— J в виде произведения символов вида

–  –  –

Сравнение не имеет решений .

2) Имеет ли решения сравнение л:2 = 903 (mod 2111)?

2111—простое число. Вычисляем символ Лежандра, рассматривая его как символ Якоби:

–  –  –

1. Символ [—) был назван символом Лежандра в честь французского математика Адриана Лежандра (1752—1833). Лежандр, помимо ряда исследований в теории чисел, плодотворно работал над развитием теории эллиптических интегралов .

В 1798 г. Лежандр опубликовал сочинение „Essai sur la theorie des nombres", в котором излагаются разнообразные результаты по теории чисел, полученные к тому времени. В этой книге 7*. 195 Лежандр впервые и ввел символ, называемый нами теперь символом Лежандра .

2. Закон взаимности был открыт эмпирически Эйлером (L. E ul e r, Opusc, analytica I, St. Peterb., 1783, стр. 84). Лежандр в „Essai sur la theorie des nombres" приводит закон взаимности в несколько иной формулировке и дает доказательство, не являющееся, однако, полным .

Первое полное доказательство закона взаимности было дано Гауссом в 1796 г. в возрасте 19 лет и опубликовано им вместе с другим, вторым доказательством в 1801 г. (Disquisitiones arithmeticae). Формулируя и доказывая этот закон, он не пользуется символом Лежандра. В последующие годы Гаусс нашел и опубликовал еще шесть других доказательств этого закона .

В XIX веке было опубликовано свыше 50 работ с различными доказательствами закона взаимности, а к настоящему времени это число еще значительно возросло. Конечно, многие из этих доказательств близки по своей идее и отличаются только в деталях .

Интересное доказательство закона взаимности было дано в 1872 г. Е. И. Золотаревым в статье „Nouvelle demonstration de la loi de reciprocite de Legendre". Известны некоторые обобщения закона взаимности на случаи вычетов степеней, больших чем 2 .

Закон взаимности для биквадратичных вычетов был доказан К. Якоби в лекциях, прочитанных им в 1836—1837 гг.: однако даже для этого случая формулировка закона взаимности получается довольно сложной. Закон взаимности квадратичных вычетов был перенесен также на случай сравнений, рассматриваемых в произвольных квадратичных полях. Интересные результаты о законах взаимности весьма общего вида были даны в ряде работ И. Р. Шафаревича .

3. Теоремы 207 и 210 часто называют дополнительными к закону взаимности. Теорема 207 была известна еще Ферма, а теорема 210 была доказана впервые Эйлером .

Теорема 214 была опубликована И. М. Виноградовым в „Журнале физико-математического общества при Пермском университете", т. 1, 1918 г. Доказательство основано на применении конечных тригонометрических сумм. Пользуясь этой теоремой, И. М. Виноградов доказал, что наименьший квадратичный неIn 2 p для всех доставычет простого модуля р меньше чем p2Ve точно больших значений р .

В 1957 г. Берджесс доказал, что при любом е 0 наимень ший квадратичный невычет простого модуля р представляет собой величину порядка О (р* ). Этот результат представляет собой существенное улучшение результата И. М. Виноградова .

Весьма вероятно, что на самом деле наименьший квадратичный невычет по модулю р при возрастающем р представляет собой величину порядка О(р') (гипотеза И. М. Виноградова) .

4. Символ Якоби был введен им в 1837 г. К. Якоби (1804—1851) известен главным образом своими работами в различных областях математического анализа (эллиптические функции, уравнения в частных производных, вариационное исчисление) и в механике. Развитая им теория эллиптических функций применялась им для получения теоретико-числовых результатов. В теории чисел Якоби оставил большой след своими работами по теории кубичных и биквадратичных вычетов .

Г Л А В А 22

СРАВНЕНИЯ 2-й СТЕПЕНИ ПО СОСТАВНОМУ МОДУЛЮ

1. СРАВНЕНИЯ 2-й СТЕПЕНИ ПО МОДУЛЮ/7*, ГДЕ р—ПРОСТОЕ ЧИСЛО

–  –  –

(s)(?.)

1) при & = 0 и k=\ первое сравнение в (8) имеет одно решение, каждое из следующих сравнений имеет по два решения .

Система (8) и сравнение (7) имеют 2s решений;

2) при k = 2, a = l ( m o d 4 ) каждое из сравнений в (8) имеет по два решения. Система (8) и сравнение (7) имеют 2S+1 решений;

3) при &Ss3, a = l ( m o d 8 ) первое сравнение согласно теореме 225 имеет 4 = 2 а решений и, следовательно, система (8) и сравнение (7) имеют по 2* + а решений .

Во всех остальных случаях, т. е.:

1) если хоть один из символов Лежандра (— ) = — 1,

2) если при k = 2 имеем a = 3(mod4),

3) если при &S»3 имеем а = 3, 5, 7 (mod 8), в систему (8) входит сравнение, не имеющее решений, а следовательно, не имеет решений и сравнение (7) .

При нечетном т, как было отмечено раньше (стр. 186), сравнение x2=a(modm) может не иметь решений, несмотря на то, что символ Якоби (—) равен 1. Однако, если этот символ р а в е н — 1, вопрос о наличии решений сравнения (7) решается отрицательно .

Теорема 227. Если т нечетное, (а, т)=\, символ Якоби a то сравнение x = a(modm) не имеет решений .

••) =—1 Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть каноническое разложение нечетного т имеет вид: т = р^... р*«; тогда

–  –  –

Если (-^-) = — 1. то среди множителей (—) по крайней мере один равен — 1, так что при некотором t ( l ^ t ^ s ) сравнение х*=а (modР{) не имеет решений, а следовательно, не имеет решений и сравнение x2 = a(mod m) .

ГЛАВА 23

АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ СРАВНЕНИЙ

При изложении теории сравнений мы уже встречались с задачами, возникающими в рамках элементарной арифметики, например с задачей отыскания остатков от деления. В этой главе мы рассмотрим еще некоторые другие вопросы элементарной арифметики, изучение которых упрощается применением теории сравнений .

1. ПРИЗНАКИ ДЕЛИМОСТИ

–  –  –

2. ПРОВЕРКА АРИФМЕТИЧЕСКИХ ДЕЙСТВИЙ

Теория сравнений дает следующий способ проверки арифметических действий .

Выбираем некоторый модуль т и заменяем большие числа а, Ь, с,..., над которыми нам надо производить действия (сложение, вычитание, умножение, возведение в степень), небольшими числами а', Ь', с',..., сравнимыми с ними по модулю т .

Произведя действия над а, Ь, с,..., мы точно такие же действия производим над а', V', с',... Если действия произведены правильно, то результаты этих действий над а, Ь, с,... и над а', Ь', с',... должны быть сравнимы по модулю т .

Действительно, согласно теоремам 83', 84', 85 если a = a'(modm), b = b' (mod m),..., то a + ft +... = a' + & ' +... (mod m), a-b... = a'b'... (mod m), a" = b" (mod m) .

Для проверки соотношения -г = с представляем его в виде а = Ьс. Применение этого способа проверки, конечно, имеет смысл только тогда, когда нахождение таких чисел а', Ь', с',.. .

может быть осуществлено легко и быстро. Для этого обычно в качестве модуля т выбирают т = 9 или т = 11. Каждое число, записанное в десятичной системе счисления, сравнимо с суммой его цифр по модулю 9, так что мы можем сформулировать следующий способ „проверки с помощью девятки" .

Для каждого числа вычисляется остаток от деления на 9 суммы цифр. Производя действия над числами, производят такие же действия над этими остатками. Результат рассматриваемых действий над этими остатками должен отличаться от суммы цифр искомого результата на число, кратное девяти .

Конечно, если ошибка такова, что разность между найденной и истинной величинами кратна 9, то она при этом способе проверки не будет замечена .

По модулю m = 11 каждое число, записанное в десятичной системе счисления, будет сравнимо с суммой цифр, взятых справа налево -попеременно со знаками „плюс" н „минус"; поэтому мы можем сформулировать следующий способ „проверки с помощью одиннадцати". Для каждого числа вычисляется остаток от деления на 11 суммы цифр* взятых попеременно'справа Налево со знаками „плюс" и „минуе". Результат рассматриваемых действий над этими остатками должен отличаться от суммы взятых попеременно со знаками „плюс" и „минус" справа налево цифр искомого результата на число, кратное 11. Если ошибка будет кратна 11, она не будет замечена при этом способе .

При сложных вычислениях имеет смысл проводить две проверки: одну с помощью модуля 9, а другую с помощью модуля 11 .

В этом случае ошибка не будет замечена только, если она кратна 99, что, конечно, бывает очень редко .

П р и м е р ы. 1) Проверить с помощью модуля 9, верен ли результат умножения 73 416-8539 = 626 899224 .

Находим, что сумма цифр первого множителя 21 = 3 (mod 9), а второго 25 = 7 (mod 9). Сумма цифр произведения равна 48 и действительно отличается от 3-7 = 21 на число, кратное 9 .

2) С помощью, модуля 11 проверить результат:

(3197)3 = Сумма Цифр основания; взятых попеременно со знаками „плюс" и „минус", 7 — 9 + 1 — 3 = 7(modll). Соответствующая сумма для результата, равная —9, отличается от 7 3 = 343 на число, кратное одиннадцати. ;

3) Проверить с помощью модулей 9 и 11, верно ли, что • = 85 847 .

Сумма цифр делимого 42=b6(mod9), делителя 30 = 3 (mod 9) и частного 32 = 5 (mod 9). Произведение 3-5=15 отличается от 6 на число, кратное 9 .

Проверяем с помощью модуля 11. Знакопеременная сумма цифр делимого, делителя и частного равны соответственно 22, 2 и 14. Произведение 2-14 = 28 отличается от 22 на число, не кратное 11, так что результат не верен .

3. ДЛИНА ПЕРИОДА ДЕСЯТИЧНОЙ ДРОБИ

–  –  –

так что r f t ^ a - 1 0 * ^ a ( m o d f t ), и поскольку 1 r f t b, I то r t = a .

Совпадение величин гк и а показывает, что после fe шагов равенства (4) периодически повторяются, т. е. ck+s = cs при всех 8 = 0, 1, 2,.. .

Поскольку у^—-0 при увеличении п, из равенств 5) получаем периодическое разложение или в сокращенной записи Можно утверждать, что найденный'нами период длины k — наименьший. Действительно, если

–  –  –

(6) где все неотрицательные числа с и положительные г меньше чем Ъ. Поскольку (rit b) — l и Pb(\0) = k, то согласно предыдущей теореме первые k значений с в (6), а именно с,-,..., ck_x, с0,..., c f _ x образуют период разложения у, т. е .

Р ь (10) | ф (Ь) и, следовательно, Р ь ( 1 0 ) ^ ф ( Ь ), так что из теоремы 231 следует, что для рассматриваемых там дробей -• число цифр в периоде всегда не больше чем (Ь). Если вос- р пользоваться теоремой 162', то можно утверждать, что число цифр в периоде не превосходит L (Ь) .

В частности, разложение в бесконечную десятичную дробь чисел вида —, где р—простое и l s g a s g p — 1, всегда имеет не больше, чем р— 1 цифр в периоде, причем число этих цифр представляет собой делитель р — 1 .

Если 10—первообразный корень по модулю р, то длина периода наибольшая возможная и равна р—1. При таких знаменателях k=p—1 и число различных остатков в (4) равно р—1, т. е. эти остатки образуют всю приведенную систему вычетоа по модулю р .

В этом случае согласно теореме 232 разложения в бесконечные десятичные дроби для всех чисел —, —,..., - — получаются друг из друга циклической перестановкой, так что, зная одну из них, легко найти все остальные .

П р и м е р. Зная, что ^ = 0, (052 631 578947 368421), найти | | .

Поскольку число цифр в периоде ^ равно 18, то 10 представляет собой первообразный корень по модулю 19, и разложение rg получается из разложения т„ циклической подстановкой. Непосредственным делением находим первые две цифры jg = 0,73... так что

–  –  –

где а0—целое числоу а все остальные а„—натуральные числа, т. е. ап"5* 1 при л = 1, 2,.. .

Будем в дальнейшем записывать выражение 2)т в виде Определение 63. Подходящей дробью ^ к бесконечной цепной дроби (2) называется конечная цепная дробь

–  –  –

Определение 65. Величиной бесконечной сходящейся цепной дроби (2) называется предел ее подходящих дробей, т. е. число а, такое, что lim j~*=a .

Л -*• 00 ^Л Если величина (2) равна а, будем записывать это в виде Конечные и бесконечные цепные дроби объединяет общим понятием цепных дробей, понимая под этим выражения вида

–  –  –

Qn Qn-il QnQn-i' Теорема 63'. При увеличении номера п знаменатели Qn бесконечной цепной дроби, начиная с л = 1, монотонно, неограниченно возрастают .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Действительно, поскольку в бесконечной цепной дроби ап Э* 1 при всех п 5* 1. то согласно сделанному выше замечанию результат теоремы 63 распространяется на любое множество значений п, так что

–  –  –

Теорема 233. Подходящие дроби с четными и нечетными номерами образуют систему концов вложенных друг в друга интервалов .

Д о к а з а т е л ь с т в о. В теореме 65 было установлено, что четные подходящие дроби образуют возрастающую последовательность, а нечетные подходящие дроби—убывающую последовательность, и при этом любая четная дробь меньше любой нечетной дроби .

Так как все это верно для любого числа подходящих дробей, то Докажем, что рассматриваемые нами цепные дроби с элементами а„ ёг 1 (п= 1, 2,".-..)• всегда сходятся и, следовательно, имеют определенную величину .

Теорема 234. Любая бесконечная цепная дробь сходится .

Д о к а з а т е л ь с т в о.

Пусть нам дана произвольная цепная дробь:

ао + ^а1+^а2+..., где все ап—целые числа и ап^\ при всех п = 1, 2, 3,.. .

В предыдущей теореме было доказано, что подходящие дроби с четными и нечетными номерами являются левыми и правыми концами системы вложенных друг в друга интервалов.

Согласно теореме 68' имеем:

D D

–  –  –

З а м е ч а н и е. Из приведенного доказательства непосредственно видно, что величина бесконечной цепной дроби больше любой четной подходящей дроби и меньше любой нечетной подходящей дроби, так что Для случая, когда цепная дробь конечная, неравенства (7) также верны, однако а совпадает с последней подходящей дробью (см .

примечание к теореме 68) .

Определение 67. Пусть а = а0 + ^ау + -^а2 +... ; полными частными в разложении а будем называть величины а0, ах, а а,..., определенные равенствами' .

.-+J/a,+-l4+i при = a0 при s=—1 .

Теорема 235. Пусть a = ao-{-xJal-^lt0i +...., ь^—полное частное в разложении а., тогда

–  –  –

2. РАЗЛОЖЕНИЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ В ЦЕПНЫЕ ДРОБИ

Рассмотрим теперь разложение действительных чисел в цепные дроби .

Определение 68. Разложением действительного числа а в цепную дробь называется представление а в виде где а0, а 1 ( а а... —конечная или бесконечная последовательность целых чисел, такая, что при k^l все ak^\, а в случае конечного разложения последний элемент as\ .

Теорема 236. Пусть разложение а в цепную дробь имеет вид:

Введем обозначение

–  –  –

где при s s s l все иррациональные числа а, 1 и, таким образом, при всех таких s числа аа*=[аа\^\ .

Числа а0, alt Oj,... образуют бесконечную последовательность целых чисел и, поскольку при s ^ s l as^*l, мы можем, взяв эти числа в качестве элементов, составить бесконечную цепную дробь О + ^ах + ^аа+.... которая согласно теореме о 234 сходится .

Докажем, что величина этой цепной дроби равна нашему исходному числу а. Действительно, из равенств (11) получаем

–  –  –

В теореме 237 было доказано, что для любого действительного числа существует по крайней мере одно разложение в цепную дробь. Возникает вопрос, могут ли для данного действительного числа а существовать различные разложения в цепную дробь, т. е. может ли для некоторого а существовать разложение где а0, fl^^sl, аг^\...—целые числа, отличные от тех, которые были получены с помощью алгоритма, примененного при доказательстве теоремы 237 .

Оказывается, разложение любого действительного числа в цепную дробь обладает свойством единственности, а именно: две различные конечные или бесконечные последовательности целых чисел а0, аг 1, аг 1... и а0, а\ 1, а2 1.. .

образуют две различные по величине цепные дроби, т. е. если хотя бы для одного i а-^=а\, то При этом, как и раньше, в случае конечных цепных дробей сохраняется условие, что последний элемент больше единицы .

Теорема 238. Для любого действительного числа а существует одна и только одна цепная дробь, равная а .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Существование цепной дроби, равной а, было установлено в теореме 237. Нам надо доказать единственность такой цепной дроби. Пусть где а,- и а\—целые числа, причем при Г^= 1 все а, и а\ положительны. Будем считать, что из этих двух цепных дробей по крайней мере одна бесконечная, так как случай равенства двух конечных цепных дробей уже был рассмотрен в теореме 58 .

Предположим, что эти две цепные: дроби отличаются хотя бы одним элементом, и обозначим через k первый по порядку номер, такой, что ak^=a'k, т. е. предположим, что Обозначим aft = a f t + I / a f t + 1 +.. -, ak = a * + J V f t + 1 - f.. .

Из равенства (теорема 236!) получаем aft = a^, но тогда согласно теореме 236а имеем:

а* = [«*] = [»*] = о*, что противоречит условию ' Предположение, что действительное число а имеет два различных разложения, привело нас к противоречию, и, таким образом, разложение в цепную дробь может быть только одно .

П р и м е ч а н и е. Единственность разложения уже не будет иметь места, если отказаться от условия a ^ ^ l при s ^ l или вообще брать непрерывные дроби вида (1) .

Например, из (12) получаем разложение но, как легко проверить, для этого же числа имеем другое разложение в непрерывную дробь:

Теорема 238 показывает, что любое разложение действительного числа в цепную дробь, полученное каким-либо другим методом, отличным от того, который был применен при доказательстве теоремы 237, даст нам ту же цепную дробь, как и в рассмотренном там алгоритме .

Разлагая действительные числа в цепные дроби, мы для каждого рационального числа имеем единственное разложение, представляющее собой конечную цепную дробь, а для каждого иррационального числа—единственное разложение, представляющее собой бесконечную цепную дробь. В этом отношении разложения действительных чисел в цепные дроби характеризуют природу действительных чисел лучше, чем разложения в систематические дроби .

Разложения рациональных чисел в систематическую дробь, например в десятичную, могут быть конечными и бесконечными, причем характер таких разложений существенно зависит от основания системы счисления .

Поскольку между действительными числами и цепными дробями установлено взаимно однозначное соответствие, мы будем в дальнейшем, в случае, когда р подходящие дроби -rf к этой цепной дроби называть также для краткости подходящими дробями к числу а .

3. РАЗЛОЖЕНИЕ ЧИСЛА е В ЦЕПНУЮ ДРОБЬ

В качестве примера рассмотрим разложение в цепную дробь числа е .

Теорема 239 .

–  –  –

Дркажем индукцией по п, что Из (16) и (17) непосредственно вычисляем /?0 = 2, 7 ^ = 1 3, = 7, так что соотношение (19) верно Pi — 3, Pt=l9, Qi—i,Qt при л = 0 ига= 1 .

• Предположим, что соотношение (19) верно для всех R с номерами, меньшими чем п, где п 2, т. е., в частности, #я-1 = - 2"(Л)п-»+ Qsn-2)» Rn-t — ~2 (^3n-8 + Qen-б);

тогда, используя равенства (18), получаем:

Согласно принципу полной математической индукции равенство (19) верно для всех п .

Совершенно аналогично доказывается, что

Рассматривая теперь предел отношения величин Rn и Sn, находим:

<

–  –  –

будем иметь также, что вообще lim-y-" = e, а это доказывает теорему .

Исторические комментарии к 5-й и 24-й главам

1) Процесс последовательного образования бесконечных непрерывных дробей, получающихся при разложении некоторых действительных чисел частного вида, описан в алгебре Бомбелли, вышедшей в 1572 г.; однако Бомбелли, описывая процесс, не употребляет обозначений вида (1). Обозначения вида (1) для непрерывных дробей впервые встречаются у Катальди в 1613 г., только вместо знака „ + " он писал „et" .

Конечные цепные дроби вида (1) 5-Й главы рассматривались немецким математиком Швентером (1585—1636). Швентер применял таблицы типа тех, которые даны у нас на странице 65 .

Широкое применение цепные дроби получили начиная с работ известного физика, астронома и математика Христиана Гюйгенса (1629—1695). Гюйгенс рассматривал цепные дроби в связи с задачей подбора зубчатых колес, у которых отношение числа зубцов было возможно ближе к некоторому заданному числу. Число зубцов в таких колесах нельзя было брать слишком большим, так что приходилось отыскивать два сравнительно небольших натуральных числа, отношение которых было близко к заданному числу. Решение задач такого рода, естественно, приводит к рассмотрению цепных дробей и подходящих к ним. Подбор таких зубчатых колес был нужен Гюйгенсу в связи с его намерениями построить модель, имитирующую движение планет в солнечной системе .

2) Теория цепных дробей была систематически разработана Эйлером, а затем Лагранжем .

е

3) Разложение ~ в цепную дробь при любом натуральа ном k было найдено Эйлером в 1737 г. Разложение в цепную дробь числа е (теорема 240) также принадлежит Эйлеру .

ГЛАВА 25

ПРИБЛИЖЕНИЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

РАЦИОНАЛЬНЫМИ ДРОБЯМИ

1. ПРИБЛИЖЕНИЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ ПОДХОДЯЩИМИ

ДРОБЯМИ

Рациональные числа, как известно, образуют счетное множество, в то время как множество иррациональных чисел несчетно. В этом смысле можно сказать, что основную массу всех действительных чисел составляют иррациональные числа. Применение иррациональных чисел в практике обычно осуществляется заменой данного иррационального числа некоторым рациональным числом, мало отличающимся в пределах требуемой точности от этого иррационального числа. При этом обычно стараются выбрать рациональное число возможно простым, т. е .

в виде десятичной дроби с небольшим числом знаков после запятой или в виде обыкновенной дроби со сравнительно небольшим знаменателем. Для громоздких рациональных чисел, т. е .

чисел с большими знаменателями, также иногда возникают задачи, связанные с необходимостью отыскания хороших рациональных приближений, понимая под этим отыскание рациональных чисел со сравнительно небольшими знаменателями, мало отличающимися от данных чисел .

Цепные дроби дают очень удобный аппарат для решения задач такого рода. С помощью цепных дробей удается заменять действительные числа рациональными дробями так, что ошибка от такой замены мала по сравнению со знаменателями этих рациональных чисел .

Теорема 241. Для любых двух соседних подходящих дробей Ь и рй ± 1 к действительному числу а имеет место неравенство D

–  –  –

ствительного числа подходящей дробью ^. Так как при всех п имеем Qn^Qn+1, то можно написать также — и, таким образом, с точностью до множителя, заключенЯ+ 1 ного между у и 1, определяет порядок приближения а подходящей дробью с номером п .

Теорема 242 показывает, что при этом, во всяком случае, обеспечивается точность приближения — - .

Мы видим, что, вообще говоря, подходящие дроби дают лучшие приближения к действительным числам, чем конечные десятичные дроби, получающиеся в процессе разложения этого числа по степеням-jQ." Действительно, если сг, с а,...—десятичные знаки числа а после запятой и со = [а], т. е .

–  –  –

-j-jg, дающее при сравнительно небольшом знаменателе высокую точность. Это связано с тем, что в разложении я число а 4 сравнительно большое (а 4 = 292), и поэтому после знаменателя 113 следующий знаменатель намного больше, чем 113 .

Докажем, что каждая следующая подходящая дробь всегда ближе к рассматриваемому действительному числу а, чем предыдущая .

Теорема 244. Для любых двух соседних подходящих дробей Р р

–  –  –

В теоремах 241 —244 ставился вопрос о порядке приближения действительных чисел подходящими дробями. В следующих теоремах рассмотрим некоторые сравнительно простые результаты, показывающие, как обстоит дело с приближением действительных чисел рациональными числами, не предрешая заранее, что эти рациональные числа будут подходящими дробями. Вместе с тем в доказательствах этих теорем мы часто будем пользоваться уже известными нам теоремами о цепных дробях, так как использование их обычно дает наиболее простые пути для исследования рациональных приближений .

Пусть а —произвольное действительное число. Как было отмечено раньше, уже из теории десятичных дробей следует существование рационального числа т-, такого, что а — у С у. Поставим вопрос о возможности таких приближений а рациональными числами у, при которых точность приближения будет оценена не величиной у, а величиной, в т раз меньшей, т. е .

вопрос о нахождении рациональных чисел у, таких, что где т — любое заранее заданное положительное число. •, Няп-ример, можно поставить задачу нахождения такого рационального приближения к а, чтобы точность приближения была в 1000 или в 1 000 OOtt раз лучшей, чем величина, обратная знаменателю. Это соответствует выбору т = 1000 или т = 1000000 .

Оказывается, что, как бы велико ни было т, можно найти рациональную дробь у, приближающую а с точностью до г-, причем, и это является самым интересным, дробь - мы можем выбрать так, что Теорема 246 (Дирихле). Для любого действительного числа а и произвольного х • 1 можно найти рациональную дробь у, такую, что Д о к а з а т е л ь с т в о. Обозначим, как обычно, через -—• (л —0,1, 2,... ) подходящие дроби разложения а в цепную дробь. Последовательность может быть конечной или бесконечной, но, во всяком случае, лоскольку Q 0 = l, а т 1, можно найти наибольший номер п, такой, что Q n sT .

В качестве дроби у, удовлетворяющей условиям теоремы, Р можно выбрать -^, т. е. положить а = Р„, b = Q Действительно, рассмотрим два возможных случая .

1) Qn не является последним знаменателем (это будет для любого иррационального а, но может быть и в случае рационального а), т. е. существует Q n + 1, такое, что QntQn+1 .

Тогда при а = Рп, b=Qn согласно теореме 241 имеем:

–  –  –

П р и м е р. Найти рациональное приближение j к ]/5 с точностью ДО Согласно теореме 246 такую дробь можно найти среди дробей со знаменателями, меньшими, чем 1000. Разлагая УЪ в цепную дробь, получаем

–  –  –

Исторические комментарии к 25-й главе

1. Китайский астроном Цзу Чун-чжи (V век нашей эры) показал, что я заключено между 3,1415926 и 3,1415927. Он указал в качестве рационального приближения к я величину щ .

В Европе рациональные приближения я в виде ^пк и тг5 впервые указаны Адрианом Метиусом (1571—1635) .

Английский математик Валлис (1616—1703) вычислил 35 первых элементов разложения я в цепную дробь. Общий вид элементов разложения я в цепную дробь неизвестен .

2. Теоремы 248 и 249 были опубликованы Гурвицем в 1891 г .

Тот факт, что из трех соседних подходящих дробей по крайней мере одна дает приближение вида (9), был доказан Борелем в 1903 г .

3. Андрей Андреевич Марков (1856—1922) занимался весьма разнообразными вопросами математики, но особенно большое значение имеют его работы по теории чисел и по теории вероятностей. Исследования А. А. Маркова по теории квадратичных форм являются основными для всего последующего развития этой области теории чисел. Важнейшие результаты А. А. Маркова, полученные им в этом направлении, изложены им в магистерской диссертации „О бинарных квадратичных формах положительного определителя" .

Научная деятельность А. А. Маркова протекала в Петербургском университете, после окончания которого Марков работалГв нем с 1880 г. до конца своей жизни, и в Академии наук, избравшей его академиком в 1890 г .

ГЛАВА 26

НАИЛУЧШИЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ

1. ОТЫСКАНИЕ НАИЛУЧШИХ ПРИБЛИЖЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ



Pages:   || 2 |



Похожие работы:

«Государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Академия социального управления Кафедра дополнительного образования и сопровождения детства Слушатель курсов по пр...»

«МЕЖДУНАРОДНЫЙ ФЕСТИВАЛЬ КУЛЬТУРЫ И ИСКУССТВА CultNet гуманитарные науки "Как звучат наши даты рождения" Выполнила – Романова Ксения, руководитель – Невоструева Татьяна Николаевна МБОУ СОШ №5 город Можга, Удмуртская Республика, 2013 Содержание Введение 3 стр. Основная част...»

«Открытый урок по теме: “Appearance Тип урока: итоговый урок по теме Категория слушателей: учащиеся 2-го класса учитель английского языка ГБОУ школы №430 Петродворцового района г. Санкт-Петербурга Молодцова Елена Дмитриевна Основные воспитатель...»

«МИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования "Уральский государственный горный университет" Положение 201.Образовательная деятельность О порядке предоставления академического отпуска СМК П аспирантам ФГБОУ ВО "УГГУ"201.ОД.А.19 Екатеринбург – 2016 КЭ:_ УЭ № Стр. 1 из 8 Версия...»

«B.А.Таболин C. А. Ж дан ова И. Н. П ятницкая Г. А. Урывчиков АЛКОГОЛЬ и ПОТОМСТВО Москва "Высшая школа" 1988 Б Б К 54.13 Т 12 У Д К 616.36 Рецензенты: чл.-кор. АМ Н С С С Р, проф. Ю. Е. Вельтищ ев (М осковский научно-исследо­ ват...»

«СЛАВЯНСКАЯ АЗБУКА: ДЕШИФРОВКА И ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ПЕРВОГО СЛАВЯНСКОГО ПОЭТИЧЕСКОГО ТЕКСТА Карельский государственный педагогический САВЕЛЬЕВА институт ЛВ Аннотация: Настоящая статья ставит своей Ключевые слова: Славянская азбука з...»

«Важная информация по безопасности Обеспечение вашей безопасности является крайне важным. Поэтому перед эксплуатацией варочной панели просим Вас ознакомиться с данной информацией. Установка Опасность поражения электрическим током • Перед пр...»

«ПРОГРАММА вступительного экзамена по Философии для поступающих в СПбГУ на основные образовательные программы послевузовского профессионального образования (программы подготовки научно-педагогических кадров в аспирантуре) по всем отраслям наук Санкт-Петербург

«Содержание 1. Целевой раздел..3 1.1.Пояснительная записка..3 1.2. Цель и задачи реализации программы.4 1.3.Планируемые результаты освоения рабочей программы.5 1.3.1 Способы проверки результатов освоения программы.6 1.3.2. Формы подведения...»

«Известия НАН РА, Науки о Земле, 2012, 65, № 3, 70-77 ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ ПОВЫШЕНИЯ ТОЧНОСТИ РЕГИСТРАЦИИ И ОБРАБОТКИ СЕЙСМОЛОГИЧЕСКОЙ ИНФОРМАЦИИ © 2012 г. А. М. Аветисян, В . Ю. Бурмин, А. Г. Манукян Институт геофи...»

«ПРИНЯТО: УТВЕРЖДАЮ: на педагогическом совете Заведующий МБДОУ "Детский сад №7" Протокол № 1 ''. / ЯМ. Мальцева от 31.08.2016г. Приказ №204-А от 01.09.2016г. АДАПТИРОВАННАЯ КОРРЕКЦИОННОРАЗВИВАЮЩАЯ ПРОГРАММА РАБОТЫ С ДЕТЬМИ С ОГРАНИЧЕННЫМИ ВОЗМОЖНОСТЯМИ ЗДОРОВЬЯ, ДЕТЬМИ ИНВАЛИДАМИ МБДОУ "Детский сад №7". г. Вер...»

«Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования "Южно-Уральский государственный гуманитарно-педагогический университет"ПРОГРАММА КАНДИДАТСКОГО ЭКЗАМЕНА ПО СПЕЦИАЛЬНОЙ ДИСЦИПЛИНЕ "МЕДИЦИНСКАЯ ПСИХОЛОГИЯ" Научная специальност...»

«СПЛИТ СИСТЕМЫ ИНВЕРТОРНОГО ТИПА BSCI 09HPC BSCI 12HPC BSCI 18HPC РУКОВОДСТВО ПО ЭКСПЛУАТАЦИИ ГАРАНТИЙНЫЙ ТАЛОН Перед началом эксплуатации кондиционера внимательно изучите данное руководство и храните его в доступном месте. СОДЕРЖАНИЕ Используемые обозначения......................................»

«Рассмотрено на заседании МС школы., "УТВЕР АЮ " Протокол № уС ' от " 201 / г. лы: Диреу :едатель МС щ к оя ьк ''^ апош никова И.А. 201^ О.Н. Вишневская ПОЛОЖЕНИЕ о портфеле достижений обучающихся начального общего образования, обучающихся по ФГОС !.Общие положения 1.1. Настоящее положение разработано на основе...»

«Мотокосы бензиномоторные МБ-43/26 МБ-43/33 РУКОВОДСТВО ПО ЭКСПЛУАТАЦИИ И ИНСТРУКЦИЯ ПО БЕЗОПАСНОСТИ РУССКИЙ Уважаемый потребитель!При покупке машины ручной бензиномоторной: –требуйте проверки её исправности путем пробного запуска, а также комплектности согласно сведениям соответствующего раздела на...»

«АДМИНИСТРАЦИЯ ВЛАДИМИРСКОЙ ОБЛАСТИ ДЕПАРТАМЕНТ СОЦИАЛЬНОЙ ЗАЩИТЫ НАСЕЛЕНИЯ Государственное бюджетное учреждение социального обслуживания Владимирской области "Дом-интернат для престарелых и инвалидов "ПАНСИОНАТ г.МУРОМА" Судьбы, опаленные войной Быстро летит время. В памяти стираются воспоминания о прошедших...»

«Как вернуть покупателей на сайт Привлечение ценных клиентов с помощью поискового ремаркетинга Введение С каждым днем в Интернете появляется все больше информации о различных товарах и услугах, и...»

«РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ Ханты-Мансийский автономный округ-Югра Комитет образования администрации Березовского района Муниципальное бюджетное учреждение дополнительного образования ИГРИМСКИЙ ЦЕНТР ТВОРЧЕСТВА (МБУ ДО ИЦТ) РАССМОТРЕНО УТВЕРЖДЕНО на заседании методического приказом от 09.09.2...»

«ПУБЛИЧНЫЙ ДОКЛАД федерального государственного бюджетного дошкольного образовательного учреждения "Центр развития ребенка – детский сад № 477" В этом докладе подводятся итоги 2015-2016 учебного г...»

«ДЕПАРТАМЕНТ ОБРАЗОВАНИЯ, НАУКИ И МОЛОДЕЖНОЙ ПОЛИТИКИ ВОРОНЕЖСКОЙ ОБЛАСТИ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВОРОНЕЖСКОЙ ОБЛАСТИ "ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПРОМЫШЛЕННО-Г...»

«Министерство образования Республики Башкортостан ГБОУ СПО "Дуванский аграрный техникум"Утверждаю: Зам. директора по учебной работе ""20_г. План работы цикловой комиссии агрономических дисциплин на 2013-2014 учебный год Председатель цикловой комисси...»

«САМАРАНД ДАВЛАТ УНИВЕРСИТЕТИ УЗУРИДАГИ ИЛМИЙ ДАРАЖАЛАР БЕРУВЧИ PhD.28.03.2018.Ped.02.05 РААМЛИ ИЛМИЙ КЕНГАШ ЎЗБЕКИСТОН МИЛЛИЙ УНИВЕРСИТЕТИ ЭШМАМАТОВ ИСМОИЛ АБСАЛАМОВИЧ ЗАМОНАВ...»




 
2019 www.mash.dobrota.biz - «Бесплатная электронная библиотека - онлайн публикации»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.