WWW.MASH.DOBROTA.BIZ
БЕСПЛАТНАЯ  ИНТЕРНЕТ  БИБЛИОТЕКА - онлайн публикации
 

«ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ Часть 1 УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ ПРИКЛАДНОГО БАКАЛАВРИАТА 2-е издание, исправленное и дополненное Рекомендовано Учебно-методическим отделом высшего образования в ...»

Н. В. Богомолов

МАТЕМАТИКА .

ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ

Часть 1

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

ДЛЯ ПРИКЛАДНОГО БАКАЛАВРИАТА

2-е издание, исправленное и дополненное

Рекомендовано Учебно-методическим отделом высшего

образования в качестве учебного пособия для студентов высших

учебных заведений всех направлений и специальностей

Книга доступна в электронной библиотечной системе

biblio-online.ru Москва Юрайт 2018 УДК 51(075.8) ББК 22.1я73 Б74

Автор:

Богомолов Николай Васильевич — заслуженный учитель РСФСР, автор многочисленных учебных и методических пособий по математике. Многие годы преподавал математику в учебных заведениях Санкт-Петербурга .

Богомолов, Н. В .

Б74 Математика. Задачи с решениями. В 2 ч. Часть 1 : учеб. пособие для прикладного бакалавриата / Н. В. Богомолов. — 2-е изд., испр. и доп. — М. : Издательство Юрайт, 2018. — 439 с. — (Серия : Бакалавр. Прикладной курс) .

ISBN 978-5-534-07535-9 (ч.1) ISBN 978-5-534-07534-2 Настоящее пособие представляет собой руководство к решению задач из всех разделов программы по математике на базе неполной и полной средней школы .

Известно, что решение задач по математике у учащихся часто бывает сопряжено со многими трудностями. Основное назначение данного пособия состоит в том, чтобы помочь учащемуся преодолеть эти трудности и научить его самостоятельному решению задач по всем разделам учебной программы по математике .



Книга состоит из четырех разделов: «Задачи для повторения», «Алгебра и начала анализа», «Геометрия» и «Дополнительные главы». В силу большого объема пособие разделено на две части. В первую часть вошел первый раздел и главы с четвертой по десятую второго раздела. Остальные материалы вошли во вторую часть .

Соответствует актуальным требованиям Федерального государственного образовательного стандарта высшего образования .

Для студентов, аспирантов вузов, в которых математика является непрофильным предметом (в частности, обучающихся на юридических, социологических и психологических факультетах). Также пособие будет полезно учащимся средних специальных учебных заведений, подготовительных курсов и старших классов средней школы, для подготовки к вступительным экзаменам в вузы .

УДК 51(075.8) ББК 22.1я73 Все права защищены. Никакая часть данной книги не может быть воспроизведена в какой бы то ни было форме без письменного разрешения владельцев авторских прав .

Правовую поддержку издательства обеспечивает юридическая компания «Дельфи» .

–  –  –

Предисловие

Раздел I .

ЗАДАЧИ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ

Глава 1. Арифметика

1.1. Целые числа

1.2. Арифметические действия и законы арифметических действий.........11

1.3. Делимость чисел и признаки делимости

1.4. Простые и составные числа. Разложение чисел на простые множители

1.5. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное нескольких чисел

1.6. Обыкновенные (простые) дроби

1.7. Действия с дробными числами

1.8. Десятичные дроби

1.9. Проценты

1.10. Пропорции

1.11. Действия с приближенными числами

Глава 2. Алгебра

2.1. Рациональные числа



2.2. Действия с рациональными числами

2.3. Алгебраические выражения

2.4. Тождественные преобразования

2.5. Действия с целыми алгебраическими выражениями

2.6. Формулы сокращенного умножения и деления

2.7. Разложение многочленов на множители

2.8. Алгебраические дроби

2.9. Уравнения первой степени с одной переменной

2.10. Дробные рациональные уравнения, содержащие переменную в знаменателе дроби

2.11. Задачи на составление уравнений с одной переменной

2.12. Линейные неравенства с одной переменной

2.13. Системы двух линейных уравнений с двумя переменными................70

2.14. Задачи на составление систем линейных уравнений

2.15. Системы линейных неравенств с одной переменной

2.16. Решение дробно-линейных неравенств

2.17. Решение неравенств методом промежутков

2.18. Функции и их графики

2.19. Квадратные корни

2.20. Неполные квадратные уравнения

2.21. Решение квадратного уравнения выделением квадрата двучлена.....92

2.22. Квадратное уравнение общего вида

2.23. Приведенное квадратное уравнение

2.24. Квадратное уравнение с четным вторым коэффициентом..................96

2.25. Исследование корней квадратного уравнения по его дискриминанту

2.26. Свойства корней квадратного уравнения (теорема Виета)................97

2.27. Составление квадратного уравнения по его корням

2.28. Нахождение знаков корней квадратного уравнения с помощью теоремы Виета

2.29. Разложение квадратного трехчлена на линейные множители.........100

2.30. Биквадратное уравнение

2.31. Двучленное уравнение

2.32. Трехчленное уравнение

2.33. Уравнение, левая часть которого разлагается на множители...........104

2.34. Задачи на составление квадратных уравнений

2.35. Нелинейные системы уравнений с двумя переменными..................107

2.36. Задачи на составление нелинейных систем уравнений

2.37. Квадратичная функция. Построение графиков квадратичных функций

2.38. Графическое решение квадратных уравнений

2.39. Графическое решение систем уравнений с двумя переменными.....125

2.40. Графическое решение квадратных неравенств

2.41. Решение неравенств вида (x – х1)(x – х2)…(x – хn) 0 методом промежутков

2.42. Четные и нечетные функции

2.43. Степенная функция

2.44. Основные свойства корня n-й степени

2.45. Действия с корнями

2.46. Действия с нулевым, отрицательным и дробным показателями......146

2.47. Арифметическая прогрессия

2.48. Геометрическая прогрессия





2.49. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия

Глава 3. Элементы планиметрии и тригонометрии

3.1. Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике...............161

3.2. Метрические соотношения в круге

3.3. Тригонометрические функции острого угла

3.4. Решение прямоугольных треугольников

3.5. Теоремы синусов и косинусов

3.6. Решение косоугольных треугольников

3.7. Правильные многоугольники

3.8. Площадь треугольника

3.9. Площади четырехугольников

3.10. Медиана, биссектриса, радиусы описанной и вписанной окружностей в треугольнике

3.11. Длина окружности и длина дуги

3.12. Площадь круга и его частей

Раздел II .

АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА

Глава 4. Основы приближенных вычислений

4.1. Абсолютная погрешность приближенного значения числа .

Границы абсолютной погрешности

4.2. Верные цифры числа. Запись приближенного значения числа .

Округление приближенных значений чисел

4.3. Относительная погрешность приближенного значения числа...........208

4.4. Действия с приближенными значениями чисел

Глава 5. Уравнения .

Системы уравнений и неравенств.................215

5.1. Системы и совокупности неравенств с одной переменной.................215

5.2. Уравнения, содержащие переменную под знаком модуля

5.3. Неравенства, содержащие переменную под знаком модуля...............222

5.4. Системы двух линейных уравнений с двумя переменными .

Определитель второго порядка

5.5. Системы трех линейных уравнений с тремя переменными .

Определитель третьего порядка

5.6. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса

5.7. Иррациональные уравнения

5.8. Иррациональные неравенства

5.9. Простейшие задачи линейного программирования

Глава 6. Показательная функция

6.1. Показательные уравнения

6.2. Системы показательных уравнений

6.3. Показательные неравенства

Глава 7. Логарифмическая функция

7.1. Функция, обратная данной

7.2. Общие свойства логарифмов

7.3. Логарифмические уравнения

7.4. Системы логарифмических уравнений

7.5. Логарифмические неравенства

Глава 8. Элементы комбинаторики и бином Ньютона .

................ 286

8.1. Размещения

8.2. Перестановки

8.3. Сочетания

8.4. Бином Ньютона

Глава 9. Тригонометрические функции

9.1. Радианное измерение дуг и углов

9.2. Числовая единичная окружность

9.3. Тригонометрические функции числового аргумента

9.4. Знаки, числовые значения, свойства четности и нечетности тригонометрических функций

9.5. Основные тригонометрические тождества

9.6. Периодичность тригонометрических функций

9.7. Формулы приведения

9.8. Основные свойства тригонометрических функций и их графики......331

9.9. Обратные тригонометрические функции

9.10. Построение дуги (угла) по данному значению тригонометрической функции

9.11. Тригонометрические уравнения

9.12. Тригонометрические неравенства

9.13. Формулы сложения

9.14. Тригонометрические функции удвоенного аргумента

9.15. Тригонометрические функции половинного аргумента

9.16. Преобразование произведения тригонометрических функций в алгебраическую сумму

9.17. Преобразование алгебраической суммы тригонометрических функций в произведение

9.18. Преобразования с помощью введения вспомогательного аргумента

9.19. Гармонические колебания

Глава 10. Комплексные числа

10.1. Комплексные числа и их геометрическая интерпретация.................416

10.2. Действия с комплексными числами, заданными в алгебраической форме

10.3. Действия с комплексными числами, заданными в тригонометрической форме

10.4. Показательная функция с комплексным показателем. Формулы Эйлера

Новые издания по дисциплине «Математика» и смежным дисциплинам

Предисловие Настоящее пособие создано как руководство к решению задач из всех разделов программы по высшей математике .

Во многих учебниках по математике не представляется возможным рассмотреть те приемы решения многих задач, которые обычно вызывают значительные трудности при самостоятельном решении задач .

При решении задач многие учащиеся нуждаются в постоянных консультациях относительно приемов и методов их решения, поскольку найти путь к самостоятельному решению задачи без помощи преподавателя или соответствующего пособия учащемуся не под силу. Такие консультации и рекомендации при разъяснении приемов решения задач учащийся может получить в данной книге .

Настоящее руководство служит дополнением к учебникам и задачникам по математике, и в силу этих причин в нем отсутствуют упражнения для самостоятельного решения .

Книга состоит из четырех разделов: «Задачи для повторения», «Алгебра и начала анализа», «Геометрия» и «Дополнительные главы» .

В первый раздел включены задачи для повторения за курс неполной средней школы. Этот раздел окажет существенную помощь тем учащимся, которые по тем или иным причинам имели большой перерыв в учебе .

Во второй раздел включены задачи по следующим темам: основы приближенных вычислений, уравнения и системы уравнений и неравенств, показательная, логарифмическая, тригонометрические и обратные тригонометрические функции, комплексные числа, пределы, производная и ее приложения, неопределенный интеграл, определенный интеграл и его приложения, дифференциальные уравнения, элементы теории вероятностей и математической статистики .

В третьем разделе рассматриваются задачи по следующим темам:

векторы на плоскости и в пространстве, прямая на плоскости и ее уравнения, кривые второго порядка, прямая и плоскость в пространстве, вычисление объемов и площадей поверхностей с помощью определенного интеграла .

Книга завершается разделом «Дополнительные главы», в котором рассмотрены задачи, часто изучаемые на дополнительных (факультативных) занятиях при прохождении курса математики .

В силу большого объема пособие разделено на две части. В первую часть вошел первый раздел и главы с четвертой по десятую второго раздела. Остальные материалы вошли во вторую часть .

Наряду с изложением приемов и методов решения типовых задач в пособии приведены доказательства ряда формул; эти доказательства можно рассматривать как решения задач в общем виде, что поможет изучению теоретического материала .

В результате освоения данного учебного пособия учащиеся должны приобрести следующие компетенции:

знать • основные математические понятия и их использование при решении задач;

• основные правила действий с числами и функциями;

• типовые примеры на закрепление теоретических знаний по основным разделам математики;

• способы решения задач по основным разделам математики;

уметь • использовать полученные теоретические знания для решения задач;

• правильно использовать математическую символику;

владеть • методами нахождения оптимального решения задач по математике;

• навыками оперирования математическим инструментарием .

В книге приняты следующие обозначения: начало и конец решения примера отмечаются соответственно знаками и .

При составлении пособия были использованы многие учебники, сборники задач, методические руководства, справочники и математические журналы для средней и высшей школы. Значительная часть задач составлена автором .

Раздел I .

ЗАДАЧИ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ

Глава 1 .

АРИФМЕТИКА

1.1. Целые числа

1. Натуральные и целые числа. Числа 1, 2, 3, получаемые в результате счета, называют натуральными .

Все натуральные числа и нуль называют целыми неотрицательными числами .

Целыми числами называют все натуральные числа, нуль и все целые отрицательные числа. Число 0 (нуль) не является натуральным .

Цифры, которыми мы записываем числа, принято называть арабскими (иногда их называют индийскими) .

В России до XIII в. числа записывали старославянскими буквами .

2. Римские цифры. В ряде случаев и сейчас используют римские цифры. Римская система нумерации состоит из семи знаков:

I V X L C D M

При записи чисел римскими цифрами руководствуются следующими правиилами. Если меньший знак пишется после большего, то его прибавляют к большему числу; если же перед большим — вычитают .

Например: IX — 9, XIX — 19, XLVIII — 48, XCIX — 99, CDLXXXVI — 486, DCCCXVII — 817, MCMXV — 1915, (MDCCIII—ММIII) — (1703— 2003) .

3. Назнания больших чисел и сокращенная форма их записи .

Миллион: 1 000 000 = 106 .

Миллиард или биллион: 1 000 000 000 = 109 .

Триллион: 1 000 000 000 000 = 1012 .

Квадриллион: 1 000 000 000 000 000 = 1015 .

Квинтиллион: 1 000 000 000 000 000 000 = 1018 .

Секстиллион: 1 000 000 000 000 000 000 000 = 1021 .

Септиллион: 1 000 000 000 000 000 000 000 000 = 1024 .

В русских математических руководствах, относящихся к началу XII в., встречаются следующие наименования больших чисел: тьма — 106, легион — 1012, леодр — 1024, ворон — 1048, колода — 1049 .

С потрясающе большими числами приходится встречаться в астрономии. Например, известно, что свет проходит в одну секунду 300 000 км;

тогда в год расстояние, пройденное светом (световой год), составит около 10 трлн км .

Туманность Андромеды удалена от Земли на 2,3 106 световых лет .

Диаметр нашей Галактики (Млечного Пути) составляет приблизительно 1018 км. Для того чтобы пересечь Галактику, перемещаясь со скоростью света, понадобилось бы около 100 000 = 105 лет .

Предполагают, что в нашей Галактике содержится от 5 до 10 трлн звезд (от 5 1012 до 1013) .

В связи с рассмотренными примерами больших чисел заметим, что следует различать два понятия: большое число и бесконечно большую величину .

Большое число может быть потрясающим по своей огромной величине, например 1024 (единица с 24 нулями), но это число является постоянной величиной и характеризуется своим неизменным числовым значением .

Бесконечно большая величина — это прежде всего переменная величина, которая в процессе своего непрерывного изменения может превзойти по абсолютной величине любое сколь угодно большое наперед заданное положительное число, т. е. она может стремиться к бесконечности (к плюс бесконечности или к минус бесконечности: к + или к –). Заметим, что символ не является числом, он характеризует процесс непрерывного возрастания по абсолютной величине .

Числа, обратные числам 106, 108, 109, …, записывают так: 6 = 106, = 108, 9 = 109, …. Здесь мы имеем примеры очень малых, но постоянных величин, сохраняющих свое числовое значение неизменным .

В этом случае также следует различать просто малое число и бесконечно малую величину, как величину переменную, которая в процессе своего непрерывного изменения стремится к нулю .

В понятиях бесконечно большой и бесконечно малой величин основной смысл заключается в том, что они являются переменными величинами и поэтому существенно отличаются от величин постоянных, выраженных большими или малыми числами .

–  –  –

1.3. Делимость чисел и признаки делимости

1. Делимость суммы. Если каждое слагаемое делится на данное число, то и сумма разделится на это число .

Например, 64 делится на 4, 36 делится на 4, 40 делится на 4; значит, сумма 64 + 36 + 40 = 140 делится на 4; 140 : 4 = 35 .

Если одно из слагаемых не делится на данное число, то и сумма не разделится на это число .

Например, 36 делится на 12, 48 делится на 12, 16 не делится на 12;

значит, сумма 36 + 48 + 16 = 100 не делится на 12 .

Если два или несколько слагаемых не делятся на данное число, то о делении суммы на данное число ничего определенного сказать нельзя, поскольку в одних случаях такое деление возможно, а в других — нет .

Например:

а) 17 и 13 не делятся ни на 5, ни на 6, но сумма 17 + 13 = 30 делится и на 5, и на 6;

б) 14 и 21 не делятся ни на 4, ни на 5, однако сумма 14 + 21 = 35 делится на 5, хотя не делится на 4 .

2. Делимость разности. Если уменьшаемое и вычитаемое делятся на данное число, то и разность разделится на это число .

Например, 64 делится на 8, 24 делится на 8, поэтому разность 64 –

– 24 = 40 делится на 8 .

Если только одно из чисел (уменьшаемое или вычитаемое) делится на данное число, а другое не делится, то и разность не разделится на это число .

Например, 64 делится на 16, 33 не делится на 16, поэтому разность 64 – 33 = 31 не делится на 16 .

Если ни уменьшаемое, ни вычитаемое не делятся на данное число, то их разность может разделиться, а может и не разделиться на это число .

Например, 51 и 43 не делятся ни на 4, ни на 5; их разность 51 – 43 = 8 делится на 4, но не делится на 5 .

3. Делимость произведения на число и числа на произведение .

Если один из сомножителей делится на данное число, то и произведение также разделится на это число .

Например, 24 делится на 6, следовательно, каждое из произведений 24 7, 24 9 13, 24 17 21 также разделится на 6 .

Если же ни один из сомножителей не делится на данное число, то из этого еще не следует, что на данное число не разделится и их произведение .

Например, ни 21, ни 10 не делятся на 6, а их произведение 21 10 = 210 на 6 делится; 210 : 6 = 35 .

Если число делится на произведение данных чисел, то оно разделится и на каждый сомножитель этого произведения .

Например, 60 делится на произведение 2 3 5; поэтому 60 разделится на 2, на 3 и на 5 .

Обратное утверждение не всегда верно. Если число делится в отдельности на несколько данных чисел, то на их произведение оно может и не разделиться .

Например, 240 делится на 5, на 6 и на 16, но не делится на произведение 5 6 16 .

4. Признаки делимости чисел. Деление без остатка не всегда выполнимо. Для того чтобы установить, делится или не делится одно число на другое, рассмотрим некоторые признаки делимости чисел (табл. 1.3) .

Таблица 1.3 Делитель Признак делимости Примеры

–  –  –

1.4. Простые и составные числа .

Разложение чисел на простые множители

1. Простые и составные числа. Всякое число, кроме единицы, которое делится только на единицу и само на себя, называется простым .

Числа, которые делятся не только на единицу и сами на себя, но еще и на другие числа, называются составными .

Число 1 не принадлежит ни к простым, ни к составным числам, оно занимает в ряду чисел особое положение .

2. Решето Эратосфена. Используя «решето Эратосфена» (III в .

до н. э.), найдем все простые числа натурального ряда от 1 до 30. Для этого выпишем все натуральные числа от 1 до 30 в порядке их возрастания. Первое из них 1 — не простое, вычеркиваем его. Следующее за ним число 2 — простое, вычеркиваем все числа, кратные 2, кроме числа 2;

следующее простое число 3, вычеркиваем все числа, кратные 3. Следующее простое число 5, вычеркиваем все числа, кратные 5, и т. д .

В результате получаем:

1, 2, 3, 4, 5, 6,7, 8, 9, 10, 11, 12,13, 14, 15, 16,17, 18,19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30 .

Мы получили такие простые числа: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 .

Существует бесконечно много простых чисел .

3. Разложение чисел на простые множители. Основная теорема арифметики. Каждое число можно представить в виде произведения простых чисел, и притом единственным образом .

Такое представление называется разложением на простые множители .

Пример. Используя признаки делимости, разложить на простые множители число: а) 180; б) 924; в) 945 .

а) 180 2 180 = 22 32 5; б) 924 2 924 = 22 3 5 7 11;

3 945 = 33 5 7 .

в) 945

1.5. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное нескольких чисел

1. Наибольший общий делитель нескольких чисел. Общим делителем нескольких чисел называется число, на которое каждое из данных чисел делится без остатка .

Наибольшим общим делителем (НОД) нескольких чисел называется наибольшее число, на которое делятся данные числа .

Правило нахождения НОД нескольких чисел I. Разлагают каждое из чисел на простые множители .

II. Выписывают общие простые множители для всех данных чисел, причем каждый общий множитель берут в наименьшей степени .

III. Составляют из общих простых множителей произведение, которое и является НОД данных чисел .

Пример. Найти НОД чисел: а) 18, 48, 72; б) 210, 360; в) 1386, 1764;

г) 252, 294, 1512 .

а) Имеем 18 = 2 32, 48 = 24 3, 72 = 23 32. Общими делителями являются числа 2 и 3. Их произведение 2 3 = 6 и есть НОД данных чисел, т. е. НОД(18, 48, 72) = 6 .

б) 210 = 2 3 5 7, 360 = 23 32 5, НОД(210, 360) = 2 3 5 = 30;

в) 1386 = 2 32 7 11, 1764 = 22 32 72, НОД(1386, 1764) = 2 32 7 = 126;

г) 252 = 22 32 7, 294 = 2 3 72, 1512 = 23 33 7, НОД(252, 294, 1512) = 2 3 7 = 42 .

2. Взаимно простые числа. Два или несколько чисел, наибольший общий делитель которых равен единице, называются взаимно простыми .



Например:

а) числа 15 и 16 взаимно простые, так как НОД(15, 16) = 1;

б) числа 7, 9 и 24 взаимно простые, поскольку НОД(7, 9, 24) = 1 .

3. Наименьшее общее кратное нескольких чисел. Общим кратным данных чисел называется любое число, которое делится на каждое из данных чисел без остатка .

Наименьшим общим кратным (НОК) данных чисел называется наименьшее число, которое делится на все данные числа .

Например, для чисел 12, 18 и 20 имеем НОК(12, 18, 20) = 180, поскольку никакое число, меньшее 180, не делится на 12, 18 и 20, а 180 делится на все эти числа .

Правило нахождения НОК нескольких чисел I. Разлагают каждое число на простые множители .

II. Выписывают все множители из разложения наибольшего числа (можно из разложения любого числа), затем выписывают недостающие простые множители из разложений остальных чисел .

III. Находят полученное произведение, которое и является НОК данных чисел, Пример. Найти НОК чисел: а) 24, 36; б) 27, 30, 315; в) 42, 56, 504 .

а) 24 = 23 3, 36 = 22 32, НОК(24, 36) = 22 32 2 = 72;

б) 27 = 33, 30 = 2 3 5, 315 = 32 5 7, НОК(27, 30, 315) = 32 5 7 2 3 = 1890;

в) 42 = 2 3 7, 56 = 23 7, 504 = 23 32 7, НОК (42, 56, 504) = 23 32 7 = 504. Число 504 и является НОК данных чисел .

–  –  –

1.8. Десятичные дроби

1. Десятичная дробь и правило ее записи. Дробь, у которой знаменатель есть единица с одним или несколькими нулями, называется десятичной .

Правило. Чтобы десятичную дробь записать без знаменателя, достаточно записать ее числитель и отделить в нем запятой справа столько десятичных знаков, сколько нулей в знаменателе .

= 0,7 ; = 0,33; = 0,001; 6 = 6,07 .

Например:

2. Сравнение десятичных дробей по величине .

Правило. Из двух десятичных дробей больше та, у которой число целых больше; при равенстве целых — та, у которой число десятых больше; при равенстве целых и десятых — та, у которой число сотых больше, и т. д .

Например, 3,25 3,15; 7,867 7,854 .

3. Изменение величины десятичной дроби от переноса в ней запятой. При переносе запятой вправо на один, два, три и т. д. знаков десятичная дробь увеличится соответственно в 10, 100, 1000 и т д. раз .

При переносе запятой влево на один, два, три и т. д. знаков десятичная дробь уменьшится соответственно в 10, 100, 1000 и т. д. раз .

4. Действия с десятичными дробями. Действия с десятичными дробями рекомендуется выполнять на микрокалькуляторе .

Проверить выполнение действий на микрокалькуляторе:

а) 2,036 + 0,72 + 13,5603 = 16,3163; б) 5,703 – 0,307 = 5,396;

в) 5,036 25 = 125,9; г) 8,475 2,056 = 17,4246;

д) 30,625 : 7 = 4,375; е) 12 : 0,356 = 33,708;

ж) 0,876 : 3,293 = 0,266; з) 0,876 : 0,032 = 27,375 .

5. Обращение обыкновенной дроби в десятичную. Если знаменатель обыкновенной дроби не содержит никаких иных простых множителей, кроме 2 и 5, то такая дробь обращается в конечную десятичную дробь .

Пример. Обратить в десятичную дробь: а) ; б) ; в) ; г) .

а) 40 2 292 5 2 2925555 5 1000 0,225 .

= = == == = = 0,375 .

б) в) = = = = 0,056 .

= = 0,65 .

г) = = При обращении обыкновенной дроби в десятичную часто делят числитель на знаменатель .

Например, = 0,75; = 0,055 .

6. Бесконечные десятичные дроби. Округление числа. Число представляет собой бесконечную десятичную дробь 3,141592653… .

Округлив это число с точностью до 0,01, 0,001 и 0,0001, получим соответственно приближенные числа: 3,14 (с недостатком), 3,142 (с избытком), 3,1416 (с избытком) .

7. Периодические дроби. Бесконечная десятичная дробь, у которой одна или несколько цифр неизменно повторяются в одной и той же последовательности, называется периодической десятичной дробью, а совокупность повторяющихся цифр — периодом этой дроби .

Различают чистые и смешанные периодические дроби .

Чистой периодической дробью называют такую дробь, у которой период начинается сразу после запятой (например, 4,282828…); смешанной периодической дробью — такую дробь, у которой между запятой и первым периодом есть одна или несколько не повторяющихся цифр (например, 2,37353535…) .

Периодические дроби кратко записывают так: 2,3838… = 2,(38);

0,72424… = 0,7(24) .

Бесконечная десятичная дробь, получающаяся при обращении обыкновенной, должна быть периодической. Например

8. Обращение чистой периодической дроби в обыкновенную .

Правило. Чтобы обратить чистую периодическую дробь в обыкновенную, достаточно ее период записать в числителе, а в знаменателе записать цифру 9 столько раз, сколько цифр в периоде .

Пример 1. Обратить в обыкновенную дробь:

а) 0,(7); б) 0,(6); в) 4,(05); г) 0,(063); д) 12,(273); е) 0,(0012) .

а) 0,(7) = 7 ; б) 0,(6) 6= 2 ; в) 4,(05) = 4 99; г) 0,(063) 999 111 ;

= == .

= = 12 ; е) 0,(0012) = = д) 12,(273) 12 Обыкновенная дробь, знаменатель которой после сокращения не содержит множителей 2 и 5, обращается в чистую периодическую дробь .

Пример 2. Обратить в десятичную дробь: а) ; б) ; в) ; г) .

а) 33 = 0,(12); б) 11 = 0,(45); в) 111 = 0,(117); г) 7 = 0,(571428) .

9. Обращение смешанной периодической дроби в обыкновенную .

Правило. Чтобы обратить смешанную периодическую дробь в обыкновенную, достаточно из числа, записанного до второго периода, вычесть число, записанное до первого периода; полученную разность взять в качестве числителя, а в знаменателе записать цифру 9 столько раз, сколько цифр в периоде, со столькими нулями, сколько цифр между запятой и периодом .

Пример 1. Обратить в обыкновенную дробь:

а) 5,7888…; б) 0,352525…; в) 0,25444…; г) 3,253232…; д) 0,6824242… .

а) 5,7888... 5= 5 71 ;

= б) 0,352525... = = ;

в) 0,25444... = = ;

г) 3,253232... 3= 3 = ;

.

= == д) 0,6824242.. .

Обыкновенная дробь, знаменатель которой после сокращения вместе с другими множителями содержит множитель 2 или 5 или оба множителя, обращается в смешанную периодическую дробь .

Пример 2. Обратить в десятичную дробь: а) ; б) ; в) ; г) .

а) 15 = 0,4(6); б) 44 = 0,79(54); в) 75 = 0,41(3); г) 119 = 0,26(4) .

10. Стандартная форма записи числа. Десятичные дроби применяют при записи чисел в стандартном виде .

Любое число а, большее или равное 10, можно представить в виде

–  –  –

1.11. Действия с приближенными числами

1. Округление чисел. В практических вычислениях мы встречаемся с точными и приближенными числами .

Одним из источников получения приближенных чисел является округление чисел — как точных, так и приближенных .

Чтобы округлить число до единицы определенного разряда, отбрасывают все цифры, записанные после цифры этого разряда, а в целом числе их заменяют нулями .

2. Правила округления чисел .

1. Если первая (слева) из отбрасываемых цифр меньше 5, то последнюю оставляемую цифру не изменяют (округление с недостатком) .

Примеры округления чисел с недостатком:

–  –  –

2. Если первая отбрасываемая цифра больше 5 или равна 5, то последнюю оставляемую цифру увеличивают на единицу (округление с избытком) .

Примеры округления чисел с избытком:

19,3646 19,4 (до десятых); 83,766 83,77 (до сотых);

3,8519 3,852 (до тысячных); 58 736 59 000 (до тысяч) .

3. Приближенные вычисления с применением правил подсчета цифр .

I. При сложении и вычитании в результате сохраняют столько десятичных знаков, сколько их имеет приближенное данное, содержащее наименьшее число десятичных знаков .

Десятичными знаками называют те цифры, которые расположены справа от знака дробности .

II. При умножении и делении в результате сохраняют столько значащих цифр, сколько их имеет приближенное данное, содержащее наименьшее число значащих цифр .

Значащими цифрами числа называют все его цифры, кроме нулей, расположенных левее первой отличной от нуля цифры .

III. При возведении в квадрат и куб в результате сохраняют столько значащих цифр, сколько их имеет возводимое в степень приближенное число, IV. При извлечении квадратного и кубического корней в результате сохраняют столько значащих цифр, сколько их имеет подкоренное приближенное число .

V. При вычислении промежуточных результатов сохраняют на одну цифру больше, чем рекомендуют предыдущие правила. В окончательном результате эту «запасную цифру» отбрасывают .

VI. Если некоторые данные имеют больше десятичных знаков при действиях первой ступени (сложении и вычитании) или больше значащих цифр при действиях второй и третьей ступеней (умножении и делении, возведении в степень и извлечении корня), чем другие, то их предварительно округляют, сохраняя только одну лишнюю цифру .

При действиях с приближенными числами рекомендуется пользоваться этими правилами .

Пример. Используя сформулированные правила, найти:

а) сумму приближенных чисел 138,524; 87,3; 0,64 и 5,083;

б) разность приближенных чисел 18,328 и 5,4336;

в) произведение приближенных чисел 15,79 и 3,64;

г) частное чисел 8,61 и 2,35;

д) степени 3,62 и 0,73 .

а) Согласно правилу VI предварительно округлим: 138,524 138,52; 5,083 5,08. Затем выполним действия по правилу I:

138,52 + 87,3 + 0,64 + 5,08 = 231,54 231,5 .

б) 5,4336 5,434, 18,328 – 5,434 = 12,894 .

в) 15,79 3,64 = 57,4756 57,5 .

г) 8,61 : 2,35 = 3,6638 3,66 .

3,62 = 12,96 13; 0,73 = 0,343 0,3 .

д) Глава 2 .

АЛГЕБРА

2.1. Рациональные числа

1. Понятие о рациональном числе. Все целые и дробные числа (положительные и отрицательные) называются рациональными .

Каждому рациональному числу на числовой прямой соответствует единственная точка .

Двум рациональным числам, которые отличаются только знаком, на числовой прямой соответствуют точки, расположенные по обе стороны от нулевой точки и на одинаковом расстоянии от нее. Такие числа называются противоположными. Например, число 3 противоположно числу (–3), и наоборот .

Знаки «+» и «–» также называются противоположными .

2. Абсолютная величина (модуль) числа. Абсолютной величиной положительного числа называется само это число, абсолютной величиной отрицательного числа называется противоположное ему число, абсолютной величиной числа 0 называется само число 0 .

Таким образом, определение абсолютной величины (модуля) можно записать следующим образом:

a, если ax 0, |a|= ax 0, a, если 0, если ax = 0 .

Например, |–12| = 12, |7| = 7 .

3. Сравнение рациональных чисел. Из двух рациональных чисел больше то, которому на числовой прямой соответствует точка, расположенная правее, т. е. всякое положительное число больше нуля и больше отрицательного числа, всякое отрицательное число меньше нуля .

Из двух отрицательных чисел больше то, у которого абсолютная величина меньше .

Например, 5 0; 1 –6; –8 0; –4 –10; –7 –1 .

2.2. Действия с рациональными числами

1. Сложение. Чтобы сложить рациональные числа с одинаковыми знаками, складывают их абсолютные величины и перед суммой ставят их общий знак .

Например:

а) (+7) + (+3) + (+12) = +22;

б) (–8) + (–3) + (–7) = –18 .

Чтобы сложить два рациональных числа с разными знаками, из абсолютной величины большего числа вычитают абсолютную величину меньшего числа и ставят знак того числа, у которого абсолютная величина больше .

Например:

а) (+17) + (–3) = 17 – 3 = +14;

б) (–13) + (+8) = –13 + 8 = –5;

в) (+9) + (–12) = 9 – 12 = –3;

г) (—12) + (+13) = –12 + 13 = +1 .

Сумма двух противоположных чисел равна нулю .

Например:

а) (–12) + (+12) = 0;

б) (+15) + (–15) = 0 .

Чтобы сложить несколько рациональных чисел с разными знаками, складывают отдельно все положительные и все отрицательные числа, а затем полученные два числа складывают по правилу сложения чисел с разными знаками .

Например:

а) (+8) + (–12) + (+4) + (–7) + (+15) = (+27) + (–19) = +8;

б) (–14) + (+6) + (–6) + (–10) + (+7) = (+13) + (–30) = –17;

в) 6 + +7 + 5 + +1 + 3 = 15 + (+9) = 6 ;

г) (+2,3) + (–6,7) + (–3,3) + (+8,7) + (+1,5) = (+12,5) + (–10) = +2,5 .

2. Вычитание. Чтобы вычесть одно рациональное число из другого, к уменьшаемому прибавляют число, противоположное вычитаемому .

Например:

а) (+8) – (–4) = (+8) + (+4) = +12;

б) (–3) – (+7) = (–3) + (–7) = –10;

в) (–8) – (–5) = (–8) + (+5) = –3;

г) (+12) – (+17) = (+12) + (–17) = –5;

д) (+6) – (–14) = (+6) + (+14) = +20;

е) (–2) + (–3) + (–8) – (–13) = (–2) + (–3) + (–8) + (+13) = (–13) + + (+13) = 0 .

3. Умножение. Чтобы перемножить два рациональных числа, перемножают их абсолютные величины и перед произведением ставят знак «+», если оба сомножителя имеют одинаковые знаки, и знак «–», если сомножители имеют разные знаки .

Например:

а) (+6) (+4) = +24;

б) (+6) (–4) = –24;

в) (–6) (+4) = –24; г) (–6) (–4) = +24 .

Если один из сомножителей равен нулю, то произведение равно нулю, например: 0 (+8) = 0; 0 (–4) = 0 .

Чтобы перемножить несколько рациональных чисел с разными знаками, перемножают их абсолютные величины и ставят знак «+», если число отрицательных сомножителей четное, и знак «–», если число отрицательных сомножителей нечетное .

Например:

а) (–5) (+4) (–3) (+2) = +120;

б) (–2)(+4)(–5)(–3) = –120;

в) + + = ; + г) (–1,5)(–3,2)(+1,4)(–4,5) = –30,24 .

4. Возведение в степень. Четная степень отрицательного числа является положительным числом, нечетная степень — отрицательным числом .

Например: а) (+3,1)2 = 9,61; б) = .

5. Деление. Частное от деления двух рациональных чисел равно частному их абсолютных величин, взятому со знаком «+», если знаки чисел одинаковы, и со знаком «–», если знаки чисел разные .

Например:

а) (+18) : (+3) = +6;

б) (–12) : (–3) = +4;

в) (+8) : (–2) = –4;

г) (–14) : (+2) = –7 .

–  –  –

2.4. Тождественные преобразования

1. Тождественные выражения. Равенство, верное при всех допустимых значениях входящих в него букв, называется тождеством .

Примеры тождественных выражений:

a(a + 3) – 3a = a; 5(a – 2) + 10 = 5a; x + 3х + 6х = 10х .

Равенства, выражающие законы сложения и умножения, являются тождествами.

Например:

a + b = b + a; а + b + с = а + (b + с); ab = ba; abc = a(bc); (a + b) c = ac + bc .

2. Приведение подобных членов. Члены многочлена, равные друг другу или отличающиеся только коэффициентами, называются подобными .

Например, одночлены 4ab2, ab2, 0,6ab2 подобны .

Замена алгебраической суммы подобных членов одним членом, тождественным этой сумме, называется приведением подобных членов .

Чтобы выполнить приведение подобных членов, складывают их коэффициенты и полученную сумму записывают в качестве коэффициента буквенного выражения .

Например:

а) 7a2b – 4a2b + 0,6a2b – 1,6a2b = (7 – 4 + 0,6 – 1,6)a2b = 2a2b;

б) 2ху – 3ху2 + 4ху – ху + 4ху2 = 5ху + ху2 .

3. Стандартный вид многочлена. Одночлен, представленный в виде произведения коэффициента и степеней различных букв, называется одночленом стандартного вида .

Если все члены многочлена имеют стандартный вид и среди его членов нет подобных, то такой многочлен называют многочленом стандартного вида .

Чтобы записать многочлен в стандартном виде, представляют в стандартном виде все его члены и выполняют приведение подобных членов .

Пример. Привести к стандартному виду многочлен

–  –  –

т. е. многочлен приведен к стандартному виду 2х3у + 7ху3 .

4. Раскрытие скобок и заключение в скобки .

Правила раскрытия скобок. Чтобы раскрыть скобки, перед которыми стоит знак «+», записывают без скобок все члены, заключенные в скобках, а знаки этих членов сохраняют .

Например:

а) 8а3 + (3а3 – 4а + 2а3 – 5а) = 8a3 + 3а3 – 4а + 2а3 –5a = 13а3 – 9а;

б) 4х – 2у + (3х – 5у – 2х – 1) = 4x – 2у + 3х – 5у – 2х – 1 = 5х – 7у – 1 .

Чтобы раскрыть скобки, перед которыми стоит знак «–», записывают без скобок все члены, заключенные в скобках, а знаки этих членов изменяют на противоположные .

Например:

а) 4х2 – (7х2 + 2х2 – 3х2 + 4х) = 4х2 – 7х2 – 2х2 + 3х2 – 4х = –2х2 – 4х;






Похожие работы:

«каВалеРы боеВых наГРад Великая Отечественная война 1941–1945 гг. Сережа алешков Фронтовой разведчик "Мужество рождается в борьбе". Николай Островский, советский писатель В ходе ожесточенных боев в Сталинграде многие дети потеряли сво...»

«Приложение №1 К приказу _№ Регламент ведения безбумажного варианта журнала успеваемости обучающихся и электронного дневника обучающегося.1. Общие положения Данное положение разработано на осно...»

«КОМПЛЕКСЫ УТРЕННЕЙ ГИМНАСТИКИ ВО 2 МЛАДШЕЙ ГРУППЕ. КОМПЛЕКС УПРАЖНЕНИЙ И ИГР №1 Комплекс ОРУ "Дружная семья"1. И. п.: ноги слегка расставить, руки за спину; хлопнуть перед лицом 8 раз под слова педагога: Папа, мама, брат и я Вместе — дружная семья! Отвести руки за спину. Повторить 3 раза.2. Все вместе наклоняемся, Физкультурой занимаемся!...»

«Тема проекта Автор: Мякоход Анастасия Школа: ГБОУ Лицей № 1561 СП ШО №3 Класс: 8 Руководитель: Мякоход Юлия Викторовна, учитель русского языка и литературы Женщина и война . Оба эти слова женского рода. Но они несовместимы...»

«2018/4(34) Прикладная культурология УДК 616-77:747 Перваков И.В., Семенцова К.Р. Детское протезирование: технология и культурологические аспекты Аннотация. Технологии 3D-печати радикально изменяют разработку, изготовление и эксплуатацию протезов...»

«ЛЕКЦИИ © Журтова И.Б., Стребкова Н.А., 2010 И.Б. Журтова1, Н.А. Стребкова2 ПРОЛАКТИНОМЫ У ДЕТЕЙ И ПОДРОСТКОВ 1ФГУ "Федеральный научно-клинический центр детской гематологии, онкологии и иммунологии" Минздравсоцразвития РФ, 2Ф...»

«УТВЕРЖДАЮ Министр образован ия и науки Республики Н.В. Гольцова С.М. Болотникова l8 2018 г. г.УТВЕРЖДАЮ УТВЕРЖДАЮ Председатель ональной Генеральный директор шБл кэс-БАскЕт общественной изации удмуртия Щ.В. Самарин W 18 г. ря 2018 г. ЛЬНПЯ БЕСКЕТБOЛЬННЯ ЛИГtr. ПОЛОЖЕНИЕ о про Всероссийских соревнований по...»

«Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования "САРАТОВСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ГОСУДАРС...»




 
2019 www.mash.dobrota.biz - «Бесплатная электронная библиотека - онлайн публикации»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.